Phương pháp giải các dạng Tích phân thường gặp - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

TÍCH PHÂN I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản 2.Phương pháp tích phân từng phần.

Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên

  a b ;

^thì:

( ) ( )

^'

 ( ) ( )  ( ) ( )

^'

b b

a a

u x v x dx u x v x b v x u x dx

 a 

 

hay

b b

a a

udv uv b vdu

 a 

 

^.

Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:

 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng

udv  uv dx

^' bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại

dv  v x dx

^'

( ) .

 Bước 2: Tính

du  u dx

^' và

v    dv  v x dx

^'

( )

^.

 Bước 3: Tính ^'

b b

a a

vdu  vu dx

 

^và

uv b a

^.

 Bước 5: Áp dụng công thức trên.

Ví dụ 5: a)Tính tích phân

3

2 1

3 ln x

I dx

(x 1)

 



 (ĐH-KB-2009)

3 3 3

2 2 2

1 1 1

3 3

1 2

1 1

3

2 2

1

3 ln x dx ln x

I dx 3 dx

(x 1) (x 1) (x 1)

dx 3 3

I 3

(x 1) (x 1) 4

I ln x dx

(x 1)

   

  

   

 

 

  





Đặt u = lnx du ^dx

  x

2

dv dx .

(x 1)

  Chọn v ¹

x 1

 



3 3 3 3

2

1 1 1 1

ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3

I ln

x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2

         







 



Vậy : I ³(1 ln 3) ln 2

4  

b) Tính

1

ln

e

x xdx



Giải: Đặt

u ln x dv xdx

 

  

²

2 du dx

x v x

 

  

  

2 2 2 2

1 1

1 1

ln ln

1 1

2 2 2 4 4

e e

e e

x e x e

x xdx  x  xdx    

 

^.

Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:

a)

2

5 1

ln x x dx



b)

2

0

cos x xdx





^{c) 1}

0

xe dx

x



^{d) 2}

0

x

cos

e xdx





Giải: a) Đặt

5

4

ln

1 1

4

u x du dx

x

dv dx

x v

x

  

 

  

  

   

 

. Do đó:

2 2

2 2

5 4 5 4

1 1 1 1

ln ln 1 ln 2 1 1 15 4 ln 2

4 4 64 4 4 256

x x dx

x dx x x x

  

        

 

^.

b) Đặt

cos sin

u x du dx

dv xdx v x

 

 

    

 

^{. Do đó:}

 

2 2

0 0

cos sin 2 sin cos 2 1

2 2

0 0

x xdx x x xdx x

 

 

 

     

 

^.

c)Đặt

x x

u x du dx

dv e dx v e

 

 

    

 

^{. Do đó:}

 

1 1

0 0

1 1

1 1

0 0

x x x x

xe dx  xe  e dx   e e     e e

 

^.

d) Đặt

cos sin

x x

u e du e dx

dv xdx v x

   

  

 

 

2 2

0 0

cos sin 2 sin

0

x x x

e xdx e x e xdx

 



     .

Đặt ^{1 1}

1

sin

1

cos

x x

u e du e dx

dv xdx v x

   

  

  

 

2 2

2

0 0

cos cos 2 cos

0

x x x

e xdx e e x e xdx

 





      .

2 2

2 2

0 0

2 cos 1 cos 1 .

2

x x

e

e xdx e e xdx

  





      

*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.

( )

b

x

a

P x e dx



^b

( ) ln

a

P x xdx



^b

( ) cos

a

P x xdx



^{b x}

cos

a

e xdx



u P(x) lnx P(x)

e

^x

dv

e dx

^{x P(x)dx cosxdx cosxdx}

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và

dv  v dx

^' thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn

dv  v dx

^' là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:

 Nếu tính tích phân

P x Q x dx ( ) ( )





 mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số:

e

^ax

, cos ax , sin ax

thì ta thường đặt

'

( ) ( )

( ) ( )

du P x dx u P x

dv Q x dx v Q x dx

 

   

   

  

 Nếu tính tích phân

P x Q x dx ( ) ( )





 mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì ta đặt

 

'

( )

( ) ( )

du Q x dx u Q x

dv P x dx v P x dx

 

   

   

  

 Nếu tính tích phân

I e

^ax

cos bxdx





  hoặc J   eaxsin bxdx thì

ta đặt

1

cos sin

ax

ax

du ae dx

u e

dv bxdx v bx

b

 

   

   

 

hoặc đặt

1

sin cos

ax

ax

du ae dx

u e

dv bxdx v bx

b

 

   

    

 

Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.

