Bài tập trắc nghiệm giới hạn có lời giải chi tiết – Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

CHỦ ĐỀ

4. GIỚI HẠN

Bài 01

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nĩi dãy số

( )

un cĩ giới hạn là 0 khi n dần tới dương vơ cực, nếu u_n cĩ thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi.

Kí hiệu: lim _n 0

n u

→+∞ = hay u_n→0 khi n→ +∞. Định nghĩa 2

Ta nĩi dãy số

( )

vn cĩ giới hạn là a (hay v_n dần tới a) khi n→ +∞,nếu

( )

lim _n 0.

n v a

→+∞ − =

Kí hiệu: lim _n

n v a

→+∞ = hay v_n →a khi n→ +∞.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) 1

lim 0;

n^→+∞n= 1

lim _k 0

n^→+∞n = với k nguyên dương;

b) lim ⁿ 0

n q

→+∞ = nếu q<1;

c) Nếu u_n=c (c là hằng số) thì lim _n lim .

n u n c c

→+∞ = →+∞ = Chú ý: Từ nay về sau thay cho lim _n

n u a

→+∞ = ta viết tắt là limu_n =a.

II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu limu_n=a và limv_n=b thì

( )

lim u_n v_n a b

• + = + • ^lim

(

un−vn

)

= −a b

( )

lim u v_n. _n a b.

• = lim ⁿ

n

u a

v b

 

 

•  = ^{(nếu b≠0).}

b) Nếu lim 0,

n n

u a

u n

 =



 ≥ ∀



thì lim

. 0

un a a

 =



 ≥

III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠN

Cấp số nhân vơ hạn

( )

un cĩ cơng bội q, với q <1 được gọi là cấp số nhân lùi vơ hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn:

( )

1 2 3

1

1 .

n

1

S u u u u u

q q

= + + + + =

… − <

… +

IV – GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Định nghĩa

•

Ta nói dãy số

( )

un có giới hạn là +∞ khin→ +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limu_n= +∞ hay u_n → +∞ khi n→ +∞.

•

^{Dãy số}

( )

un có giới hạn là −∞ khi n→ +∞, nếu ^lim

(

−un

)

= +∞

. Kí hiệu: limu_n= −∞ hay u_n → −∞ khi n→ +∞.

Nhận xét: un= +∞ ⇔^lim

(

−un

)

= −∞^.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) limn^k= +∞ với k nguyên dương;

b) limqⁿ = +∞ nếu q>1.

3. Định lí 2

a) Nếu limu_n=  a và limv_n = ±∞ thìlim ⁿ 0

n

u v = .

b) Nếu limu_n= >a  0, limv_n=0 và v_n>0,∀ >n 0 thì lim ⁿ .

n

u

v = +∞

c) Nếu limu_n = +∞ và limv_n= >a 0 thì limu v_n. _n =+∞.

CÂU HỎI V= B=I TẬP TRẮC NGHIỆM 11

NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn bộ trắc nghiệm 11 FILE WORD

Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975120189 https://www.facebook.com/duckhanh0205

Khi mua có sẵn File đề riêng;

File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC

Câu 1. Kết quả của giới hạn sin 5

lim 2

3 n n

 

 − 

 

  ^bằng:

A. −2. B. 3. C. 0. D. 5

3.

Lời giải. Ta có sin 5 1 , 0

3 n

n n

≤ ≤ mà 1

lim 0

n= nên sin 5

lim 0,

3 n

n = do đó sin 5

lim 2 2.

3 n n

 

 − = −

 

  ^{Chọn A.}

Nhận xét: Có thể dùng MTCT để tính (có thể chính xác hoặc gần đúng) giới hạn như sau (các bài sau có thể làm tương tự):

Nhập ^{sin 5}

( )

3 2.

X X −

Bấm CALC và nhập 9999999999(một số dòng MTCT khi bấm nhiều số « 9 » thì nó báo lỗi, khi đó ta cần bấm ít số « 9 » hơn.

Bấm « = » ta được kết quả (có thể gần đúng), sau đó chọn đáp án có giá trị gần đúng với kết quả hiện trên MTCT.

Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để

2 cos1

lim 1.

2 2

n nk

n n

−

=

A. 0. B. 1. C. 4. D. Vô số.

Lời giải. Ta có 2 sin 2 1 sin 2

2 2

n n n n n

n n

− = − .

Điều kiện bài toán trở thành

cos1

lim 0.

nk

n

n =

Ta có 1

lim cos cos 0 1

n= = nên bài toán trở thành tìm k sao cho

* 2 1

, 3

lim lim 0 1 0 2

2

k k

k k l

n k

n k

n ^∈

−

= = ⇔ − < ⇔ < →_ℕ = không tồn tại k (do k nguyên dương và chẵn). Chọn A.

Câu 3. Kết quả của giới hạn 3 sin 4 cos

lim 1

n n

n +

+ bằng:

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Lời giải. Ta có 3sin 4 cos 7 7 0

1 1

3sin 4 cos

0 lim 0.

1

n n n n

n n n n

≤ + ≤ ≤ → +

→

 + =

+ + Chọn B.

Câu 4. Kết quả của giới hạn cos 2₂ lim 5

1

n n

n

 

 − 

 

 +  bằng:

A. 4. B. 1

4. C. 5. D. −4.

Lời giải. Ta có

2 2 2 2

cos 2 1 c cos 2

0 os 2 lim 5

0 lim 0

1 1 1 5.

1

n n n n n n n

n n n n

≤ n ≤ ≤ → → = →

+ + +

 

 − =

 

 +  Chọn C.

Câu 5. Kết quả của giới hạn lim ²sin 2 ³ 5

n nπ n

 

 − 

 

  là:

A. −∞. B. −2. C. 0. D. +∞.

Lời giải. Ta có ^{2 3 3} 1 sin

lim sin 2 lim . 2 .

5 5

n n

n n n

n

π π

   

 − =  − 

   

 

    Vì

3 3

3

lim lim

1 sin

lim . 2 .

1 sin

5

0 1 sin 1 lim . 2 2 0

5 5

. n 0

n n

n n

n n

n n n

π

π π

 

 = +∞  = +∞

   

 

 →   →  − = −∞

     

   − = − <  

   

   

 

 ≤ →



≤ Chọn A.

Câu 6. Giá trị của giới hạn

(

¹

)

lim 4

1

n

n

 − 

 

 + 

 

 + 

 

bằng:

A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.

Lời giải. Ta có

( )

^{1 1 1}

( )

¹

( )

0 1

0 lim 0 lim 4 4

1 1 1 .

1

n

n n

n n n n n

− −

≤ ≤ ≤ → → = 

 − 

 

 + =

 

 + 

 

→

+ + +

Chọn C.

Câu 7. Cho hai dãy số

( )

un và

( )

vn có

( )

2

1 1

n

un

n

= −

+ và ₂1 2. vn

=n

+ Khi đó ^lim

(

un+vn

)

có giá trị bằng:

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

Lời giải. Ta có

( )

2

2

0

lim lim 0 li

1 1

1 0

1 .

0

m 2

0 0 1

n n

n

n n

n

u n

u n

u v

n n v v



 → = = 

≤ ≤ ≤ →

+

≤ ≤ ≤

→ + =



 →

 +

Chọn B.

Chú ý: Cho P n

( )

^,Q n

( )

lần lượt là các đa thức bậc m k, theo biến n:

( ) ( )

( ) ( )

1 0

1 1

1 1 0

1 0

0

m

k k

k k k

m m

m m a n a a

Q n b n b n b n

P x a n

b b a n

−

−

−

= + − + + + =/

= + + + + =/

⋯

⋯ Khi đó

( )

lim

( )

lim

m m

k k

P n a n

Q n = b n , viết tắt

( ) ( )

m m

k k

P n a n

Q n ∼ b n , ta có các trường hợp sau: Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu (m<k) thì

( )

limP n

( )

0.

Q n = Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu (m=k) thì

( )

lim

( )

^m.

k

P n a Q n =b Nếu « bậc tử » > _« bậc mẫu (m>k) thì

( )

( )

lim 0.

0

m k m k

khi a b P n

khi a b Q n

+∞ >

= 

−∞ <



Để ý rằng nếu ^{P n}

( )

^{,Q n}

( )

^{có chứa} « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể ^mn^k tì có bậc là k.

n ^{Ví dụ} n có bậc là 1 ^{3 4} ,

2 n có bậc là 4 ,...

3

Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng!

Câu 8. Giá trị của giới hạn ₂ 3 lim4n 2n 1

−

− + ^là:

A. 3 4.

− B. −∞. C. 0. D. −1.

Lời giải. Ta có ₂ ²

2

3

3 0

lim lim 0.

2 1 4

4 2 1

4 n

n n

n n

−

− = = =

− + − +

Chọn C.

Giải nhanh: Dạng « bậc tử » < _« bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.

Câu 9. Giá trị của giới hạn ₃ 2 ²

lim 3 1

n n

n n

+

+ − ^bằng:

A. 2. B. 1. C. 2

3. D. 0.

Lời giải. Ta có ₃ ^{2 2}

2 3

1 2

2 0

lim lim 0.

3 1 1

3 1

1

n n n n

n n

n n

+ +

= = =

+ − + −

Chọn D.

Giải nhanh: Dạng « bậc tử » < _« bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.

Câu 10. Giá trị của giới hạn 3 ³₄ 2 1

lim4 2 1

n n

n n

− +

+ + ^là:

A. +∞. B. 0. C. 2

7. D. 3

4.

Lời giải. Ta có ³₄ ^{2 4}

3 4

3 2 1

3 2 1 0

lim lim 0.

2 1 4

4 2 1

4

n n n n n

n n

n n

− +

− +

= = =

+ + + +

Chọn B.

Giải nhanh: Dạng « bậc tử » < _« bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.

Câu 11. Giá trị của giới hạn 1

lim 2

n n n²

+

+ ^bằng:

A. 3

2. B. 2. C. 1. D. 0.

Lời giải. Ta có ²

2

1 1

1 0

lim lim 0.

