GV GV
GVGV. TRTRTRẦTRẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và biên tm và biên tm và biên tậậậập)m và biên t p)p)p) 1111
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
V ấ n đề 1
. PH ƯƠ NG PHÁP QUY N Ạ P TOÁN H Ọ C
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n∈ℕ∗ là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được, ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắc là phương pháp quy nạp) như sau:
- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k≥1 bất kì (gọi là giả thiết quy nạp) - Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Các kiến thức cần nhớ:
* Cách viết số tự nhiên:
Các số tự nhiên liên tiếp: n n; +1;n+2;…
Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2 ; 2n n+2; 2n+4;… Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n+1; 2n+3; 2n+5;…
* Tính chất chia hết:
Các số chẵn thì chia hết cho 2.
Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.
Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.
Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.
Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.
Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6.
Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2,3,4,6,8 .
* Tính chất lũy thừa:
a am. n =am n+ am:an =am n–
(
ab)
n =a bn. n
( )
am n =am n.n n
n
a b
a b
=
m n am =an
* Phân tích đa thức ax + bx + c thành nhân tử: 2
Nếu phương trình ax2+bx+ =c 0 có 2 nghiện phân biệt x x thì: 1, 2
( )( )
2
1 2
– –
ax +bx c+ =a x x x x
Dạng 1. Chứng minh đẳng thức bằng phương pháp quy nạp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Nắm rõ nguyên lý quy nạp gồm ba bước trong phần tóm tắt lý thuyết
Chủđề 3
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1. Chứng minh rằng 2 2 2
( )
2 2(
1 2)(
1)
2 4 8 ... 2
3
n n n
n + +
+ + + + = , với. n∈ℕ∗.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ví dụ 2. Chứng minh rằng
( ) (
3 1)
2 5 8 ... 3 1
2 n n
n +
+ + + + − = , với n∈ℕ∗.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
GV GV
GVGV. TRTRTRẦTRẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và biên tm và biên tm và biên tậậậập)m và biên t p)p)p) 3333 C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Chứng minh rằng: Với mọi n∈ℕ∗:
a)
(
1)
1 2 3 ...
2 n n n+
+ + + + = b) 3 3 3 3 2
(
1)
21 2 3 ...
4 n n
n +
+ + + + =
c) 2 4 6 ... 2+ + + + n=n n
(
+1)
d) 1 3 5 ...+ + + +(
2n−1)
=n2e)
( ) (
3 1)
1 4 7 ... 3 2
2 n n
n −
+ + + + − = f) 1 12 13 1 2 3
3 3 3 ... 3n 4.3n
n+
+ + + + =
g) 1 1 1 1 2 1
2 4 8 ... 2 2
n
n n
+ + + + = − h) 3 9 27 ... 3 1
(
3 1 3)
2
n n+
+ + + + = −
i) 1 – 2 3 – 4+ +…– 2n+
(
2n+1)
=n+1. j)( ) (
3 1)
2 5 8 ... 3 1
2 n n
n +
+ + + + − =
k) 2 2 2 2
(
1 2)(
1)
1 2 3 ...
6
n n n
n + +
+ + + + = l)
( )
1 1 1
1.2 2.3 ... 1 1
n
n n n
+ + + =
+ +
n) 1.4 2.7 ...+ + +n
(
3n−1)
=n n(
+1)
2 p) 2 2 2( )
2 2(
1 2)(
1)
2 4 6 ... 2
3
n n n
n + +
+ + + + =
q) 2 2 2
( )
2(
4 2 1)
1 3 5 ... 2 1
3 n n
n −
+ + + + − = r)
(
1) (
1)(
2)
1 3 6 10 ...
2 6
n n+ n n+ n+
+ + + + + =
s) 1.2 2.5 3.8+ + + …+n
(
3 – 1n)
=n2(
n+1)
m)
( )( )
( )
( )( )
1 1 1 3
1.2.3 2.3.4 ... 1 2 4 1 2
n n
n n n n n
+ + + = +
+ + + +
o)
( ) (
1)(
2)
1.2 2.3 3.4 ... 1
3
n n n
n n + +
+ + + + + = với n≥2.
Bài 2. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là
(
3)
2 n n−
. Bài 3. Cho tổng
( )( )
1 1 1 1
1.3 3.5 5.7 ... 2 1 2 1
Sn
n n
= + + + +
− + , với n∈ℕ∗.
a) Tính S1, S2, S3, S4.
b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp.