3. Phương pháp đổi biến số

Bài toán: Tính

( )

b

a

I   f x dx

^,

*Phương pháp đổi biến dạng I

Định lí . Nếu 1) Hàm

x  u t ( )

có đạo hàm liên tục trên đoạn

   ; 

^,

2) Hàm hợp

f u t ( ( ))

được xác định trên

   ; 

^,

3)

u ( )   a u , ( )   b

,

thì

( ) ( ( )) ( )

^'

b

a

I f x dx f u t u t dt





    .

Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau:

a ) Tính tích phân ²



³



²

0

I cos x 1 cos x.dx







 (ĐH-KA-2009)

b)

1

2 3

0

5

I   x x  dx

c) ²



⁴



0

sin 1 cos

J x xdx



  

Giải: a) I =

2 2

5 2

0 0

cos x.dx cos x.dx

 







Ta có: I2 =

2 2

2

0 0

cos x.dx 1 (1 cos2x).dx 2

 

 

 

^{= 1}₂ ^{x 1}₂^{sin 2x 2} ₄

0

 

   

 

 

Mặt khác xét I1 =

2 2

5 4

0 0

cos x.dx cos x.cosx.dx

 







=

3 2

2 2 5

0

1 2sin x 8

(1 sin x) d(sin x) sin x sin x 2

5 3 15

0

 

 

     

 



Vậy I = I₁ – I₂ = ⁸

15 4



b) Ta có



3



2



³

5 

2

5 3

3

d x x dx d x  x dx

   

¹ 3



³



0

5 5

3

I x d x 

   

 

1 1 3 12 1

3 2 3 3 3

0

1 1

1 1 ( 5) 2

5 ( 5) ( 5) 5

1 0 0

3 3 1 9

2

x d x x x x





      

 

4 10

6 5

3 9

 

.

c) Ta có

2 4

0

(sin 1) (sin )

J x d x



  

1 5 sin

⁵

sin 2 6 5 0

x x

  

      

Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau:

a)

4

2

0

4  x dx



b)

1

2 0

1

dx

 x



Giải: a) Đặt

2sin , ;

x  t t        2 2   

. Khi x = 0 thì t = 0. Khi

x  2

thì

t   2

. Từ

x  2sin t  dx  2cos tdt

4 2 2

2 2 2

0 0 0

4   4 4sin .2cos   4 cos 

 x dx  t tdt  tdt

 



.

b) Đặt

tan , ;

x  t t      2 2 

 

 

^{. Khi}

x  0

^thì

t  0

^{, khi}

x  1

^thì

t 4

 

.

Ta có:

tan

₂

cos x t dx dt

   t

.

1 4 4

2 2 2

0 0 0

1 . 4 .

1 1 tan cos 4

0

dx dt

dt t

x t t

 

 

    

 

  

Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như:

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng

a

²

 x

²

, a

²

 x

² và

2 2

x  a

(trong trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:

 Với

a

²

 x

² , đặt

sin , ;

x  a t t        2 2   

hoặc

x  a cos , t t   0;  

^.

 Với

a

²

 x

² , đặt

tan , ;

x  a t t        2 2   

hoặc

x  acott t ,   0;  

^.

 Với

x

²

 a

² , đặt

, ; \ 0  

sin 2 2

x a t

t

   

      

hoặc

; cos x a

 t   0; \

t        2

 

^.

*Phương pháp đổi biến dạng II

Định lí : Nếu hàm số

u  u x ( )

đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn

  a b ;

^{sao cho}

( ) ( ( )) ( )

'

( )

f x dx  g u x u x dx  g u du

thì

( )

( )

( ) ( )

b u b

a u a

I   f x dx   g u du

^. Ví dụ 3: Tính

1

2 3

0

5 I   x x  dx

Giải: Đặt

u x ( )  x

³

 5

.Tacó

u (0)  5, (1) u  6

.