2 1

2 1

n n n n

n

n

2

+ +

= = =

+ +

Chọn D.

Giải nhanh: 1 ₂ 1

0.

2

n n n n

n² n n

+ = →

+ ^∼

Câu 12. Cho hai dãy số

( )

un và

( )

vn có 1

n 1 u =n

+ ^và

2 .

n 2 v =n

+ ^{Khi đó lim}

n n

v

u có giá trị bằng:

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Lời giải. Ta có

1 1

1 1

lim lim lim 1.

2 2 1

1

n n

v n n

u n

n + +

= = = =

+ +

Chọn A.

Giải nhanh: 1

1.

2

n n

n n

+ =

+ ^∼

Câu 13. Cho dãy số

( )

un với 4

5 3

n

u an n

= +

+ ^{trong đó a} là tham số thực. Để dãy số

( )

un

có giới hạn bằng 2, giá trị của a là:

A. a=10. B. a=8. C. a=6. D. a=4.

Lời giải. Ta có

4

lim lim 4 lim .

5 3 3 5

5

n

an a n a

u n

n + +

= = =

+ +

Khi đó

lim 2 2 10

n 5

u = ⇔a= ⇔ =a → Chọn A.

Giải nhanh: 4

2 10.

5 3 5 5

an an a

n n a

+ = ⇔ =

∼ + ∼

Câu 14. Cho dãy số

( )

un với 2

5 3

n

n b

u n

= +

+ ^{trong đó b} là tham số thực. Để dãy số

( )

un

có giới hạn hữu hạn, giá trị của b là:

A. b là một số thực tùy ý. B. b=2.

C. không tồn tại b. D. b=5.

Lời giải. Ta có

( )

2 2 2

lim lim lim

5 3 3 5

5

n

b

n b n

u n

n

∀b + +

= = = →

+ +

∈ℝ Chọn A.

Giải nhanh: 2 2 2

5 3 5 5

n b n

n n

+ =

+ ^{∼ với mọi b∈ℝ.}

Câu 15. Tính giới hạn ² ₂ 5

lim .

2 1

n n

L n

= + + +

A. 3

2.

L= B. 1

2.

L= C. L=2. D. L=1.

Lời giải. Ta có ² ₂ ²

2

1 5

5 1 1

lim lim

1 2

2 1

2

n n n n

L n

n + + + +

= = = →

+ +

Chọn B.

Giải nhanh: ² ₂ 5 ²₂ 1 2.

2 1 2

n n n

n n

+ + =

+ ∼

Câu 16. Cho dãy số

( )

un với 4 ² ₂ 2 5 .

n

n n

u an

= + +

+ Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2, giá trị của a là:

A. a= −4. B. a=4. C. a=3. D. a=2.

Lời giải.

( )

2 2

2

2

1 2

4 2 4 4

2 lim lim lim

5 0 2.

n 5

n n n n

u a a

a

an a

n + + + +

= = = = ⇔ =

+ +

=/ Chọn D.

Giải nhanh: 4 ² ₂ 2 4 ²₂ 4

2 2.

5

n n n

a a

an an

+ + = ⇔ =

∼ + ∼

Câu 17. Tính giới hạn ₃² 3 ³

lim .

2 5 2

n n

L n n

= −

+ −

A. 3

2.

L= − B. 1

5.

L= C. 1

2.

L= D. L=0.

Lời giải. ₃^{2 3}

2 3

1 3

3 3

lim lim

5 2 2

2 5 2

2

n n n

L n n

n n

− − −

= = = →

+ − + −

Chọn A.

Giải nhanh: ₃² 3 ³ 3₃³ 3 . 2

2 5 2 2

n n n

n n n

− −

+ − ∼ = −

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để

( )

2 4

4

5 3

lim 0.

1 2 1

n an

L a n n

= − >

− + +

A. a≤0;a≥1. B. 0< <a 1. C. a<0;a>1. D. 0≤ <a 1.

Lời giải.

( ) ( ) ( )

2 4 2

4

3 4

5 3 0

5 3 3

lim lim 0 .

2 1 1 1

1 2 1 1

a a

n an n a

L a n n a a a

n n

−  <

− − 

= = = > ⇔

 >

−

− + + − + + 

Chọn C.

Câu 19. Tính giới hạn

( )( )

( ) ( )

3 2

4

2 3 1

lim .

2 1 7

n n n

L n n

− +

= − −

A. 3

2.

L= − B. L=1. C. L=3. D. L= +∞.

Lời giải. Ta có

( )( )

( ) ( )

3 2

3 2 2 2 2 2

4

4

4 4

2 1 2 1

1 . 3 1 3

2 3 1 1.3 3

lim lim lim .

1 7 1 7 2.1 2

2 1 7

2 . 1 2 1

n n

n n n n n n n

L n n

n n

n n n n

      

 −   +   −  + 

      

− +        −

= = = = = −

      

− −  −   −   −  −  Chọn A.

