50 bài toán về phương trình đường thẳng (có đáp án 2022) – Toán 12

(1)

Các dạng toán về phương trình đường thẳng và cách giải I. LÝ THUYẾT

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Vectơ a khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d.

- Nếu a là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ ka với k0 cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d  đường thẳng d có vô số vectơ chỉ phương và các vectơ chỉ phương này cùng phương.

- Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương a của nó.

2. Phương trình tham số – Phương trình chính tắc của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0

(

x ; y ;z0 0 0

)

và có vectơ chỉ phương a =

(

a ;a ;a1 2 3

)

(với a₁² +a²₂ +a₃² 0 ) là phương trình có dạng

0 1

0 2

0 3

x x a t d : y y a t z z a t

= +

 = +

 = +



trong đó t là tham số.

- Nếu a a a_{1 2 3}0 thì ta có thể viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc

như sau: ⁰ ⁰ ⁰

1 2 3

x x y y z z

d : a a a

− − −

= = .

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Xác định vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng Phương pháp giải:

Đường thẳng 0⁰

( )

0

x x at

(d) : y y bt t z z ct

= +

 = + 

 = +



, hoặc (d) :^x ^x⁰ ^y ^y⁰ ^z ^z⁰

a b c

− = − = − thì d đi

qua M x ; y ;z

(

0 0 0

)

và có 1 VTCP ^u⁼

(

^a;b;c

)

^.

u là 1 VTCP của d thì ku cũng là 1 VTCP của d.

(2)

Một số dạng thường gặp:

+) d qua hai điểm A, B thì AB là 1 VTCP của d.

+)

( ) ( )

^d ^⊥ ^{P :} Ax + By + Cz + D = 0 thì (A; B; C) là 1 VTCP của d.

+)

( ) ( )

^d ^ ^mà

( )

^ có VTCP u thì u cũng là 1 VTCP của d.

+)

( ) ( ) ( )

^d ⁼ ^P ^ ^Q ^thìu= n ,nP Q là 1 VTCP của d.

+)

( ) ( )

d ⊥ d1 và

( ) ( )

d ⊥ d2 thì

1 2

d d

u= u ,u  là 1 VTCP của d.

+)

( ) ( )

^d ^P ^và

( ) ( )

^d ^{⊥ } ^thìu= n ,uP _ là 1 VTCP của d.

Ví dụ 1: Trong không gian cho A (1; 1; 0) và B (0; 1; 2). Vectơ nào sau đây là một VTCP của đường thẳng AB?

A. ^c⁼

(

^{1;2 2}^;

)

^.

B. ^a ⁼

(

⁻^1;0;2

)

^.

C. ^b^{= −}

(

^1;1;2

)

^.

D. ^d^{= −}

(

^{1;0; 2}⁻

)

^.

Hướng dẫn giải:

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là ^AB^{= −}

(

^1;0;2

)

^.

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho (P): 3x – y + 2z – 7 = 0 và (Q): x + 3y – 2z + 3 = 0. Biết d là giao tuyến của (P) và (Q), một VTCP của d là:

A.

u

^{= −}

(

^{2; 4;5}

)

^.

B. ^u ⁼

(

^{3; 1; 2}⁻

)

^.

C. ^u ⁼

(

^{1;3; 2}⁻

)

^.

(3)

D. ^u ⁼

(

^{5; 4; 2}⁻

)

^.

(P) có vectơ pháp tuyến là ⁿ_{( )}_P ⁼

(

^{3; 1;2}⁻

)

^.

(Q) có vectơ pháp tuyến là ⁿ_{( )}_Q ⁼

(

^{1;3; 2}⁻

)

^.

Vì d là là giao tuyến của (P) và (Q) nên ta có

( ) ( )

d P Q

u =n ,n = −4;8;10 = −2 2;4;5 Ta chọn VTCP là

u

^{= −}

(

^{2; 4;5}

)

Chọn A.

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết vectơ chỉ phương.

Phương pháp giải:

a) Loại 1: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M x ; y ;z

(

o o o

)

và có vectơ chỉ phương u=

(

u ;u ;u1 2 3

)

.

+) Phương trình tham số của đường thẳng  là:

o 1

o 2

o 3

x x u t

y y u t.

z z u t

= +

 = +

 = +



(

^t^

)

+) Phương trình chính tắc của đường thẳng  là:

0 o o

1 2 3

x x y y z z

u u u .

− = − = −

b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm A, B.

+) Xác định vectơ chỉ phương của  là u_ =AB.

+) Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A và có VTCP là AB.

c) Loại 3: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và song song với đường thẳng d.

+) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng  là u_ =u_d.

(4)

+) Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M và có VTCP là u . Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

Nếu đường thẳng  song song với trục Ox thì có VTCP là ^u = =ⁱ

(

^{1; 0; 0}

)

. Nếu đường thẳng  song song với trục Oy thì có VTCP là ^u = =^j

(

^{0; 1; 0}

)

. Nếu đường thẳng  song song với trục Oz thì có VTCP là ^u = =^k

(

^{0; 0; 1}

)

. d) Loại 4: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng

( )

^ ^.

+) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng  là u_ =n_.

+) Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M và có VTCP là u . Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

Nếu  vuông góc với mặt phẳng (Oxy) thì có VTCP là ^u = =^k

(

^0;0;1

)

. Nếu  vuông góc với mặt phẳng (Oxz) thì có VTCP là ^u = =^j

(

^0;1;0

)

. Nếu  vuông góc với mặt phẳng (Oyz) thì có VTCP là ^u = =ⁱ

(

^1;0;0

)

.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M (1; 2; -3) và có vectơ chỉ phương ^u⁼

(

^{3; 2;7}⁻

)

^.

A.

x 1 3t y 2 2t . z 3 7t

 = +

 = −

 = − +

 B.

x 3 t y 2 2t.

z 7 3t

 = +

 = − +

 = −

 C.

x 3 7t y 2 2t . z 1 3t

= − +

 = −

 = +



(5)

D.

x 1 3t y 2 2t.

z 3 7t

 = +

 = +

 = +



Phương trình tham số của đường thẳng  là:

x 1 3t y 2 2t . z 3 7t

 = +

 = −

 = − +

 Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (2; 3; -1), B (1; 2; 4), phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B là

A.

x 2 t y 3 2t . z 1 4t

 = +

 = +

 = − +

 B.

x 1 2t y 2 3t.

z 4 t

 = +

 = +

 = −

 C.

x 2 t y 3 t . z 1 5t

 = −

 = −

 = − +

 D.

x 1 2t y 1 3t . z 5 t

= − +

 = − +

 = −



Đường thẳng d đi qua điểm A và nhận ^AB^{= − −}

(

^{1; 1;5}

)

làm vectơ chỉ phương.

(6)

Nên phương trình đường thẳng d là:

x 2 t y 3 t . z 1 5t

 = −

 = −

 = − +

 Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết phương trình đường thẳng

 đi qua điểm M (4; -2; 2) và song song với đường thẳng d :^x ² ^y ⁵ ^z ².

4 2 3

+ − −

= =

A.

x 4 4t y 2 2t.

z 2 3t

 = +

 = − +

 = +

 B.

x 4 4t y 2 2t . z 3 2t

 = +

 = −

 = +

 C.

x 4 2t y 2 5t.

z 2 2t

 = −

 = − +

 = +

 D.

x 2 4t y 5 2t . z 2 2t

 = +

 = −

 = +



Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ud =

(

4;2;3 .

)

Vì đường thẳng  song song với đường thẳng d nên u_ =ud =

(

4;2;3 .

)

Vì  đi qua điểm M nên ta có phương trình đường thẳng  là:

x 4 4t y 2 2t.

z 2 3t

 = +

 = − +

 = +

 Chọn A.

(7)

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng

 đi qua điểm A (-2; 4; 3) và vuông góc với mặt phẳng

( )

^ ^:2x – 3y + 6z + 19 = 0.

A. ^x ² ^y ⁴ ^z ³.

2 3 6

− = + = +

−

B. ^x ² ^y ³ ^z ⁶.

2 4 3

+ = + = −

C. ^x ² ^y ⁴ ^z ³.

2 3 6

+ = − = −

−

D. ^x ² ^y ³ ^z ⁶.

2 4 3

+ − +

= =

Mặt phẳng

( )

^ có vectơ pháp tuyến là ⁿ =

(

^{2; 3;6}−

)

.

Vì đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng

( )

^ ^nên^u =ⁿ =

(

^{2; 3;6}−

)

. Vì  đi qua điểm A (-2; 4; 3) nên phương trình đường thẳng  là:

x 2 y 4 z 3

2 3 6 .

+ = − = −

− Chọn C.

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt d1 và thỏa mãn điều kiện khác

a) Loại 1: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M x ; y ;z

(

o o o

)

, vuông góc và cắt đường thẳng d.

Gọi ^H^{=  }

( )

^d.

Tìm tọa độ điểm H từ điều kiện MH.u_d =0

 là đường thẳng đi qua 2 điểm M và H.

(8)

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (2; 3; -1) và đường thẳng

( )

^{d :}^x ^y ^z ³^.

2 4 1

= = − Gọi  là đưởng thẳng qua M, vuông góc và cắt d. Viết phương trình của .

A. ^x ² ^y ³ ^{z 1}

6 5 32

− = + = +

−

B. ^x ² ^y ³ ^{z 1}

6 5 32

+ = + = −

C. ^x ² ^y ³ ^{z 1}

6 5 32

− = − = +

− D. ^x ² ^y ³ ^{z 1}

6 5 32

− = − = +

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ud =

(

2;4;1

)

.

Gọi N là giao điểm của  và d. Vì N d  N (2t; 4t; 3 + t).

Suy ra ^MN⁼

(

^2t⁻^{2; 4t}⁻^{3; t}⁺⁴

)

Vì  ⊥ d MN.u_d =0

( ) ( )

⁴

2 2t 2 4 4t 3 t 4 0 t .

 − + − + + =  = 7 Khi đó: ^MN ⁶^; ^{5 32}^; ^{7 6;5; 32}

( )

7 7 7

 

= − − = − −

 

Suy ra  có một vectơ chỉ phương là ^u =

(

^{6;5; 32}−

)

. Mà  đi qua M nên phương trình đường thẳng

( )

^:^x ² ^y ³ ^{z 1}

6 5 32

− − +

 = =

− Chọn C

b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d₁ và cắt đường thẳng d .₂

(9)

Gọi B=  d₂ .

Tìm tọa độ điểm B từ điều kiện

d1

AB.u =0

 là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; -1; 3) và hai đường

thẳng: ₁ x 4 y 2 z 1 ₂ x 2 y 1 z 1

d : , d : .

1 4 2 1 1 1

− + − − + −

= = = =

− −

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d₁ và cắt đường thẳng d .₂

A. x 1 y 1 z 3

4 1 4 .

− + −

= =

B. ^{x 1} ^{y 1} ^z ³

2 1 3

− = + = −

C. x 1 y 1 z 3

2 1 1

− + −

= =

− −

D. ^{x 1} ^{y 1} ^z ³

2 2 3

− = + = −

−

Gọi 2 2

( )

x 2 t

M d d , d : y 1 t M t 2, t 1, t 1 . z 1 t

 = +

=   = − −  + − − +

 = +



Đường thẳng d nhận ^AM^{= + −}

(

^{t 1; t; t}⁻²

)

là một VTCP.

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương là u1 =

(

1;4; 2 .−

)

Ta có: d⊥ d1 AM.u =  + − −0

(

t 1

)

4t 2 t

(

−2

)

=0

( )

t 1 AM 2; 1; 1 .

 =  = − −

(10)

Đường thẳng d qua A (1; -1; 3) và nhận ^AM⁼

(

^{2; 1; 1}^{− −}

)

là một VTCP nên phương trình đường thẳng d là x 1 y 1 z 3

d : .

2 1 1

− = + = −

− − Chọn C

Loại 3: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng d₁ và d .₂

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và d₁, d và d₂. Đường thẳng d đi qua M nên A, B, M thẳng hàng

MA, MB

 cùng phương MA=kMB. Từ đó tìm ra A và B.

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2; -1; -6) và hai đường thẳng ₁ x 1 y 1 z 1

d : 2 1 1

− = − = +

− , d :₂ ^x ² ^{y 1} ^z ²

3 1 2

+ = + = − . Đường thẳng đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng d₁, d₂ tại hai điểm A, B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

A. 38 . B.2 10 . C. 8.

D. 12.

Hướng dẫn giải

Vì A thuộc ₁ x 1 y 1 z 1

d : 2 1 1

− = − = +

− nên A (1 + 2t; 1 – t; -1 + t).

Vì B thuộc d :₂ ^x ² ^{y 1} ^z ²

3 1 2

+ + −

= = nên B (-2 + 3t’; -1 + t’; 2 + 2t’).

Suy ra ^MA⁼

(

^{2t 1;2}⁻ ⁻^t;5⁺^t

)

^,^MB= − +

(

4 3t ; t ;8  +2t

)

.

(11)

Ta có A, B, M thẳng hàng khi và chỉ khi

( )

2t 1 k 3t ' 4 t 1

MA kMB 2 t kt ' t ' 2

t 5 k 2t ' 8 1

k 2

− = − 

  =

 

=   − =  =

 + = + 

  =



Với t = 1, t’ = 2 ta được A (3; 0; 0), B (4; 1; 6), suy ra

( )

² ² ²

AB= 4 3− + +1 6 = 38. Chọn A.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Trong không gian cho đường thẳng

x 3 2t d : y t

z 2

 = +

 = −

 =



. Một vectơ chỉ phương của d là:

A. ^u ⁼

(

^{2; 1;2}⁻

)

^.

