Phương pháp đặt ẩn phụ giải hệ phương trình chứa căn năm 2021

(1)

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

2 2

2

2 5

( 2 )( 3) 3

 + + + =

 

+ + − = −



x y xy x y

x x x y y

( x y ; ∈

^ℝ

)

Hướng dẫn giải:

Ta xét hai khả năng:

+) Nếu ² 0

0 2 0

2

=

= ⇒ + = ⇔ = −

y x x x

x ⇒hệ có nghiệm (0; 0); (–2; 0).

+) Nếu y≠0,

2

2 5

2 .( 3) 3

 + + + =



⇔ +

 + − = −



x x

x y HPT y

x x

x y y

, đặt

2 2

2 3; 1

3 1; 3

3

 = +  + =  = = −

 ⇒ ⇔

  = −  = − =

 = + −



x x

u v u v

u y

uv u v

v x y

- Với

2 2

3 3 1

1 6; 8

3 1

 +

= = = =

  

⇒ ⇔

 = −   = − =

  + − = − 

x x

u x y

v y x y

x y - Với

2 2

1 1

3 3 3

 +

= − = −

 ⇒ ⇒

 

 =  + − =

x x

u y

v x y

hệ vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) là: (0; 0) ; (–2; 0); (1; 1) và (–6; 8).

2 2

(3 )( 3 ) 14

( , )

( )( 14 ) 36

 + + =

 ∈

 + + + =



x y x y xy

x y R

x y x y xy

Ta có,

2

[3( ) 4 ] 14

( )[( ) 12 ] 36

x y xy xy

HPT

x y x y xy

 + + =

⇔

+ + + =



Đặt

2 2 2 3

2 2 3 2

(3 4 ) 14 3 4 14

0 ( 12 ) 36 12 36

a x y a b b a b b

b xy a a b a ab

= +  

 + = + =

  

→ ⇔

  

= ≥ + = + =

  

  

Nhận thấy a = 0 không thỏa mãn, đặt b = ka ta được

3 3 3

3 2 2

(3 4 ) 14 3 4 7 1

18 6 6

(1 12 ) 36 1 12

a k k k k

k a b

a k k

 + = +

 ⇒ = ⇒ = ⇔ =

 + = +

 .

Từ đó ta tìm được

3 2 2 3 2 2

3 3 ;

1 2 2

3; 1 1

2 3 2 2 3 2 2

2 4 ;

2 2

x y x y x y

a b

xy xy

x y

 + −

+ = + = = =

  

  

= = ⇒ ⇔ ⇒

= =  − +

 

   = =

 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm.

4 2 4

2 2

x y x y

 + + + =

 

+ + + = −



Đặt

2

2 3 2

2 2 .

4

 + =

 ⇒ + = −

 + =



x y a b

x y a

x y b

12. PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2

(2)

Ta có hệ phương trình

2 2 2

3 1 2 5 6 0 1 2 1 2 1 4

2 2

3 4 9 7

4 4 3

4

 + − = −  + − =  =  + =  + =  =

  

⇔ ⇔ ⇒ ⇔ ⇔

     

= + = = −

= −

  + =  



 + = 



x y

a x y x

a a b a a

b x y y

b a x y

a b

2

2 2

2 2 (1 )

( 2 ) 1 1 9

x y xy xy x

x y

xy

 − − = −

  

+ + =

  

 



2 2

(2 )(1 ) 2

2 2 2

1 1

( 2 ) 12

( 2 ) 1 12

− + =

 − − + = 

 

⇔   ⇔  + 

+ =

+ + =  

   

 

  



x y xy xy

x y xy x y xy

HPT xy

x y

xy xy

2 2 2 2 2

2

2 2

(1 )

1 0 12(2 ) 4( 2 ) 11 12 0

( 2 ) 12 11 1

 − =

 +  =

+ ≠ ⇒ + =  +  ⇒ − = + ⇔ − + = ⇔ = x y xy

xy y x

xy x y x y x xy y

y x

x y xy

xy

Thay vào ta được nghiệm của hệ là x = y = 1.

2 2

( ) 1 0

( 1)( 2) 0

x y x y

x x y y

 − + + =

 + + − + =



+) Xét y = 0 không thỏa mãn hệ.