Giải nhanh:

( )( )

( ) ( )

3 2 3 2

4 4

2 3 1 .3 3

. 2 2 1 7 2 .

n n n n n

n n n n

− + −

− − ^∼ = −

Câu 20. Tính giới hạn

( )( ) ( )

( )( )

2 3

4 2

2 2 1 4 5

lim .

3 1 3 7

n n n n

L n n n

+ + +

= − − −

A. L=0. B. L=1. C. 8

3.

L= D. L= +∞.

Lời giải.

( )( ) ( )

( )( )

2 3 3

4 2

3 4 2

2 1 5

1 2 4

2 2 1 4 5 1.2.4 8

lim lim .

3 1 7 1.3 3

3 1 3 7

1 3

n n n n n n n

L n n n

n n n

   

 +  +  + 

   

+ + +    

= = = =

  

− − −  − −  −  Chọn C.

Giải nhanh:

( )( ) ( )

( )( )

2 3 2 3

4 2

4 2

2 2 1 4 5 .2 .4 8

. 3 3 1 3 7 .3

n n n n n n n

n n

n n n

+ + +

− − − ^∼ =

Câu 21. Tính giới hạn ³

3

lim 1. 8 L n

n

= +

+

A. 1

2.

L= B. L=1. C. 1

8.

L= D. L= +∞.

Lời giải. ^{3 3}

3 3

3

1 1

1 1

lim lim 1

8 8 1

1

n n

L n

n + +

= = = = →

+ +

Chọn B.

Giải nhanh: ^{3 3}

3 3

1 1.

8

n n

n n

+ =

+ ∼

Câu 22. Kết quả của giới hạn ³ 2₂ lim1 3

n n

n

−

− ^là:

A. 1 3.

− B. +∞. C. −∞. D. 2

3.

Lời giải.

3

3 2 2

2

2 2 2

2 2

1 1

lim 2 lim lim . .

1 1 1 3

3 3

n n n n n n

n n

n n

 

 −  −

 

 

− = =

 

−  −  −

Ta có

3 2

2

2

2 2

lim 2

2 1 1 2

im lim .

1 1

lim 0 1 3

1 3 3

3 n

n n n n

n n

n n

 = +∞

 −

 − −

 → = = −∞ →

 = − < −

 −

 −



Chọn C.

Giải nhanh: ³ 2₂ ³₂ 1 3 .

1 3 3

n n n

n n n

− = − →−∞

− ∼−

Câu 23. Kết quả của giới hạn 2₂ 3 ³

lim4 2 1

n n

n n

+

+ + là:

A. 3

4. B. +∞. C. 0 D. 5

7.

Lời giải.

3

3 2 2

2

2

2 2

2 2

3 3

2 3

lim lim lim . .

2 1

2 1

4 2 1

4 4

n n n n n n

n n

n n n n n

 

 +  +

 

 

+ = =

 

+ +  + +  + +

Ta có

3 2

2

2

2 2

lim 2

2 3

2 3

3 3 im lim . .

2 1

lim 0 4 2 1

2 1 4 4 4

n

n n n n

n n n

n n n n

 = +∞

 +

 + +

 → = = +∞

 = > + +

 + +

 + +



Chọn B.

Giải nhanh: 2₂ 3 ³ 3 ³₂ 3

. .

4

4 2 1 4

n n n

n n n n

+ = →+∞

+ + ∼

Câu 24. Kết quả của giới hạn 3 ⁴ lim 4 5 n n

n

−

− là:

A. 0. B. +∞. C. −∞. D. 3

4.

Lời giải.

4

4 3 3

3

3 1 3 1

lim3 lim lim . .

5 5

4 5

4 4

n n n n n n

n n

n n

 

 −  −

 

 

− = =

 

−  −  −

Ta có

3

4 3

3 3

lim 3

3 1 1 lim3 l lim . 1 .

4 5 5

lim 0

5 4 4 4

n

n n n n

n n

n n

 = +∞

 −

 −

 − → = = −∞

 = − < −

 −

 −



Chọn C.

Giải nhanh: 3 ^{4 4} 1 ³

. .

4 5 4 4

n n n

n n n

− −

= − →−∞

− ∼

Câu 25. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?

A. 3 ₂2 ³

lim .

2 1

n n +

− B. 2 ²₃ 3

lim .

2 4

n n

−

− − C. 2 ₂3 ³

lim .

2 1

n n n

−

− − D. 2 ²₄ 3 ⁴₂

lim .

2

n n

n n

−

− +

Lời giải. Theo dấu hiệu ở đã nêu ở phần Chú ý trên thì ta chọn giới hạn nào rơi vào trường hợp « bậc tử » < « bậc mẫu » !

3 2

3 2 lim2 1

n n

+ = +∞

− : « bậc tử » > « bậc mẫu » và a b_{m k} =2.2= >4 0.

2 3

2 3

lim 0

2 4

n n

− =

− − : « bậc tử » < « bậc mẫu ». Chọn B.

3 2

2 3

lim 2 1

n n

n

− = +∞

− − : « bậc tử »> « bậc mẫu » và a bn k= −

(

^{3 .}

) (

− >²

)

^0.

2 4

4 2

2 3 3 3

lim

2 2

2

n n

n n

− −

= =

−

− + : « bậc tử » = « bậc mẫu » và 3 3 .

2 2

m k

a b

=− =

−

Câu 26. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1

−3? B. ²₂ 2

3 5.

n

n n

u n

= −

+ A. ₃⁴ 2 ₂³ 1

3 2 1.

n

n n

u n n

− + −

= + − C. ₃² 3₂ ³

9 1.

n

n n

u n n

= −

+ − D. ₃² 2 5

3 4 2.

n

n n

u n n

− + −

= + −

Lời giải. Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » = « bậc mẫu » và a b_{m k}>0. Chọn C.

2 3

3 2

3 3 1

lim lim .

9 3

9 1

n

n n

u n n

− −

= = = −

+ − Câu 27. Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞?

A. 1 ²

5 5.

n

u n n

= +

+ B. ² 2₃ 5 5 .

n

u n

n n

= −

+ C. ² 2₂

5 5 .

n

n n

u n n

= −

+ D. 1 2 ₂ 5 5 .

n

n n

+ + Lời giải. Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » > « bậc mẫu » với a b_{m k}>0. Chọn A.

2 2

1 1

lim lim1 lim .

5 5 5

5

n

n n

u n

n

n + +

= = = +∞

+ +

vì ² lim

1 1

1 .

lim 0

5 5

5

m k

n n a

b n

 = +∞



 +

 = = >

 +



Các đáp án còn lại đều rơi vào trường hợp « bậc tử » ≤ « bậc mẫu » nên cho kết quả hữa hạn.

Câu 28. Dãy số nào sau đây có giới hạn là −∞? A. 1 2 ₂

5 5 . n

n n

+

+ B. ³ 2 ₃1 2 .

n

n n

u n n

+ −

= − + C. 2₂² 3₃⁴ .

n 2

n n

u n n

= −

+ D. ² 2

5 1 .

n

n n

u n

= − + Lời giải. Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » = « bậc mẫu » và a b_{m k}<0. Chọn C.

2 4

2 3

2 3

n 2

n n

u n n

= −

+ : « bậc tử » > « bậc mẫu » và a b_{m k}= −3.2= − < 6 0 →limu_n= −∞. Chú ý : (i) ^lim

(

^{m m n 1 m 1 1 0}

)

^{n 0}₀^.

n

khi a a n a n

khi a a n a

−

−

+∞ >

+ + = 

− <

+ +

 ∞

⋯

(ii) Giả sử q >^max

{

qi ^:i=^{1; 2}…^;m

}

thì

( )

0

1 1 0

1

lim . 0, 1.

0, 1

n n

m m

n

a khi q

a q a q khi a q

khi a

q a q

a

 <



+ + + + = +∞ > >

−∞ < >



⋯

Ta dùng « dấu hiệu nhanh » này để đưa ra kết quả nhanh chóng cho các bài sau.

Câu 29. Tính giới hạn ^{L=lim 3}

(

^{n2+5n−3 .}

)

A. L=3. B. L= −∞. C. L=5. D. L= +∞. Lời giải. ^{L lim 3}

(

^{n2 5n 3}

)

^{limn2 2 5 32}

n n

 

= + − =  + − = +∞ vì

2

2

lim

5 3 .

lim 2 2 0

n

n n

 = +∞

  

  

  + − = >

  

  



Chọn D.

Giải nhanh:3n²+5n−3∼3n²→ +∞.

Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng

(

^−10;10

)

^để

( )

(

^{2 3}

)

lim 5 3 2

L= n− a − n = −∞.

A. 19. B. 3. C. 5. D. 10.

Lời giải. Ta có

( (

²

)

³

)

³ 2

(

²

)

lim 5n 3 a 2 n limn 5 3 a 2 n

 

− − =  − − = −∞

( )

( )

2 2

2 , 10;10

lim 5 3 2 2 0 2 2 1; 0; 1.

a

a a a a a

n ^{∈ ∈ −}

 

⇔  − − = − < ⇔ − < < → = −^ℤ Chọn B.

Câu 31. Tính giới hạn ^{lim 3}

(

^{n4+4n2− +n 1 .}

)

A. L=7. B. L= −∞. C. L=3. D. L= +∞. Lời giải. Ta có

(

^{4 2}

)

⁴ 2 3 4

4 1 1

lim 3n 4n n 1 limn 3

n n n

 

+ − + =  + − + = +∞ vì

4

2 3 4

lim

4 1 1 .

lim 3 3 0

n

n n n

 = +∞

  

  

  + − + = >

  

  



Chọn D.

Giải nhanh: 3n⁴+4n²− +n 1∼3n⁴→+∞.

Câu 32. Cho dãy số

( )

un với ^{un= 2+}

( )

^{2 2+...+}

( )

^{2 n.} Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. limu_n = −∞. B. 2

lim .

1 2

un =

−

C. limu_n = +∞. D. Không tồn tại limu_n.

Lời giải. Vì ^2,

( )

^{2 2,…,}

( )

^{2 n} lập thành cấp số nhân có _u1= 2=_q nên

( ) ( ) ( )

1 2

2. 2 2 2 1 lim

1 2

n

n

n n

u −   u

= − = −  −  → = +∞ ^vì

2 2 0

. 2 1 a

q

 = − >



 = >



Chọn C.

Câu 33. Giá trị của giới hạn ₂

1 3

1 ...

2 2 2

lim 1

n n

+ + + +

+ ^bằng:

A. 1

8. ^{B. 1. C.}

1.

2 ^D.

1. 4

Lời giải. Ta có ^{1 3 1}

( )

¹

(

¹

)

1 ... 1 2 . .

2 2 2 2 ⁿ 2 2

n n n

+ +

+ + + + = + +⋯ = Do đó

2

2 2

1 3

1 ...

2 2 2 1

lim lim

4

1 4 4

n

n n

n n

+ + + + +

= =

+ + ^{(“bậc tử”} = “bậc mẫu”). Chọn D.

Câu 34. Giá trị của giới hạn 1₂ 2_{2 2}1

lim ... n

n n n

 − 

 + + + 

 

  ^bằng:

A. 0. B. 1

3. ^C.

1.

2 ^{D. 1.}

Lời giải. Ta có

( ) ( )( )

²

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1 2 1 1 1

... 1 2 . .

1 2

2

n n

n n n

n n n n n n

+ − + − n

− −

+ + + = + +⋯ − = =

Do đó

2

2 2 2 2

1 2 1 1

lim ... lim .

2 2

n n n

n n n n

 −  −

 + + + = =

 

  ^{Chọn C.}

Câu 35. Giá trị của giới hạn

( )

2

1 3 5 2 1

lim 3 4

n n

 + + + + + 

 

 

 

 +

 

⋯ bằng:

A. 0. B. 1

3. ^C.

2.

3 ^{D. 1.}

Lời giải. Ta có

( ) (

1 2 1

)

2

5 2 1

2

1 3 _n ⁿ + ⁿ− _n

− =

+ + +⋯ = nên

( )

²

2 2

1 3 5 2 1 1

lim lim

3

3 4 3 4

n n

n n

 + + + + + 

  = = →

 

 

 + +

 

⋯ Chọn B.

Câu 36. Giá trị của giới hạn

( )

1 1 1

lim ...

1.2 2.3 n n 1

 

 

 + + + 

 

 +

  ^là:

A. 1

2. ^{B. 1. C. 0. D. −∞.}

Lời giải. Ta có

( )

1 1 1 1 1 1 1

lim ... lim 1 lim 1 1.

1.2 2.3 1 2 2 3 1

1 1

n n n n 1 n

     

     

 + + + =  − + − + =  − =

     

 +  + − +

 +

⋯

Chọn B.

Câu 37. Giá trị của giới hạn

( )( )

1 1 1

lim ...

1.3 3.5 2n 1 2n 1

 

 

 + + + 

 

 − +

  ^bằng:

A. 1

2. ^B.

1.

4 ^{C. 1. D. 2.}

Lời giải. Với mọi k∈ℕ^* thì

( )( )

1 1 1 1

2_k 1 2_k 1 2 2_k 1 2_k 1

 

=  − 

− + − + ^{, do đó}

( )( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1

lim ... lim 1

1.3 3.5 2 1 2 1 2 3 3 5 2 1 2 1

1 1 1

lim 1 .

2 2 1 2

n n n n

n

   

 

 + + + =  − + − + − 

   

 − + − +

   

 

 

= − =

 + 

 

Chọn A.

Câu 38. Giá trị của giới hạn

( )

1 1 1

lim ...

1.4 2.5 n n 3

 

 + + + 

 + 

 

 

bằng:

A. 11

18. ^{B. 2. C. 1. D.}

3. 2 Lời giải. Ta có

( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1

... 1

1.4 2.5 3 3 4 2 5 3 6

1 1 1 1 1 1

1

3 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1

1

3 2 3 1 2 3

1

1 1

3

1 1

3

11 1 1 1

3 6 1 2 3

n n

n n

n n

n n

n

n n n

 

 

+ + + = − + − + − +

 

+  

    

 

=  + + + − + + +  + − +

+ +

+ 

   

 

 

=  + + − + − + − + 

 

=  − + − + − + 

⋯

⋯ ⋯

Do đó

( )

1 1 1 1 11 1 1 1 11

lim ... lim .

1.4 2.5 n n 3 3 6 n 1 n 2 n 3 8

   

   

 + + + =  − − − =

   

 + + + +

  Chọn A.

Câu 39. Giá trị của giới hạn

( )

2 2 2

2

1 2 ...

lim

1 n n n + + +

+ bằng:

A. 4. B. 1. C. 1

2. D. 1

3.

Lời giải. Đặt

( )

^{2 3 3 2}

(

^{1 2}

)(

¹

)

6 6

n n n

n n n

P n − + − +

= = thì ta có

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2

1 2 1 3 2 1

1 2 3

1 1

6

2 3 n P P P P P n P n

n n n

P n P

+ = − + − + + + −

+ +

= + =

+ +

−

+ ⋯ ⋯

Do đó

( )

( )( )

( )

2 2 2

2 2

1 2 ...

lim li 1 2 3 2 1

1 m 6 3.