Bài 4. Cho tổng
( )
1 1 1 1
1.2 2.3 3.5 ... 1
Sn
= + + + +n n
+ , với n∈ℕ∗. a) Tính S1, S2, S3, S4.
b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp.
Bài 5. Cho
( )( )
1 1 1 1
1.5 5.9 9.13 ... 4 1 4 1
Sn
n n
= + + + +
− + , với n∈ℕ∗.
a) Tính S1, S2, S3, S4.
b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp.
Dạng 2. Chứng minh các bài toán chia hết bằng phương pháp quy nạp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Nắm rõ nguyên lý quy nạp trong phần tóm tắt lý thuyết
• Nắm rõ kiến thức về chi hết
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 3. Chứng minh rằng: un =4n+15n−1 chia hết cho 9, với n∈ℕ∗.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ví dụ 4. Chứng minh rằng: 13n−1 chia hết cho 12.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 6. Chứng minh rằng: Với mọi n∈ℕ∗:
a) n5 –n⋮5 b) n7 –n⋮7 c) 13 – 1 6n ⋮ d) n3+2n⋮3
e) 3n+2 – 1 4n ⋮ f) 32n –1 8⋮ g) 32n−1+2n+1⋮7 h) 4.32n+2 +32 – 36 64n ⋮
GV GV
GVGV. TRTRTRẦTRẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và biên tm và biên tm và biên tậậậập)m và biên t p)p)p) 5555
Dạng 3. [NC] Chứng minh các bài toán bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Nắm rõ nguyên lý quy nạp trong phần tóm tắt lý thuyết
• Lưu ý: Nguyên lý quy nạp toán học, áp dụng vào bất đẳng thức phụ thuộc vào số tự nhiên n :
- Nếu bất đẳng thức được kiểm tra đúng với số tự nhiên n . 0
- Giả thiết rằng bất đẳng thức đúng khi n=k≥n0, từ đó là chứng minh được rằng bất đẳng thức đúng khi n=k+1. Thế thì bất đẳng thúc đúng cho mọi số tự nhiên n≥n0.
B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có
a) 2n >2n+1 với n≥3. b) 1 1
1 ... 2
2 n
n
+ + + < .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 7. Chứng minh rằng: Với mọi n∈ℕ∗:
a) 2n ≥2n+1 với n≥3 b) 2n >n2 với n≥5
c) nn ≥
(
n+1)
n–1 d) n! 2> n–1 với n≥3e) 3n >n2+4n+5 với n≥3 f) 2n+2 >2n+5
g) sin2nα +cos2nα ≤1 h) 3n–1 >n n
(
+2)
với n≥4 i) 2n–3 >3 – 1n với n≥8 j) 3n >3n+1 với n≥2. Bài 8. Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta cóa) 1 12 ... 12 2 1
2 n n
+ + + < − với n≥2. b) 1 3 2 1 1
2 4. 2 2 1
n
n n
− <
+
⋯ .
Bài 9. CMR:
2 2
n n n
a +b a+b
≥
, trong đó ,a b>0 và n∈ℕ∗.
Bài 10. CMR nếu ∆ABC vuông tại A, có số đo các cạnh là a, b, c thì với mọi số tự nhiên n≥2, ta có bất đẳng thức: bn+cn ≤an.
Bài 11. Với giá trị nào của số nguyên dương n, ta có:
a) 2n+1>n2+3n b) 2n >2n+1 c) 2n >n2+4n+5 d) 3n >2n+7n ? Bài 12. Cho n số thực a a a1, 2, 3,…,an thỏa –1<ai ≤0 với i=1,n.
Bài 13. Chứng minh rằng: ∀ ∈n ℕ∗ ta có:
(
1+a1)(
1+a2) (
…1+an)
≥1+a1+a2+ …+an.Bài 14. CMR với các số thực a a a1, 2, 3,…,an,
(
n∈ℕ∗)
, ta có: a1+a2+ …+an ≤ a1 + a2 +...+ an .GV GV
GVGV. TRTRTRẦTRẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và biên tm và biên tm và biên tậậậập)m và biên t p)p)p) 7777
V ấ n đề 2
. DÃY S Ố
Định nghĩa:
Định nghĩa 1. Một hàm số u được xác định trên tập ℕ∗ các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số).
