Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bồi dưỡng HSG Toán 8 - THCS.TOANMATH.com

(1)

1

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biểu thức thuộc khoảng xác định nói trên

Xét biểu thức A x( )

+) Ta nói A x( ) có giá trị lớn nhất là M, nếu

( )

A x  M x và có giá trị x0 sao cho A x( )₀ =M (Chỉ ra 1 giá trị là được) +) Ta nói A x( ) có giá trị nhỏ nhất là m, nếu

( )

A x  m x và có giá trị x0 sao cho A x( )₀ =m (Chỉ ra 1 giá trị là được) Như vậy :

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần : - Chứng minh Ak với k là hằng số

- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần :

- Chứng minh Ak với k là hằng số

- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

Ký hiệu: Min A là giá trị nhỏ nhất của A và Max A là giá trị lớn nhất của A Ví dụ: Sai lầm

(2)

2

2 2 2

( ) 2 2 3 ( 1) 2 2 2

A x = x − x+ =x + −x +  GTNN= ( Không chỉ ra được dấu = )

Đáp án đúng là : ( ) 2( ¹)² ⁵ ⁵ ⁵ ¹

2 2 2 2 2

A x = x− +  GTNN =  =x B. Các dạng toán

Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai ax²+bx+c

Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2 Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

a. A x( )=x²−4x+24 b. B x( )=2x²− +8x 1

c.C x( )=3x²+ −x 1

Lời giải

a. A x( )= −x² 4x+24 (= −x 2)²+20 20  x min ( )A x =20 =x 2

b. B x( )=2x²− + =8x 1 2(x²−4x+ − =4) 7 2(x−2)²−  − 7 7 minB= −  =7 x 2

c. ( ) 3 ² 1 3( ¹)² ¹³ ¹³ ¹

6 12 12 6

C x = x + − =x x+ − −  =x −

Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau

a. A x( )= −5x²−4x+1 b. B x( )= −3x²+ +x 1

Lời giải

a. ( ) 5 ² 4 1 5( ² ⁴ ¹) 5( ²)² ⁹ ⁹ ²

5 5 5 5 5 5

A x = − x − x+ = − x + x− = − x+ +   =x −

b. ( ) 3 ² 1 3( ¹)² ¹³ ¹³ ¹

6 12 12 6

B x = − x + + = −x x− +   =x

(3)

3

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của đa thức có bậc cao hơn 2

Phương pháp: Ta đưa về dạng tổng bình phương Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

a. A x( )=x⁴−6x³+10x²−6x+9 b. B x( )=x⁴−10x³+26x²−10x+30 c. C x( )=x⁴−2x³+3x²−4x+2017 d. ^{D x}^{( )}⁼^x⁴^{− +}^x² ²^x⁺⁷ e. E x( )=x⁴−4x³+9x²−20x+22 f. F x( )=x x( −3)(x−4)(x−7) g. G x( )=(x−1)(x+2)(x+3)(x+ −6) 2006

Lời giải

a. A x( )=x⁴−6x³+10x²−6x+ =9 (x⁴−6x³+9 ) (x² + x²−6x+ =9) (x²−3 )x ²+ −(x 3)² 0 x

2 3 0

min ( ) 0 3

3 0

x x

A x x

x

 − =

 =   =

 − =

b.

2

4 3 2 2 2 2 5 0

( ) 10 26 10 30 ( 5 ) ( 5) 5 5 5

5 0

x x

B x x x x x x x x x

x

 − =

= − + − + = − + − +   − =  =

c. C x( )=x x²( ²+ −2) 2 (x x²+ +2) (x²+ +2) 2015 (= x²+2)(x−1)²+2015 2015  =x 1

d. D x( )=x⁴−2x²+ + +1 x² 2x+ + =1 5 (x²−1)²+ +(x 1)²+   = −5 5 x 1

e. ^{E x}^{( )}⁼^x⁴⁻⁴^x³⁺⁹^x²⁻²⁰^x⁺²²⁼⁽^x⁴⁻⁴^x³⁺⁴^x²^{) 5(}⁺ ^x²⁻⁴^x^{+ + =}⁴⁾ ² ⁽^x²⁻^{2 )}^x ²⁺⁵⁽^x⁻²⁾²^{+   =}² ² ^x ²

f. ( ) ( 3)( 4)( 7) ( ² 7 )( ² 7 12) ² 36 36 0 ¹

6

F x x x x x x x x x y y x

x

 =

= − − − = − − + = −  −  =   =

g. ( ) ( ² 5 6)( ² 5 6) 2006 ( ² 5 )² 2042 2042 ⁰ 5

G x x x x x x x x

x

 =

= + − + + − = + −  −   = −

(4)

4

Dạng 3 : Đa thức có từ 2 biến trở lên

Phương pháp: Đa số các biểu thức có dạng ^{F x y}

( )

