Phần tử và hệ thống liên tục

(1)

•1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM TPHCM.

KHOA CƠ KHÍ CÔNG NGHỆ BỘ MÔN CƠ ĐiỆN TỬ.

BÀI GiẢNG

:

LÝ THUYẾT ĐiỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG GV: Th.S Nguyễn Tấn Phúc.

phucpfiev1@gmail.com.

(2)

Chương 2: Mô tả toán học

Phần tử và hệ thống liên tục

2.1 Phương trình vi phân.

2.2 Phép biến đổi Laplace.

2.3 Hàm truyền.

2.4 Sơ đồ khối.

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình.

2.6 Graph tín hiệu.

2.7 Phương trình trạng thái.

•2

(3)

•3

2.3 Hàm truyền.

(4)

2.1 Phương trình vi phân

•4

a_i , b_i : thông số của hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C,…) r(t) : tín hiệu vào

y(t) : tín hiệu ra

n = bậc của hệ thống = bậc ph.trình vi phân

Với hệ thống thực tế : m  n (nguyên lý nhân quả)

1 1

1 1 0 1 1 0

n n m m

n n n n m m m m

d y d y d r d r

a a ... a y(t) b b ... b r(t)

dt dt dt dt

 

   

      

Tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra của một hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO có thể mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:

(5)

Ví dụ 2.1: Hệ lò xo – khối lượng – giảm chấn

Áp dụng Định luật II Newton :

•5

m : khối lượng, [kg]

b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m]

k : độ cứng lo xo, [N/m]

 Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N]

 Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]

2

 

ⁱ

 

^ms



^lx

m d y F F(t) F F

dt

2 2

d y dy

m b ky(t) F(t)

dt



dt

 



ms



F b dy

 dt

F

lx

ky(t)

Lực giảm chấn : Lực lò xo :

F(t)

F

_ms

F

_lx

m

(+)

(6)

Ví dụ 2.2: Mạch điện RLC nối tiếp

Theo định luật Kirchhoff :

•6



Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: điện áp u

_c

  

R L C

u u u u

L



u L di dt

 1 

uC idt C

R



u Ri

2 2

C C

C

d u du

LC RC u u

dt  dt  

Trong đó:

 

du^C i C

dt

 du

^C

RC dt

2

 d u

2^C

LC dt

(7)

Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô

•7

 

m dv bv(t) f(t) dt

m : khối lượng xe

b : hệ số cản của không khí (ma sát nhớt)



Tín hiệu vào: Lực đẩy của động cơ, f(t)



Tín hiệu ra: vận tốc của xe , v(t)

f(t) b

v(t)

(8)

Ví dụ 2.4: Bộ giảm xóc của xe ôtô, xe máy

•8

m : khối lượng, [kg]

b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m]

k : độ cứng lo xo, [N/m]

 Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m]

 Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]

2 2

d y dy dr

m b ky(t) b kr(t)

dt dt

dt

   

(9)

•9

Ví dụ 2.5: Mạch điện RLC

2

C C

C

d u du

RLC L Ru Ru

dt  dt  

2

C C

C

d u du du

RLC L Ru L

dt  dt   dt

i

(10)

2.3 Hàm truyền.

•10

(11)

2.2 Phép biến đổi Laplace

•11

Nghieäm y(t)

Nghieäm Y(s)

(12)

2.2.1 Định nghĩa

• Cho hàm thời gian f(t) xác định với mọi t  0, biến đổi Laplace của f(t) là:

•12

s : biến Laplace (biến số phức) L : toán tử biến đổi Laplace

F(s): biến đổi Laplce hay ảnh Laplace của f(t)

Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân trong biểu thức định nghĩa trên là hội tụ (hữu hạn).

st 0

F(s) L[f (t)] f (t)e dt

 

  

(13)

• Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược của F(s) là một hàm thời gian f(t) xác định bởi:

•13

Trong đó :



C là đường cong kín được lựa chọn trong miền s



j là số ảo đơn vị (j

²

=-1)

1 ts

c

f (t) L [F(s)] 1 F(s)e ds 2 j







  t  0

(14)

2.2.2 Tính chất 1) Tuyến tính

2) Ảnh của đạo hàm

Giải phương trình vi phân bậc n cần n điều kiện đầu:

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •14

(n 1)

f (0), f (0), f (0), ..., f

^

(0)

L [f

₁

(t)  f

₂

(t)] = F

₁

(s)  F

₂

(s) L[kf(t)] = kF(s)

y( ) 0 là vận tốc ban đầu (tại t=0).

