N¨m häc 2018 – 2019
M«n To¸n
Tài liệu ôn thi lớp 11 học kì 1
MỤC LỤC
Trang
Chuyên đề 1. Lượng giác ... 1
Chuyên đề 2. Nhị thức Newton ... 6
Chuyên đề 3. Tổ hợp & Xác suất ... 13
Chuyên đề 4. Phương pháp quy nạp, dãy số tăng giảm ... 18
Chuyên đề 5. Cấp số cộng, cấp số nhân ... 24
Chuyên đề 6. Quan hệ song song ... 34
Đề số 01. THPT Bình Hưng Hòa (2017 – 2018) ... 49
Đề số 02. THPT Trần Phú (2017 – 2018) ... 52
Đề số 03. THPT Nguyễn Chí Thanh (2017 – 2018) ... 55
Đề số 04. THPT Nguyễn Thượng Hiền (2017 – 2018) ... 58
Đề số 05. THPT Trần Quang Khải (2017 – 2018) ... 61
Đề số 06. THPT Trung Học Thực Hành (ĐHSP) (2017 – 2018) ... 64
Đề số 07. THPT Trần Cao Vân (2017 – 2018) ... 68
Đề số 08. THPT Bình Tân (2017 – 2018) ... 71
Đề số 09. THPT Nguyễn Thái Bình (2017 – 2018) ... 74
Đề số 10. THPT Trường Chinh (2017 – 2018) ... 76
Đề số 11. THPT Vĩnh Lộc B (2017 – 2018) ... 80
Đề số 12. THPT Tây Thạnh (2017 – 2018) ... 83
Đề số 13. THPT Tân Bình (2017 – 2018) ... 86
Đề số 14. THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa (2017 – 2018) ... 90
Đề số 15. THPT Chuyên Lê Hồng Phong (2017 – 2018) ... 93
Đề số 16. THPT Nguyễn Thị Minh Khai (2017 – 2018) ... 96
Đề số 17. THPT Gia Định (2017 – 2018) ... 99
Đề số 18. THPT Nguyễn Hữu Cầu (2017 – 2018) ... 101
Đề số 19. THPT Trung Học Phổ Thông Năng Khiếu (2017 – 2018) ... 104
Đề số 20. THPT Bùi Thị Xuân (2017 – 2018) ... 107
Chuyên đề 1. Phương trình lượng giác
1. Giải: sin 2x 3 cos 2x 1. 2. Giải: 5 cos 2x7 cosx 1 0.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đỏp số: 3
, .
12 4
x k x k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đỏp số: 2
2 , ( ).
x 3 k k
3. Giải: 2. tan sin 2.
x x 4 4. Giải: 1 3
sin 2 tan cos 2 .
2 2
x x x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đỏp số: , ( ).
x 4 k k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đỏp số: 5
; ; .
4 12 12
S k k k
5. Giải: 2 sin(x 45 ) 1. 6. Giải: 2 sin 42 x 3 cos 42 x 5 sin 4 cos 4 .x x ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: x 75 k360 , x 195 k360 .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 1 3
, arctan
16 4 4 2 4
x k x k
7. Giải: 4 sin2x 23 cosx190. 8. Giải: 3 cos 2x sin 2x 3.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 3
arccos 2 .
x 4k ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: , 2 .
x k x 6 k
9. Giải: 3 sin 2xcos 2x 2. 10.Giải: cos 4x 12 sin2x 1 0.
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số:
x 6 k với k .
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: x k với k .
11. Giải: 2 sin 3 0.
x 3
12.Giải:
5 5
cos xsin x sinxcos .x
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2
2 , 2 .
x 3 k x k ...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số:
x 4 k với k . 13.Giải: cos 2x 5 sinx 2 0. 14.Giải: sin 5x 3 cos 5x 2.
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 7
2 , 2 .
6 6
x k x k
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2 19 2
60 5 , 60 5
k k
x x
15. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; ) của phương trình:
2 cos 3x sinx cos .x
16. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [0;10 ] của phương trình:
sin 22 x 3 sin 2x 2 0.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: Tổng các nghiệm bằng 3 2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: Tổng các nghiệm bằng 105 2
17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
sin cos 5.
m x x
18. Tìm tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm:
4 sinx (m4)cosx2m 5 0.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: m 2 hoặc m2.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: m {0; 1; 2; 3; 4}.
19. Có bao nhiêu giá trị của tham số thực
a để hàm số cos sin 1
cos 2
x a x
y x
có
giá trị lớn nhất bằng 1.
20. Giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình có nghiệm:
2 2
sin 2 sin 3 cos 2.
2 2
x x
a x a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: a 1 Có 2 giá trị của a.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: amax 8 / 3.
21. Tìm tham số m để phương trình sau có
nghiệm cos 2 sin 3
2 cos sin 4
x x
m x x
22. Nếu gọi x là nghiệm của phương trình sin cosx x2(sinxcos )x 2 thì giá trị của P 3 sin 2x bằng bao nhiêu ? ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2
11m 2.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: P 3.
Chuyên đề 2. Nhị thức Newton
1. Giải: 3An3 2Cn23300. 2. Giải: Ax31 Cx21 14(x 1).
Lời giải. Điều kiện: 3 3
2
n n
n n
Ta cú: 3An3 2Cn2 3300
! !
3 2 330 0
( 3)! 2!( 2)!
n n
n n
3 (n n 1)(n 2) n n( 1) 330 0
3 2
3n 10n 7n 330 0
6
n : thỏa món điều kiện.
Kết luận: n 6.
Cần nhớ: Với n k 0, n , k
!