^; =^ax²+^by²+cxy dx ey h a b c+ + +

(

^{. .} ^{0 1}

)( )

- Ta đưa dần các biến vào trong hằng đẳng thức

(

^a²^²^{ab b}⁺ ²

)

⁼⁽^{a b}^ ⁾²^{như sau}

( )^;

 

^; ²

 

² ( )²

F x y =mK x y +nG y +r hoặc ^{F x y}( )^; ⁼^{mK x y}

 

^; ²⁺^{nH x}

 

²⁺^r( )³

Trong đó ^{G y H x}

   

^, là biểu thức bậc nhất đối với biến, còn ^{K x y}

 

^; ⁼ ^{px qy k}⁺ ⁺ cũng là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y

Cụ thể:

Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) như sau với a0;4ac b− ² 0

Ta có ^{4 .}^{a F x y}

( )

^; ⁼⁴^{a x}² ²⁺⁴âbxy⁺⁴âcy²⁺⁴âdx⁺⁴âey⁺⁴âh⁼⁴^{a x}² ²⁺^{b y}² ²⁺^d²⁺⁴âbxy⁺⁴âdx⁺²^bdy

(

⁴^{ac b}⁻ ²

)

^y²⁺²^y(²^{ae bd}⁻ )⁺⁴^{ah d}⁻ ²

( )²

(

²

)

2 ² 2 ²

2 2

2 4 4

4 4

ae bd ae bd

ax by d ac b y ah d

ac b ac b

− −

   

= + + + −  + − + − − − 

Vậy có (2) với

( ) ( )

( )

2 2 2

2 2

1 4 2 2

. ; 2 ; ; ( ) ; r h

4 4 4 4 4 4

ae bd

b ac ae bd d

m F x y ax by d n G y y

a a ac b a a ac b

− − −

= = + + = − = + = − −

− −

+) Nếu ^a^^{0; 4}^{ac b}^{−   }² ⁰ ^m ^0,ⁿ^{ }⁰

( ) ( ) ( )

^{2 :}^{F x y}^; ^^r ^*

+) Nếu ^a^^0;4^{ac b}^{−   }² ⁰ ^m ^0,ⁿ^{ }⁰

( ) ( ) ( )

^{2 :}^{F x y}^; ^^r ^**

+) Nếu m > 0, n > 0 thì ta tìm được giá trị nhỏ nhất +) Nếu m < 0, n <0 thì ta tìm được giá trị lớn nhất

(5)

5

Dễ thấy rằng luôn tồn tại (x; y) để có dấu của đẳng thức, như vậy ta sẽ tìm được cực trị của đa thức đã cho

Trong cả hai trường hợp trên:

- Nếu r = 0 thì phương trình F(x; y) = 0 có nghiệm

- Nếu ^{F x y}

( )

^; ^{ }^r ⁰^hoặc^{F x y}

( )

^; ^{ }^r ⁰ thì không có

( )

^{x y}^; nào thảo mãn F(x; y) = 0 +) Nếu ^a^^0;4^{ac b}^{− }² ^0;^r^{= }⁰

( ) ( )

^{2 :}^{F x y}^; phân tích được tích của hai nhân tử, giúp ta giải được các bài toán khác

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của

a. A= +x² 2y²−2xy−4y+5 b. B=2x²−2y²+5y²+5 Lời giải

a) Ta có ^{A x}^{( )}⁼^x²⁺²^y²⁻²^xy⁻⁴^y^{+ =}⁵

(

^x²⁻²^xy⁺^y²

) (

⁺ ^y²⁻⁴^y^{+ + =}⁴

)

¹ ⁽^x⁻^y^{) (}²⁺ ^y⁻²⁾²⁺¹

1 , " " 0 2

2 0 x y

A x y R x y

y

 − =

     =  − =  = =

Vậy minA=  = =1 x y 2

b) ^B⁼²^x²⁻²^y²⁺⁵^y²^{+ =}⁵

(

^x²⁻⁴^xy⁺⁴^y²

) (

⁺ ^x²⁺²^xy⁺^y²

)

⁺^y²^{+ =}⁵ ⁽^x⁻²^y^{) (}²^{+ +}^x ^y⁾²^{+ }⁵ ⁵

2 0

0 0 x y

x y x y

− =

  = =

 + =



Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của

a. A x( )=2x²+y²−2xy−2x+3 b. B x( )= + +x² xy y²− −3x 3y

c. C x( )=2x²+3y²+4xy− −8x 2y+18 d. ^{D x}^{( )}⁼²^x²⁺³^y²⁺⁴^z²⁻²⁽^x^{+ + +}^{y z}^{) 2} e. E x( )=2x²+8xy+11y²−4x−2y+6 f. F x( )=2x²+6y²+5z²−6xy+8yz−2xz+2y+4z+2

