Đại số - Tiết 60: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bµi tËp: Nh÷ng ph ¬ng tr×nh nµo sau ®©y lµ ph ¬ng tr×nh bËc hai mét Èn ?

a) 4x

+ x – 5 = 0

b) x

- 13x

+ 36 = 0 (1) c) 4x

+ x

– 5 = 0

d) 2x

– 3x

+ 5 = 0

Nhận xét:

1. Ph ơng trình trùng ph ơng:

Ph ơng trình trùng ph ơng là ph ơng trình có dạng ax⁴ + bx²+ c = 0 (a  0)

Tieỏt 60:

Nếu đặt thì ta có ph ơng trình bậc hai

2  t

2 x

at  bt + c = 0

Ví dụ 1: Giải ph ơng trình:

x⁴ - 13x² + 36 = 0 ⁽¹⁾

Giải: - Đặt x² = t. Điều kiện là t  0 Ta có ph ơng trình bậc hai ẩn t

t2 13t +36 = 0 (2)

- Giải ph ơng trình (2) :

 = 169 -144 = 25 ;   5

1 2

13 5 13 5

t 4 t 9

2 2

 

  và  

Cả hai giá trị 4 và 9 đều thoả mãn t  0.

Với t₁ = 4 ta có x² = 4 . Suy ra x₁ = -2, x₂ = 2.

Với t₂ = 9 ta có x² = 9 . Suy ra x₃ = -3, x₄ = 3.

Vậy ph ơng trình ( 1) có bốn nghiệm:

x₁ = -2; x₂ = 2; x₃ = -3; x₄ = 3.

Caực bửụực giaỷi phửụng trỡnh truứng phửụng ?

Các bước giải phương trình trùng phương:

ax⁴ + bx² + c = 0

Các bước giải phương trình trùng phương:

ax⁴ + bx² + c = 0

4. Kết luận số nghiệm của phương trình đã cho.

1. Đặt x² = t ^{(t  0)}

Đưa phương trình trùng phương về phương trình bậc 2 theo t: at² + bt + c = 0

2. Giải phương trình bậc 2 theo t t

3.Lấy giá trị t  0 thay vào x² = t để tìm x.

x = ±

Gi¶i c¸c ph ¬ng tr×nh trïng ph ¬ng sau:

?1

a) 4x⁴ + x² - 5 = 0 b) 3x⁴ + 4x² + 1 = 0

1 a) 4x⁴ + x² - 5 = 0 (1)

ẹaởt x² = t; t  0

Ta coự: 4t² + t - 5 = 0 Vỡ a + b + c = 4 +1 -5 = 0  t₁= 1; t₂ = -5 (loaùi)

t₁= 1  x² = 1  x = ±  x = ±1 Vaọy phửụng trỡnh ủaừ cho coự 2 nghieọm:

x₁=1; x₂ = -1

Tieỏt 60:

2

2 1 1

t 3 3

    

1

t 2 1 1

3

     (loaùi)

(loaùi)

Phửụng trỡnh ủaừ cho voõ nghieọm Vì a – b + c = 3 – 4 + 1 = 0

nên:

4 2

b)3x  4x  1 0 (2)

4 2

ẹaởt x = t ( t 0)

Ta coự: 3t + 4t + 1 = 0

4 2

c) x - 16x = 0 d) x + x = 0^{4 2}

Baứi giaỷi: ?1

? Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:

c) x⁴ - 16x² = 0 (3) ẹaởt x² = t; t  0 Ta coự: t² -16 t = 0  t(t-16) = 0  t = 0

hoaởc t -16 = 0  t = 16

* Vụựi t = 0  x² = 0  x = 0

* Vụựi t₁= 16  x² = 16  x = ±  x = ± 4

Vaọy phửụng trỡnh coự 3 nghieọm x₁ = 0; x₂= 4; x₃ = -4

16

Tieỏt 60:

ẹaởt x² = t; t 0 Ta coự t² + t = 0  t(t+1) = 0

 t= 0 hoaởc t+1 = 0  t= 0 hoaởc t = -1 (loaùi) * Vụựi t = 0  x² = 0  x = 0

Vaọy phửụng trỡnh ủaừ cho coự nghieọm x= 0

Vaọy phửụng trỡnh truứng phửụng coự theồ coự 1 nghieọm, 2 nghieọm, 3 nghieọm, 4 nghieọm, voõ nghieọm

Phửụng trỡnh truứng phửụng coự theồ coự bao nhieõu nghieọm?

2.

:

Khi giải ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm nh sau:

B ớc 1: Tìm điều kiện xác định của ph ơng trình;

B ớc 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức;

B ớc 3: Giải ph ơng trình vừa nhận đ ợc;

B ớc 4: Trong các giá trị tìm đ ợc của ẩn, loại các giá trị không thoả

mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của ph ơng trình đã cho;

Tieỏt 60:

?2 Giải ph ơng trình: x² - 3x + 6 x² - 9

= 1

x - 3 (3) Bằng cách điền vào chỗ trống ( … ) và trả lời các câu hỏi:

- Điều kiện : x  …

- Khử mẫu và biến đổi: x² - 3x + 6 = …..  x² - 4x + 3 = 0.

- Nghiệm của ph ơng trình x² - 4x + 3 = 0 là x₁ = … ; x₂ = …..

Hỏi: x₁ có thoả mãn điều kiện nói trên không? T ơng tự, đối với x₂? - Vậy nghiệm ph ơng trình ( 3) là: ...

Tieỏt 60:

3

x + 3

1 3

x = 1 ( 1 thỏa mãn), x = 3 ( ₂ không thỏa mãn) x = 11

3.

:

Ví dụ 2: Giải ph ơng trình: ( x + 1) ( x² + 2x - 3) = 0 (4)

?3 Giải ph ơng trình sau bằng cách đ a về ph ơng trình tích:

x³ + 3x² + 2x = 0

x.( x² + 3x + 2) = 0  x = 0 hoặc x² + 3x + 2 = 0 Giải x² + 3x + 2 = 0 vì a – b + c = 1 - 3 + 2 = 0

Nên ph ơng trình x² + 3x + 2 = 0 có nghiệm là x₁= -1 và x₂ = -2 Vậy ph ơng trình x³ + 3x² + 2x = 0 có ba nghiệm là

x₁= -1; x₂ = -2 và x₃ = 0 .

Tieỏt 60:

Giaỷi :

Hướngưdẫnưvềưnhà:ư( Chuẩn bị cho giờ học sau ) + Nắm vững cách giải các dạng ph ơng trình quy về bậc hai:

- Ph ơng trình trùng ph ơng, - Ph ơng trình có ẩn ở mẫu, - Ph ơng trình tích.

+ Làm các bài tập 34, 35 , 36 ( SGK- Trg 56).

Tieỏt 60: