Các dạng toán và bài tập giới hạn có lời giải chi tiết – Nguyễn Bảo Vương - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 1 A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Định nghĩa Định nghĩa 1

Ta núi dóy số cú giới hạn là khi dần tới dương vụ cực, nếu cú thể nhỏ hơn một số dương bộ tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đú trở đi.

Kớ hiệu: hay khi

Định nghĩa 2

Ta núi dóy số cú giới hạn là (hay dần tới ) khi nếu

Kớ hiệu: hay khi

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) với nguyờn dương;

b) nếu

c) Nếu ( là hằng số) thỡ

Chỳ ý: Từ nay về sau thay cho ta viết tắt là . I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Định lớ 1

a) Nếu và thỡ

(nếu ).

b) Nếu thỡ

II – ĐỊNH Lí VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 2 Cấp số nhõn vụ hạn cú cụng bội , với được gọi là cấp số nhõn lựi vụ hạn.

Tổng của cấp số nhõn lựi vụ hạn:

III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI Vễ HẠN

1. Định nghĩa

Ta núi dóy số cú giới hạn là khi , nếu cú thể lớn hơn một số dương bất kỡ, kể từ một số hạng nào đú trở đi.

Kớ hiệu: hay khi

Dóy số cú giới hạn là khi , nếu

.

Kớ hiệu: hay khi

Nhận xột:

2. Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận cỏc kết quả sau

a) với nguyờn dương;

b) nếu .

3. Định lớ 2

a) Nếu và thỡ .

b) Nếu , và thỡ

c) Nếu và thỡ

IV – GIỚI HẠN Vễ CỰC

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 3

B. CÁC D ẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢ I

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ dụ 1. Chứng minh rằng:

1. + =

+ limn 2 1

n 1 2. − =

+

2 2

n 1 1

lim2n 1 2 3. − = −

2+

lim 1 2n 2

n 1

Vớ dụ 2. Chứng minh rằng dóy số (u ) : u_{n n}= −( 1)ⁿ khụng cú giới hạn.

Vớ dụ 3. Chứng minh cỏc giới hạn sau:

1. limn²+1= +∞

n 2. lim2 n− = −∞

n

1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn

Bài 1 Chứng minh rằng:

1. =

+ lim 1 0

n 1 2. =

k

lim 1 0

n (k∈*) 3. = + sin n2

lim 0

n 2 4. lim(2n 1)+ = +∞ 5. lim1 n− ² = −∞

Bài 2 Chứng minh cỏc giới hạn sau n

1. =

+ lim 2 0

n 1 2. + =

2+ cosn sin n

lim 0

n 1 3. + =

+ lim n 1 0

n 2 4. lim3n³₂+n= +∞

n 5. − = −∞

+ lim 2 n

n 1 .

Bài 3 Dựng định nghĩa tỡm cỏc giới hạn sau :

1. = +

− A lim2n 1

n 2 2. = +

2+ B lim2n 3

n 1 3. = +

+ n2 1 C lim

n 1 . Bài 4 Tỡm cỏc giới hạn sau

1. A lim= n 2 n−

2n 2. = − ²

2

nsin n 3n B lim

n 3. =

+ +

2

C lim 1

n 2 n 7 4. = + + +

2

D lim 4n 1

n 3n 2.

Bài 5 Chứng minh rằng dóy số (u ) : u_{n n} = −( 1) nⁿ khụng cú giới hạn.

Bài 6 Chứng minh cỏc giới hạn sau:

1. limaⁿ =0

n! 2. lim a 1ⁿ = với a 0>

Bài 7

Phương phỏp:

Để chứng minh ta chứng minh với mọi số nhỏ tựy ý luụn tồn tại một số sao cho .

Để chứng minh ta chứng minh .

Để chứng minh ta chứng minh với mọi số lớn tựy ý, luụn tồn tại số tự nhiờn sao cho .

Để chứng minh ta chứng minh .

Một dóy số nếu cú giới hạn thỡ giới hạn đú là duy nhất.

V ấn đề 1. Tỡm gi ớ i h ạ n b ằng định nghĩa

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 4 1. Nếu dóy số (x )_n ^{cú gi}ới hạn hữu hạn là a thỡ dóy số cỏc trung bỡnh  + + + 

 

 

1 2 n

x x ... x

n cũng cú giới hạn là a. 2. Dóy số (x )_n thỏa món điều kiện 1 x< ₁<2 ^và x_{n 1+} ^{= +}1 x_n⁻¹x , n²_n ^{∀ ∈}^*.

2 Chứng minh rằng dóy số đó cho hội tụ.

Tỡm lim x_n^.

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ dụ 1. Tỡm cỏc giới hạn sau :

1. + + + + −

= ²+

n 1 3 5 ... (2n 1) A lim

2n 1 2. = + + + −

+ + + +

3 2 2 2

1 2 ... n n B lim

1 2 ... n 2n Vớ dụ 2. Tỡm cỏc giới hạn sau :

1. =  −  −   − 

    

 ^{2 2 2} 

1 1 1

C lim 1 1 ... 1

2 3 n

2.  

=  + + + + + 

1 1 1 1

D lim ...

1.2 2.3 3.4 n(n 1) Vớ dụ 3. Tỡm cỏc giới hạn sau :

1.

+ − +

= +

n 1 n 1

n n

4 5

A lim

4 5 2.

