• Không có kết quả nào được tìm thấy

Các bài toán hàm số hay gặp nhất trong đề thi THPT quốc gia | Toán học, Đề thi THPT quốc gia - Ôn Luyện

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Các bài toán hàm số hay gặp nhất trong đề thi THPT quốc gia | Toán học, Đề thi THPT quốc gia - Ôn Luyện"

Copied!
59
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ÔN THI THPTQG 2018

1 Hàm số

1.1 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài toán 1.1 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=f(x).

Tìm tập xác định của hàm số.

Tính đạo hàm và lập bảng xét dấu của nó.

Căn cứ vào bảng xét dấu để kết luận.

Lưu ý 1.1

Cách tính nhanh đạo hàm của một số hàm số

Hàm số phân thức y=

ax+b

cx+d thì cách nhớ là “anh dũng trừ bắt cướpy0=

ad − bc (cx +d)2

Hàm số phân thứcy=

a1x2+b

1x+c a 1

2x2+b

2x+c

2

thì cách nhớ là “anh bạn - ăn cháo hai lần - bỏ cơm

y0=

a1 b1 a2 b2

x2+ 2

a1 c1 a2 c2

x+

b1 c1 b2 c2

a2x2+b

2x+c

2

2

Ví dụ 1.1

Cho hàm số y=x3+ 3x22. Khẳng định nào sau đây là khẳng địnhđúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(−∞;2) và (0; +).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và (2; +).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;2) và (0; +).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 1).

(2)

Cách 1. Tính nhanh đạo hàm: y0 = 3x2+ 6x = 3(x2+ 2x), và lập được bảng biến thiên (thực ra chỉ cần lập bảng xét dấu của đạo hàm):

x −∞ 2 0 +

y0 + 0 0 +

y % & %

Từ đó chọn đáp án A.

Cách 2. Chúng ta sử dụng tính năng tính đạo hàm của hàm số bằng máy tính

CASIO, sử dụng phím d/dx.

Riêng đối với ba loại hàm quen thuộc (bậc ba, bậc bốn trùng phương và phân thức bậc nhất) chúng ta có thể có cách làm riêng. Chẳng hạn câu này, ta biết đây là hàm số bậc ba với hệ sốa= 1>0 nên đồ thị có dạngdấu ngã, tức là sẽ đồng biến trên các khoảng (−∞;x1) và (x2; +), nghịch biến trên khoảng (x1;x2) vớix1, x2 là hai nghiệm của phương trình y0 = 0. Do đó, có thể khẳng định được ngay phương án A là phương án đúng. Sau đây là một số bài tập điển hình.

Ví dụ 1.2 ĐH năm 2017 Mã đề 101

Hàm sốy=

2

x2+1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0; +). B. (1; 1). C. (−∞; +). D. (−∞; 0).

Hướng dẫn. Tập xác định D=R.Đạo hàm y0=

4x x2+ 1

2

Do đó,y0<0⇔ x >0. Chọn phương án A.

Ví dụ 1.3

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (−∞; +)?

A. y=

x+1

x+3. B. y=x3+x. C. y=

x−1

x−2. D. y = −x3 3x.

(3)

1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài toán 1.2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốy = f(x)trên tập K.

Chúng ta có hai phương pháp chủ yếu:

Lập bảng biến thiên của hàm số trên K.Nếu tập Klà một đoạn [a;b] thì không cần lập bảng biến thiên mà chỉ cần

+ Giải phương trình y0 = 0 và tìm ra các điểmxi mà tại đó y0 = 0 hoặcy0 không xác định.

+ Tính và so sánh các giá trịf(a), f(b), f(xi) để tìm ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc hoặc điều kiện có nghiệm của phương trình.

Lưu ý 1.2

Lưu ý rằng, hàm số y = f(x) muốn đạt được giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất bằng M thì ta phải tìm được ít nhất một số x0 hữu hạn sao cho f(x0) =M.

Lưu ý 1.3

Điều kiện có nghiệm của một số phương trình quen thuộc:

Phương trình bậc hai điều kiện là ∆>0.

Phương trình sinx =m,cosx =mđiều kiện là|m|61.

Phương trình asinx +bcosx = c điều kiện là

|c|

a2+b2 6 1 hay c2 6 a2+b2.

Cần nhớ hai cách để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Hai cách đó là gì? Đôi khi chúng ta hay đổi biến (đặt ẩn phụ) để đưa về khảo sát một hàm số đơn giản hơn.

Ví dụ 1.4 ĐH năm 2017 Mã đề 102

Cho hàm số y =

x+m

x+1, vớimlà tham số thực, thỏa mãn max

[1;2]

y+ min

[1;2]

y=

16 3

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. m60. B. m >4. C. 0< m62. D. 2< m64.

(4)

Hướng dẫn. Điều kiện xác định x 6= 1, nên hàm số luôn xác định và liên tục trên đoạn [1; 2].

y0=

1− m (x+ 1)2

Chỉ có thể xảy ra hai khả năng, nếuy0 >0 thì hàm số đồng biến trên đoạn [1; 2], do đó max

[1;2]

y = y(2),min

[1;2]

y = y(1). Ngược lại, nếu y0 < 0 thì hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2], do đó max

[1;2]

y=y(1),min

[1;2]

y =y(2). Dù cho khả năng nào xảy ra thì max

[1;2]

y,min

[1;2]

y cũng chỉ có thể nhận hai giá trịy(1) và y(2). Do đó, yêu cầu bài toán tương đương với

y(1) +y(2) = 16

3

1 +m 2

+ 2 +m

3

= 16

3

Giải phương trình này, tìm được m= 5, tức làm >4. Ví dụ 1.5

Tìmmđể hàm sốf(x) =−x42x2+mcó giá trị lớn nhất trên khoảng (2; 4) bằng 2.

Hướng dẫn. Ta lập được bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau

x 2 0 3

f0(x) + 0 f(x)m −24%

m

&m −99

Suy ra, giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (2; 3) là m. Do đó, yêu cầu bài

toán tương đương vớim= 2.

Ví dụ 1.6

Xét hàm số y=

x33x+ 1

trên đoạn [0; 3]. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?

A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] là 1. B. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] là 19.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong đoạn [0; 3]. D. Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x= 3.

(5)

Ví dụ 1.7 ĐH Khối B năm 2003

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốf(x) =x+

4− x2.

Hướng dẫn. Tập xác định D= [2; 2]. Ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho:

x 2

2 2

f0(x) + 0 f(x) 2 %2

2& 2

Như vậy maxf(x) =f(

2) = 2

2,minf(x) =f(2) =2. 1.3 Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu

Bài toán 1.3 Tìm điều kiện để hàm số y=f(x)đồng biến trên tập K.

Hàm sốy=f(x) đồng biến trên tậpKkhi và chỉ khi

+ y0 >0, ∀x ∈K nếu dấu củay0 còn phụ thuộc biến x, chẳng hạn các hàm đa thức bậc ba, bậc bốn.

+ y0 >0, ∀x ∈Knếu dấu củay0không cònphụ thuộc biếnx,chẳng hạn các hàm y=

ax+b cx+d.

Xét các tình huống sau:

+ Nếu tập KlàRthì sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai.

+ Nếu cô lập được tham số m đưa điều kiện trên về dạng m 6 g(x), ∀x ∈ K hoặcm >g(x), ∀x ∈K thì sử dụng nguyên lý cực trị.

+ Nếu không thì lập bảng biến thiên có chứa cả tham số để biện luận.

Lưu ý 1.4 Định lý dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) =ax2+bx+c với a 6= 0 thì

• f(x)>0, ∀x ∈R

(a >0

∆60.

(6)

• f(x)60, ∀x ∈R

(a <0

∆60. Lưu ý 1.5 Nguyên lý cực trị

• m6g(x), ∀x ∈K⇔ m6min

K

g(x),

• m>g(x), ∀x ∈K⇔ m>max

K

g(x).

Ví dụ 1.8

Cho hàm sốy=−x3− mx2+ (4m+ 9)x+ 5 vớimlà tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của mđể hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +)?

A. 4. B. 6. C. 5. D. 7.

Hướng dẫn.y0=3x22mx+ 4m+ 9. Hàm số đã cho nghịch biến trênRkhi và chỉ khi

y0 60∀x ∈R

(a=1<0

0

=m2+ 3(4m+ 9)60

Giải hệ này tìm được96m63. Kết hợp điều kiện mnguyên, ta được tất cả 7

giá trị củam.

Ví dụ 1.9

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm sốy=

1 3

x3+x2+mx+ 1 nghịch biến trên khoảng (2; 3).

A. m615. B. m>15. C. m68. D. m > −8. Hướng dẫn. Yêu cầu bài toán tương đương với y0 = x2+ 2x+m 6 0 ∀x ∈ [2; 3].

Điều này tương đương với

m6min

[2;3]

−x22x

= min

[2;3]

f(x)

x 2 3

f0(x) f 8

&

(7)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =−x22x trên đoạn [2; 3] và suy ra giá trị

cần tìm củamm615.

Nhận xét. Bài này có thể sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, xem ở trang 23, như sau.

Nhận xét rằng hệ sốa >0 nên hàm số chỉ có thể nghịch biến ở khoảng (x

1;x

2) trong đóx1, x2 là hai nghiệm của phương trìnhy0 = 0.

Do đó, yêu cầu bài toán trở thành tìm điều kiện để phương trình y0 = 0 có hai nghiệm thỏa mãnx162<36x2.Điều kiện cần và đủ là

(a · y0(2)60 a · y0(3)60.

Giải hệ bất phương trình này cũng tìm được đáp số như cách trên.

Ví dụ 1.10

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm sốy =

x+m

x2+1

đồng biến trong khoảng (0; +).

A. m61. B. m62. C. m61. D. m60.

Ví dụ 1.11

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số y =

x3 3

(m+ 1)x2+ (m2+ 2m)x+ 1 nghịch biến trên (2; 3).

A. 1< m <2. B. m>2. C. m <1. D. 16m62. Hướng dẫn. Yêu cầu bài toán tương đương với y0 =x22(m+ 1)x+m2 + 2m6 0, ∀x ∈(2; 3). Rõ ràng chúng ta không cô lập được tham sốmnên phải đưa về việc lập bảng biến thiên. Phương trìnhy0= 0 luôn luôn có nghiệm x1=m < x2=m+ 2 nên ta có bảng biến thiên sau:

x −∞ m m+ 2 +

y0(x) + 0 0 +

y −∞%

y1

& y

2 %+

(8)

Suy ra, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (2; 3) khi và chỉ khi khoảng (2; 3) là tập con của khoảng (m, m+ 2). Nghĩa là

(m62 36m+ 2

Từ đó tìm được đáp số 16m62.

Ví dụ 1.12

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y =

x2+ 4mx+ 4m2+ 3 nghịch biến trên khoảng (−∞; 2)?

A. m > −1. B. m <2. C. m < −1. D. m >2.

Hướng dẫn. Hàm số luôn xác định và liên tục với mọix ∈R.Do đó, ta sẽ tìm điều kiện để hàm số luôn nghịch biến trên nửa khoảng (−∞; 2]. Ta có

y0 =

x+ 2m

√x2+ 4mx+ 4m2+ 3 .

Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2) khi và chỉ khi

y060, ∀x 62⇔ x+ 2m60, ∀x 62.

Từ đó tìm được đáp số m61.

Ví dụ 1.13

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y =

cosx+m

cosx+m đồng biến trên khoảng 0;

π 2

.

A. m >0 hoặcm61.

B. m>1.

C. m >0.

D. m61.

Hướng dẫn. Đặt t = cosx thì ta thấy hàm số y = cosx nghịch biến trên 0;

π 2

, nên hàm số đã cho đồng biến trên 0;

π 2

khi và chỉ khi hàm số y =

−t+m

t+m nghịch biến trên (0; 1). Điều kiện cần và đủ là

( y0=

2m (t+m)

2 <0

−m /∈(0; 1)

⇔ m >0.

(9)

Nhận xét. Bài này có thể làm trực tiếp mà không cần đặt ẩn phụ. Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp, ta tìm được

y0 =

2m (cosx+m)2

·(sinx). Chú ý rằng trong khoảng (0;

π

2) thì sinx >0,nên yêu cầu bài toán tương đương với (

2m (cosx+m)2

>0

cosx+m 6= 0, ∀x ∈ 0;

π 2

Từ đó cũng tìm được đáp số như trên.

1.4 Cực trị của hàm số

Bài toán 1.4 Tìm cực trị của hàm số y=f(x).

Đối với một hàm số cụ thể, ta lập bảng xét dấu của đạo hàm và kết luận.

Đối với hàm ẩn, muốn x0 thuộc tập xác định là một điểm cực trị của hàm số y=f(x) thì phải thỏa mãn hai điều kiện:

+ f0(x0) = 0 hoặcf0(x) không xác định tạix0. + f0(x) phải đổi dấu khi đi qua x

0, nếu đổi dấu từ dương sang âm (tức là hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến) thì x0 là điểm cực đại; đổi dấu từ âm sang dương thì x0 là điểm cực tiểu.

Cũng có thể sử dụng đến đạo hàm cấp hai, f00(x

0) < 0 thì x

0 là điểm cực đại; còn f00(x

0)>0 thì x

0 là điểm cực tiểu.

Lưu ý 1.6

Cần phân biệt rõ ba khái niệm điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm sốgiá trị cực trị của hàm số.

Lưu ý 1.7

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

Đồ thị hàm số bậc bay=ax3+bx2+cx+dchính là phần dư khi chia y choy0. Thực hiện phép chia, ta đượcy=y0· 1

3

x+

b 9a

+mx+nthì đường thẳng cần tìm chính lày=mx +n. Cách tìm nhanh như sau:

+ Ta nhận thấymx+n=y − y0· 1

3

x+

b 9a

.

(10)

+ Sử dụng máy tính, viết hàm y − y0· 1

3

x+

b 9a

rồi CALC tạix = 0 tìm đượcn,CALC tiếp tạix = 1 thu đượcm+nvà từ đó tìm được m.

Đồ thị hàm số phân thức bậc hai chia bậc nhất y =

ax2+bx+c dx+e =

u(x) v(x)

chính lày=

u0(x) v0(x). Ví dụ 1.14

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị hàm số y=f0(x) như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y=f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.

Ví dụ 1.15

Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = −x4+ 2x2+ 1. Tính diện tích S của tam giácABC.

A. S= 1. B. S= 2. C. S= 3. D. S= 4. Ví dụ 1.16

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x33x2+ 2.

Đáp số. y=2x+ 2.

Ví dụ 1.17

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x3+ 3x25x+ 1.

Đáp số.y=16

3

x+

8 3

.

Ví dụ 1.18

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3− x+ 4 là...

(11)

Ví dụ 1.19 ĐH năm 2017 Mã đề 101

Đồ thị hàm số y =x33x29x+ 1 có hai điểm cực trị AB. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳngAB?

A. P(1; 0). B. M(0;1). C. N(1;10). D. Q(1; 10).

Ví dụ 1.20 ĐH năm 2017 Mã đề 103

Đồ thị của hàm số y=−x3+ 3x2+ 5 có hai điểm cực trị AB. Tính diện tíchS của tam giácOAB với O là gốc tọa độ.

A. S= 9. B. S=

10 3

. C. S= 5. D. S= 10. Ví dụ 1.21

Hàm sốy= sinx −2 cosx có bao nhiêu cực trị trên đoạn [−π, π]?

Ví dụ 1.22

Hàm sốy= sinx − x có bao nhiêu cực trị trên đoạn [0,10]?

1.5 Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm cho trước

Bài toán 1.5 Tìm điều kiện củamđể hàm số y=f(x)đạt cực trị tại x

0.

Điều kiện cần.Hàm số đạt cực trị tạix

0 thìf0(x

0) = 0 hoặcf0(x

0) không xác định. Từ đó tìm được giá trị củam.

Điều kiện đủ. Với mvừa tìm được, thay vào hàm số đã cho và tìm cực

trị của nó để kiểm tra.

Ví dụ 1.23

Cho hàm số:y=

1 3

x3− mx2+ (m2− m+ 1)x+ 1. Xác địnhmđể hàm số đạt cực đại tại điểm x= 1.

Cách 1. Ta có y0 =x22mx+m2− m+ 1, y00= 2x −2m.

Điều kiện cần:Giả sử hàm số đạt cực đại tại x = 1. Suy raf0(1) = 0⇔ m= 1, m= 2.

(12)

Điều kiện đủ:

+ Với m = 1 hàm số đã cho trở thành y =

1 3

x3− x2 +x + 1. Ta có bảng biến thiên sau:

x −∞ 1 +

y0(x) + + y

−∞%

4

3%+

Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy hàm sốkhông đạt cực đạitạix = 1. Do đó,m= 1 không thỏa mãn yêu cầu.

+ Với m= 2 hàm số đã cho trở thành y=

1 3

x32x2+ 3x+ 1. Ta có bảng biến thiên:

x −∞ 1 3 +

y0(x) + 0 0 +

y −∞%

7

3&1%+ Ta thấy, khim= 2 thì hàm số đạt cực đại tạix = 1.

Vậy giá trị cần tìm là m= 2.

Cách 2. Ta xét hai trường hợp:

Khiy00(1) = 0⇔ m= 1 thì hàm số trở thànhy=

1 3

x3− x2+x+ 1. Lập bảng biến thiên nhưCách 1 và khẳng địnhm= 1 không thỏa mãn yêu cầu.

Khiy00(1)6= 0⇔ m 6= 1 thì hàm số đạt cực đại tại x= 1 khi và chỉ khi (y0(1) = 0

y00(1)<0

⇔ m= 2

Kết hợp hai trường hợp được đáp sốm= 2.Vậy với m= 2 thì hàm số đã cho đạt

cực đại tại x= 1.

Ví dụ 1.24 ĐH năm 2017 Mã đề 102

Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốmđể hàm sốy=

1 3

x3− mx2+ (m2 4)x+ 3 đạt cực đại tạix = 3.

A. m= 1. B. m=1. C. m= 5. D. m −7.

(13)

Ví dụ 1.25

Tìm mđể hàm số y=

mx2+x+m

x−1 đạt cực đại tạix = 2. Hướng dẫn. Tập xác định D=R. Ta có y0 =

mx22mx−1−m (x−1)2 .

Điều kiện cần: Giả sử hàm số đạt cực đại tạix = 2.Suy ray0(2) = 0⇔ m=

1.

Điều kiện đủ: Khim=1 hàm số đã cho trở thànhy=

−x2+x−1

x−1 . Ta có bảng biến thiên:

x −∞ 0 1 2 +

y0(x) 0 + + 0

y +

&1%+

−∞%

3

&−∞

Vậy vớim=1 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x= 2. 1.6 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

Bài toán 1.6 Tìm điều kiện để hàm số y=f(x)có cực trị.

Tổng quát, muốn hàm số có cực trị thì đạo hàm phải có nghiệm và phải đổi dấu khi đi qua nghiệm này. Ở đây chúng ta xét ba loại hàm thường gặp.

Hàm số bậc ba y =ax3 +bx2+cx+d, vớia 6= 0, thì đạo hàm y0 là tam thức bậc hai nên có hai khả năng:

+ Phương trình y0 = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số không có trị.

+ Phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt thì hàm số có hai điểm cực trị.

Như vậy, hàm số bậc ba chỉ có hai tình huống không có cực trị cực trị, nếu có thì sẽ có hai điểm cực trị, gồm một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Hàm số bậc bốn trùng phươngy=ax4+bx2+c, với a 6= 0,thì phương trình y0 = 0 tương đương với

x= 0 x2 =b

2a. ()

Phương trìnhy0= 0 này luôn có nghiệmx = 0 nên ta có hai khả năng:

(14)

+ Phương trình () vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, nghiệm kép này cũng bằng 0, thì hàm số có một điểm cực trị.

+ Phương trình () có hai nghiệm phân biệt, thì hàm số có ba điểm cực trị.

Như vậy, hàm số bậc bốn trùng phương luôn luôn có cực trị, có thể có một hoặc ba điểm cực trị.

Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất thì không có cực trị.

Ví dụ 1.26

Tìm điều kiện để hàm số y=

x2+2mx+1

x−1 có cực trị?

Hướng dẫn. Điều kiện xác định x 6= 1.Ta có y0 =

x22x−2m−1 (x−1)2 nên y0= 0 x22x −2m −1

(x −1)

2 = 0

(x 6= 1

x22x −2m −1 = 0 ()

Đặtg(x) =x22x −2m −1. Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình () có hai nghiệm phân biệt khác 1

0 >0 g(1)6= 0

2m+ 2>0

2m −26= 0

m > −1 m 6=1

⇔ m > −1

Vậy vớim > −1 thì hàm số có cực đại và cực tiểu.

Ví dụ 1.27

Tìm điều kiện để hàm số y=x33x2+mx+m −1 có cực trị?

Hướng dẫn. Ta có y0 = 3x26x+mnên

y0= 03x26x+m= 0 (1) Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

0

= 93m >0⇔ m <3

Vậy vớim <3 thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

(15)

Ví dụ 1.28

Tìm điều kiện để hàm số y=x42(m+ 1)x2− m có cực đại, cực tiểu?

Hướng dẫn. Ta có y0 = 4x34(m+ 1)x= 4x(x2− m −1) nên y0= 04x(x2− m −1) = 0

x = 0

x2 =m+ 1 ()

Do đó, hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình () có hai nghiệm phân biệt khác 0

⇔ m+ 1>0⇔ m > −1

Vậy vớim < −1 thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

Ví dụ 1.29 ĐH Khối B năm 2002

Tìm mđể hàm số y=mx4+ (m29)x2+ 10 có ba điểm cực trị?

Đáp số. m < −3 hoặc 0< m <3.

Ví dụ 1.30

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàmy0 =x2−√ 12x+

1

4(b+ 3a), ∀x ∈R. Biết rằng hàmf(x) số luôn có hai cực trị vớia, blà các số nguyên không âm thỏa mãn 3b − a66. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP = 2a+b.

A. 1. B. 9. C. 8. D. 6.

Hướng dẫn. Ta có y0 =x2−√ bx − 3

4

a+ 3. Hàm số luôn có hai cực trị khi và chỉ khi

>012− b −3a >0. Như vậy các số nguyênab thỏa mãn các điều kiện sau





a>0 b>0 3b − a66 b+ 3a <12

Biểu diễn các bất phương trình này lên hệ trục tọa độOabta sẽ được miền tứ giác OABC với O(0; 0), A(0; 2), B(3; 3), C(4; 0). Trong số các điểm có tọa độ nguyên thuộc miền tứ giácOABC thì có điểmM(3; 2) làm biểu thức P đạt giá trị lớn nhất,

và giá trị lớn nhất đó làPmax = 2.3 + 2 = 8.

(16)

1.7 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn yêu cầu cho trước

Bài toán 1.7 Tìm điều kiện để hàm số y = f(x)có cực trị thỏa mãn yêu cầu cho trước.

Đối với bài toán này, trước tiên ta tìm điều kiện để hàm số có cực trị đã. Sau đó, nếu phương trìnhy0 = 0 có nghiệm đẹp thì ta tìm cụ thể các nghiệm này, nếu không thì gọi các nghiệm làx

1, x

2 và sử dụng Viète.

Ví dụ 1.31 CĐ năm 2009

Tìm mđể hàm sốy=x3(2m −1)x2+ (2− m)x+ 2 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu có hoành độ dương?

Hướng dẫn. Tập xác định D=R.

y0 = 3x22(2m −1)x+ (2− m) nên phương trình y0= 0 tương đương với 3x22(2m −1)x+ (2− m) (2) Hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu có hoành độ dương

phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt





0 >0 S >0 P >0





(2m −1)

23(2− m)>0 2m −1>0

2− m >0

5 4

< m <2

Vậy đáp số cần tìm là

5 4

< m <2.

Ví dụ 1.32 ĐH Khối D năm 2012

Tìmmđể hàm sốy=

2 3

x3− mx22 3m21 x+

2

3 có hai điểm cực trịx

1, x

2

thỏa mãn x1x2+ 2(x1+x2) = 1

Hướng dẫn.y0= 2x22mx −2(3m21) nên phương trìnhy0= 0 tương đương với

2x22mx −2(3m21) (3)

Hàm số đã cho có hai điểm cực trị phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt

0>0⇔ m ∈(−∞, −√2 13

)(

2 13

,+)

(17)

Khi đó, x

1, x

2 là nghiệm của phương trình (3) và theo Viète ta có x

1 +x

2 = mx1x

2 = 13m2 Do đó, yêu cầu của đề bàix

1x

2+ 2(x

1+x

2) = 1 tương đương với 13m2+ 2m= 1⇔ m=

2 3

hoặcm= 0 Kết hợp điều kiện được đáp sốm=

2 3

.

Ví dụ 1.33

Tìm mđể đồ thị hàm số y=

1 3

x3(m −2)x2+ (m −2)x+

1 3

m2 có hai điểm cực trị nằm về phía bên phải trục tung?

1. m >2

2. m >3∨ m <2

3. m >3 4. m <2

Hướng dẫn. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, những điểm nằm về bên phải trục tung nghĩa là những điểm này có đặc điểm gì? Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về bên phải trục tung nghĩa là hoành độ của chúng dương? Hoành độ tìm được từ đâu?

Mở rộng bài toán, hai điểm cực trị nằm về bên trái trục tung, nằm về hai phía đối

với trục tung.

Ví dụ 1.34

Chứng minh rằng với mọim 6= 0 thì đồ thị hàm sốy=mx33mx2+ 3 (m −1) luôn có hai điểm cực trị. Giả sử hai điểm cực trị này là A, B. Tìm m để 2AB2(OA2+OB2) = 20 với O là gốc tọa độ.

Hướng dẫn. Chỉ ra A(0,3m −3) và B(2, −m −3) và tìm đượcm= 1, m=17

11

.

Ví dụ 1.35

Cho hàm sốy=x42m2x2+ 1. Xác địnhmđể hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân.

Hướng dẫn. Ta có y0 = 4x34m2x= 4x(x2− m2) nên y0= 0

x= 0

x2− m2 = 0 ()

(18)

Hàm số có ba điểm cực trị Phương trình () có hai nghiệm phân biệt khác 0

⇔ m 6= 0

Khi đó, ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

A(0; 1), B(m;−m4+ 1), C(−m;−m4+ 1) Ta có

−→AB= (m;−m4)⇒ AB =

pm2+m8

−→AC = (−m;−m4)⇒ AC =

pm2+m8

Vì ∆ABC cân tạiAnên 3 điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác vuông cân khi và chỉ khi

−→AB ⊥−→

AC ⇔−→

AB.−→

AC = 0⇔ −m2+m8 = 0⇔ m2(m61) = 0

m= 0 m=±1

Đối chiếu với điều kiện, được đáp sốm=±1.

Ví dụ 1.36

Tìm các giá trị củamđể hàm sốy=

1 3

x31

2

mx2+ m23

x có cực đạix

1, cực tiểux2x1, x2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng

q

5 2. Hướng dẫn. Tập xác định D=R.

y0 =x2− mx+m23 nên y0 = 0⇔ x2− mx+m23 = 0

y0 là một tam thức bậc hai nên hàm số có cực đại x1, cực tiểu x2 thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi phương trình y0= 0 có 2 nghiệm dương phân biệt





>0 S >0 P >0





4− m2 >0 m >0 m23>0

⇔√

3< m <2

Khi đó, áp dụng Viète ta được x2

1 +x2

2 = 5 2

2(x1+x2)

24x1x2 = 52m24(m23) = 5⇔ m=±

14 2 Đối chiếu điều kiện ở trên ta có giá trị m=

14

2 thỏa yêu cầu bài toán

(19)

Ví dụ 1.37

Tìm mđể đồ thị hàm sốy=−x3+ 3mx23m −1 có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳngd:x+ 8y −74 = 0.

Hướng dẫn.y0 = 3x2+ 6mx = 0 nên đồ thị hàm số có cực trị khi và chỉ khi m 6= 0. Suy ra, một điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0;3m −1). Yêu cầu bài toán tương đương với trung điểmIcủa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số phải nằm trên đường thẳngdIA ⊥ d. MàIcũng chính là điểm uốn của đồ thị hàm số, nên cóI(m; 2m33m −1). Do đó, điều kiện cần và đủ là

(−→

AI · ~ud= 0

m+ 8(2m33m −1)74 = 0

Từ đó tìm đượcm= 2.

Lưu ý 1.8

Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương luôn tạo thành một tam giác cân.

Ví dụ 1.38 ĐH Khối A năm 2012

Tìm mđể ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y =x42(m+ 1)x2+m2 tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.

Hướng dẫn. Ta có y0 = 4x34(m+ 1)x= 4x(x2− m −1). Do đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị⇔ m > −1.Khi đó, ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

A(0, m2), B(

m+ 1, −2m −1) vàC(−√

m+ 1, −2m −1) Suy ra

−→AB= (−√

m+ 1, −(m+ 1)

2

),−→

AC = (

√m+ 1, −(m+ 1)

2

). Nhận thấy tam giác ABC cân tạiAnên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi

−→AB.−→

AC =~

0(m+ 1)

4(m+ 1) = 0⇔ m= 0 hoặc m=1

Kết hợp điều kiện được đáp sốm= 0.

(20)

Ví dụ 1.39

Tìm mđể đồ thị hàm số y =x42(m −2)x2+m2 5m+ 5 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm này tạo thành một tam giác đều.

Hướng dẫn.y0= 4x34(m −2)x= 0⇔ x= 0∨ x2 =m −2. Suy ra, đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu

⇔ m −2>0⇔ m >2. Khi đó, ba điểm cực trị làA(0, m25m+ 5), B(

√m −2,1− m) vàC(−√

m −2,1− m) tạo thành một tam giác cân tại A. Do đó, yêu cầu bài toán tương đương với

bA= 60

cosA= 1 2

−→AB ·−→

AC

−→AB ·

−→AC

= 1 2 Từ đó tìm được đáp số m= 2 +

3

3.