Kí hiệu:
( )
un hay ở dạng khai triển u u1, 2,…,un,…
Cách cho một dãy số:
Cách 1. Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát u . n
Cách 2. Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi (hay còn nói cho dãy số bằng quy nạp), tức là:
• Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu).
• Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
Cách 3. Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.
Dãy số tăng, dãy số giảm:
Định nghĩa 2.
a. Dãy số
( )
un được gọi là dãy số tăng nếu n∀ ∈ℕ∗, un <un+1. b. Dãy số( )
un được gọi là dãy số giảm nếu n∀ ∈ℕ∗, un >un+1. Vậy, ta thấy:Với dãy
( )
un tăng, ta có: u1<u2 <u3< … <un < … Với dãy( )
un giảm, ta có: u1>u2 >u3 > … >un > …Dãy số bị chặn:
Định nghĩa 3.
a. Dãy số
( )
un được gọi là bị chặn trên nếu ∃M∈ℝ: un ≤M , n∀ ∈ℕ∗. b. Dãy số( )
un được gọi là bị chặn dưới nếu ∃ ∈m ℝ: un ≥m, n∀ ∈ℕ∗.c. Dãy số
( )
un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vứa bị chặn dưới tức là:, : n
m M m u M
∃ ∈ℝ ≤ ≤ , n∀ ∈ℕ∗.
Dạng 1. Mở đầu về dãy số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với giả thiết cho dãy số
( )
un dưới dạng công thức tổng quát hoặc biểu thức truy hồi và câu hỏi thường gặp là:a. Hãy viết k số hạng đầu của dãy số hoặc tìm u . Câu hk ỏi này được thực hiện bằng cách thế.
b. Xác định xem a là số hạng thứ mấy của dãy số. Câu hỏi này được thực hiện bằng việc giải phương trình ẩn n u: n =a.
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 6. Cho dãy số
( )
un , với( )
1 n 1 unn
− +
= .
a) Tìm u9, u12, u2n, u2n+1. b) Tìm xem 0 là số hạng thứ mấy của dãy số ?
...
...
...
...
...
Ví dụ 7. Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy sau:
a) Dãy số
(
um)
xác định bởi: u1 =0 và 21
2
n 1
n
u =u −
+ với n≥2.
b) Dãy số
( )
un xác định bởi: u1=1,u2 =2 và un =un−1−2un−2 với n≥3. c) Dãy số( )
vn xác định bởi: u1 =1 và un+1 =un +2 với n∈ℕ∗...
...
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 15. Viết 5 số hạng đầu của mỗi dãy số
( )
un , biếta) n 2n 1
u = n
− b) 2 1
2 1
n
n n
u −
= + c) 1 1
n
un
n
= +
d)
2 1
n
u n n
= + e)
2 2 3
n
u n
n
= − f) 2 2
sin cos
4 3
n
n n
u π π
= + g) un = −
( )
1n 4nBài 16. Hãy viết ba số hạng đầu của dãy số
( )
un cho bởi a)2 2
2 1
n 1 u n
n
= −
+ b)
( )
12 1
n n
u n
n
= + −
+ c) un =n+cos2n d)
(
1 !)
n 2n
u n+
= .
Bài 17. Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số
( )
un cho bởia)
( )
1
1
2
1 1
n 3 n
u
u + u
=
= +
. b)
1
1 2
0 2
n 1
n
u u + u
=
= +
. c) 1 2
2 1
15, 9
n n n
u u
u + u u+
= =
= −
. d) 1 2
2 1
1, 2
n n 2 n
u u
u + u + u
= = −
= −
.
GV GV
GVGV. TRTRTRẦTRẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và biên tm và biên tm và biên tậậậập)m và biên t p)p)p) 99 99
Dạng 2. Xác định công thức của dãy số (((( )))) u
nA. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của un. Cách 2: Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước:
Bước 1. Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức cho u . n Bước 2. Chứng minh công thức dự đoán bằng pp quy nạp.
B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 8. Cho dãy số
( )
un , với u1= −1 và un+1 =un+3 với n≥2.a) Viết 5 số hạng đầu của dãy. b) Tìm công thức tổng quát của dãy.
...
...
...
...
...
...
...
Ví dụ 9. Cho dãy số
( )
un xác định bởi: u1=2017 và un+1 =un +2018 với n∈ℕ∗. Tìm un....