(6)

6

g. G x( )=2x²+2y²+ +z² 2xy−2xz−2yz−2x−4y h. H x( )=x²+y²− − + +xy x y 1 Lời giải

a. A x( )=2x²+y²−2xy−2x+ =3 (x²−2xy+y²) (+ x²−2x+ + = −1) 2 (x y)²+ −(x 1)²+   = =2 2 x y 1

b. B x( )=(x²−2x+ +1) (y²−2y+ +1) x y( − − − − = −1) (y 1) 3 (x 1)²+ −(y 1)²+ −(x 1)(y− −1) 3

2 2

2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2

( 1) 2( 1). .( 1) ( ) ( ) ( 1) 3 1 2 1 3

2 2 2 2 4

y y y y y

x x y − − y x −  − + y y

= − + − − + − + − − = − +  − + − + −

2 2 1

1 0 1

1 3( 1)

1 3 3 2

1

2 4

1 0

y x

y y x

x y

y

 − + − =  =

− − 

 

= − +  + −  −  − =  =

c. C x( )=2x²+4xy+2y²+y²−8x−2y+18=2 ( x+y)²−2(x+y)2 4+ +(y²+6y+ +9) 1

2 2

2(x y 2) (y 3) 1 1 minA 1 y 3;x 5

= + − + + +   =  = − =

d. D x( )=2x²+3y²+4z²−2(x+ + + =y z) 2 2(x²− +x) (3y²−2 ) (4y + z²−2 ) 2z +

2 1 2 2 1 2 1 1 1 1

2( ) 3( ) (2 ) 2 2

4 3 9 4 2 3 4

x x y y  z z 

= − + + − + + − + + − − −

2 2 2

1 1 1 11 11 1 1 1

2( ) 3( ) (2 ) ( , , ) ( ; ; )

2 3 2 2 2 2 3 4

x y z x y z

= − + − + − +   =

e. E x( )=2(x²+4xy+4y²) 3+ y²−4x−2y+ =6 2(x+2 )y ²−4(x+2 ) 2y + +3y²+6y+4

2 2 2 1 0 3

2( 2 1) 3( 1) 1 1

1 0 1

x y x

x y y

y y

+ − = =

 

= + − + + +   + =  = −

f. F x( )=2x²+6y²+5z²−6xy+8yz−2xz+2y+4z+2(kho)

2 3 2 2 2 3 2

( ) 2 2 (3 ) 2( ) 6 5 8 ( ) 2 4 2

2 2

y z y z

F x = x − x y+ +z + + y + z + yz− + + y+ z+

(7)

7

2 2 2 2

3 3 10 25 1

2( ) ( ) 2 4 2

2 2 3 9 3

y z

x + y yz z z y z

= − + + + + + + +

2 2 2

3 3 5 5 2 1 2 1

2( ) ( ) 2( ) ( ) 1

2 2 3 3 3 3 3 3

y z

x +  y z y z  z z

= − + + + + + + + + +

2 2

3 0

2 1

3 5 2 1 5 2

2(...) ( ) ( 1) 1 1 0 1 min 1

2 3 3 3 3 3

1 0 1 y z x

x

y z x y z y A

z z

 − + =

  =

 

= + + + + + +   + + =  =  =

 + =  = −



g. G x( )=2x²+2y²+z²+2xy−2xz−2yz−2x−4y=(x−1)²+(y−2)²+ + −(x y z)²−  −  =5 5 x 1;y=2;z=3

h. H x( )= +x² y²− − + + xy x y 1 4 ( )H x =(2 )x ²−2.2 .x y+y²+3y²−4x+4y+4

2 2 2 2 1 2 8 8

(2 ) 2(2 ) 3 2 3 1 (2 1) 3( 1) (2 1) 3( )

3 2 3 3

x y x y y y x y y y x y y

= − − − + + + + = − − + + + = − − + + + 

8 2 1 2

min 4 ; min

3 3 3 3

A x y − A

 =  = =  =

Bài 3: Tìm GTLN của các biểu thức sau

a. A= −4x²−5y²+8xy+10y+12 b. − − + +x² y² xy 2x+2y

Lời giải

a. A= −4x²−5y²+8xy+10y+ = −12 4x²+8xy−4y²− +y² 10y− +25 37= −4(x−y)²− −(y 5)²+37 37 5

5 x y

 =

  =

b. A= − − + +x² y² xy 2x+2y4A= −4x²−4y²+4xy+ +8x 8y

2 2 2 2

4 4 ( 2) ( 2) ( 2) 4 8

A= − x + x y+ − +y + +y − y + y

2 2 2 2 2 2 0 2

(2 2) 3( 4 ) 4 (2 2) 3( 2) 16 16 4

2 0 2

x y x

x y y y x y y A

y y

− − = =

 

= − − − − − + = − − − − − +     − =  =

(8)

8

Bài 4: Tìm GTNN của các biểu thức sau

a. A=5x²+9y²−12xy+24x−48y+82 b. B=3x²+3y²+ +z² 5xy−3yz−3xz−2x−2y+3

Lời giải

a. A=5x²+9y²−12xy+24x−48y+82 9= y²−12 (y x+ +4) 4(x+4)²−4(x+4)²+5x²+24x+82



³ ²⁽ ⁴⁾



² ⁽ ⁴⁾² ² ² ^, ^4; ¹⁶

y x x x y R x y 3

= − + + − +     = =

b.