B. ^u⁼

(

^3;0;2

)

^.

C. ^u⁼

(

^2;0;2

)

^.

D. ^u ⁼

(

^{2; 1;0}⁻

)

^.

Câu 2: Trong không gian cho M (1; 2; 3). Gọi M , M₁ ₂ lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy. Vectơ nào sau đây là VTCP của M M₁ ₂ ?

A. ^u⁼

(

^0;2;0

)

^.

B. ^u ⁼

(

^1;2;0

)

^.

C. ^u⁼

(

^1;0;0

)

^.

D. ^u^{= −}

(

^1;2;0

)

^.

(12)

Câu 3: Trong không gian cho điểm A (0; 1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + z – 4 = 0. Đường thẳng  qua A, cắt

x 2 t d : y 4t

z 3

 = +

 = −

 =



và song song với (P) có một VTCP là:

A.

u

⁼

(

^{2; 1;1}⁻

)

^.

B. ^u

= ( 1;3;1 ).

C. ^u ⁼

(

^{1;1; 1}⁻

)

^.

D. ^u ⁼

(

^{2; 2;1}

)

^.

Câu 4: Trong không gian cho đường thẳng d có phương trình ^x ² ^y ^z ¹

1 2 3

− −

= =

− .

Một vectơ chỉ phương của d là A. ^u ⁼

(

^0;2;1

)

^.

B. ^u^{= −}

(

^{2;0; 1}⁻

)

^.

C. ^u ^{= −}

(

^1;2;3

)

^.

D. ^u⁼

(

^1;2;3

)

^.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (3; -2; 0), B (1; 1; 4), C (-5; 3;

2), viết phương trình đường thẳng AM với M là trung điểm của đoạn thẳng BC A. ^x ³ ^y ² ^z .

6 2 2

− = + =

− −

B. ^x ³ ^y ² ^z.

2 2 3

− = + =

−

C. ^x ³ ^y ² ^z.

5 4 3

+ = + =

−

D. ^x ³ ^y ² ^z.

5 4 3

− = + =

−

(13)

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (5; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy).

A.

x 5 t y 1 t.

z 3

 = +

 = − +

 =

 B.

x 5 y 1 . z 3 t

 =

 = −

 = +

 C.

x 5t y t . z 1 3t

 =

 = −

 = +

 D.

x 1 5t y 1 t . z 3t

 = +

 = −

 =



Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 4), B (-1; 5;

1), C (3; 2; 1) và mặt phẳng

( )

^ ^: - x + 4y – 2z + 6 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với

( )

^ ^.

A. x 1 y 3 z 2

1 4 2 .

+ = + = +

− −

B. ^{x 1} ^y ⁴ ^z ².

1 3 2

+ = − = +

C. ^{x 1} ^y ⁴ ^z ².

1 3 2

− = + = −

D. x 1 y 3 z 2

1 4 2 .

− = − = −

− −

(14)

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho x y z 3

d : ,

2 4 1

= = + điểm A (3; 2; 1). Viết phương trình đường thẳng  qua A, cắt đồng thời vuông góc với đường thẳng d.

A.

x 3 3t y 2 5t z 1 4t

 = +

 = −

 = +



B.

x 1 3t y 1 5t z 1 4t

 = +

 = −

 = +

 C.

x 1 9t y 1 10t z 1 22t

 = +

 = −

 = +

 D.

x 3 9t y 2 10t z 1 22t

 = +

 = −

 = +



Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M (-1; 2; -3) và song song với đường thẳng

x y 1 1 z

d : .

2 2 3

+ −

= =

A.

x 1 2t y 2 2t . z 3 3t

= − +

 = +

 = − +

 B.

x 1 2t y 2 2t.

z 3 3t

 = +

 = +

 = +



(15)

C.

x 1 2t y 2 2t . z 3 3t

= − +

 = −

 = − −

 D.

x 1 2t y 2 2t . z 3 3t

= − +

 = +

 = − −



Câu 10: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm A (3; -1; -4) cắt trục Oy và song song với mặt phẳng (P): 2x + y = 0.

A.

x 3 y 1 z 4

3 6 4

− = − = +

−

B.

x 3 y 1 z 4

3 6 4

− = + = +

− −

C.

x 3 y 1 z 4

3 6 4

− = + = +

−

D.

x 3 y 1 z 4

3 6 4

+ = − = +

ĐÁP ÁN

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp

án

D D B C D B D D A C