...
...
...
...
...
...
Ví dụ 10. [NC] Cho dãy số
( )
un xác định bởi:( )
1
n 1 u = n n
+ ∀ ∈n ℕ∗ và dãy số
( )
vn xác định bởi:1 1
v =u , vn+1=vn+un+1. Xác định công thức của vn theo n.
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 18. Cho dãy số
( )
un , biết: u1 =1 và un =2un−1+3 với n≥2.Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un =2n+1−3. Bài 19. Cho dãy số
( )
un , biết: u1=3 và un+1= 1+un2 với n≥1.a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng quy nạp.
Bài 20. Cho dãy số
( )
un xác định bởi u1=3 và un+1=un+5 với mọi n≥1.a) Hãy tính u2, u4 và u6. b) Chứng minh rằng un =5n−2 với mọi n≥1. Bài 21. Cho dãy số
( )
un xác định bởi u1 =1 và 1 22n 1
n
u + =u
+ với mọi n≥1. Bài 22. a) Cho dãy số
( )
un có 11
1 3
4 7
n n
u
u + u
=
= +
với n≥1. Chứng minh rằng
2 1
2 7
3
n
un
+ −
= với n≥1.
b) Cho dãy số
( )
un có 11
2
3 2 1
n n
u
u + u n
=
= + −
với n≥1. Chứng minh rằng un =3n −n với n≥1.
Bài 23. Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số
( )
un , dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng qui nạpa) 1
1
1
2 3
n n
u
u + u
=
= +
b) 1
2 1
3
n 1 n
u
u + u
=
= +
c)
1
1
5 4
1 2
n n
u u + u
=
= +
Bài 24. Cho dãy số
( )
sn với sin(
4 1)
n 6
s n π
= − a) Chứng minh rằng sn =sn+3 với mọi n≥1. b) Hãy tính tổng của 15 số hạng đầu tiên của
( )
sn . Bài 25. Trong mặt phẳng tọa độ cho đồ thị hàm số 2 2 12 1
y x x
= − +
a) Với mỗi số nguyên dương n, gọi An là giao điểm của đồ thị trên với đường thẳng x=n. b) Xét dãy số
( )
un với un là tung độ của điểm An. Hãy tìm công thức xác định số hạng tổngquát của dãy số đó.
Bài 26. Cho dãy số
( )
un với un =5.4n−1+3.a) Chứng minh rằng un+1 =4un−9 với mọi n≥1
b) Dựa vào kết quả của phần a) hãy cho dãy số
( )
un xác định bởi hệ thức truy hồi.Bài 27. Cho dãy số
( )
un và( )
vn , với un =n v, n =2n +na) Chứng minh rằng với mọi n≥1 ta luôn có un+1=2un− +n 1,vn =2vn− +n 1 b) Từ kết quả của câu a), rút ra kết luận gì?
GV GV
GVGV. TRTRTRẦTRẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và biên tm và biên tm và biên tậậậập)m và biên t p)p)p) 11111111
Dạng 3. Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số (((( )))) u
nthỏa mãn tính chất K
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Chứng minh rằng số hạng u thỏa mãn tính chất 1 K.
Bước 2. Giả sử số hạng u thk ỏa mãn tính chất K. Ta đi chứng minh uk+1 cũng thỏa mãn tính chất K.
Bước 3. Kết luận dãy số
( )
un thỏa mãn tính chất K. B. BÀI TẬP MẪUVí dụ 11.Cho dãy số
( )
un , với un =n3+11n. Chứng tỏ rằng mọi số hạng của dãy số này đều chia hết cho 6....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 28. Chứng minh rằng: Với mọi n∈ℕ∗:
a) 4n+15 – 1 9n ⋮ b) 16 – 15 – 1 225n n ⋮
c) n3–n⋮3 d) n3+11 6n⋮
e) n3+3n2+5n⋮3 f) 3n3+15 9⋮
g) 62n+3n+2+3 11n⋮ h) 2n3 – 3n2+n⋮6
Dạng 4. Xét tính tăng, giảm (hay tính đơn điệu) và bị chặn của một dãy số (((( )))) u
nA. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Tính tăng, giảm của dãy số:
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Lập hiệu H =un+1–un, từđó xác định dấu của H. Bước 2. Khi đó: * Nếu H >0, n∀ ∈ℕ∗ thì dãy số
( )
un tăng.* Nếu H <0, n∀ ∈ℕ∗thì dãy số
( )
un giảm.Cách 2: Nếu un >0, n∀ ∈ℕ∗ ta có thể thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Lập tỉ số n 1
n
P u u
= + , từđó so sánh P với 1.