Từ đó được: ⁶

 

5

1 2 6 2 4 10

6 6 5 5 6 5

5

3 9 9 9 9

I   udu  u u    

Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến dạng II:

a)

 

1

5

0

2 x  1 dx



b)

2

ln

e

e

dx x x



^{c) 1 2}

0

4 2

1

x dx

x x



   d)

2

2

1

(2 1)

dx x 



e)

2 3

3

cos(3 2 ) x 3 dx





 



Giải: a) Đặt

u  2 x  1

khi

x  0

thì

u  1

. Khi

x  1

thì

u  3

Ta có

2

2

du  dx  dx  du

. Do đó:

 

1 3

6

5 5 6

0 1

1 3 1

2 1 (3 1)

1

2 12 12

x  dx  u du  u  

 

^{= 6023.}

b)Đặt

u  ln x

. Khi

x  e

thì

u  1

. Khi

x  e

² thì

u  2

.

Ta có

dx du  x 

2 2

1

ln 2 ln 2 ln1 ln 2 1

ln

e

e

dx du

x x  u  u   

 

^.

c)Đặt

u  x

²

  x 1

. Khi

x  0

thì

u  1

. Khi

x  1

thì

u  3

. Ta có

du  (2 x  1) dx

. Do đó:

1 3

2

0 1

4 2 2 3

2ln 2(ln 3 ln1) 2ln 3 1

1

x du

dx u

x x u

     

   

^.

d)Đặt

u  2 x  1

. Khi

x  1

thì

u  1

. Khi

x  2

thì

u  3

.

Ta có

2

2

du  dx  dx  du

. Do đó:

2 3

2 2

1 1

1 1 3 1 1 1

( 1) 1

(2 1) 2 2 2 3 3

dx du

x  u   u    

  

^.

e)Đặt

2

3 3

u  x  

. Khi

x   3

thì

u   3

, khi

2 x  3 

thì

4

u  3 

.

Ta có

3

3

du  dx  dx  du

. Do đó:

2 4

3 3

3 3

4

2 1 1 3 1 4

cos(3 ) cos sin sin sin

3 3 3 3 3 3

3

x dx udu u

 

 



  

  

        

 

1 3 3 3

3 2 2 3

 

      

 

^.

3.Phương pháp tích phân từng phần.

Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên

  a b ;

^thì:

( ) ( )

^'

 ( ) ( )  ( ) ( )

^'

b b

a a

u x v x dx u x v x b v x u x dx

 a 

 

hay

b b

a a

udv uv b vdu

 a 

 

^.

Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:

 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng

udv  uv dx

^' bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại

dv  v x dx

^'

( ) .

 Bước 2: Tính

du  u dx

^' và

v    dv  v x dx

^'

( )

^.

 Bước 3: Tính ^'

b b

a a

vdu  vu dx

 

^và

uv b a

^.

 Bước 5: Áp dụng công thức trên.

Ví dụ 5: a)Tính tích phân

3

2 1

3 ln x

I dx

(x 1)

 



 (ĐH-KB-2009)

3 3 3

2 2 2

1 1 1

3 3

1 2

1 1

3

2 2

1

3 ln x dx ln x

I dx 3 dx

(x 1) (x 1) (x 1)

dx 3 3

I 3

(x 1) (x 1) 4

I ln x dx

(x 1)

   

  

   

 

 

  





Đặt u = lnx du ^dx

  x

2

dv dx .

(x 1)

  Chọn v ¹

x 1

 



3 3 3 3

2

1 1 1 1

ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3

I ln

x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2

         







 



Vậy : I ³(1 ln 3) ln 2

4  

b) Tính

1

ln

e

x xdx



Giải: Đặt

u ln x dv xdx

 

  

²

2 du dx

x v x

 

  

  

2 2 2 2

1 1

1 1

ln ln

1 1

2 2 2 4 4

e e

e e

x e x e

x xdx  x  xdx    

 

^.

Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:

a)

2

5 1

ln x x dx



b)

2

0

cos x xdx





^{c) 1}

0

xe dx

x



^{d) 2}

0

x

cos

e xdx





Giải: a) Đặt

5

4

ln

1 1

4

u x du dx

x

dv dx

x v

x

  

 

  

  

   

 

. Do đó:

2 2

2 2

5 4 5 4

1 1 1 1

ln ln 1 ln 2 1 1 15 4 ln 2

4 4 64 4 4 256

x x dx

x dx x x x

  

        

 

^.

b) Đặt

cos sin

u x du dx

dv xdx v x

 

  

   

 

^{. Do đó:}

 

2 2

0 0

cos sin 2 sin cos 2 1

2 2

0 0

x xdx x x xdx x

 

 

 

     

 

^.

c)Đặt

x x

u x du dx

dv e dx v e

 

 

    

 

^{. Do đó:}

 

1 1

0 0

1 1

1 1

0 0

x x x x

xe dx  xe  e dx   e e     e e

 

^.

d) Đặt

cos sin

x x

u e du e dx

dv xdx v x

   

  

 

 

2 2

0 0

cos sin 2 sin

0

x x x

e xdx e x e xdx

 



     .

Đặt ^{1 1}

1

sin

1

cos

x x

u e du e dx

dv xdx v x

   

  

  

 

2 2

2

0 0

cos cos 2 cos

0

x x x

e xdx e e x e xdx

 





      .

2 2

2 2

0 0

2 cos 1 cos 1 .

2

x x

e

e xdx e e xdx

  





      

*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.

( )

b

x

a

P x e dx



^b

( ) ln

a

P x xdx



^b

( ) cos

a

P x xdx



^{b x}

cos

a

e xdx



u P(x) lnx P(x)

e

^x

dv

e dx

^{x P(x)dx cosxdx cosxdx}

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và

dv  v dx

^' thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn

dv  v dx

^' là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:

 Nếu tính tích phân

P x Q x dx ( ) ( )





 mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số:

e

^ax

, cos ax , sin ax

thì ta thường đặt

'

( ) ( )

( ) ( )

du P x dx u P x

dv Q x dx v Q x dx

 

   

   

  

 Nếu tính tích phân

P x Q x dx ( ) ( )





 mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì ta đặt

 

'

( )

( ) ( )

du Q x dx u Q x

dv P x dx v P x dx

 

   

   

  

 Nếu tính tích phân

I e

^ax

cos bxdx





  hoặc J   eaxsin bxdx thì

ta đặt

1

cos sin

ax

ax

du ae dx

u e

dv bxdx v bx

b



 

  

   

 

hoặc đặt

1

sin cos

ax

ax

du ae dx

u e

dv bxdx v bx

b



 

  

    

 

hoctoan capba.com Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.

II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 1. Tích phân hàm số phân thức

a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:

I

₂

dx  a 0 

ax bx c





 

 



^.

(trong đó

ax

²

 bx   c 0

với mọi

x     ; 

⁾

Xét

  b

²

 4 ac

.

+)Nếu

  0

thì ₂

2 I dx

a x b a





       



tính được.

+)Nếu

  0

thì



1



2



1 dx

I a x x x x





   

^,

(trong đó ₁

;

₂

2 2

b b

x x

a a

     

 

)



₁

1

₂

 ln x x

¹₂

I a x x x x





  

 

^.

+) Nếu

  0

thì _{2 2}

2

2 4

2

 

                        

 dx  dx

I ax bx c b

a x

a a

 

 

Đặt 2 2



²



1 1

2 4 2

 

 b    

x tgt dx tg t dt

a a a

, ta tính được I.

b) Tính tích phân:

I

₂

mx n dx ,  a 0 

ax bx c





  

 



^.

(trong đó

( )

2

mx n f x ax bx c

 

 

liên tục trên đoạn

   ; 

⁾

+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:

c bx ax

B c

bx ax

b ax A c bx ax

n mx



 





 







2 2

2

) 2 (

+)Ta có I=



^



c dx bx ax dx B

c bx ax

b ax dx A

c bx ax

n mx



 





 





 

²



²

2

) 2

(

^







. Tích phân

dx c bx ax

b ax A





 (

²

2  )





=



c



bx ax

A ln

²

 

Tích phân ₂

dx ax bx c





 



tính được.

c) Tính tích phân

( ) ( )

b

a

I P x dx

  Q x

với P(x) và Q(x) là đa thức của x.

 Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.

 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:

+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn

 

₁

,

₂

,..., 

_nthì đặt

^{1 2}

1 2

( ) ...

( )

n n

A

A A

P x

Q x  x    x     x  

^.

+ Khi

Q x ( )   x     x

²

 px  q  ,   p

²

 4 q  0

^{thì đặt}

2

( ) .

( )

P x A Bx C

Q x x  x px q

  

  

+ Khi

Q x ( )   x    x   

² với    thì đặt

 

²

( ) ( )

A

P x B C

Q x  x    x    x  

^.