2 điều kiện đầu: y(0) là vị trí ban đầu (tại t=0) 300 y(t)  5 y(t)  20 y(t)  100

Ví dụ : Giải ph.trình vi phân mô tả chuyển động bậc hai:

(15)

2.2 Phép biến đổi Laplace

2a) Nếu các điều kiện đầu khác 0

•15

( ) ( 1)

1

[ ( )] ( )

^ ^

(0)







ⁿ

n n n i i

i

L f t s F s s f

300 s Y(s)

2

 5 sY(s)  20 Y(s)  100 R(s)

300

2

5 20 100

( s  s  )Y(s)  R(s) L[f (t)]  s F(s) sf (0) f (0)

2

 

(3) 3 2

L[f (t)]  s F(s) s f (0) sf (0) f (0)   

300

y(t)

 5

y(t)

 20

y(t)

 100

r(t)

Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 ta được:

Ví dụ, xét ptvp:

[

( )ⁿ

( )] 

ⁿ

( ) L f t s F s

2b) Nếu các điều kiện đầu = 0

(16)

3) Ảnh của tích phân

•16

0

( ) ( )

 

  

 

^t

 F s L f t dt

s 4) Ảnh của hàm trễ

f(t-T) = f(t) khi t  T = 0 khi t<T

L[f (t  T)]  e

^Ts

F(s) 5) Ảnh của tích chập

t t

1 2 1 2 1 2

0 0

f (t) *f (t) f ( ). f (t )d f (t ). f ( )d

ÑN

           

1 2 1 2

L[f (t) *f (t)]  F (s).F (s)

(17)

6) Nhân hàm f(t) với e

^-^^t

•17

0

[ ( )] ( ) [ ( )] ( )

^t







^t ^st

     

L e f t e f t e dt L f t F s

8) Định lý giá trị đầu

t 0 s

f (0) lim f (t) lim [s.F(s)]

 

 

Nhân f(t) với e

^-^^t

 thay s bằng (s+  ) trong ảnh Laplace.

7) Định lý giá trị cuối

t s 0

f ( ) lim f (t) lim [s.F(s)]

 

  

(18)

2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 1) Hàm bậc thang (hàm bước) đơn vị

•18

Xét hàm bậc thang K(t)=K.1(t):

st st

0 0

1 1 1

L[1(t)] e dt .e (0 1)

s s s

   

       

L[K.1(t)] K.L[1(t)] K

  s

(19)

2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 2) Hàm xung đơn vị (xung Dirac)

•19

0 0

st 0

0 0 0

(t)e dt (t)e dt (t)dt 1

  

 

     

  

3) Hàm mũ e

^-^^t

(  <0)

t st (s )t

0 0

e e dt e dt

 

 



 

    e s

^{ }^(s

 

^)t ^₀

 s   1

L[e

^t

]  L[ (t)]  

t

(t) 0

t 0

1



a0

a

h

(20)

2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 4) Hàm dốc đơn vị

•20

r(t) t.1(t) t

0

   



khi t  0 khi t < 0

e

st

u t ; v

s

 



2 2

st st

st

0 0 0

te e 1 1

L[t.1(t)] te dt dt 0

s s s s

    





    

  

t

2 0

L[1(t)] 1 L[t.1(t)] L 1(t)dt

s s

 

    

  

Lấy tích phân từng phần

Cũng có thể dùng tính chất ảnh của tích phân:

udv  uv  vdu

 

Theo cách tương tự, ta tính được ảnh của t

²

, t

³

, t

ⁿ

… t.1(t)

t

0

(21)

2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 5) Hàm lượng giác sin  t, cos  t, …

•21

j t j t

cos t jsin t e cos t jsin t e



    

 

    





^{j t} ^{j t}



^st



^^{s j} ^^t ^^{s j} ^^t



0 0

1 1

e e e dt

L[cos t]

e e dt

2 2

 

     





  

 

 

 

Công thức Euler:



^{j t} ^{j t}

 

^{j t} ^{j t}



1 1

cos t e e ; sin t e e

2 2 j

     

      

1 1 1

... 2 j s L[sin

s j

t] j

 

        

  

1 1 1

2 s j s j

 

         

² ²

s

 s

 

2 2

 s 

 

(22)

Một số biến đổi Laplace thường dùng (trang 20)

TT f(t) F(s)

1 1(t)

3 8 9

17 18

2 2

s (s )

 

   

2 2

(s )



    e

^t

cos t 

e

^t

sin t 

1

(s

 

)n

1

s

 

2

1

(s

 

)

1

/ s

e

^t

te

^t n 1

t

(n 1)! e

 



(23)

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Bài toán : Biết hàm Y(s) , tìm hàm thời gian y(t)=?