+) Với y ≠ 0 thì hệ có dạng

2

( ) 0

0 ( 2) 1 ( 1)

( 1

2) 1

 + =

  − =

 ⇔ ⇒

 

− = −

+ 

 + − = −



−

 +

x x y

a b x a b

y x y

y

hệ có nghiệm (0; 1) và (−1; 2)

2 2

3

1 1 4

 + − =

 

+ + + =



x y xy

x y

Ta có ⁽¹⁾^⇔

(

^x⁺^y

)

² ⁼³^xy⁺³

Bình phương (2) ta được x²+y²+2 (x²+1).(y²+ =1) 14⇔ xy+2 (xy)²+xy+ =4 11 (*)

Đặt ² ₂

11 3

2 4 11 35

3 26 105 0

3

=

≤ 

 

= ⇒ + + = − ⇔ + − = ⇔ =−

 t t

t xy t t t

t

t t

+) Với ³⁵

( )

² ³² ⁰

= − 3 ⇒ + = − < ⇒

t x y vô nghiệm.

+) Với ³

( )

² ¹² ^{2 3} ^{2 3} ³

3 3

 + = ±  = =

= ⇒ + = ⇔ + = ± ⇒ →

=

  = = −

 

x y x y

t x y x y

xy x y

Vậy hệ có hai nghiệm là

( 3; 3 , ) ( − 3; − 3 . )

2 2

4 2 2

2 3 15 0

2 4 5 0

x y x y

x y x y

 + + − =



+ − − − =



(3)

Hệ pt

2 2

2 2 2

( 1)( 2) 4( 1) 4( 2) 5

( 1) ( 2) 10

x y x y

x y

 − − + − + − =

⇔

− + − =

 .

Đặt

2

1

2 u x v y

 = −

 = −



ta có hpt

2 2 2

10 ( ) 2 10

4( ) 5 4( ) 5

u v u v uv

uv u v uv u v

 + = ⇔  + − =

 

+ + = + + =

 

⇔

¹⁰ 45 u v uv

+ = −



 = (vô nghiệm) hoặc 2 3

3 1

u v u

uv v

+ = =

 

⇔

 

= − = −

  hoặc 1

3 u v

= −



 =

+) Với 3

1 u v

=



 = − ta tìm được 2 nghiệm ( ; )x y =(2;1) và ( ; )x y = −( 2;1)

+) Với 1

3 u v

= −



 = ta tìm được nghiệm ( ; )x y =(0;5)

Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5) Ví dụ 8: Giải hệ phương trình

2 2 8

2 1

 + + − =

 

− =



x y x y

y x y

Đặt 2

2

 = −



 = +

u x y

v x y Điều kiện u≥0. Khi đó ta có

2

4

=v−u

y .

Hệ đã cho trở thành ₂8 (1)

( ) 4 (2)

+ =



− =

 u v

v u u

Từ (1) ⇒ v = 8 – u. Thay vào (2) ta được

(

⁸^{− −}^u ^u²

)

û^{= ⇔}⁴ û³⁺û²⁻⁸û^{+ =}⁴ ⁰

(

²

) (

² ³ ²

)

⁰ ^2; ^{− +}³ ₂ ¹⁷^; ^{− −}³ ₂ ¹⁷^.

⇔ u− u + u− = ⇔ =u u= u= Đối chiếu điều kiện u≥0 ta có 3 17

2

=− −

u không thoả mãn

+) Với u = 2 ta có

2 2 4 5

6 2 6 1

2

=

= − = 

  

⇔ ⇔

  

= + = =

  

u x y x

v x y y

+) Với 3 17

2

=− +

u ta có

3 17 13 3 17

8 17

2 2 2

3 17

19 17 19 17

2 4

2 2

 =− +  − = −  = −

 

  

⇔ ⇔

 −  −  = +

  

= + = 

 

 

u x y x

v x y y

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 1 5;2

 

 

 , 3 17

8 17; .

4

 − + 

 

 

Cách 2:

Đặt

2

2 4 8

2 2

1

 = −  + + =

 ⇒ = + ⇒

 

= =

 



u u v

u x y

x u v

v y uv

3 2 2 3 17 3 17

4 8 ( 2)( 3 2) 0 2; ;

2 2

− + − −

→ +u u + = u⇔ −u u + u− = ⇔ =u u= u= Đến đây việc tìm nghiệm như cách giải trên.

Cách 3:

Đặt

2

2 2

4 4

2

 = − −

 ⇒ − = − ⇒ =

 = +



u x y v u

u v y y

v x y

Khi đó ta có hệ

2

8 (1)

( ) 4 (2)

+ =



− =

 u v

v u u Giải hệ này tương tự như cách 1.

(4)

2 2

2 ( 1) 3

3 2

 − − + =



+ − = −



x x y y y

x xy y x y

Hệ đã cho tương đương với

2 2

2 3

3 2

x xy y y x

x xy y x y

 − + = −



+ − = −



TH1: y=0⇒x=0.

TH2: y≠0, đặt x

t x ty

= ⇔ =y thay vào hệ:

2 2

(2 1) (3 ) (1)

( 3) ( 2) (2)

y t t y t

y t t y t

 − + = −



+ − = −



Từ (1) và (2) ta được

2

3 2

2

2 1 3 1

3 7 3 7 0 7

3 2

3

t t t t

t t t

t t

= ±

− + = −− ⇔ − − + = ⇔ =

+ − 

Từ đó suy ra hệ có 4 nghiệm là 7 3

(0;0);(1;1);( 1;1); ; . 43 43

 

−  

 

2 2

4 2 2

2 3 15 0

2 4 5 0

x y x y

x y x y

 + + − =



+ − − − =



Hệ pt

2 2

2 2 2

( 1)( 2) 4( 1) 4( 2) 5

( 1) ( 2) 10

x y x y

x y

 − − + − + − =

⇔

− + − =

 .

Đặt

2 1

2 u x v y

 = −

 = −

 ta có hệ phương trình

2 2 2

10 ( ) 2 10

4( ) 5 4( ) 5

u v u v uv

uv u v uv u v

 + = ⇔ + − =

 

+ + = + + =

 

3 1 u v

=

⇔

 = − hoặc 1 3 u v

= −



 = Giải ra ta được các nghiệm của hệ là (2; 1), (–2; 1), (0; 5)

( )

2

2 1 1 2 2 1 8

( , )

2 1 2 13

 − − + − = −

 ∈

 + − + =



x y x ℝ

x y

y y x x

Đặt t= 2x−1,t≥0. Hệ phương trình trở thành

( ) ( )

( )

²

( )

2 2

2 8 1

1 2 8

12 3 12 2

t y ty

t y t

y yt t t y ty

 − − = −

 − + = −

 

⇔

 

+ + = − + =

 

 

Từ (1) và (2) suy ra ²

( )

² ³

( )

⁰ ⁰³

2 t y

t y t y

t y

− =



− + − = ⇔ − = − +) Với t = y thay vào (1) ta được t = y = 2

2 2 1 2 5

t= ⇒ x− = ⇔ =x 2, nghiệm của hệ là 5 2; 2

 

 

 

+) Với 3

y= +t 2 thay vào (1) ta được ² 3 61

4 6 13 0

t + − = ⇔ =t t − +4

3 61

3 3 61

3 61 2 4 4

4 3 61 43 3 61

2 1

4 16

y y

t

x x



 = +− +  = +

− +  

= ⇒ ⇔

−

− +

 − =  =

 

 

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là

( )

^; ⁵^{; 2 ,} ^{43 3 61 3}^; ⁶¹

2 16 4

x y

  − + 

  

=    

(5)

( )

2 3 2

2 2 2 7

4

x y

y x x

 − + =



 + − + = −



( x y , ∈

^ℝ

)

Điều kiện: x≥ −2;y≥ −2

Đặt u= x+2;v= y+2 với ;u v≥0(*) . Hệ trở thành:

( )

2

2 2

7 (1) 2

2 4 1 (2) 4

u v

v u u

 − =



 + − =



Thế (1) vào (2) ta được phương trình

2

2 7 3 1 4 3 2

2 8 2 7 8 12 0

2 4

u u u u u u u

 

− + − = ⇔ + − − + =

 

 

(

^u ¹

)(

^u ²

) (

^u² ⁵^u ⁶

)

⁰ ^^u_u⁼¹₂

⇔ − − + + = ⇔ = +) Với u = 1 thay vào (1) ta được 5

v= −2, không thỏa mãn.

+) Với u = 2 thay vào (1) ta được 1

v=2, thỏa mãn điều kiện.

Vậy, hệ phương trình có nghiệm 7

2; .

4

 − 

 

 

( )

³

( )( )

2

8 2 8

1 1

x y xy x y xy

x y

 + + = + +



 + = −



Điều kiện:

2

0 0 x y

x y

+ >

 

− >



Ta có:

(

^x⁺^y

)

³⁺⁸^xy⁼²

(

^x⁺^y

)(

⁸⁺^xy

)

^⇔

(

^x⁺^y

)

³⁻¹⁶

(

^x⁺^y

)

⁻²^{xy x}

(

⁺^y

)

⁺⁸^xy⁼⁰

(

^x ^y

) (

^ ^x ^y

)

² ¹⁶^ ²^xy^

(

^x ^y

)

⁴^ ⁰

⇔ +  + − −  + − = ^⇔^

(

^x⁺^y

)

⁻⁴^{ } 

(

^x⁺^y

)(

^x^{+ + −}^y ⁴

)

²^xy^⁼⁰

( )

² ²

( )

0

4 4 0

x y x y x y

>

 

⇔ + −  + + + = ^⇔

(

^x⁺^y

)

^{− = ⇔ = −}⁴ ⁰ ^y ⁴ ^x

Thay vào phương trình ta được

( )

2

1 1

2 =x 4 x

− −

2 3 7

6 0

2 2

x y

x x

x y

= − =

 

⇔ + − = ⇔ ⇔

= =

 

2 2

3

8 16

3 0

 + + =

 +

  + + − =

 x y xy

x y x x x y

( ) 1 ⇔ (

^x²⁺^y²

) (

^x⁺^y

)

⁺⁸^xy⁼¹⁶

(

^x⁺^y

)

( x

²

y

²

) ( x y ) 4  ( x y )

²

( x

²

y

²

)  16 ( x y )

⇔ + + +  + − +  = +

(

^x² ^y²

) (

^x ^y ⁴

) (

⁴ ^x ^y

)(

^x ^y ⁴

)

⁰

⇔ + + − + + + − =

(

^x ^y ⁴

)

^^x² ^y² ⁴

(

^x ^y

)

^ ⁰

⇔ + −  + + + =

( )

2 2

4 ( )

4 0 ( ) 0

x y ok

x y x y Loai do x y

+ =

⇔

+ + + = + >



(6)

Thay x + y = 4vào PT(2) ta được: ³ ² ₂ 1

2 3 0 ( 1)( 3) 0

3 0 ( )

x x x x x x

x x VN

=

+ − = ⇔ − + + = ⇔ + + =

Với x=1⇒ y=3. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;3)

2 2 3 5 7 ( ; )

3 5 2 3 1

x y x y

x y

x y x y

 − + − + =

 ∈

 − + − − − =



ℝ

Đặt

2 2

2 3 2 3 ...

5 ...

5

u x y x y u x

x y v y

v x y

 = −  − =  =

 

⇒ ⇒

  

− + = =

= − +  

 



Thế vào ta có hệ theo u, v. Các em giải nốt nhé!

( ) ( )

2 2

1

1 1 2

3 1

 + =

 + +



= + +



x y

y x

xy x y Ví dụ 17: Giải hệ phương trình

2 2

48 24

 − =



 + + − =



y x y

x y x y

2 2 2

3 4

( 3) 16

y x y x y

 + − + =

 

+ − + =



Hướng dẫn: Xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y ² Ví dụ 19: Giải hệ phương trình

2 2 2

2 3 1 6

4 3 1 8

xy x y

x y xy y

+ + =



+ + =



Hướng dẫn: Xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y ² Ví dụ 20: Giải hệ phương trình

2 2 2

16 17 1

4 2 7 1

x y y

xy x y

 − = −



+ − = −



Hướng dẫn: Chuyển vế, xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y ² Ví dụ 21: Giải hệ phương trình