Bước 2. Khi đó: * Nếu P>1, n∀ ∈ℕ∗ thì dãy số
( )
un tăng.* Nếu P<1, n∀ ∈ℕ∗ thì dãy số
( )
un giảm.2. Tính bị chặn của dãy số:
• Sử dụng định nghĩa 3.
• Chú ý: * Mọi dãy số
( )
un giảm luôn bị chặn trên bởi u . 1* Mọi dãy số
( )
un tăng luôn bị chặn dưới bởi u . 1 B. BÀI TẬP MẪUVí dụ 12.Xét tính tăng giảm của dãy số: a)
n 5n
u = n , b)un =2n−1
...
...
...
...
...
...
...
Ví dụ 13.Xét tính bị chặn của dãy số:
2 1
n
u n n
= + .
...
...
...
...
...
GV GV
GVGV. TRTRTRẦTRẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và biên tm và biên tm và biên tậậậập)m và biên t p)p)p) 1313 1313 Ví dụ 14.Chứng minh dãy số
( )
un với 2 33 2
n
u n n
= +
+ là dãy số giảm và bị chặn.
...
...
...
...
...
...
...
Ví dụ 15.Xét tính tăng, giảm của các dãy số
( )
un cho bởi a)2 2
1
n 1
n n
u n
= + +
+ . b) 4 1
4 5
n
n n
u −
= + . c)
1
1
3 2
3
n n
n
u u u
+ u
=
= +
. d) 1
1
6
n 6 n
u
u + u
=
= +
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ví dụ 16.Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số
( )
un cho bởia) 2 3
n 2 u n
n
= +
+ b)
( )
1
n 1 u =n n
+ c) un =n2+4 d)
2 2
2
n 1
n n
u n n
= +
+ + e)
2 2
n
u n
n n n
=
+ +
f)
( )
1 cos2
n
un
n
= − π .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 29. Xét tính tăng, giảm của các dãy số
( )
un , biết:a) 1
n 2
u = n− b) 1
n 1 u n
n
= −
+ c) un = −
( )
1 n(
2n+1)
d) 2 15 2
n
u n n
= + + e) un =n3−3n2+5n−7 f) 1
n 3n
u n+
= g) un = n+ −1 n. Bài 30. Cho dãy số
( )
un xác định bởi u1 =1 và un+1=un+(
n+1 .2)
n với mọi n≥1. Bài 31. a) Chứng minh rằng( )
un là một dãy số tăng.b) Chứng minh rằng un = +1
(
n−1 .2)
n với mọi n≥1.GV GV
GVGV. TRTRTRẦTRẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và biên tm và biên tm và biên tậậậập)m và biên t p)p)p) 1515 1515
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2
Bài 32. Viết năm số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số
( )
un : a) un =101– 2n b) un =3 – 7n c) 2 2 1n
u n n
= + d) 3
2
n
n n
u = n
e) n 2n 1
u = n
− f) 2 1
2 1
n
n n
u −
= + g) 1 1
n
un
n
= +
h)
2 1
n
u n n
= + i) n 5n
u = n j) un
( )
1 n 1sin1 n= − − k) un = n+ −1 n l) un = −
( )
1n 4n m)2 2 3
n
u n
n
= − n) 2 2
sin cos
4 3
n
n n
u π π
= +
Đáp số: a) giảm b) tăng c) giảm d) tăng i) giảm j) ko tăng, ko giảm k) giảm Bài 33. Xét tính tăng, giảm của các dãy số
( )
un :a) un =2n3−5n+1 b) un =3n−n c) 2
n 1 u n
= n
+ d) 3 1
2
n
n n
u = + e) n 2n
u = n f) 3n2
un
= n g)
3 2 2 1
n 1
n n
u n
− +
= + h)
2 2
1
2 1
n
n n
u n
= + + +
i) 2 .