Ví dụ 1.40

Cho hàm sốy=x42mx2+ 2m24, mlà tham số thực. Xác địnhmđể đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

Hướng dẫn. TXĐ: D=R.

Ta có y0= 4x34mx, nên y0 = 04x34mx = 0

x = 0 x2 =m Suy ra, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khim >0.

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0; 2m24);B(

√m;m24);C(−√

m;m24).

Ta thấy B, C đối xứng qua OyA thuộc Oy nên ∆ABC cân tại A. Do đó, gọi H là trung điểm BC thì AH ⊥ BC và có

SABC = 1 2

AH.BC ⇔2 =|yB− yA| . |2xB| ⇔2 = 2m2

m ⇔ m= 1.

Đối chiếu với điều kiện đượcm= 1 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 1.41

Tìmmđể ba điểm cực trị của đồ thị hàm sốy=x4+ 2mx2− m −1 tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

2.

(21)

Hướng dẫn. Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khim <0.Khi đó, ba điểm cực trị là

A(0;−m −1), B(

√−m;−m2− m −1), C(−√

−m;−m2− m −1). GọiI là trung điểmBC thì

SABC = 4

2 1

2

IA.BC = 4

2⇔ m=2.

So sánh điều kiện được đáp sốm=2.

Ví dụ 1.42

Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốmđể đồ thị hàm sốy=x4+ 2mx2+ 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

A. m=

1

3

9

. B. m=1. C. m=

1

3

9

. D. m= 1.

Hướng dẫn. Trước tiên ta tìm điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị, tức là phương trìnhy0 = 0 phải có ba nghiệm phân biệt.

y0 = 04x(x2+m) = 0

x = 0 x2 =−m

Do đó, phương trìnhy0= 0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi−m >0⇔ m <0. Lúc này, ta đã loại được hai phương án C và D và đồng thời tính được toạ độ ba điểm cực trị là

A(0; 1), B(−√

−m;−m2+ 1), C(

√−m;−m2+ 1)

Từ đó tìm được

−→AB= (−√

−m;−m2),−→

AC = (

√−m;−m2). Rõ ràng tam giácABC chỉ có thể vuông cân tạiA,tức là

−→AB ·−→

AC = 0.

m+m4= 0⇔ m=1.

So sánh điều kiện được đáp số cuối cùng là m=1. Bài này sau khi loại được hai phương án C và D, ta cũng có thể chọn một phương án (nên chọn phương án m=1) để thay vào và tìm cụ thể toạ độ các điểm cực trị, rồi kiểm tra xem có tạo thành một tam giác vuông hay không. Cách này có vẻ sẽ nhanh hơn.

Ví dụ 1.43

Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốmđể hàm sốy=

1 3

x3− mx2+ (m2+ m −1)x đạt cực trị tại hai điểmx1, x2 thỏa mãn |x1+x2|= 4.

(22)

A. m= 2. B. m ∈. C. m=2. D. m=±2. Bài này có thể làm xuôi, tức là tìm ra giá trị củamrồi so sánh với các phương án.

Hoặc, chủ động thay các giá trị củamtrong các phương án vào và kiểm tra. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cả hai cách.

Cách 1. Ta có y0 =x22mx+m2+m −1. Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trìnhy0 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Điều kiện cần và đủ là

0

=m2(m2+m −1)>0⇔ m <1. Khi đó, phương trìnhy0 = 0 có hai nghiệm phân biệtx

1, x

2. Theo Viète cóx

1+x

2=

−b/a=m, nên yêu cầu bài toán trở thành |2m|= 4⇔ m=±2. So sánh với điều

kiện được đáp sốm=2.

Cách 2. Ta sẽ lần lượt thử với m= 2 và m=2.Với m= 2 hàm số trở thành y=

1 3

x32x2+ 5x

y0=x24x+ 5. Phương trìnhy0 = 0 vô nghiệm nên loạim= 2. Vớim=2 thì làm tương tự ta thấy thỏa mãn yêu cầu. Tóm lại, chúng ta chọn đáp ánm=2.

Ví dụ 1.44

Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số y = x42mx2+ 2m+m4 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.

A. m= 0. B. m=

3

3. C. m=−√3

3. D. m=

3. Ví dụ 1.45

Cho hàm số y=x4− mx2+ 2m −1 có đồ thị là (Cm). Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốmđể (Cm) có 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một hình thoi.

A. m√ = ±1 + 2.

B. m= 2±√

2 C. m= 4±√

2. D. m ∈∅.

Hướng dẫn. Đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m >0. Khi đó, ta có ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

A(0; 2m −1), B

rm

;−m2

+ 2m −1

, C

rm

;−m2

+ 2m −1

.

(23)

Yêu cầu bài toán tương đương với OB = AB ⇔ m4

16 =

m2

4 + 2m −1 2

⇔ m = 2±√

2.

