Tổ toán Khối 11
TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH
DÃY SỐ
HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM
Cho hàm số u(n) = 2n +1 xác địnhn N*
Hãy tính u(1); u(2); u(3); u(4); u(5),………
Thay lần lượt thứ tự n = 1, 2, 3, 4, 5,…k….
vào u(n) = 2n +1 ta được:
n = 1: u(1) = 3 n = 2: u(2) = 5 n = 3: u(3) = 7 n = 4: u(4) = 9 n = 5: u(5) = 11
……….
n = k: u(k)= 2k + 1 Nhận xét:
Khi thay n theo thứ tự 1,2,3,4,5,…k,… thì ta được các giá trị tương ứng của u(n) lập thành một dãy số:
3, 5, 7, 9,11,…, 2k+1,…..
I/ DÃY SỐ
1/ Định nghĩa:
* Hàm số u(n) xác định n N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).
* Kí hiệu dãy số là (u
n).
Thay thứ tự n = 1, 2, 3,…….ta được các số
hạng tương ứng cuả dãy số là u
1, u
2,u
3,……
Dạng khai triển của dãy số (un) là:
u1, u2, ...,un,...
Trong đó:
u1 : số hạng thứ nhất u2 : số hạng thứ hai
...
un : số hạng thứ n hay được gọi là số hạng tổng quát của dãy số (un)
* Nếu dãy số xác định trên tập M = {1,2,3,...m} thì ta gọi dãy số là dãy số hữu hạn.
2/ VÍ DỤ:
a) Cho dãy số u(n) = n2 . Hãy viết dạng khai triển của nó:
1, 4, 9, 16, 25...
b) Dãy số 1, 3, 5, 7,...Hãy viết công thức cho số hạng tổng quát un :
u
n=2n – 1
II/ CÁCH CHO DÃY SỐ:
1/ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát:
Cho dãy số (un) với un = 3n +1 Dạng khai triển là:
4, 7, 10, 13,...
2/ Dãy số cho bằng công thức truy hồi:
Cho dãy số (n 2)
Dạng khai triển là:
2, 5, 8, 11, 14……
1
1
2
n n
3 u
u u
− =
= +
III/ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ
Biểu diễn hình học của dãy số như sau:
u
5u
4u
3u
2u
1u
n0 1/5 ¼ 1/3 ½ 1 1
n
IV/ DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1/ Dãy số tăng- dãy số giảm:
* Dãy số (un) gọi là tăng nếu nN* : un < un+1 ( u1 < u2 < ... < un < un+1<...)
Ví dụ: Dãy (un) với un = n+ 1 là dãy tăng 2, 3, 4, 5...
* Dãy số (un) gọi là giảm nếu nN* : un > un+1 (u1 > u2 > ... > un > un+1>...)
Ví dụ: Dãy (un) với un = 2n- n2 là dãy giảm 1, 0, -3, -8,...
* Phương pháp xét tính tăng - giảm của một dãy số:
a) Dãy số (un) tăng nN* , un+1 – un > 0 b) Nếu các số hạng của dãy số (un) đều dương
thì :
Dãy số (un) tăng n N* , Ta có điều ngược lại cho dãy số giảm.
1
1
n n
u u
+
VÍ DỤ
Xét tính đơn điệu của các dãy số sau :
a) Dãy số (un) với un = n – 2n Ta có un+1= n+1 – 2n+1
Xét: un+1 – un = (n+1 – 2n+1) – (n – 2n)
= 1 – 2n+1 + 2n
= 1- 2.2n + 2n
= 1 – 2n.(2-1)
= 1 – 2n < 0 Vậy (un) là dãy số giảm
b) Dãy số (u
n) với u
n= n.a
n(a 1)
Ta thấy un > 0 N* nên ta xét tỉ số
( Vì và a 1) Vậy dãy (un) tăng
1 n
n
u u
+
1
1
( 1) ( 1) . ( 1)
. . 1
n n
n
n n
n
u n a n a a n a
u n a n a n
+
+
++ +
= = =
1 1 n
n
+
* Chú ý : Không phải mọi dãy số đều tăng hay giảm
Ví dụ: Dãy số (un) với un = (-3)n là dãy số không tăng không giảm:
-3, 9, - 27, 81....
2/ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1/ Định nghĩa :
- Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho: n N* , un M
Ví dụ: Dãy số (un) với un
Bị chặn trên bởi chặn trên bởi số 2 vì
1 1
= + n
1
*1 n N
n
- Dãy số (un) gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại m sao cho:
n N* , un m
Ví dụ:
Dãy số (un) với un=1 + n2 bị chặn dưới bởi số 1
- Dãy số (un) gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại m, M sao cho:
n N* , m un M
Ví dụ: Dãy số (un) với un
bị chặn dưới bởi 1 và chặn trên bởi 2
1 1
= + n
Ví dụ : Hãy chứng minh dãy số (u
n) với u
n= bị chặn.
Giải:
* Ta có > 0 n N*
- Mặt khác: 2n -1 < 2n
Suy ra 0 < tức 0 < < 2 Vậy dãy số (un) bị chặn
2n 1 n
−
2 n 1 n
−
2 1 2 n n 2
n n
− = 2 n 1
n
−
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Cho dãy số (u
n) với u
n= , nN
*a) Viết 5 số hạng đầu.
b) Số là số hạng thứ mấy?
c) Chứng minh dãy số giảm và bị chặn.
2
2
1 n n +
9 41