+ −

+

= −

+

n 2 n 1

n n 1

4.3 2.7 B lim

4 7

Vớ dụ 4. Tỡm giới hạn sau :     

=  −  −   − 

    

 ^{2 2 2} 

1 1 1

C lim 1 1 ... 1

2 3 n

1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn

Bài 1 Tỡm cỏc giới hạn sau :

1. = + +

− +

2 2

2n 3n 1 A lim

3n n 2 2. = +

− +

2 2

n 2n B lim

n 3n 1

3. ₌

(

⁺

) (

⁺

)

+

4 9

2 17

2n 1 n 2

C lim

n 1 4. = + − +

+ + −

2 3 3

4 4

n 1 3n 2

D lim

2n n 2 n Bài 2 Tỡm cỏc giới hạn sau :

1. A lim n=  ²+6n n−  2. B lim n= ^{3 3}+9n² −n

3. + +

= −

+

n n

n 1 n 1

3.2 3 C lim

2 3 4. =  + − + 

2 3 3 2

D lim n 2n n 2n .

Bài 3 Tỡm cỏc giới hạn sau:

Phương phỏp:

Sử dụng cỏc định lớ về giới hạn, biến đổi đưa về cỏc giới hạn cơ bản.

Khi tỡm ta thường chia cả tử và mẫu cho , trong đú là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

Khi tỡm trong đú ta thường tỏch và sử dụng phương phỏp nhõn

lượng liờn hơn.

Vấn đề 2. Tỡm giới hạn của dóy số dựa vào cỏc định lý và cỏc giới hạn cơ bản

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 5 1. =  + + + 

A lim n2 2n 2 n 2. =  + −  B lim 2n2 1 n

3. = + −

+ + +

4 3

4

3n 1 n C lim

2n 3n 1 n 4. + + +

= + + +

k k 1 0

p p 1 0

a n ... a n a D lim

b n ... b n b (Trong đú k,p là cỏc số nguyờn dương; a b_{k p} ≠0^{) .}

5. ^{A lim n=}

(

^{3−2n 1+}

)

6. B lim n=  ²+ − +n 1 n 7. ^{C lim a n=}

(

^{k k+ak 1− nk 1− + +... a0}

)

^{với ak ≠0}

8. D lim 2n=  −^{3 3}n +1

9. = + −

− +

3

2

3n n 1 E lim

(2n 1)(n 3) 10. = − + +

7 3

2 5

(n 2) (2n 1) F lim

(n 2) 11. =  + + − 

H lim n2 n 1 n 12. =  − − + 

3 2 3

M lim 1 n 8n 2n

13. =  + − + 

2 3 3

N lim 4n 1 8n n

14. K lim n= ^{3 3}+n²− −1 3 4n²+ + +n 1 5n. Bài 4. Tỡm cỏc giới hạn sau

1. = +

− A lim2n 1

1 3n 2. = + +

−

2 2

4n 3n 1 B lim

(3n 1)

3. = +

+

3 2

n 1

C lim

n(2n 1) 4. = − +

+ +

3 2

4 3

n 3n 2

D lim

n 4n 1

5. = + +

+ n3 2n 1 E lim

n 2 6. = − + +

+ −

4 4 3 3

n 2n 1 2n F lim

3n n n 7. M lim n=  ²+6n n−  8. N lim n= ^{3 3}+3n²+ −1 n

9. =  + − + 

3 3 2

H lim n 8n n 4n 3 10. = ₊ − ₊ +

n n

n 1 n 1

3.2 3 K lim

2 3 .

Bài 5 Tỡm cỏc giới hạn sau

1. = + −

+

3 3

2n sin 2n 1 A lim

n 1 2. =

+

n 3

B lim n!

n 2n

3. = ₊ + ₊

+

n n

n 1 n 1

3.3 4 C lim

3 4 4. = +

+ − −

2 2 2

D lim n 1

n ( 3n 2 3n 1) 5. E lim( n= ²+ + −n 1 2n) 6. F lim n 1 n⁼

(

^{+ +}

)

7. H lim( n= ^{k 2}+ −1 ^pn²−1) 8. =  + −  K lim n n2 1 n . Bài 6. Tỡm giới hạn của cỏc dóy số sau

1. = + + +

+ + + + +

n 1 1 1

u ...

2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1

2. = + + + +

+ +

3 3 3

n 3

(n 1) 1 2 ... n

u 3n n 2

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 6

3. _n = − − −

1 2 n

1 1 1

u (1 )(1 )...(1 )

T T T trong đú T_n =n(n 1)+ 2 .

4. = − − −

+ + +

3 3 3

n 3 3 3

2 1 3 1 n 1

u . ....

2 1 3 1 n 1 5.

=

=

∑

ⁿ −

n k

k 1

u 2k 1 2 6. u_n = +q 2q²+ +... nqⁿ với q 1< ^7.

=

=

∑

ⁿ +

n 2

k 1

u n

n k

Bài 7 Tỡm cỏc giới hạn sau:

1.

− −

− −

+ + + +

= + + + +

k k 1

k k 1 1 0

p p 1

p p 1 1 0

a .n a n ... a n a A lim

b .n b n ... b n b với a b_{k p}≠0

2. = + + − + −

+

3 6 4

2

n n 1 4 n 2n 1

B lim

(2n 3) 3. =  + + − 

C lim 4n2 n 1 2n

4. =  + + − + − + 

2 3 3 2

D lim n n 1 2 n n 1 n

Bài 8

1. Cho cỏc số thực a,b thỏa a 1; b 1< < . Tỡm giới hạn = + + + + + + + +

2 n

2 n

1 a a ... a I lim

1 b b ... b . 2. Cho dóy số (x )_n xỏc định bởi x₁=1,x_{n 1+} =x²_n+x , n 1_n ∀ ≥

2

Đặt = + + +

+ +  +

n 1 2 n

1 1 1

S x 1 x 1 x 1. Tớnh lim S_n^.

3. Cho dóy (x )_k được xỏc định như sau: = + + +

k 1 2 +k

x ...

2! 3! (k 1)!

Tỡm lim u_n ^với u_n =ⁿx₁ⁿ+xⁿ₂ + +... xⁿ₂₀₁₁ .

4. Cho dóy số (u )_n được xỏc định bởi:

+

 =

 = +



0

n 1 n 2

n

u 2011 u u 1

u

. Tỡm

3n

limu n .

5. Cho dóy số (u )_n xỏc định bởi : u_n= n 2 2 n 1+ − + + n.Đặt S_n=u₁+u₂+ + u_n. Tỡm lim S_n.

6. Cho dóy (u )_n xỏc định như sau:

+

 =



= +



1

2n n 1 n

u 1;

u u u

2010 . Tỡm

+

 

 

 



∑

ⁿ 

n 1

lim u

u . 7. Cho dóy số (u )_n với +

n = n

u 4n 1

2 . Dóy (s )_n được cho bởi

=

=

∑

ⁿ

n i

i 1

s u . Tỡm lim s_n^.

8. Cho dóy số (u )_n được xỏc định bởi:

+

 =

 + −

= ≥ ∈



1

n n 2 n 1

u 3

u (u 1) 8

u , (n 1,n N)

5

.Xột sự hội tụ và tớnh giới hạn sau nếu tồn

tại:

→∞ =

−

∑

^{n i}₂+

n i 1 i

lim u 2

u 1.

Bài 9 Cho dóy số

( )

un xỏc định như sau: u₁=2 ^và u_{n 1+} ^{= u2n +2010}u_n

2011 2011 với n 1,2,3,...= 1. Chứng minh

( )

un là dóy sốtăng và khụng bị chặn trờn.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 7 2. Tớnh

→+∞

∑

=ⁿ +ⁱ−

n i 1 i 1

lim u

u 1. Bài 10.

1. Cho dóy số (x )_n được xỏc định như sau:x₁=1,x₂=2,x_{n 2+} = x_{n 1+} + x , n 1_n ∀ ≥ . Chứng minh rằng dóy số đó cho cú giới hạn và tỡm giới hạn đú.

2. Cho dóy số = + 

 

n

n n 1

(u ) : u 1

n . Chứng minh rằng dóy (u )_n cú giới hạn hữu hạn.

3. Cho dóy số (u )_n được xỏc định bởi:

+

 =

 − +

 = ∀ =

 + +



1

2n n

n 1 2

n n

u 2

u u 3

u , n 1,2,....

u u 1

Chứng minh rằng dóy (u )_n cú giới hạn hữu hạn và tỡm giới hạn đú.

4. Cho dóy số (u )_n thỏa: u_n+u_{n 1+} ≥2u_{n 2+} và dóy (u )_n bị chặn. Chứng minh rằng dóy (u )_n tồn tại giới hạn hữu và tỡm giới hạn đú.

5. Cho dóy (u )_n được xỏc định bởi:

+ +

 = =

 + +

 =



0 1

n 1 2n n 2

u 1,u 5

u u 6

u 3

. Chứng minh rằng dóy (u )_n cú giới hạn hữu hạn và tỡm giới hạn đú.

6. Cho dóy số (u )_n thỏa món:

+

 =

 + +

 = ≥

 + +



1

2n n

n 1 2

n n

u 1

u 4u 1

u ,n 1

u u 1

. Chứng minh dóy số (u )_n cú giới hạn hữu hạn. Tỡm giới

hạn đú.

7. Cho dóy số (x )_n sao cho

+ −

= =

= +





1 2

n 1 n n 1

x 1;x 2

x 4x 3x . Chứng minh dóy số trờn cú giới hạn và tỡm giới hạn trờn.

Bài 11. Cho dóy số (x )_n xỏc định như sau: = ₊ = ∀ =

0 n 1 + 2

n

x 2011, x 2 ; n 0,1,2,...

1 x 1. Đặt u_n =x , n 1,2,3,..._2n ∀ = Chứng minh dóy (u )_n cú giới hạn hữu hạn.

2. Chứng minh rằng dóy (x )_n cũng cú giới hạn hữu hạn.

Bài 12. Tỡm lim u_n biết:

1. + + + + −

= +

n 2

n. 1 3 5 ... (2n 1)

u 2n 1 2. = + + + −

+ + + +

n 3 2 2 2

1 2 ... n n u lim

1 2 ... n 2n

3. = + + +

+ + + + +

n 1 1 1

u ...

2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1

4. _n= − − −

1 2 n

1 1 1

u (1 )(1 )...(1 )

T T T trong đú T_n=n(n 1)+

2 .

5. = − − −

+ + +

3 3 3

n 3 3 3

2 1 3 1 n 1

u . ....

2 1 3 1 n 1 6.

=

=

∑

ⁿ −

n k

k 1

u 2k 1 2 7. u_n= +q 2q²+ +... nqⁿ với q 1< 8.

=

=

∑

ⁿ +

n 2

k 1

u n

n k

9.