6 1

n n n

n

n n n n

+ +

+ = + +

+ =

+ = Chọn D.

Câu 40. Cho dãy số có giới hạn

( )

un xác định bởi

1

1

2 .

1 , 1 2

n

n

n

u

u n

+ u

 =



 = ≥

 −



Tính limu_n.

A. limu_n = −1. B. limu_n=0. C. 1

lim .

n 2

u = D. limu_n=1.

Lời giải. Giả sử lim

un =a thì ta có

( )

1 2

2 2

2 1

1 1

lim lim 1

2 2 1

. 2 0

n

n

a a

a u

a a a

u a a a

+

 

 =/ =/

− = − + =

 

= = − = − ⇔ ⇔ ⇔ =

Chọn D.

Câu 41. Cho dãy số có giới hạn

( )

un xác định bởi ¹

1

2 1 .

, 1 2

n n

u

u₊ u n

 =



 +

 = ≥



Tính limu_n. A. limu_n =1. B. limu_n=0. C. limu_n =2. D. limu_n= +∞. Lời giải. Giả sử lim

un =a thì ta có

1

1 1

lim lim 1

2 2

n n

u a

a u₊ + + a

= = = ⇔ = → Chọn A.

Câu 42. Kết quả của giới hạn 9 ² 1

lim 4 2

n n n

− +

− bằng:

A. 2

3. B. 3

4. C. 0. D. 3.

Lời giải. ^{2 2}

1 1

9 1 9 3

lim lim

4 2 2 4

4

n n n n

n

n

− + − +

= = →

− −

Chọn B.

Giải nhanh: 9 ² 1 9 ² 3 .

4 2 4 4

n n n

n n

− + =

− ∼

Câu 43. Kết quả của giới hạn ²

4

2 1

lim

3 2

n n

n

− + + +

bằng:

A. 2 3.

− B. 1

2. C. 3

3 .

− D. 1

2.

−

Lời giải. ^{2 2}

4

4

2 1

2 1 1 1

lim lim

2 3

3 2

3

n n n n

n

n

− + +

− + +

= = − →

+ +

Chọn C.

Giải nhanh: ^{2 2}

4 4

2 1 1

.

3 2 3 3

n n n

n n

− + + −

= − +

∼

Câu 44. Kết quả của giới hạn 2 3 lim

2 5

n n

+ + là:

A. 5

2. B. 5

7. C. +∞. D. 1.

Lời giải.

2 3

2 3 2

lim lim 1.

2 5 2 5 2

n n

n

n + +

= = =

+ +

Chọn D.

Giải nhanh: 2 3 2 1.

2 5 2

n n

n n

+ =

+ ∼

Câu 45. Kết quả của giới hạn 1 4 lim

1 n

n n

+ −

+ + bằng:

A. 1. B. 0. C. −1. D. 1

2.

Lời giải. ²

2

1 1 4

1 4 0

lim lim 0

1 1 1 1

1

n n n n

n n

n n + −

+ − = = = →

+ + + +

Chọn B.

Giải nhanh: 1 4 1

0.

1

n n

n n n n

+ − = →

+ + ∼ Câu 46. Biết rằng ²

2

lim 1 sin .

2 4

n n

a b

n n + + π

= +

− −

Tính S=a³+b³.

A. S=1. B. S=8. C. S=0. D. S= −1.

Lời giải. Ta có ^{2 2}

2

1 1 1

1 1 1

lim lim 2 2 sin

1 4

1 2

2 1

n n n

n n

n n + + π

+ + +

= = =

− − − −

2 2 8

0

a S

b

 =

→ → = →

 =

Chọn B.

Câu 47. Kết quả của giới hạn

4 2

lim 10

n +n +1 là:

A. +∞. B. 10. C. 0. D. −∞.

Lời giải. ²

4 2

2 4

10

10 0

lim lim 0.

1 1 1

1 1

n

n n

n n

= = =

+ + + +

Chọn C.

Giải nhanh: ₂

4 2 4

10 10 10

0.

1 n

n n n

= → + +

∼

Câu 48. Kết quả của giới hạn ^lim

(

¹

)

₄² ₂²

1 n n

n n

+ +

+ − là:

A. +∞. B. 1. C. 0. D. −∞.

Lời giải.

( ) ( )

³

4 2 4 2

2 1

2 2

lim 1 lim 0

1 1

n n

n n n n n

+ +

+ = =

+ − + − (“bậc tử”< “bậc mẫu”). Chọn C.

Giải nhanh:

( )

4 2 4

2 2 2 2

1 . 0.

1

n n

n n

n n n n

+ + = →

+ − ∼ Câu 49. Biết rằng ^{3 3 2}

2

5 7

lim 3

3 2

an n

b c

n n

+ −

= +

− +

với a b c, , là các tham số. Tính giá trị của biểu thức a ₃c.

