SBT Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 9

(1)

Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 80 trang 18 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a)

(

²⁻ ²

)(

⁻^{5 2}

) (

⁻ ^{3 2}⁻⁵

)

²

b) 22 3a 75a a ^13,5 ² 300a³ 2a 5

− + − với a > 0

Lời giải:

a)

(

²⁻ ²

)(

⁻^{5 2}

) (

⁻ ^{3 2}⁻⁵

)

²

( ) ( )

² ²

2. 5 2 2.5 2 3 2 2.5.3 2 5

= − + − + −

10 2 10 18 30 2 25

= − + − + −

(

^{10 2} ^{30 2}

) (

^{10 18} ²⁵

)

= − + + − −

20 2 33

= −

b)2 3a 75a a ^13,5 ² 300a³ 2a 5

− + −

2

13,5a 2 2

2 3a 25.3.a . 100a .3a 2a 5

= − + −

27 2

2 3a 5 3a a .10 a . 3a

4 5

= − + −

9 2

2 3a 5 3a . 3a .10.a. 3a

4 5

= − + − (vì a > 0 nên |a| = a)

2 3a 5 3a 3 3a 4a 3a

= − + 2 −

2 5 3 3a

2

 

= − +  −4a 3a

(2)

3 3a 4a 3a 2

= − − .

Bài 81 trang 18 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) ^a ^b ^a ^b

a b a b

+ + −

− + với a0;b0;a b b)

3 3

a b a b

a b

− − −

− − với a0;b0;ab Lời giải:

a) ^a ^b ^a ^b

a b a b

+ + −

− +

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

a b a b a b a b

+ + − −

= +

− + + −

a 2 ab b a 2 ab b

a b a b

+ + − +

= +

− −

a 2 ab b a 2 ab b a b

+ + + − +

= −

2a 2b a b

= +

− với a0;b0;a b b)

3 3

a b a b

a b

− −

−

( )( ) ( ) ( )

( )( )

3 3

a b a b a b

− + −

= −

− − −

( )( )

(

^a ^b

)(

^a ^ab ^b

)

a b

a b a b

− + +

= + −

− +

(3)

a ab b

a b

+ +

= + −

+

(

^a ^b

)(

^a ^b

)

a ab b

a b a b

+ + + +

= −

+ +

a 2 ab b a ab b

a b a b

+ + + +

= −

+ +

a 2 ab b a ab b

a b

+ + − − −

= +

ab

a b

= + với a0;b0;a b

Bài 82 trang 18 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Chứng minh:

2

2 3 1

x x 3 1 x

2 4

 

+ + = +  +

 

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x² +x 3 1+ . Giá trị nhỏ nhất đó đạt được khi x bằng bao nhiêu.

Lời giải:

a)

2

2 3 1

x x 3 1 x

2 4

 

+ + = +  +

 

VP

2

3 1

x 2 4

 

= +  +

 

2

2 3 3 1

x 2.x.

2 2 4

 

= + +  +

 

2 3 1

x x 3

4 4

= + + + x2 3x 1

= + + = VT (điều phải chứng minh)

(4)

b) Theo câu a ta có:

2

2 3 1

x x 3 1 x

2 4

 

+ + = +  +

 

Vì

2

x 3 0

2

 

+ 

 

  với mọi x

Do đó

2

3 1 1

x 2 4 4

 

+ + 

 

 

Dấu “=” xảy ra x ³ 0

 + 2 = x 3

2

 = − .

Vậy x² +x 3 1+ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ¹

4 khi x ³ 2

= −

Bài 83 trang 19 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ

a) ² ²

7 5− 7 5

− +

b) ⁷ ⁵ ⁷ ⁵

7 5 7 5

+ + −

− +

Lời giải:

a) ² ²

7 5− 7 5

− +

( )

( )( ) ( )

( )( )

2. 7 5 2 7 5

7 5 7 5 7 5 7 5

+ −

= −

+ − + −

(5)

2 7 10 2 7 10

7 25 7 25

+ −

= −

− −

2 7 10 2 7 10 20 10

18 18 9

+ − +

= = =

− − −

Vì 10

−9 là số hữu tỉ nên ² ² 7 5− 7 5

− + là số hữu tỉ.

b) ⁷ ⁵ ⁷ ⁵

7 5 7 5

+ + −

− +

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

7 5 7 5 7 5 7 5

+ + − −

= +

+ − + −

7 2 5. 7 5 7 2 5. 7 5

7 5 7 5

+ + − +

= +

− −

7 2 35 5 7 2 35 5 2

+ + + − +

=

24 12

= 2 =

Vì 12 là số hữu tỉ nên ⁷ ⁵ ⁷ ⁵

7 5 7 5

+ + −

− + là số hữu tỉ.

Bài 84 trang 19 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm x, biết:

a) 4

4x 20 3 5 x 9x 45 6

+ − + +3 + =

b) 25x 25 ¹⁵ ^{x 1} 6 x 1

2 9

− − − = + −

Lời giải:

(6)

a) Điều kiện:

4x 20 0 4x 20

5 x 0 x 5

9x 45 0 9x 45

+   −

 

 +    −

 

 +    −

 

x 5

  −

4x 20 3 5 x 4 9x 45 6

+ − + + 3 + =

( )

⁴

( )

4. x 5 3 x 5 . 9 x 5 6

 + − + + 3 + =

2 x 5 3 x 5 4.3. x 5 6

 + − + + 3 + =

2 x 5 3 x 5 4 x 5 6

 + − + + + =

( )

x 5. 2 3 4 6

 + − + =

3 x 5 6

 + =

x 5 6 : 3

 + =

x 5 2

 + =

x 5 4

 + = x 4 5

 = −

x 1

 = − (thỏa mãn) Vậy x = -1

b)

Điều kiện:

( )

25x 25 0 25 x 1 0

x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1

9 x 1 0

x 1 0

− 

  − 

 − 

   −   −   

 

 −   − 



15 x 1

25x 25 6 x 1

2 9

− − − = + −

(7)

( )

¹⁵ ^{x 1}

25. x 1 6 x 1

2 9

 − − − = + −

5 x 1 5 x 1 x 1 6

 − − 2 − − − = x 1. 5 5 1 6

2

 

 −  − − =

3 x 1 6

 2 − = x 1 6 :3

 − = 2

x 1 4

 − =

x 1 16

 − = x 16 1

 = + x 17

 = (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 17

Bài 85 trang 19 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức:

x 1 2 x 2 5 x

P x 2 x 2 4 x

+ +

= + +

− + −

a) Rút gọn P nếu x0; x4. b) Tìm x để P = 2.

Lời giải:

a) P ^x ¹ ^{2 x} ² ^{5 x}

4 x

x 2 x 2

+ +

= + +

− + −

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

x 1 x 2 2 x x 2 2 5 x

P

x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

+ + − +

 = + −

− + − + − +

(8)

(

^x ^x

)(

^{2 x} ²

) (

^2x

)(

^{4 x}

) (

²

)(

^{5 x}

)

P

x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

+ + + − +

 = + −

− + − + − +

( )( )

x x 2 x 2 2x 4 x 2 5 x P

x 2 x 2

+ + + + − − −

 = − +

( ) ( ) ( )

( )( )

x 2x x 2 x 4 x 5 x 2 2 P

x 2 x 2

+ + + − − + −

 = − +

(

^3x

)(

^{6 x}

)

P

x 2 x 2

 = −

− +

( )

(

^{3 x}

)(

^x ²

)

P

x 2 x 2

 = −

− +

P 3 x

x 2

 = + với x0; x 4

b) Để P = 2 thì ^{3 x} 2 x 2 =

+

( )

3 x 2. x 2

 = +

3 x 2 x 4

 = +

3 x 2 x 4

 − =

x 4

 =

x 16

 = (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 16 thì P = 2

Bài 86 trang 19 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức:

(9)

1 1 a 1 a 2

Q :

a 1 a a 2 a 1

 + + 

 

= − −   − − − 

a. Rút gọn Q với a > 0, a ≠ 4 và a ≠ 1 b. Tìm giá trị của a để Q dương.

Lời giải:

a) 1 1 a 1 a 2

Q :

a 1 a a 2 a 1

 + + 

 

= − −   − − − 

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

a 1 a 1 a 2 a 2

a a 1

Q :

a a 1 a a 1 a 2 a 1 a 2 a 1

 −   + − + − 

   

 = − −

 − −   − − − − 

   

( ) ( )( ) ( )( )

a a 1 a 1 a 4

Q :

a a 1 a 2 a 1 a 2 a 1

 

− +  − − 

 = −

 

−  − − − − 

(

¹

) (

^{a 1 a}

)(

⁴

)

Q :

a a 1 a 2 a 1

 − − + 

 

 = −  − − 

(

¹

) ( )(

³

)

Q :

a. a 1 a 2 a 1

 = − − −

(

1

) (

^a ²

)(

^a ¹

)

Q .

a a 1 3

− −

 = −

a 2 Q 3 a

 = − với a > 0, a ≠ 4 và a ≠ 1

b) Để Q dương thì ^a ² 0 3 a

− 

(10)

a 2

 − và a cùng dấu.

Mà 3 a 0 với mọi a thỏa mãn điều kiện Do đó: a 2 0− 

a 2

 

a 4

 

Kết hợp với điều kiện vậy a > 4 thì Q dương.

Bài 87 trang 19 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức: a + b + c ≥ ab + bc + ca

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.

Lời giải:

Vì a, b và c không âm nên a; b; c tồn tại.

Ta có:

(

^a ⁻ ^b

)

² ^⁰

a b

a 2 ab b 0 a b 2 ab ab

2

 − +   +   +  (1)

Ta có:

(

^b⁻ ^c

)

² ^⁰

b c

b 2 bc c 0 b c 2 bc bc

2

 − +   +   +  (2)

Ta có:

(

^c ⁻ ^a

)

² ^⁰

c a

c 2 ca a 0 c a 2 ac ac

2

 − +   +   +  (3)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:

(11)

a b b c c a

ab bc ac

2 2 2

+ + + + +  + +

a b b c c a

ab bc ca 2

+ + + + +

  + +

2a 2b 2c

ab bc ca 2

+ +

  + +

( )

2 a b c

ab bc ac

2

 + +  + +

a b c ab bc ac

 + +  + + .

Điều phải chứng minh.

Bài tập bổ sung

Bài 8.1 trang 20 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Bất phương trình: 32 x – ( 8 + 2 )x > 2 tương đương với bất phương trình.

A) 20x  x B) 2 5x 2 C) 15 2x  2 D) 2x 2

Hãy chọn đáp án đúng

Lời giải:

32 x – ( 8 + 2 )x > 2

16. 2.x 8x 2x 2

 − − 

4 2x 2 2x 2x 2

 − − 

2x 2

 

(12)

Chọn đáp án D.