=

=

∑

ⁿ +

n k 1 2

u 1

n k 10. ⁿ=

n dau can

u 2 2... 2 . Bài 13. Cho dóy số (x )_n thỏa món x_n=2n a 8n+ ^{3 3}+ ∀ ∈1 n N, a là số thực cho trước.

1. Tỡm điều kiện của a để dóy số trờn cú giới hạn hữu hạn.

2. Tỡm điều kiện của a sao cho dóy số trờn là dóy số tăng.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 8 Bài 14. Cho số thực α và xột dóy số (x )_n ^với

+

 = α



= − +



12

n 1 n n

x

x x 2x 2 (n∈^* ).

1. Với α ∈(1;2). Chứng minh 1 x< _n<2 ^với mọi n∈^* và (x )_n ^{là dóy s}ố giảm.

2. Với α ∈ +∞[1; ). Tựy vào giỏ trị của α, tỡm giới hạn của (x )_n ^. Bài 15.

1. Gọi (u )_n là dóy số xỏc định bởi u₁=4; u_{n 1+} = − +4 8 3u_n

9 9 9 . Tỡm lim u_n^.

2. Giả sử f(x) ^{là hàm s}ốđược xỏc định trờn tập số thực R và thỏa món bất phương trỡnh: ^{9f 4x}

( )

^{≥ +}4 4 12f 3x 9f 4x

( )

⁻

( )

. Chứng minh: f x

( )

^≥un^{∀ ∈}n ^;x^∈ . Từ đú hóy suy ra ^{f x}

( )

^≥4₃^.

3. Cho cỏc dóy số (x ),(y ),(z )_{n n n} được xỏc định như sau: _{− − − − − −}

= = =

+ + +

= =



 =



1 1 1

n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

n n n

x a;y b;z c

y z z x x y

x ,y ,z

2 2 2

Chứng minh rằng cỏc dóy trờn cựng hội tụ về giỏ trị a b c+ + 3 . 5. Cho a 2> và dóy số

( )

xn với

+

 =

 = + +



1

n 1 2n

x a

2x 3x n 3 n

.

a) Chứng minh : x_n >1^{, v}ới n∈^*

b)Chứng minh dóy số

( )

x_n cú giới hạn và tỡm giới hạn đú.

Bài 16.

1. Dóy số (a )_n được xỏc định bởi :

+ −

 = =



 = ∀ =

 +

1 2

n 1 n n 1

a a 3 22

a , n 2,3,4..

a a

. Chứng minh rằng dóy số (a )_n hội tụ và tỡm giới hạn

của dóy số đú.

2. Cho dóy số (u )_n được xỏc định như sau

+

 =



= + + + + =



1

n 1 n n n n

u 1

u u (u 1)(u 2)(u 3) 1; n 1,2,...Đặt

=

=

∑

ⁿ +

n i 1 i

v 1

u 2. Tỡm lim vn.

3. Cho dóy (x )_n ^:

− − −

 =



 

 =  + +  ∀ ≥

  



1

n 2n 1 n 1 n 1

x 1 21

x x 4x x , n 2

2

. Chứng minh rằng dóy (y )_n xỏc định bởi

=

=

∑

ⁿ

n 2

i 1 i

y 1

x cú giới hạn và tỡm giới hạn đú.

4. Cho a,b^∈^,(a,b) 1;n ab 1,ab 2,...^{= ∈}

{

^{+ +}

}

. Kớ hiệu r_n là số cặp số ^(u,v)∈^ì^{ sao cho} n au bv= + . Chứng minh rằng

→∞ ⁿ =

n

r 1

lim n ab. Bài 17.

1. Cho dóy ₊ + α + α

= =

− α + − α

n 2

n 1 n 1

n

(2 cos2 )x cos (x ) : x 1; x

(2 2cos2 )x 2 cos2 trong đú α là số thực. Đặt

=

= ∀ ≥

∑

ⁿ +

n i 1 i

y 1 n 1

2x 1 . Tỡm α

để dóy số (y )_n cú giới hạn hữu hạn và tỡm giới hạn đú.

2. Cho c là một số thực dương. Dóy (x )_n được xõy dựng như sau: x_{n 1+} = c− c x , n 0,1,2..+ _n = nếu cỏc biểu thức dưới dấu căn khụng õm. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của c, để với mọi giỏ trị ban đầu ^x₀^∈

( )

^{0;c , dóy (x )}_n xỏc định với mọi n và tồn tại giới hạn hữu hạn.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 9

1ii. Baứi taọp traộc nghieọm tửù luyeọn

Vấn đề 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC

Cõu 1. Kết quả của giới hạn lim sin 5 2 3

n n

 

  

 

  bằng:

A. 2. B. 3. C. 0. D. 5

3.

Cõu 2. Cú bao nhiờu số tự nhiờn chẵn k để 2 cos1 1

lim .

2 2

n nk

n n





A. 0. B. 1. C. 4. D. Vụ số.

Cõu 3. Kết quả của giới hạn 3sin 4 cos

lim 1

n n

n



 bằng:

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Cõu 4. Kết quả của giới hạn cos 2₂ lim 5

1

n n

n

 

  

 

   bằng:

A. 4. B. 1

4. C. 5. D. 4.

Cõu 5. Kết quả của giới hạn lim ²sin 2 ³ 5

n n n

 

  

 

  là:

A. . B. 2. C. 0. D. .

Cõu 6. Giỏ trị của giới hạn _{lim 4}  ¹ 1

n

n

  

 

  

 

  

  bằng:

A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.