3
n
n n
u = n k) un =n− n2−1 l) 1 1
n
u n
n
= + − m) 1
2 5
n n
u = n+
Đáp số: a) tăng b) tăng c) giảm d) tăng e) giảm f) ko tăng, ko giảm g) tăng h) giảm i) giảm k) giảm l) giảm m) tăng Bài 34. Trong các dãy số
( )
un sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?a) un =2n2−1 b)
( )
1
n 2 u = n n
+ c) 21
2 1
un
= n
− d) un =sinn+cosn. Bài 35. Chứng minh rằng dãy số
( )
un với 2 33 2
n
u n n
= +
+ là một dãy số giảm và bị chặn.
Bài 36. Hãy xác định số thực a để dãy số
( )
un , với2 2
1
2 3
n
u an n
= +
+ , là:
a) Một dãy giảm. b) Một dãy tăng. Đáp số: a)a<2 / 3 b)a>2 / 3
Bài 37. Tìm số hạng thứ 3, thứ 5 và thứ 7 của mỗi dãy số sau:
a)
( )
1
2 1
0 2 2
n n
u u n
u −
=
≥
=
b) 1 2
( )
1 2
1, 2
2 3
n n n
u u
u u − u − n
= = −
≥
= −
c) 1
( )
1
1 1
3 10
n n
u n
u + u
=
≥
= +
d) 1 2
( )
2 1
5, 0
6 1
n n n
u u
u + u + u n
= =
≥
= +
Bài 38. Cho dãy số
( )
un với un =n2 – 4n+3.a) Viết công thức truy hồi của dãy số. b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới.
c) Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy đã cho.
Đáp số: a 1
( )
1
0 1
2 3
n n
u n
u + u n
=
≥
= + −
b)
(
1 2)(
11)
186
n n+ n− + n
Bài 39. Cho dãy số
( )
un với un = +1(
n– 1 2)
n.a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số. b) Tìm cơng thức truy hồi.
c) Chứng minh rằng dãy số tăng và bị chặn dưới.
Đáp số: b)u1=1và un+1 =un +
(
n+1 2)
n(
n≥1)
Bài 40. Dãy số( )
un xác định bằng cơng thức:( )
1
2 1
1
3 5 1 2 2 1
n n n
u
u + u u n
=
≥
= − + +
a) Tính u u u2, ,3 4. b) Chứng minh rằng un+3=un,∀ ∈n ℕ∗.
Đáp số: a)u2 =2,u3 =0,u4 =1 Bài 41. Dãy số
( )
un xác định bằng cơng thức: sin cos3 6
n
u nπ nπ
= +
a) Tính u u u u u u1, 2, 3, 4, 5, 6. b) Chứng minh rằng un =un+12,∀ ∈n ℕ∗. Đáp số: a) 1 1 3 2 1 3 3 4 1 3 5 1 3 6
, , 1, , , 1
2 2 2 2
u + u − + u u − − u − u
= = = − = = =
Bài 42. Dãy số
( )
un xác định bằng cơng thức: 1( )
1
3 1
n n 5
u n
u + u
=
≥
= +
a) Tính u u u2, 4, 6. b) Tìm cơng thức của số hạng tổng quát.
Đáp số: b)un =5n−2 Bài 43. Dãy số
( )
un được xác định bằng cơng thức: 1 3( )
1
1 1
n n
u n
u + u n
=
≥
= +
a) Tìm cơng thức của số hạng tổng quát. b) Tìm số hạng thứ 100 của dãy.
Đáp số: a) 2
(
1)
21 4
n
n n
u −
= + b)u100 =24.502.501
Bài 44. Dãy số
( )
un được xác định bằng cơng thức: 1( )
1
5 1
3 2
n n
u n
u + u n
=
≥
= + −
a) Tìm cơng thức của số hạng tổng quát. b) Chứng minh dãy số tăng.
Đáp số: a)
(
1 3)(
4)
5 2
n
n n
u − −
= +
Bài 45. Dãy số
( )
un xác định bằng cơng thức:( ) ( )
1 1
1 1
1 2n
n n
u n
u + u n
=
≥
= + −
a) Tìm cơng thức của số hạng tổng quát.
b) Chứng minh dãy số tăng.