Ví dụ 1.46

Tìm các giá trị của tham số m để hàm sốy=

1 3

x3+(m+3)x2+4(m+3)x+m2−m có các điểm cực trị x

1, x

2 thỏa mãn điều kiện 1< x

1 < x

2

A. (−∞;2) B. 7

2;2

C. (−∞;3)(1; +) D. 7

2;3

Hướng dẫn. Ta có y0 =x2+ 2(m+ 3)x+ 4(m+ 3).Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Điều kiện cần và đủ là

>0⇔ m ∈(−∞;3)(1; +). Khi đó, giả sử hai điểm cực trị làx

1, x

2 thì theo Viète ta có x

1+x

2=2(m+ 3) x1· x2 = 4(m+ 3) Mặt khác, điều kiện1< x

1< x

2 có thể viết lại thành

(x

1+ 1)(x

2+ 1)>0 x1+x

2> −2 Giải hệ phương trình này được m ∈ −7

2;2

. Kết hợp điều kiện ta được đáp số m ∈ −7

2;3

.

Nhận xét. Thực ra, bài này có thể sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai.

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình y0= 0 có hai nghiệm phân biệt và số1 nằm bên trái khoảng hai nghiệm. Điều kiện cần và đủ là





>0 a · f(1)>0

1< S

2

Giải hệ này cũng tìm được đáp số như trên.

Lưu ý 1.9 Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai

Xét tam thứcf(x) =ax2+bx+c vớia 6= 0 và một số thực ε. Khif(x) có hai nghiệm phân biệt x

1, x

2, giả sử thêm rằngx

1 < x

2, thì

• x1< ε < x

2⇔ a · f(ε)<0,tức là sốε nằm trong khoảng hai nghiệm.

(24)

• ε < x

1 < x

2





>0 a · f(ε)>0, ε < S

2

tức là số ε nằm ngoài, ở bên trái khoảng hai nghiệm.

• x1 < x

2 < ε ⇔





>0 a · f(ε)>0, ε < S

2

tức là số ε nằm ngoài, ở bên phải khoảng hai nghiệm.

Tương tự, ta cũng có

x1 6ε6x2 ⇔ a · f(ε)60

1.8 Tiệm cận của đồ thị hàm số Bài toán 1.8 Tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường thẳngx =x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu

x→xlim

0

y= Đường thẳngy=y

0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu

x→∞lim y=y

0 6=

Chú ý rằng, trong các công thức trên không cần phân biệt + hay−∞. Lưu ý 1.10

Để tính được các giới hạn trong bài toán tiệm cận, chủ yếu dùng hai công thức sau.

lim

1

= 0 và lim

1 0 =∞.

Quy tắc L’Hospital để khử các dạng vô định lim

f(x) g(x)

= lim f0(x) g0(x)

(25)

Lưu ý 1.11

Chú ý rằng một đường tiệm cận vẫn có thể cắt đồ thị hàm số, ví dụ hàm số y =

x+3

x2+1

có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1,nhưng vẫn cắt đường tiệm cận ngang này tại x=4

3

.

Ví dụ 1.47 Đề thử nghiệm 2017

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm sốy=

2x+1 x+1

. A. x = 1. B. y=1. C. y= 2. D. x=1. Ví dụ 1.48 ĐH năm 2017 Mã đề 101

Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=

x23x−4 x216

.

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.

Hướng dẫn. Trước hết ta cần phải xác định rõ yêu cầu, ở đây là tìm số tiệm cận đứng, do đó ta sẽ đi tính các giới hạn dạng x→xlim

0

f(x) trong đó x

0 là nghiệm của

mẫu.

Ví dụ 1.49 ĐH năm 2017 Mã đề 104

Đồ thị hàm sốy=

x−2

x24 có bao nhiêu tiệm cận?

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.

Hướng dẫn. Rõ ràng, ở câu này, chúng ta phải tìm cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Tức là phải đi tính cả các giới hạn dạngx→∞lim f(x) và x→xlim

0

f(x).

Ví dụ 1.50 ĐH năm 2017 Mã đề 102

Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=

x25x+4 x2−1 .

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

A.. Cách giải trắc nghiệm. Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực m để hàm số đã cho đồng biến trên ℝ. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để hàm số đồng biến

*Tất cả các dấu hiệu trên đều đổi biến thành hàm lượng giác, do vậy để làm được dạng này tất yếu các bạn phải học tính nguyên hàm lượng giác đã được

A. Tập nghiệm của bất phương trình là một khoảng. Tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn. Tập nghiệm của bất phương trình là nửa khoảng. Tập nghiệm của

Sau 4 năm học tập, bạn ra trường và thỏa thuận với ngân hàng sẽ bắt đầu trả nợ theo hình thức trả góp (mỗi tháng phải trả một số tiền như nhau) với lãi

Đồ thị hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu... Lập

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?. Khẳng định nào sau đây là khẳng

Đồng biến trên khoảng nào dưới

2 Từ đồ thị hoặc bảng biến thiên, xác định hàm số và tính chất của các hệ số3. 3 Từ đồ thị hoặc bảng biến thiên, xác định các thông