Cõu 7. Cho hai dóy số

 

un và

 

vn cú

 

2

1 1

n

un

n

 

 và

2

1 .

n 2 v n

 Khi đú ^lim



unvn



cú giỏ trị bằng:

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

Cõu 8. Giỏ trị của giới hạn lim ₂ 3 4n 2n 1



  là:

A. 3 4.

 B. . C. 0. D. 1.

Cõu 9. Giỏ trị của giới hạn lim ₃ 2 ²

3 1

n n

n n



  bằng:

A. 2. B. 1. C. 2

3. D. 0.

Cõu 10. Giỏ trị của giới hạn 3 ³₄ 2 1

lim4 2 1

n n

n n

 

  là:

A. . B. 0. C. 2

7. D. 3. 4

Cõu 11. Giỏ trị của giới hạn lim 1 2 n n

n^



 bằng:

A. 3

2. B. 2. C. 1. D. 0.

Cõu 12. Cho hai dóy số

 

un và

 

vn cú 1

n 1 u n

 và 2 .

n 2 v n

 Khi đú lim ⁿ

n

v

u cú giỏ trị bằng:

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Cõu 13. Cho dóy số

 

un với 4

5 3

n

u an n

 

 trong đú a là tham số thực. Để dóy số

 

un cú giới hạn bằng 2, giỏ trị của a là:

A. a10. B. a8. C. a6. D. a4.

Cõu 14. Cho dóy số

 

un với 2

5 3

n

u n b n

 

 trong đú b là tham số thực. Để dóy số

 

un cú giới hạn hữu hạn, giỏ trị của b là:

A. b là một số thực tựy ý. B. b2.

C. khụng tồn tại b. D. b5.

Cõu 15. Tớnh giới hạn ² ₂ 5

lim .

2 1

n n

L n

  



A. 3

2.

L B. 1

2.

L C. L2. D. L1.

Cõu 16. Cho dóy số

 

un với 4 ² ₂ 2.

n 5

n n

u an

  

 Để dóy số đó cho cú giới hạn bằng 2, giỏ trị của a là:

A. a 4. B. a4. C. a3. D. a2.

Cõu 17. Tớnh giới hạn ₃² 3 ³

lim .

2 5 2

n n

L n n

 

 

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 10

A. 3

2.

L  B. 1.

L5 C. 1

2.

L D. L0.

Cõu 18. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số a để

 

2 4

4

5 3

lim 0.

1 2 1

n an

L a n n

  

  

A. a0;a1. B. 0 a 1.

C. a0;a1. D. 0 a 1.

Cõu 19. Tớnh giới hạn

  

 

 

3 2

4

2 3 1

lim .

2 1 7

n n n

L n n

 

  

A. 3

2.

L  B. L1. C. L3. D. L .

Cõu 20. Tớnh giới hạn

  

 

  

2 3

4 2

2 2 1 4 5

lim .

3 1 3 7

n n n n

L n n n

  

   

A. L0. B. L1. C. 8 3.

L D. L .

Cõu 21. Tớnh giới hạn ³

3

lim 1. 8 L n

n

 



A. 1

2.

L B. L1. C. 1.

L8 D. L . Cõu 22. Kết quả của giới hạn ³ 2₂

lim1 3

n n

n



 là:

A. 1 3.

 B. . C. . D. 2 3.

Cõu 23. Kết quả của giới hạn 2₂ 3 ³

lim4 2 1

n n

n n



  là:

A. 3

4. B. . C. 0 D. 5.

7 Cõu 24. Kết quả của giới hạn 3 ⁴

lim 4 5 n n

n



 là:

A. 0. B. . C. . D. 3 4. Cõu 25. Trong cỏc giới hạn sau đõy, giới hạn nào bằng 0?

A.

3 2

lim3 2 .

2 1

n n



 B.

2 3

2 3

lim .

2 4

n n



 

C.

3 2

2 3

lim .

2 1

n n

n



  D.

2 4

4 2

2 3

lim .

2

n n

n n



 

Cõu 26. Dóy số nào sau đõy cú giới hạn bằng 1

3?

A.

2 2

2 .

3 5

n

n n

u n

 

 B.

4 3

3 2

2 1

3 2 1.

n

n n

u n n

  

  

C.

2 3

3 2

3 .

9 1

n

n n

u n n

 

  D.

2 3

2 5.

3 4 2

n

n n

u n n

  

  

Cõu 27. Dóy số nào sau đõy cú giới hạn là ?

A.

1 2

5 5.

n

u n n

 

 B.

2 3

2 .

5 5

n

u n

n n

 



C.

2 2

2 .

5 5

n

n n

u n n

 

 D. 1 2 ₂.

5 5

n

n n





Cõu 28. Dóy số nào sau đõy cú giới hạn là ?

A. 1 2 ₂ 5 5 .

n

n n



 B.

3 3

2 1.

n 2

n n

u n n

 

  

C.

2 4

2 3

2 3

2 .

n

n n

u n n

 

 D.

2 2

5 1.

n

n n

u n

 



Cõu 29. Tớnh giới hạn ^{Llim 3}



^{n25n3 .}



A. L3. B. L . C. L5. D. L . Cõu 30. Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số a thuộc khoảng



^10;10



để ^{Llim 5}



^n3



^a22



ⁿ³



^{ .}

A. 19. B. 3. C. 5. D. 10.

Cõu 31. Tớnh giới hạn ^{lim 3}



^{n44n2 n 1 .}



A. L7. B. L . C. L3. D. L . Cõu 32. Cho dóy số

 

un với ^{un 2}

 

^{2 2 ...}

 

^{2 .n}

Mệnh đề nào sau đõy đỳng ?