Đáp số: a)un = +1
(
n−1 2)
nBài 46. Chứng minh rằng các dãy số
( )
un sau là một dãy số khơng đổi:a)
( )
1
1 2
1
1 2
n 1
n
u u n
+ u
=
≥
=
+
b)
( )
1 2 1
2 4 1 4
n n
u u n u +
=
≥
+
=
GV GV
GVGV. TRTRTRẦTRẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và biên tm và biên tm và biên tậậậập)m và biên t p)p)p) 17171717 Bài 47. Dãy số
( )
un xác định bằng công thức: sin 4(
1)
n 6
u n π
= −
a) Chứng minh rằng un =un+3 với mọi n≥1.
b) Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Bài 48. Dãy số
( )
un xác định bằng công thức: sin 2(
1)
n 3
u n π
= −
a) Chứng minh rằng un =un+3 với mọi n≥1.
b) Tính tổng 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Đáp số:b) 3 2
Bài 49. Tìm công thức số hạng tổng quát của các dãy số sau:
a)
( )
1
1
2 1 1
n 2
n
u u n
+ u
=
≥
= −
b) 1
( )
1
1 2 1
n 3 n
u n
u + u
=
≥
=
c) 1
( )
1
2 1
n n 1
u n
u + u
=
≥
= −
d) 1
( )
1
1 1
2 1
n n
u n
u + u n
=
≥
= + +
e) 1
( )
1
1 2
2 3
n n
u n
u u −
=
≥
= +
f) 1
( )
1
1 1
2 7
n n
u n
u + u
=
≥
= +
g) 1
( )
1
2 1
n 5 n
u n
u + u
=
≥
= h) 1
( )
1
1 1
3 10
n n
u n
u + u
=
≥
= +
Đáp số:a) 1
n
u n n
= + b) 1 1 2.3
n
un = − c)un = −3 n d)un =n2 e)un =2n+1−3 f)un =7n−6 g)un =2.5n−1 h)un =2.3n −5 Bài 50. Cho dãy số
( )
un với un =5.4n−1+3.a) Chứng minh rằng: un+1 =4un−9 với n≥1. Đáp số: b) u1=8,un+1 =4un−9, n≥1 b) Dựa vào kết quả câu a), hãy viết công thức truy hồi của
( )
un .Bài 51. Chứng minh rằng:
a) Dãy số
( )
un , với 2 33 2
n
u n n
= +
+ là dãy số giảm và bị chặn.
b) Dãy số
( )
vn , với 7 55 7
n
v n n
= +
+ là dãy số tăng và bị chặn.
Bài 52. Dãy số
( )
xn được biểu diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí hiệu là A:{
0, 1, 2, 3, , n,}
A= A A A A … A …
Gọi B là một điểm nằm ngoài trục số. Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai đỉnh còn lại thuộc tập hợp A.
Đặt un là số các tam giác được tạo thành từ B và n+1 điểm trong A rồi lập dãy số
( )
un . a) Tính u u u u1, 2, 3, 4.b) Chứng minh rằng: un =Cn2+1 và un+1 =un + +n 1.
Đáp số: a)u1=1,u2 =3,u3 =6,u4 =10
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2
Câu 1. Cho dãy số
(
Un)
vớin 1 U n
n
= −
+ . Khẳng định nào sau đây là đúng A. Năm số hạng đầu của dãy là 1;
2
− 2
3 ;
− 3
4 ;
− 5
5 ;
− 5
6
− . B. 5 số số hạng đầu của dãy là: 1;
2
− 2
3 ;
− 3
4 ;
− 4
5 ;
− 5
6
− . C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn trên bởi số 1.
Câu 2. Cho dãy
( )
un xác định bởi un =2.3n. Giá trị của u20 với mọi số nguyên dương n là:A. 2.3 . 19 B. 2.3 . 20 C. 3 . 20 D. 2.3 . 21
Câu 3. Cho dãy số
(
Un)
với Un 21 n n= + .Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Năm số hạng đầu của dãy là 1; 2
1; 6
1 ; 12
1 ; 20
1 30. B. Là dãy số tăng.
C. Bị chặn trên bởi số 1 M =2. D. Không bị chặn.
Câu 4. Cho dãy số
(
Un)
với Un 1 n=− . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1;− 1; 2
− 1
3 ;
− 1
4 ;
− 1
5
− . B. Bị chặn trên bởi số M = −1.
C. Bị chặn trên bởi số M = 0.
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m= −1.
Câu 5. Cho dãy số
(
Un)
với Un =a.3n ( a: hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?A. Dãy số có Un+1 =a.3n+1. B. Hiệu số Un+1−Un =3.a. C. Với a>0 thì d