2 2 3

2 4 2

5

2 5

x y x y xy xy

x y xy xy

 + + + + =



+ + + =



Hướng dẫn: Đặt u= +x y v²; =xy Ví dụ 22: Giải hệ phương trình

4 2 2

2 2 3 2 2

2 2 1 0

1 0

x x y y

x y y x y y

 − + − =



− + − − + =



Hướng dẫn: Đặt u=x²−y v; = y² Ví dụ 23*: Giải hệ phương trình

4 4 3 2

2 2

28 31 32 4 6

7 6 14 0

x y y x y y

x y xy x y

 − + + = + +



+ + − − + =



BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Giải hệ PT

2 2

2 8 2

4

 + + =



+ =



x y xy

x y

Bài 2: Giải hệ PT

3

2

 − = −

 

+ = + +



x y x y

(7)

2 2 2 2

2 4

 + − − =



+ + − =



x y x y

2 2

2 4

 + − − =



 − + + =



x y x y

2 2 2 2

1 1

 + − − =



+ + − =



x y x y

(

² ^{2 2}

)( )

⁶ ³ ⁶

2 1 1 4

x y x y x y

x y

− + + + − = −



+ + − =



Bài 7*: Giải hệ PT

(

² ²

) ( 5 )

²

8 4 13

2 1 1

x y xy

x y x x y

 + + + =

 +

 

 + =

 +



Bài 8: Giải hệ PT ₂ ₂

4 4 x y x y

y x

x y

y x

 + + + =



 + + + =



1 1 4

6 4 6

x y

 + + − =

 

+ + + =



( )

2 2

3 3

2 1 1

2 2 2

y x

x y y x

 − =



− = −



Bài 11: Giải hệ PT 2 1 1

3 2 4

x y x y

x y

 + + + + =



+ =

 Bài 12: Giải hệ PT

3 3

x y

 + − =

 

− + =



( )

2 2 2 2

3 2 1

2 5 3 4 5 3 2

x xy y x y

x y

x xy x xy x

 + + + + = +



 + + = − −



( )( )

2 2 2 2

1 2

1 1

 + + = +



− + = −



x y x y xy

x y xy xy Bài 15: Giải hệ PT

( ) ( )

2 2

12

1 1 36

 + − − =



− − =



x y x y

x x y y

( )

3 3 2 2 3

1 1

1 1 4

1 4

  

+ + + =

  

  

 + + + =



x x y y

x y xy x y y

2 2

3 1 1

1

 + + =

 

+ − =

 

x y x y xy x y xy

Bài 18: Giải hệ PT ₂ ₂

4 4

 + + + =





 + + + =



x y x y

y x

x y

y x

2 2

1 4

2 2 6

 + + + =

 

 + + + =



y x xy xy x y

x y xy y x xy

(

²

)

² ² ²

2 2

3 2 ( 2 ) 4 4

4 4 22

x y x y y y

x y y

 + + = − +



 + + =



Bài 22*: Giải hpt sau:

2

2 4

18 ( )

( )

x xy x y

y y x x y

 + + =



 = −

 +

 Bài 23: Giải hệ pt sau:

2 2 2 2

2

1 3

x y x y

 + − − =



+ + − − =

 Bài 24: Giải hệ PT



 



=

− +

= + +

3 5 xy

y x

xy y

x

( ) ( )

1 1 3

1 1 1 1 6

 + + + =

 

+ + + + + =



x y

x y y x

( )

2 2

2 2 3

3 7

 − + = −



+ + = −



x xy y x y

Bài 27: Giải hệ PT ³ ³

( )( )

2 2

2 9 2 3

3

 − = − +

 

− + =



x y x y xy

x xy y



 



=

− +

−

=

− +

−

5 2 6 2

2 2

2 4

y x y x

y x y

x

(8)







= +

− +

= + +

+

4 )

(

12 )

(

2 2 2

2

2 2 2

2

y x xy y x

2 2

3 2 2

1 3 1

x xy y y

x x y x x

 + + + =



+ + = +



( )

( ) ( )

3 4

1 8 1

1 2

x x y

x y

 − + = +



− =



Bài 32*: Giải hệ PT

3 3 3 3

1 1

0

1 1 1 1

1 1 18

x y

x y x y

 + =



   

 +  +  + =

   



Bài 33*: Giải hệ PT ²

( )

² ³

( )

2

4 1 4 8 1

40 14 1

y x x x

x x y x

 + − = +



 + = −



( )

( ) ( )

4 4

2 2 3

2 1 3 2

x y y x

x y

 + = +



− =