A. limu_n  . B. 2

lim .

1 2

un



C. limu_n  . D. Khụng tồn tại lim .u_n

Cõu 33. Giỏ trị của giới hạn ₂

1 3

1 ...

2 2 2

lim 1

n n

   

 bằng:

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 11 A. 1.

8 B. 1. C. 1

2. D. 1

4.

Cõu 34. Giỏ trị của giới hạn 1₂ 2_{2 2}1

lim ... n

n n n

  

    

 

  bằng:

A. 0. B. 1

3. C. 1

2. D. 1.

Cõu 35. Giỏ trị của giới hạn

 

2

1 3 5 2 1

lim 3 4

n n

      

 

 

 

 

 



bằng:

A. 0. B. 1.

3 C. 2.

3 D. 1.

Cõu 36. Giỏ trị của giới hạn

 

1 1 1

lim ...

1.2 2.3 n n 1

 

 

    

 

 

  là:

A. 1.

2 B. 1. C. 0. D. .

Cõu 37. Giỏ trị của giới hạn

  

1 1 1

lim ...

1.3 3.5 2n 1 2n 1

 

 

    

 

  

  bằng:

A. 1.

2 B. 1.

4 C. 1. D. 2.

Cõu 38. Giỏ trị của giới hạn

 

1 1 1

lim ...

1.4 2.5 n n 3

 

    

  

 

 

bằng:

A. 11

18. B. 2. C. 1. D. 3

2.

Cõu 39. Giỏ trị của giới hạn

 

2 2 2

2

1 2 ...

lim 1

n n n

  

 bằng:

A. 4. B. 1. C. 1.

2 D. 1

3.

Cõu 40. Cho dóy số cú giới hạn

 

un xỏc định bởi

1

1

2 1 .

, 1 2

n

n

n

u

u n

 u

 



  

 



Tớnh lim .u_n

A. limu_n  1. B. limu_n 0.

C. 1

lim .

n 2

u  D. limu_n 1.

Cõu 41. Cho dóy số cú giới hạn

 

un xỏc định bởi

1

1

2 1 .

, 1 2

n n

u

u_ u n

 

 

  

 Tớnh lim .u_n

A. limu_n 1. B. limu_n 0. C. limu_n2. D Cõu 42. Kết quả của giới hạn 9 ² 1

lim 4 2

n n

n

 

 bằng:

A. 2.

3 B. 3

4. C. 0. D. 3.

Cõu 43. Kết quả của giới hạn ²

4

2 1

lim 3 2

n n

n

  

 bằng:

A. 2.

3 B. 1

2. C. 3.

 3 D. 1 2.



Cõu 44. Kết quả của giới hạn lim 2 3

2 5

n n



 là:

A. 5

2. B. 5.

7 C. . D. 1.

Cõu 45. Kết quả của giới hạn 1 4

lim 1

n

n n

 

  bằng:

A. 1. B. 0. C. 1. D. 1

2.

Cõu 46. Biết rằng ²

2

lim 1 sin .

2 4

n n

a b

n n



 

 

  Tớnh

3 3.

Sa b

A. S1. B. S8. C. S0. D. S 1.

Cõu 47. Kết quả của giới hạn ₄ 10₂

lim n n 1 là:

A. . B. 10. C. 0. D. . Cõu 48. Kết quả của giới hạn ^lim



¹



₄² ₂²

1 n n

n n

 

  là:

A. . B. 1. C. 0. D. .

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 12 Cõu 49. Biết rằng ^{3 3 2}

2

5 7

lim 3

3 2

an n b c

n n

 

 

  với a b c, , là cỏc tham số. Tớnh giỏ trị của biểu thức P a c₃ .

b

 

A. P3. B. 1.

P3 C. P2. D. 1 2. P

Cõu 50. Kết quả của giới hạn lim 200 3⁵  n⁵2n² là:

A. . B. 1. C. 0. D. . Vấn đề 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC Cõu 51. Giỏ trị của giới hạn ^lim



^{n 5 n1}



^bằng:

A. 0. B. 1. C. 3. D. 5.

Cõu 52. Giỏ trị của giới hạn ^lim



^{n2  n 1 n}



^là:

A. 1 2.

 B. 0. C. 1. D. .

Cõu 53. Giỏ trị của giới hạn ^lim



^{n2 1 3n22}



^là:

A. 2. B. 0. C. . D. . Cõu 54. Giỏ trị của giới hạn ^lim



^{n22n n22n}



^là:

A. 1. B. 2. C. 4. D. .

Cõu 55. Cú bao nhiờu giỏ trị của a để

 



^{2 2 2}



lim n a n n  a 2 n 1 0.

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Cõu 56. Giỏ trị của giới hạn



^{2 2}



lim 2n   n 1 2n 3n2 là:

A. 0. B. 2

2 . C. . D. .

Cõu 57. Giỏ trị của giới hạn ^lim



^{n22n 1 2n2n}



^là:

A. 1. B. 1 2. C. . D. . Cõu 58. Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của a thỏa



^{2 2}



lim n 8n n a  0.

A. 0. B. 2. C. 1. D. Vụ số.

Cõu 59. Giỏ trị của giới hạn ^lim



^{n22n 3 n}



^là:

A. 1. B. 0. C. 1. D. . Cõu 60. Cho dóy số

 

un với u_n  n²an 5 n²1, trong đú a là tham số thực. Tỡm a để limu_n 1.