Y(s) thường có dạng tỉ số của hai đa thức theo s:

m m 1

m m 1 0

n n 1

n n 1 0

b s b s ... b Y(s) P(s)

Q(s) a s a s ... a

 

  

 

  



PP giải: Phân tích Y(s) thành tổng các phân thức đơn giản, sau đó áp dụng các công thức cơ bản.



Cách phân tích Y(s) hoàn toàn phụ thuộc vào loại nghiệm của mẫu số Q(s) (nghiệm đơn/ bội/ phức).

n n

1 1

i i

i 1 i 1

y(t) L [Y(s)]

^

L [Y (s)]

^

y (t)

 

    

(m<n)

(24)

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

1) Mẫu số của Y(s) chỉ có nghiệm đơn

Các hệ số A

_i

(i=1,2,…,n) xác định bởi:

n 1 2 n

Q(s)  a (s s )(s s )...(s s )   

1 2 i n

A A A A

Y(s) P(s) ... ...

Q(s) s s s s s s s s

      

   

i i

i i i s s

s s

A lim [(s s ).Y(s)] [(s s ).Y(s)]

_





  

i 1 2 n

n

s t s t s t s t

i 1 2 n

i 1

y(t) A e A e A e ... A e



     

Tra bảng ta có:

¹ ⁱ _i ⁱ

i

A

s t

L A e

s s



 

   

 



Giả sử Q(s) có n nghiệm đơn s

₁

, s

₂

,…, s

_n

Khi đó có thể phân tích :

(25)

Ví dụ : Tìm y(t) biết

2 s 2 s 2

5s 3 7 A lim [(s 2)Y(s)] lim

2s(s 5) 12

 

    



1 2

A

3

A A

Y(s) 5s 3

2s(s 2)(s 5) s s 2 s 5

    

   

1 s 0 s 0

5s 3 3

A lim [s.Y(s)] lim

2(s 2)(s 5) 20

 

   

 

Giải. Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm đơn s

₁

=0, s

₂

=-2 , s

₃

=-5 và hệ số a

_n

=2. Do đó có thể phân tích :

2

Y(s) 5s 3

s(2s 14s 20)

 

 

3 s 5

A lim [(s 5)Y(s)]







s 5

5s 3 22 11

lim

^

2s(s 2) 30 15

     



(26)

3 7 11

Y(s)  20s  12(s 2)  15(s 5)

 

2t 5t

3 7 11

y(t) e e

20 12 15

 

  



t 0

y(0) lim[y(t)] 0







t

y( ) lim[y(t)] 3 / 20

 





s 0

y( ) lim[s.Y(s)] 3 / 20

 





s

y(0) lim[s.Y(s)] 0







Nhận xét:

(27)

2

18s 126

Y(s) s(s 23s 126)

 

 

9t 14t

4 9

y(t) 1 e e

5 5

 

  

(28)

2) Mẫu số của Y(s) có nghiệm bội

r

n 1 n r k

Q(s)  a (s s )...(s s  

_

)(s s ) 

   

1 n r r 2 1

r 2

1 n r k k k

A A B B B

Y(s) ... ...

s s s s s s s s s s



      

    

i

i i

s s

A lim [(s s ).Y(s)]







Giả sử Q(s) có (n-r) nghiệm đơn s

₁

, s

₂

,…, s

_n-r

và một nghiệm bội s

_k

lặp r lần

s sk

r i r

i r i k

1 d

B lim (s s ) .Y(s)

(r i)!

^

ds



   

         ( i=r,r-1,…,1)

( i=1,2,…,n-r)

(29)

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

s sk

r i

r

i r i k

1 d

B lim (s s ) .Y(s)

(r i)!

^

ds



   

        

   

1 n r r 2 1

r 2

1 n r k k k

A A B B B

Y(s) ... ...

s s s s s s s s s s



      

    

2 2

2 k 1 k

s sk s sk

B lim (s s ) .Y(s) ; B lim d (s s ) .Y(s)

 

ds

 

   

           



^{n r} _i ^{s t}ⁱ _r ^{r 1} ^{s t}^k ₂ ^{s t}^k ₁ ^{s t}^k

i 1

y(t) A e B t e ... B te B e (r 1)!

 



    

 



Nếu r =2 (nghiệm kép), cần tìm 2 hệ số B

₂

, B

₁^:

( i=r,r-1,…,1)

(30)

Ví dụ : Tìm y(t) biết

 

1 2 2 1

2 2

A A B B

5s 24

Y(s) s(s 4)(s 3) s s 4 s 3 s 3

     

    

1 s 0 s 0 2

5s 24 A lim [s.Y(s)] lim

(s 4)(s 3)

 

   

 

Giải. Mẫu số của Y(s) có 2 nghiệm đơn s

₁

=0 ; s

₂

=-4 và một nghiệm kép s

_k

=-3 nên có thể phân tích :

2

5s 24 Y(s) s(s 4)(s 3)

 

 

2 s 4 s 4 2

5s 24 A lim [(s 4)Y(s)] lim

s(s 3)

 

    



2

2 s 3 s 3

5s 24 B lim [(s 3) Y(s)] lim

s(s 4)

 

    



24 2 36  3

4 1

4  



9 3

3  



(31)

   

²

2 1 3 1

Y(s) 3s s 4 s 3 3(s 3)

   

  

2

1 s 3 s 3

d d 5s 24

B lim [(s 3) Y(s)] lim

ds ds s(s 4)

 

    

 

               

1 s 3 2 2

5s(s 4) (2s 4)(5s 24) 3 1 B lim

9 3 s (s 4)



   

  





4t 3t 3t

2 1

y(t) e 3te e

3 3

  

   



2

u ' u v v u

v v

  

  

   

Lưu ý:

(32)

•Bài giảng : Lý Thuyết Điều Khiển Tự

Động •32

2

3s 40

Y(s) s(s 5)(s 3)

 

 

5t 3t 3t

8 5 31 13

y(t) e te e

9 4 -

^

- 6

^

36

^

 

(33)

3) Mẫu số của Y(s) có nghiệm phức

n 1 n 2 1 2

Q(s)  a (s s )...(s s  

_

)(s  p )(s  p )

 

1 n 2 1 2

2 2

1 n 2

A A C (s a) C

Y(s) ...

s s s s s a



  

   

    

Giả sử Q(s) có (n-2) nghiệm đơn s

₁

, s

₂

,…, s

_n-2

và 2 nghiệm phức p

_1,2

= a  j 

2 2

n 1 n 2

Q(s)  a (s s )...(s s  

_

)[(s a)    ]

Các hệ số A

_i

, C

₁

,C

₂

xác định bằng :

- Phương pháp đồng nhất hệ số đa thức,

- hoặc Tính theo công thức:

(34)

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

 

1 n 2 1 2

2 2

1 n 2

A A C (s a) C

Y(s) ...

s s s s s a



  

   

    

i i

s si

A lim [(s s )Y(s)]







 

 

1 1 2 s p1

C  1 Im (s p )(s p )Y(s)  

_



 

 

2 1 2 s p1

C  1 Re (s p )(s p )Y(s)  

_



(i=1,…,n-2)

i

n 2

s t at at

i 1 2

i 1

y(t) A e C e cos t C e sin t





     

Biến đổi ngược Laplace hàm ảnh Y(s) ta được :

(35)

Nhận xét : Có thể đưa kết quả về dạng hàm sin hay cos của tổng/hiệu.

2 2

2 2 2 2

sin t cos t sin t cos t

   

                       

 

2 2

sin t cos cos t sin

        

2 2

sin( t )

       Trong đó :

2 2 2 2

arccos  arcsin 

  

     

(36)

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Ví dụ: Tìm y(t) biết

1 2

2 2

C (s 3) 4C

2s 5 A

Y(s) s(s 6s 25) s s 6s 25

 

   

   

Giải. Mẫu số của Y(s) có một nghiệm đơn s=0 và hai nghiệm phức p

_1,2

=-3  4j nên có thể phân tích :

2

Y(s) 2s 5

s(s 6s 25)

 

 

2

1 1 2

2

(A C )s (6A 3C 4C )s 25A

Y(s) s(s 6s 25)

    

  

25A  5 A C 

1

 0

1 2

6A 3C   4C  2

A 1/ 5  C

1

  1/ 5 C

2

 7 / 20 So sánh với Y(s) đã cho, ta được:



(37)

2 2 2 2 2

1 7 1 7

(s 3) (4) (s 3) ( )

1 5 20 1 5 20

Y(s) 5s s 6s 25 5s (s 3) 4 (s 3)

4

    

    

     

•Bộ mơn : Cơ Điện Tử •37

1

1 1

3t

7

3t

y(t) L [Y(s)] e cos 4t e sin 4t

5 5 20

  

   

1 1

3t

e (7sin 4t 4cos 4t) 5 20

 



1 65

3t

7 4

e sin 4t cos 4t

5 20 65 65



 

    

 

1 65

3t

e sin(4t ) 5 20

 



 

7 4

arccos arcsin

65 65

  

Với

(38)

0 0 2

s s

2s 5 1

A lim [sY(s)] lim

5 s 6s 25

 

   

 



₁ ₂



_{3 4 j}

s p1 s

D (s p )(s p )Y(s) 2s 5

s

^{ }



  



     

 

1

 

1 1 4 1

C Im D

4 5 5

  

           

 Cũng có thể tính A, C

₁

, C

₂

bằng công thức :

  

2

1 8j 3 4 j

1 8j 35 20 j 7 4

D j

3 4 j 9 16 j 25 5 5

   

  

    

  

2

 

1 1 7 7

C Re D

4 5 20

  

         

(39)

2

15s 225

Y(s) s(s 18s 225)

 

 

9t

1

9t

y(t) 1 e cos12t e sin12t

-

^

2

^

 

•Tìm Hàm y(t) biết :

(40)

Bài tập: Cho Y(s), tìm y(t)=?

2

Y(s) s 20

s(2s 16s 30)

 

 

2

6s 15

Y(s) s(s 1)(s 8s 16)

 

  

2

Y(s) s 5

s(s 4s 5)

 

  y(t) 1 2e

^2t

sin t

4



  

    

 

3t 5t

2 17 3

y(t) e e

3 12 4

 

  

t 4t 4t

15 3 1

y(t) e te e

16 -

^

- 4

^

+ 16

^



(41)

2.3 Hàm truyền.

•41

(42)

2.3 Hàm truyền

n n 1 m m 1

n n n 1 n 1 0 m m m 1 m 1 0

d y d y d r d r

a a ... a y(t) b b ... b r(t)

dt dt dt dt

 

   

      

1) Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa

ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào khi các điều kiện đầu bằng 0.

Từ PTVP mô tả hệ thống tuyến tính bất biến liên tục :

Biến đổi Laplace hai vế với ĐKĐ =0 ta được :

n n 1 m m 1

n n 1 0 m m 1 0

(a s  a

_

s

^

  ... a )Y(s)  (b s  b

_

s

^

  ... b )R(s)

m m 1

m m 1 0

n n 1

n n 1 0

b s b s ... b

G(s) Y(s)

R(s) a s a s ... a

 

  

 

  

Lập tỉ số Y(s)/ R(s) ta được hàm truyền G(s):

(43)

2.3 Hàm truyền

2) Nhận xét



Khái niệm hàm truyền chỉ dùng cho hệ thống (hay phần tử) tuyến tính bất biến.



Hàm truyền chỉ phụ thuộc vào các thông số và bậc của hệ thống mà không phụ thuộc vào loại và giá trị của tín hiệu vào, tín hiệu ra.



Giả thiết các ĐKĐ =0 nhằm mục đích dùng hàm truyền để nghiên cứu bản chất động học của hệ thống.



Dùng hàm truyền để mô tả và phân tích hệ thống thuận lợi hơn PTVP vì hàm truyền là phân thức đại số.

Quan hệ vào-ra sẽ đơn giản là phương trình đại số:

G(s)  Y(s) / R(s)  Y(s)  R(s).G(s)

Tín hiệu ra = tín hiệu vào * hàm truyền

(44)

2.3 Hàm truyền

3) Đa thức đặc tính, Phương trình đặc tính

- Đa thức ở mẫu số của hàm truyền gọi là đa thức đặc tính:

Dựa vào các nghiệm hoặc hệ số của phương trình đặc tính có thể xét tính ổn định của hệ thống (chương 4).

n n 1

n n 1 0

A(s)  a s  a

_

s

^

  ... a

n n 1

n n 1 0

a s  a

_

s

^

  ... a  0

- Cho mẫu số hàm truyền =0 ta có phương trình đặc tính:

4) Mô tả hệ MIMO

Để mô tả hệ MIMO phải dùng ma trận các hàm truyền.

Mỗi hàm truyền chỉ ứng với một cặp tín hiệu vào, ra.

ij i j

G  Y / R

Hệ MIMO Y

¹

R

1

R

3

Y

₄

(45)

2.3 Hàm truyền

5) Biểu diễn hàm truyền theo dạng zero-cực-độ lợi

Trong đó:

z

_i

(i=1,2,…,m) _ là nghiệm đa thức tử số, gọi là các zero.

p

_i

(i=1,2,…,n)_ là nghiệm đa thức mẫu số, gọi là các cực (pole); p

_i

cũng chính là nghiệm của phương trình đặc tính.

1 2 m

1 2 n

Y(s) (s z )(s z )...(s z )

G(s) K

R(s) (s p )(s p )...(s p )

  

 

  

m n

K b

 a _ là độ lợi (gain).

2 2

4s 28s 40 (s 2)(s 5)

G(s) 4

(s 3)(s 10) s 13s 30

   

 

 

Ví dụ:

(46)

Động •46

2.3 Hàm truyền.

(47)

Động •47

2.3 Hàm truyền.

•47

(48)

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình

2 2

d y dy

m b ky(t) F(t)

dt

dt   

2.5.1 Phần tử cơ khí

 Hệ lò xo-khối lượng-giảm chấn

Phương trình vi phân:

Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 :

(ms

2

 bs k)Y(s)   F(s)

Hàm truyền bậc hai:

2

Y(s) 1

G(s)  F(s)  ms bs k

 

- Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t) - Tín hiệu ra: lượng di động y(t)

(49)

2.5.1 Phần tử cơ khí

 Trục vít –đai ốc (bàn máy)

Phương trình chuyển động:

Biến đổi Laplace 2 vế :

Hàm truyền tích phân:

-Tín hiệu vào: vận tốc góc (t) -Tín hiệu ra:lượng di động y(t) n_số vòng quay;

P_bước ren vít

t t

0 0

y(t) P n(t)dt P . (t)dt

  2 

  

P (s) K

Y(s) . (s)

2 s s

   

 Y(s) K

(s)  s



(K=P/2 : hệ số tích phân)

(50)

U(s)  (Ls R)I(s) 

Hàm truyền bậc nhất:

I(s) 1 G(s)  U(s)  Ls R

 2.5.2 Phần tử điện

 Mạch RL nối tiếp

-Tín hiệu vào: điện áp u(t) -Tín hiệu ra: dòng điện i(t)

L R

u u u Ldi Ri

   dt 

(51)

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình

2

(LCs  RCs 1)U (s) 

C

 U(s)

Hàm truyền bậc hai:

C

2

U (s) 1

G(s)  U(s)  LCs RCs 1

 

2.5.2 Phần tử điện

 Mạch RLC nối tiếp

Tín hiệu vào: điện áp u(t) Tín hiệu ra: điện áp u_c(t)

2 2

C C

C

d u du

LC RC u u

dt  dt  

(52)

 Mạch RLC nối tiếp & //

i

- Theo Kirchoff :

C

C C C

du

u 1 i dt i C

C dt

   

L

C L L C

di 1

u u L i u dt

dt L

    

R L C

u  Ri  R i (  i )

2

RLCs Ls R U s

C

LsU s

(   ) ( )  ( )

- Hàm truyền: ^C

2

U s Ls

G s U s RLCs Ls R

( ) ( )

 ( ) 

 

R C

u  u  u

(*)

- Lấy Laplace 2 vế, được:

C

C C

du R

RC u u dt u

dt   L  

-Thế vào (*) , ta được:

2

C C

C

d u du du

RLC L Ru L

dt  dt   dt

- Lấy đạo hàm 2 vế, được:

(53)

 Khuếch đại thuật toán (op-amp)

0 2 1 1 2

u  K(u  u )   K(u  u )

- Op-amp thường được ghép nối thành các mạch khuếch đại, mạch cảm biến, bộ lọc tín hiệu, bộ điều khiển.

- Tín hiệu ngõ ra u

₀

tỉ lệ với hiệu của hai tín hiệu vào.

- Hệ số khuếch đại K10

⁵

10

⁶

.

(54)

 Cảm biến

Các cảm biến thường có tín hiệu ra y

_ht

(t) tỉ lệ với tín hiệu vào y(t). Ví dụ:

- Một cảm biến đo áp suất trong tầm 010 bar và

chuyển thành điện áp trong tầm 010V sẽ có hàm truyền là H(s)=K =10/10 = 1 [V/bar]

- Một cảm biến nhiệt đo nhiệt độ trong tầm 0500C và chuyển thành điện áp trong tầm 010V sẽ có hàm truyền là H(s)=K =10/500 = 0,02 [V/C]

Nếu cảm biến có độ trễ đáng kể thì được mô tả bằng

hàm truyền bậc nhất.

(55)

2.5.3 Động cơ điện DC

U(s) I(s)

(s)

Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: vận tốc góc  R: điện trở phần ứng

L: điện cảm phần ứng

K_e: hằng số sức điện động e=K_e: sức phản điện động

Sử dụng 3 phương trình cơ bản:

1) Phương trình mạch điện phần ứng :

di

_e

u L Ri K

 dt    U(s)  LsI(s) RI(s) K  

e

 (s)

 

U(s) K 

e

 (s)  Ls R I(s) 

Biến đổi Laplace 2 vế:

 Sơ đồ khối (1):

1 Ls R

K

^e

(56)

2) Phương trình mômen điện từ:

M(t)  K i(t)

m

 M(s)  K I(s)

_m

K_m : hằng số mômen của động cơ

I(s) M(s) K

m

t

M(t) J d B (t) M (t) dt

    

M(s) Js (s) B (s) M (s)

t

     

3) Phương trình cân bằng mômen cơ:

M(s) M (s) 

t

 (Js B). (s)  

J: mômen quán tính của đcơ và tải quy về trục động cơ B: hệ số ma sát của đcơ và

tải quy về trục động cơ M_t : mômen phụ tải (nhiễu)

M(s)  (s)

M

_t

(s)

1

Js  B

(57)

Kết nối các SĐK (1),(2),(3) ta được SĐK chung của động cơ DC:

Dùng đại số SĐK tìm hàm truyền động cơ (coi nhiễu M_t=0):

K

m

M(s)  (s)

M

_t

(s)

1 Js  B

U(s) I(s)

 (s) K

^e

1 Ls  R

m

m e m e

K

(s) (Ls R)(Js B) K

G(s) U(s) K K (Ls R)(Js B) K K

1 (Ls R)(Js B)

  

  

  

 

m 2

m e

K G(s) (s)

U(s) LJs (LB RJ)s K K RB

  

    (2-47 tr.45)

(58)

Nếu đặt :

Thì hàm truyền có dạng:

t

L / R

 

_là hằng số thời gian điện

c

J / B

 

_là hằng số thời gian cơ

m m

2 m e

t c m e

t c t c

K K / RB

G(s) RB( s 1)( s 1) K K K K

s ( )s 1

RB

 

             

 

Nếu bỏ qua điện cảm:

m

m e m

m e

K

RB K K

(s) K K

G(s) U(s) RJs RB K K RJ Ts 1 RB K K s 1



    

   



 Nhận xét : Tổng quát, động cơ DC điều khiển vận tốc được mô tả bằng hàm truyền bậc hai, nếu bỏ qua điện cảm thì có thể mô tả bằng hàm truyền bậc nhất.

(2-49)

(2-48 tr.46)

(59)

 Nếu động cơ được điều khiển góc quay  (định vị); Do =d/dt

 (s)=s.(s) nên sơ đồ khối có thêm khâu tích phân 1/s.

Hàm truyền:

Nếu bỏ qua điện cảm: _m

m e m

m e

K

RB K K

(s) K K

G(s) U(s) s(RJs RB K K ) RJ s(Ts 1)

s s 1

RB K K



    

    

   

 

(2-50 tr.46) K

^m

M(s)  (s)

M

_t

(s) 1 Js  B

U(s) I(s)

 (s) K

^e

1 Ls  R

1 s

(s)

m

m e

(s) K

G(s) U(s) s[(Ls R)(Js B) K K )

  

  

(60)

Động •60

Chương 2: Mô tả toán học

2.3 Hàm truyền.

(61)

•Bài giảng : Lý Thuyết Điều Khiển Tự Động

2.3 Hàm truyền.

•61

(62)

2.7 Mô hình phương trình trạng thái

2.7.1 Giới thiệu

 Mô hình hàm truyền có một số điểm hạn chế:

- Chỉ áp dụng được với điều kiện đầu bằng 0.