Ví dụ 7. Tính tích phân:

1

2 0

4 11

5 6

x dx

x x



 



^.

Giải:

Cách 1.Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho:

₂

4 11

₂

 2 5 

₂

, \  3; 2 

5 6 5 6 5 6

A x

x B

x x x x x x x

       

     



₂

4 11 2

₂

 5  , \  3; 2 

5 6 5 6

Ax A B

x x

x x x x

 

     

   

2 4 2

5 11 1

A A

A B B

 

 

        

Vậy ₂

4 11 2 2

₂

 5 

₂

1 , \  3; 2 

5 6 5 6 5 6

x x

x x x x x x x

       

     

^.

Do đó

1 1 1

2 2 2

0 0 0

4 11 2 5

5 6 2 5 6 5 6

x x dx

dx dx

x x x x x x

   

     

  

²

1 2 1 9

2ln 5 6 ln ln

0 3 0 2

x x x

x

     



^.

Cách 2. Vì

x

²

 5 x   6  x  2  x  3 

nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách:

Tìm A, B sao cho:

₂

4 11 , \  3; 2 

5 6 2 3

x A B

x x x x x

      

   

₂

4 11 

₂

 3 , \  3; 2 

5 6 5 6

A B x A B

x x

x x x x

  

      

   

4 3

3 2 11 1

A B A

A B B

  

 

        

Vậy ₂

4 11 3 1 , \  3; 2 

5 6 2 3

x x

x x x x

      

   

^.

Do đó

1 1 1

2

0 0 0

4 11

5 6 3 2 3

x dx dx

x x dx x x

  

   

  

1 1 9

3ln 2 ln 3 ln

0 0 2

x x

    

.

Ví dụ 8:Tính tích phân:

1

2

0

1

dx x   x



^.

Giải:

Do

1 1

2 2

0

1

0

1 3

2 4

dx dx

x x

x

          

 

Đặt

1 3 tan , ; 3  1 tan

²



2 2 6 3 2

x   t t       dx   t dt

 

 

Vậy



²



1 3 3

2

2 0

6 6

3 1 tan

2 3 2 3 3 3

2

1 3 (1 tan ) 3 3 9

4 6

dx t dt

dt t

x x t

 

 







    

  

  

^.

Ví dụ 9. Tính tích phân:

1

2 3

2

0

1

x dx x 



^.

Giải:

1 1 1 1

2 3 2 2 2

2 2 2

0

1

0

1

1 0

1

x x xdx

dx x dx xdx

x x x

 

     

    

   

2

2

1 1

1 1 1 3

ln 1 ln

2 2

2 2 8 2 4

0 0

x x

    

.

2. Tích phân các hàm lƣợng giác

2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau:

a)

2

2

sin 2 sin 7

J x xdx





  ;

b)

2

4 4

0

cos (sin cos )

K x x x dx



  

^;

c)

2 3

0

4sin 1 cos

M x dx

x



  

^. Giải

a)

2 2

2 2

1 1

cos5 cos9

2 2

J xdx xdx

 

 

 

    10 1 sin 5 2 18 1 sin 9 2 45 4

2 2

x x

 

 

  

 

.

b) Ta có

cos (sin x

⁴

x  cos

⁴

x )  cos x    sin

²

x  cos

²

x 

²

 2sin

²

x cos

²

x  

 

1

2

1 3 1

cos 1 sin 2 cos 1 1 cos 4 cos cos cos 4

2 4 4 4

x  x  x  x  x x x

              

 

3 1

cos cos5 cos3

4 x 8 x x

  

.

2 2 2 2

4 4

0 0 0 0

3 1 1

cos (sin cos ) cos cos5 co3

4 8 8

K x x x dx xdx xdx xdx

   

        

3 1 1 3 1 1 11

sin 2 sin 5 2 sin 3 2

4 40 24 4 40 24 15

0 0 0

x x x

  

      

.

c)

3 2 2

4sin 4sin sin 4(1 cos )sin

4(1 cos )sin

1 cos 1 cos 1 cos

x x x x x

x x

x x x

    

  

 M  2

.

2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác 2.2.1.Tính

cos I dx

asinx b x c

   

Phương pháp:

Đặt

2

₂

tan 2 1

x dt

t dx

   t



Ta có:

2

₂

sin 1 x t

 t



^và

2 2

cos 1 1 x t

t

 



 

²

2

cos 2

dx dt

I  asinx b x c  c b t at b c

     

 

đã biết cách tính.

Ví dụ 11. Tính

4cos 3sin 5 dx

x  x 



Giải: Đặt

1

²

2

₂

1 tan

2 2 2 1

x x dt

t tg dt dx dx

t

 

          

2

2 2

2 2

2 1

1 2

cos 3sin 3 3 2

3 3

1 1

  

      

 

  

dt

dx t dt

t t

x x t t

t t

tan 1

1 2

ln ln

2 tan 2

2 x

t C C

t x

 

   

 

.

2.2.2. Tính _{2 2}

sin sin cos cos I dx

a x b x x c x d

    

Phương pháp:

  sin

²

sin cos dx   cos

²

I  a d x b x x c d x

   



   

2 2

cos

tan tan

dx x

a d x b x c d

     

Đặt 2

cos t tgx dt dx

   x

 

²

dt  

I a d t bt c d

      

đã tính được.

Ví dụ 12. Tính: _{2 2}

sin 2sin cos 3cos I dx

x x x x

   

^.

Giải:Ta có

2

2 2 2

cos

sin 2sin cos 3cos 2 3

dx

dx x

I  x x x x  tg x tgx

   

 

Đặt ₂

cos t tgx dt dx

   x

  

2

1 1 1 1

ln ln

2 3 1 3 4 3 4 3

dt dt t tgx

I C C

t t t t t tgx

 

      

     

 

^2.2.3.

Tính

sin cos

sin cos

m x n x p

I dx

a x b x c

 

   

^.

Phương pháp:

+)Tìm A, B, C sao cho:

   

sin cos sin cos cos sin ,

m x  n x   p A a x b  x   c B a x b  x  C  x

+)

Vậy

sin cos

sin cos

m x n x p

I dx

a x b x c

 

   

⁼

=

A  dx  B  a sin a cos x  x b  cos b sin x  x c dx  C  a sin x  dx b cos x  c

Tích phân

 dx

tính được

Tích phân

dx a x b x c C

c x b

x a

x b x

a    





 sin cos  cos sin ln sin cos

Tích phân

 a sin x  dx b cos x  c

tính được.

Ví dụ 13. Tính:

cos 2sin 4cos 3sin

x x

I dx

x x

 

  .

Giải:

Bằng cách cân bằng hệ số bất định, tìm A và B sao cho:

   

cos x  2sin x  A 4cos x  3sin x  B  4sin x  3cos x ,  x

   

cos x  2sin x  4 A  3 B cos x  3 A  4 B sin , x  x

2

4 3 1 5

3 4 2 1

5 A B A

A B

B

  

 

 

         



2 1 4sin 3cos 2 1

. ln 4cos 3sin

5 5 4cos 3sin 5 5

x x

I dx x x x C

x x

 

 

           

^.

2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa về tích phân hàm lượng giác đơn giản hơn (Xem ví dụ 17, 20, 21)

2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng

 R  sin ,cos x x dx  , với R  sin ,cos x x là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx

Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân.

 Trường hợp chung: Đặt

2

₂

tan 2 1

x dt

t dx

   t



Ta có

2

2 2

2 1

sin ;cos

1 1

t t

x x

t t

  

 

 Những trường hợp đặc biệt:

+) Nếu

R  sin ,cos x x 

là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là

R   sin , cos x  x   R  sin ,cos x x 

^{thì đặt}

t  tgx

^hoặc

t  cot gx

, sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.

+) Nếu

R  sin ,cos x x 

là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:

R   sin ,cos x x    R  sin ,cos x x 

^{thì đặt}

t  cos x

^.

+) Nếu

R  sin ,cos x x 

là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:

R  sin , cos x  x    R  sin ,cos x x 

^{thì đặt}

t  sin x

^.

3.Tích phân hàm vô tỉ

3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản

Ví dụ 14. Tính tích phân:

1

0

1

I dx

x x

   

^. Giải

   

1 1

3 3 2 2

0 0

2 1

1 1

0 1 3

 

    dx           

I x x dx x x

x x  2 3  2 2  2 

Ví dụ 15:Tính tích phân

1 3

2

0

1

x dx x   x



^.

Giải:

1 3 1

3 2 4

2

0 0

2 2 1

( 1 )

1 15

x dx x x x dx

x x

    

 

 

^.

3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác (xem ví dụ 2)

3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn

Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức

Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng

Ví dụ 15:Tính

 

¹



0

2

3

1 x dx

x I

Giải:



   



¹

0

2 2

1

0

2

3

1 x dx x 1 x . xdx

x I

Đặt t= 1x² t² 1x² x² 1t²

Ta có: xdx=-tdt, Khi x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì t =0

Vậy

15

2 5

) 3 1

(

1

0 5 0 3

1

2

2

 



 



 







  t t dt t t

I

4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 16: Tính

2 2

2

1

J x dx



  

Giải: Lập bảng xét dấu của

x

²

 1

trên đoạn

  2;2 

x -2 -1 1 2

2

1

x 

+ 0 - 0 +

Do đó ^{2 2 1}



²



¹



²



²



²



2 2 1 1

1 1 1 1

I x dx x dx x dx x dx



  

           

3

1

3

1

3

2

2 1 1 4

3 3 3

x x x

x  x x

     

                    

^.

III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT

1.Cho hàm số

y  f x ( )

liên tục và lẻ trên đoạn

  a a ; 

^{. Khi đó}

( ) 0

a

a

I f x dx



  

^. Ví dụ 17: Chứng minh

2

2 2

4 sin 0 I xdx

x





 

  .

Giải: Đặt

x    t dx   dt

. Khi x=^₂ thì t = - ^₂ , khi

x    2

thì

t   2

Do đó : I= I

t

tdt 





2

2

sin2

4





Suy ra : 2I = 0. Ta được

2

2 2

4 sin 0 I xdx

x





 

  .

2.Cho hàm số

y  f x ( )

liên tục và chẵn trên đoạn

  a a ; 

. Khi đó

0

( ) 2 ( )

a a

a

I f x dx f x dx



    .

Chứng minh : Ta có

0

0

( ) ( ) ( )

a a

a a

I f x dx f x dx f x dx

 

      (1)

Ta tính

0

( )

a

J f x dx



  bằng cách đặt x   t  0   t a   dx   dt

0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

a a

a a

J f x dx f t dt f t dt f x dx



           (2)

Thay (2) vào (1) ta được

0

( ) 2 ( )

a a

a

I f x dx f x dx



   

Ví dụ 18: Tính tích phân:

2

2 2

cos 4 sin

x x

I dx

x





 

 

Giải: Ta có

2 2 2

2 2 2

2 2 2

cos cos

4 sin 4 sin 4 sin

x x x x

I dx dx dx

x x x

  

  

  

   

  

  

Do ₁

( )

₂

4 sin f x x

 x



là hàm số lẻ trên

;

2 2

    

 

 

^nên

2

2 2

4 sin 0

x dx x





 



và ₂

cos

₂

( ) 4 sin f x x

 x



là hàm số chẵn trên

;

2 2

    

 

 

nên ta có:

 

2 2 2

2 2

0

2 2

cos cos (sin )

2 2

4 sin 4 sin (sin 2) sin 2

x x d x

dx dx

x x x x

  

 

 

  

   

  

Vậy

1 sin 2 1

ln 2 ln 3

2 sin 2 2

0 I x

x

 

  



^.

3.Cho hàm số

y  f x ( )

liên tục và chẵn trên đoạn



^:



. Khi đó

 





 



^







dx x f a dx

x

I f

_x

( )

2 1 1

) (

Chứng minh: Đặt t= -x  dt= - dx

Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a^x+1= a^-t+1= ^t 1

t

a a



Khi x= -  thì t =  ; x = thì t =- 

Vậy

  

 







 

 

 

^











dt t a f

dt a a

t f dx a

a x

I f

_t

t t

t

x

( )

1 1 1 1

) ( 1

) (

  

  



 





^











I dx x f a dt

t dt f

t

f

_t

( )

1 ) ) (

(

Suy ra

 





 



^







dx x f a dx

x

I f

_x

( )

2 1 1

) (

Ví dụ 19 : Tính tích phân:

1 4

1

2

^x

1

I x dx



  

^.

Giải:Đặt t= -x  dt= - dx

Khi x= - 1 thì t = 1 ; x =1 thì t =-1

Vậy

  