A. 3. B. 2. C. 2. D. 3.

Cõu 61. Giỏ trị của giới hạn ^lim



^{3n3 1 3n32}



^bằng:

A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.

Cõu 62. Giỏ trị của giới hạn ^lim



^{3n2n3 n}



^là:

A. 1

3. B. . C. 0. D. 1.

Cõu 63. Giỏ trị của giới hạn ^lim



^{3n32n2n}



^bằng:

A. 1

3. B. 2 3.

 C. 0. D. 1.

Cõu 64. Giỏ trị của giới hạn ^lim ⁿ



^{n 1 n1}



^ là:

A. 1. B. . C. 0. D. 1.

Cõu 65. Giỏ trị của giới hạn ^lim ⁿ



^{n 1 n}



^ bằng:

A. 0. B. 1

2. C. 1

3. D. 1 4.

Cõu 66. Giỏ trị của giới hạn ^lim_ⁿ



^{n2 1 n23}



^_ ^bằng:

A. 1. B. 2. C. 4. D. . Cõu 67. Giỏ trị của giới hạn ^lim_ⁿ



^{n2  n 1 n2 n 6}



^_

là:

A. 7 1. B. 3. C. 7

2. D. .

Cõu 68. Giỏ trị của giới hạn

2

lim 1

2 4

n^  n  là:

A. 1. B. 0. C. . D. .

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 13 Cõu 69. Giỏ trị của giới hạn 9 ² 2

lim 3 2

n n n

n

  

 là:

A. 1. B. 0. C. 3. D. . Cõu 70. Giỏ trị của giới hạn

3 3

lim 1

n  1 n là:

A. 2. B. 0. C. . D. . Vấn đề 3. DÃY SỐ CHỨA HÀM LŨY THỪA

Cõu 71. Kết quả của giới hạn lim 2 5 ² 3 2.5

n

n n

 

 bằng:

A. 25.

 2 B. 5.

2 C. 1. D. 5.

2 Cõu 72. Kết quả của giới hạn lim3 ₁2.5 ¹

2 5

n n

n n







 bằng:

A. 15. B. 10. C. 10. D. 15.

Cõu 73. Kết quả của giới hạn 3 4.2 ¹ 3 lim 3.2 4

n n

n n

  

 là:

A. 0. B. 1. C. . D. . Cõu 74. Kết quả của giới hạn 3 1

lim2 2.3 1

n

n n



  bằng:

A. 1. B. 1 2.

 C. 1

2. D. 3 2. Cõu 75. Biết rằng

 

 

1 2

1 2

5 2 1 2 3 5

lim 5.2 5 3 1

n n

n n

n a c

b n





 

    

 

   

 

  

   

 

với a b c, , .

Tớnh giỏ trị của biểu thức Sa²b²c².

A. S26. B. S30. C. S21. D. S31.

Cõu 76. Kết quả của giới hạn 3 2₂² ₂ lim3 3 2

n n n

n n n



 ^

 

  là:

A. 1. B. 1.

3 C. . D. 1 4.

Cõu 77. Kết quả của giới hạn lim 3 ⁿ 5ⁿ là:

A. 3. B.  5. C. . D. .

Cõu 78. Kết quả của giới hạn ^{lim 3 .2}



^{4 n15.3n}



^là:

A. 2.

3 B. 1. C. . D. 1. 3 Cõu 79. Kết quả của giới hạn 3 4.2 ¹ 3

lim 3.2 4

n n

n n

  

 là:

A. 0. B. 1. C. . D. . Cõu 80. Kết quả của giới hạn 2 ¹₂ 3 10

lim 3 2

n n

n n

  

  là:

A. . B. 2.

3 C. 3

2. D. .

Cõu 81. Tỡm tất cả giỏ trị nguyờn của a thuộc



^0;2018



để

1

4 1

1024.

4 2

lim 3 4

n n

n n a







 

A. 2007. B. 2008. C. 2017. D. 2016.

Cõu 82. Kết quả của giới hạn ² 2  ¹

lim 3 1 3

n n

n n

n

   

 

  

 

  

  bằng:

A. 2.

3 B. 1. C. 1.

3 D. 1.

3

Cõu 83. Kết quả của giới hạn _lim ³  ^{1 cos 3} 1

n n n

n

   

 

 

 

  

  bằng:

A. 3

2 . B. 3. C. 5. D. 1.

Cõu 84. Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của a thuộc



^0;20



^sao

cho

2 2

1 1 lim 3

3 2ⁿ

an n

  

 là một số nguyờn.

A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.

Cõu 85. Kết quả của giới hạn lim 2.3ⁿ n 2 là:

A. 0. B. 2. C. 3. D. .

Vấn đề 4. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI Vễ HẠN

Cõu 86. Tổng của một cấp số nhõn lựi vụ hạn bằng 2, tổng của ba số hạng đầu tiờn của cấp số nhõn bằng 9

4. Số hạng đầu u₁ của cấp số nhõn đú là:

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 14 A. u₁3. B. u₁4. C. ₁ 9

2.

u  D. u₁5.

Cõu 87. Tớnh tổng 9 3 1 1 1 1₃

3 9 3ⁿ

S       _ .

A. 27

2.

S B. S14. C. S16. D. S15.

Cõu 88. Tớnh tổng 1 1 1 1

2 1 2 4 8 2ⁿ

S        .