- Chỉ mô tả được quan hệ tuyến tính một vào, một ra (SISO).

- Chỉ áp dụng được cho hệ tuyến tính bất biến, không dùng được cho hệ phi tuyến hay hệ có thông số biến đổi theo thời gian.

 Để khắc phục, người ta dùng mô hình phương trình trạng thái.

 Trạng thái của hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị các biến này tại thời điểm t=t₀ và biết các tín hiệu vào ở t t₀, ta hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t t₀. Với hệ tuyến tính bất biến, thời điểm đầu thường được chọn là t₀=0.

 Biến trạng thái không nhất thiết phải là các thông số đo được (biến vật lý). Các biến không đại diện cho các đại lượng vật lý (chỉ là biến toán học) cũng có thể chọn làm biến trạng thái.

(63)

2.7 Mô hình phương trình trạng thái

 Để mô tả hệ thống bậc n cần dùng n biến trạng thái, hợp thành véctơ cột gọi là véctơ trạng thái, ký hiệu là:



₁ ₂ _n



^T

x  x x ... x

 Sử dụng biến trạng thái ta có thể chuyển ph. trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất viết dưới dạng ma trận như sau :

x(t) Ax(t) Br(t) y(t) Cx(t) Dr(t)

 

   



Trong đó: x(t) là véctơ trạng thái

r(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra của hệ.



Với hệ tuyến tính bất biến MIMO thì A, B, C, D là các ma trận hệ số.



Với hệ tuyến tính bất biến SISO thì A là ma trận, B là vectơ cột, C là vectơ hàng, D là một hằng số.

: Phương trình trạng thái : Phương trình ngõ ra

(64)

2.7 Mô hình phương trình trạng thái

11 12 1n

21 22 2n

n1 n 2 nn

a a ... a a a ... a A ... ... ... ...

a a ... a

 

 

  

 

 

ⁿ

1 2

b B b

b

   

  

   

 



1 2 n



C  c c ... c D  d

1

 const.

 Nếu hệ tuyến tính bất biến SISO có hàm truyền với bậc tử số nhỏ hơn bậc mẫu số (gọi là hệ hợp thức chặt) thì D = 0.

 Việc chọn biến trạng thái không phải chỉ theo một cánh duy nhất.

Do đó: Một hệ thống có thể mô tả bằng nhiều phương trình trạng thái khác nhau, tuỳ thuộc vào cách chọn các biến trạng thái.

(65)

Ví dụ : Lập ph.trình trạng thái mô tả động cơ DC

M(t)  K i(t)

m

M(t) J d B (t) dt

   

3 phương trình cơ bản:

-Phương trình điện :

e

u L di Ri K

 dt   

-Ph. trình mômen điện từ:

-Phương trình cân bằng mômen cơ:

(để đơn giản, xem mômen tải =0) (1)

(2)

(3)

(1) 

di dt 

(2) và (3) 

d dt

 

J d M(t) B (t) dt

   

(4)

(5)

K

e

R 1

i u

L L L

  

K

m

B

J i   J

(66)

Ví dụ : Lập ph.trình trạng thái mô tả động cơ DC

e

1 1 2

R K 1

x x x u

L L L

   

m

2 1 2

K B

x x x

J J

 

x Ax Bu Cx Du

 

   



1 e 1

2 m 2

R / L K / L

x x 1/ L

x K / J B / J x 0 u

 

 

         

        

     

Đặt 2 biến trạng thái

x

₁

 i ; x

₂

 

(4) và (5) 



 

¹

2

0 1 x x

       



^e

m

R / L K / L A K / J B / J

 

 

     

B 1/ L

0

 

    

 

C  0 1 D  0

(67)

Ví dụ 2.15 (trang 63) _Lập phương trình trạng thái



Các phương trình cân bằng lực:

2 2 1 2 2 1 2 2

F b (y   y ) k (y   y )  m y

 

2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1

b y  y  k (y  y ) b y   k y  m y



Đặt 4 biến trạng thái: x

1

 y ; x

1 2

 y ; x

2 3

 y ; x

1 4

 y

2

Ta viết được hệ phương trình trạng thái :

(68)

Ví dụ 2.15 (trang 63)

1 3