P b

= + A. P=3. B. 1

3.

P= C. P=2. D. 1

2. P=

Lời giải. Ta có

3 2 3

3 3 3 3

2

2

5 7

5 7

lim lim 3

1 2 3 3

3 2 3

an n a n n b a

n n

n n + − + −

= = =

− + − +

3 1

3 3 .

0 3 a b

b c P

c

 =

= + ⇒ ⇒ =

 =

Chọn B.

Câu 50. Kết quả của giới hạn lim 200⁵ −3n⁵+2n² là:

A. +∞. B. 1. C. 0. D. −∞.

Lời giải. Ta có

5 2

5 5

5 3

200 2

lim 200 3n 2n limn 3

n n

 

 



− + =  − + = −∞vì ₅

5

5 3

lim

200 2 .

lim 3 3 0

n

n n

 = +∞

  

  

  − + = − <

  

  



Chọn D.

Giải nhanh: ⁵200−3n⁵+2n² ∼⁵−3n⁵ = −⁵3.n→−∞.

Vấn đề 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC

Câu 51. Giá trị của giới hạn ^lim

(

^{n+ −5 n+1}

)

^bằng:

A. 0. B. 1. C. 3. D. 5.

Lời giải. n+ −5 n+1∼ n− n= 0 →nhân lượng liên hợp:

( )

⁴

lim 5 1 lim 0

5 1

n n

n n

+ − + = = →

+ + + Chọn A.

Câu 52. Giá trị của giới hạn ^lim

(

^{n2− + −n 1 n}

)

^là:

A. 1 2.

− B. 0. C. 1. D. −∞.

Lời giải. n²− + −n 1 n∼ n²− = n 0 →nhân lượng liên hợp:

(

²

)

2

2

1 1

1 1

lim 1 lim lim

1 1 2

1 1 1

n n

n n n

n n n

n n

− + − +

− + − = = = − →

− + + − + +

Chọn A.

Giải nhanh : ²

2 2

1 1

1 .

1 2

n n

n n n

n n n n n

− + −

− + − = = −

− + + +

∼

Câu 53. Giá trị của giới hạn ^lim

(

^{n2− −1 3n2+2}

)

^là:

A. −2. B. 0. C. −∞. D. +∞. Lời giải. ^lim

(

^{n2− −1 3n2+2}

)

^{=limn} ¹⁻_n^{12 − 3+}_n^{22}^{= −∞} vì

2 2

1 2

limn , lim 1 3 1 3 0.

n n

 

 

= +∞  − − + = − < Chọn C.

Giải nhanh: ^{n2− −1 3n2+2∼ n2− 3n2 = −}

(

^{1 3}

)

^{n→−∞.}

Câu 54. Giá trị của giới hạn ^lim

(

^{n2+2n− n2−2n}

)

^là:

A. 1. B. 2. C. 4. D. +∞. Lời giải. n²+2n− n²−2n∼ n²− n² = 0 →nhân lượng liên hợp:

(

^{2 2}

)

2 2

4 4

lim 2 2 lim lim 2.

2 2

2 2

1 1

n n n n n

n n n n

n n

+ − − = = =

+ + − + + −

Chọn B.

Giải nhanh : ^{2 2}

2 2 2 2

4 4

2 2 2.

2 2

n n

n n n n

n n n n n n

+ − − = =

+ + − +

∼

Câu 55. Có bao nhiêu giá trị của a để ^lim

(

^{n2+a n2 − n2+}

(

^a+2

)

ⁿ⁺¹

)

^=0.

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Lời giải. ^{n2+a n2 − n2+}

(

^a+2

)

^{n+1∼ n2 − n2 = 0 →}nhân lượng liên hợp:

Ta có

(

^{2 2 2}

( ) ) (

2²

)

2

2 1

lim 2 1 lim

1

a a n

n a n n a n

n n n

− − −

+ − + + + =

+ + +

2

2

2

2 1 2 1

lim 0 .

2

1 1 2

1 1

a a n a a a

b

n n

− − − − −  = −

= = = ⇔

 = + + +

Chọn B.

Câu 56. Giá trị của giới hạn ^lim

(

^{2n2− + −n 1 2n2−3n+2}

)

^là:

A. 0. B. 2

2 . C. −∞. D. +∞.

Lời giải. 2n²− + −n 1 2n²−3n+2∼ 2n²− 2n² = 0 →nhân lượng liên hợp:

(

^{2 2}

)

2 2

2 2

2 1

lim 2 1 2 3 2 lim

2 1 2 3 2

2 1

lim 1 .

1 1 3 2 2

2 2

n n n n n

n n n n

n

n n n n

− + − − + = −

− + + − +

−

= =

− + + − + Chọn B.

Giải nhanh :

2 2

2 2 2 2

2 1 2 1

2 1 2 3 2 .

2 1 2 3 2 2 2 2

n n

n n n n

n n n n n n

− + − − + = − =

− + + − + +

∼

Câu 57. Giá trị của giới hạn ^lim

(

^{n2+2n− −1 2n2+n}

)

^là:

<