A. S 2 1. B. S2. C. S2 2. D. 1. S2

Cõu 89. Tớnh tổng 2 4 2

1 3 9 3

n

S     n . A. S3. B. S4. C. S5. D. S6.

Cõu 90. Tổng của cấp số nhõn vụ hạn   ¹

1

1 1 1 1

, , ,..., ,...

2 6 18 2.3

n n





 

bằng:

A. 3

4. B. 8

3. C. 2

3. D. 3 8.

Cõu 91. Tớnh tổng 1 1 1 1 1 1

... ...

2 3 4 9 2ⁿ 3ⁿ

S          .

A. 1. B. 2

3. C. 3.

4 D. 1. 2 Cõu 92. Giỏ trị của giới hạn

 

2 2

1 ...

lim 1, 1

1 ...

n n

a a a

a b

b b b

     

    bằng:

A. 0. B. 1 1 .

b a



 C. 1 1 .

a b



 D. Khụng tồn tại.

Cõu 93. Rỳt gọn

2 4 6 2

cos cos cos

1 x x x cosⁿx

S       với

cosx 1.

A. Ssin .²x B. Scos .²x

C. ¹₂ .

S sin

 x D. 1₂

cos .

S x

Cõu 94. Rỳt gọn

 

2 4 6 2

1 sin sin sin 1ⁿ.sin ⁿ

S  x x x   x với sinx 1.

A. Ssin .²x B. Scos .²x

C. 1 ₂

1 sin .

S x

 D. Stan²x.

Cõu 95. Thu gọn S 1 tantan²tan³ với

0 .

 4

 

A. 1

1 tan .

S 

 B. ^cos .

2 sin 4

S 

 

    

C. tan

1 tan .

S 

 

 D. Stan².

Cõu 96. Cho ,m n là cỏc số thực thuộc



^1;1



và cỏc biểu thức:

2 3

1

M  m m m 

2 3

1

N  n n n 

2 2 3 3

1

A mnm n m n 

Khẳng định nào dưới đõy đỳng?

A. .

1 A MN

M N

   B. .

1 A MN

M N

  

C. 1 1 1

.

AMNMN D. 1 1 1 . AMNMN

Cõu 97. Số thập phõn vụ hạn tuần hoàn 0,5111 được biểu diễn bởi phõn số tối giản a

b. Tớnh tổng T  a b. A. 17. B. 68. C. 133. D. 137.

Cõu 98. Số thập phõn vụ hạn tuần hoàn A0,353535... được biểu diễn bởi phõn số tối giản a

b. Tớnh Tab. A. 3456. B. 3465. C. 3645. D. 3546.

Cõu 99. Số thập phõn vụ hạn tuần hoàn B5,231231... được biểu diễn bởi phõn số tối giản ^a

b. Tớnh T a b. A. 1409. B. 1490. C. 1049. D. 1940.

Cõu 100. Số thập phõn vụ hạn tuần hoàn 0,17232323 được biểu diễn bởi phõn số tối giản a

b. Khẳng định nào dưới đõy đỳng?

A. a b 2 .¹⁵ B. a b 2 .¹⁴

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 15 C. a b 2 .¹³ D. a b 2 .¹²

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - ^0946798489 Page | 1

1. GI Ớ I H Ạ N DÃY S Ố

V ấn đề 1. Tỡm gi ớ i h ạ n b ằng định nghĩa

Cỏc vớ dụ

Vớ dụ 1. Chứng minh rằng:

1. + =

+ limn 2 1

n 1 2. − =

+

2 2

n 1 1

lim2n 1 2 3. − = −

2+

lim 1 2n 2

n 1

Lời giải.

1. Với a 0> nhỏ tựy ý, ta chọn n_a > −1 1 a , ta cú:

+ − = < <

+ + _a+

n 2 1 1 1 a

n 1 n 1 n 1 với ∀ >n n_a

Suy ra + − = ⇒ + =

+ +

n 2 n 2

lim 1 0 lim 1

n 1 n 1 .

2. Với a 0> nhỏ tựy ý, ta chọn n_a > 3−1 a , ta cú:

− − = < <

+ + +

2

2 2 2

a

n 1 1 3 3 a

2n 1 2 n 1 n 1 với ∀ >n n_a

Suy ra − − = ⇒ − =

+ +

2 2

2 2

n 1 1 n 1 1

lim 0 lim

2 2

2n 1 2n 1 .

3. Với a 0> nhỏ tựy ý, ta chọn _a > −

2

n 9 1

a , ta cú:

− + = − + + < − + + =

+ + + +

2

2 2 2 2

1 2n 2 1 2n 2 n 1 1 2n 2(n 1) 3

n 1 n 1 n 1 n 1 < <

2+

a

3 a

n 1 với ∀ >n n_a.

Suy ra − + = ⇒ − = −

+ +

2 2

1 2n 1 2n

lim 2 0 lim 2

n 1 n 1 .

Vớ dụ 2. Chứng minh rằng dóy số(u ) : u_{n n} = −( 1)ⁿ khụng cú giới hạn.

Lời giải.

Ta cú: u_2n= ⇒1 lim u_2n=1; u_{2n 1+} = − ⇒1 lim u_{2n 1+} = −1

Vỡ giới hạn của dóy số nếu cú là duy nhất nờn ta suy ra dóy (un) khụng cú giới hạn.

Vớ dụ 3. Chứng minh cỏc giới hạn sau:

1. limn²+1= +∞

n 2. lim2 n− = −∞

n Lời giải.

1. Với mọi số thực dương M lớn tựy ý, ta cú:

+ >