2

2 2

3 3 4 2

( ) ( ) ( 2) 1 1

2 4 3 3 3

B=z− x+y  + x+ −y + y− + 

Bài 5: Tìm GTLN của A= + + −x y z (x²+2y²+4 )z²

Lời giải

2 2 2

1 1 1 7 7 7 1 1 1

( ) 2( ) (2 ) ; ;

2 4 4 16 16 16 2 4 8

A x y z − − A x y z

− = − + − + − −     = = =

Bài 6: [ HSG – Yên Dũng – Bắc Giang ] . Tìm GTNN của A= +x² 2y²+2xy+2x−4y+2013

Lời giải

2 2 2 2 2

2 2 2 4 2013 2 ( 1) ( 1) ( 3) 2003 2003 4; 3

A= +x y + xy+ x− y+ =x + x y+ + +y + −y +   = −x y=

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tìm GTNN của: A= −x² 2xy+2y²+2x−10y+17 Hướng dẫn

( )

2 2 1 2 2 10 17

A x= − x y− + y − y+ ⁼^x²⁻²^{x y}

(

^{− +}¹

) (

^y⁻¹

)

²⁺^__²^y²⁻¹⁰^y⁺¹⁷⁻

(

^y⁻¹

)

²^__

(

^{x y} ¹

)

²

(

^y² ⁸^y ¹⁶

)

= − + + − +

Bài 2: Tìm min của: B= − +x² xy y²−2x−2y

(9)

9

Hướng dẫn

( )

² ²

2 2 2 2 2 2. . 2 4 4 2 2 1

2 4 4

y y y y

B x= −x y+ +y − y=x − x + + + + +y − y− − −y

 

( )

² ² ²

4B= x y− −2 +4y −8y y− −4y−4

Bài 3: Tìm min của: C= + + − −x² xy y² 3x 3y

Hướng dẫn

( )

² ²

2 3 2 3 2 2. . 3 6 9 2 3 6 9

2 4 4

y y y y y

C x= +x y− +y − y=x + x − + − + +y − y− − +

 

( )

² ² ²

4C= x y+ −3 +4y −12y y− +6y−9

Bài 4: Tìm min của: D= −x² 2xy+6y²−12x+2y+45 Hướng dẫn

( ) ( ) ( )

²

( )

2 2 6 6 2 2 45 2 2 . 6 6 6 2 2 45 2 12 36

D x= − x y+ + y + y+ =x − x y+ + +y + y + y+ − y + y+

(

^{x y} ⁶

)

² ⁵^y² ¹⁰^y ⁹

= − − + − +

Bài 5: Tìm min của: E= − +x² xy 3y²− −2x 10y+20 Hướng dẫn

( )

² ²

2 2 3 2 10 20 2 2 . 2 4 4 3 2 10 20 4 4

2 4 4

y y y y y

E x= −x y− + y − y+ =x − x − + − + + y − y+ − − +

( )

²

(

²

) (

²

)

4E= x y− +2 + 12y −40y+80 − y −4y+4 ⁼

(

^{x y}^{− +}²

)

²⁺

(

¹¹^y²⁻³⁶^y⁺⁷⁶

)

Bài 6: Tìm max của: F= − +x² 2xy−4y²+2x+10y−3 Hướng dẫn

( )

2 2 4 2 2 10 3 2 2 1 4 2 10 3

F x xy y x y x x y y y

− = − + − − + = − + + − +

( ) ( )

²

( )

²

2 2 1 1 4 2 10 3 1

F x x y y y y y

− = − + + + + − + − +

Bài 7: Tìm min của: ^G⁼(^{x ay}⁻ )²⁺⁶(^{x ay}⁻ )⁺^x²⁺¹⁶^y²⁻⁸^ay⁺²^x⁻⁸^y⁺¹⁰ Hướng dẫn

(10)

10

( )

² ⁶

( )

⁹

(

² ² ^{1 16}

)

² ⁸ ⁸

G= x ay− + x ay− + + x + x+ + y − ay− y

(

³

) (

² ¹

)

² ¹⁶ ² ⁸

(

¹