( )!
k n
A n
n k
và !
( )!. !
k n
C n
n k k
Giải tương tự với BPT, nhưng chọn n .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đỏp số: x 4. ...
3. Giải: 3Cn34 2An22 24(n2). 4. Giải: Cn6 3Cn7 3Cn8 Cn9 2Cn82. ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đỏp số: n 5. ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
HD: Sử dụng: Cnk Cnk1 Cnk11 n 5.
5. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
10 4
x 1 x
với x 0.
6. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
15
2 1
2x x
với x 0.
Lời giải. Số hạng tổng quát:
10 10 5
1 10 4 10
. 1 .
k
k k k k
Tk C x C x
x
Số hạng không chứa x 105k 0 k 2.
Do đó số hạng cần tìm là C102 45.
Cần nhớ: Khai triển Newton
0
( )n n nk. n k. k
k
a b C a b
với số mũ của agiảm và số mũ của b tăng.
Công thức: a am. n am n , amn m n a a
và
( )am n am n. thường được sử dụng.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: Số hạng không chứa x là 96096.
7. Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển
11
3 1
2x x
với x 0.
8. Tìm số hạng chứa x15 trong khai triển nhị thức
10 3
2
x 2 x
với x 0.
...
...
...
...
...
...
Đáp số: Hệ số cần tìm là C114.24 5280.
...
...
...
...
...
...
Đáp số: Số hạng cần tìm là 960x15. 9. Tìm hệ số của số hạng chứa x48 trong
khai triển nhị thức
24
2 3
2 x x
10.Tìm hệ số của số hạng đứng chính giữa trong khai triển nhị thức
20
2
x 3 x
...
...
...
...
...
...
Đáp số: Hệ số cần tìm là 2704156.
...
...
...
...
...
...
Đáp số: Hệ số cần tìm là C2010 103 .
11. Tìm hệ số của số hạng có số mũ của x gấp đôi số mũ của y trong
15 2
x 2y x
12. Tìm số hạng mà trong đó số mũ của x gấp 3 lần số mũ của y trong khai triển nhị thức Newton: (2x2 3 ) .xy 10
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: Hệ số cần tìm là C15323 3640.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: Số hạng cần tìm là 1959552x y15 5. 13. Trong khai triển 1
,
n
x x
hệ số số hạng thứ ba lớn hơn hệ số số hạng thứ hai là 35. Tính số hạng không chứa x.
14. Trong khai triển của nhị thức 2 2 n x x
cho biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên bằng 97. Tìm hệ số của số hạng có chứa x4. ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: n 10 Hệ số cần tìm là 252.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: n 8 Hệ số x4 là 1120.
15. Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức (x2 2) ,n biết số nguyên dương n thỏa mãn An38Cn2 Cn1 49.
16. Tìm hệ số của x5 trong 3 2 ,
n
x x
biết n thỏa mãn 4Cn312Cn2 An3.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: n 7 Hệ số cần tìm là 280.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: n 11 Hệ số cần tìm là 42240. ..
17. Tìm số hạng chứa x4 trong 2 13
2 ,
n
x x
biết n thỏa mãn 3Cn214An2 8 .n
18. Biết hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển nhị thức (12 )x2 n bằng 40. Hãy tìm số nguyên đương n.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: n 7 Số hạng thỏa là C72 52 x4.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: n 10 Số hạng cần tìm là 17010.
19. Tính tổng:
0 2 1 22 2 23 3 2n n.
n n n n n
S C C C C C
20. Tính tổng:
0 1 1 1 2
2n n 2n n 2n n nn.
S C C C C
Nhận xét. Không có số mũ giảm nên chọn 1,
a số mũ của số 2 tăng nên chọn b 2 và tất cả là dấu cộng nên xét (a b) .n Giải. Xét khai triển:
0 0
(1 2)n 3n n nk n k1 .2k n 2k nk
k k
C C
0 1 2 2 3 3
2 2 2 2n n
n n n n n
C C C C C
Suy ra S 3 .n
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: S 3 .n 21. Tính tổng:
0 1 2 2 1 2
2n 2n 2n 2nn 2nn.
S C C C C C
22. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
0 2 1 4 2 8 3 2n n 243.
n n n n n
C C C C C ...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: S 0.
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: n 5.
23. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
0 1 1 2 2
3nCn3nCn3nCn ( 1)nCnn2048.
24. Tính tổng:
16 0 15 1 14 2 15 16
16 16 16 16 16
3 3 3 3 .
S C C C C C ...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: n 11.
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: S 2 .16
25. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
1 3 5 2 1
2n 1 2n 1 2n 1 2nn 1 1024.
C C C C
26. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
0 2 4 2
2n 2n 2n 2nn 512.
C C C C
Nhận xét: Đây là dạng toàn lẻ (hoặc toàn chẵn), ta sẽ khai triển (a b)n và (ab) ,n rồi cộng hoặc trừ lại với nhau.
Nhận thấy: không có số mũ tăng hoặc giảm nên chọn a b 1. Từ đó có lời giải sau:
Xét hai khai triển:
2 1 0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
(1 1) (1 1)
n n
n n n n
n n
n n n n
C C C C
C C C C
Trừ vế theo vế, ta được:
2 1 1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2n 2(C n Cn C n Cnn)
2 1
2n 2.1024
2 1 10 11
2n 2.2 2
2n 1 11
2n 10 n 5.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: n 5.
27. Tìm hệ số của x6 trong 1 3 ,
n
x x
biết n thỏa: Cn1 Cn2 Cn3 Cnn 1023.
28. Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức (23 )x 2n thành đa thức, biết n thỏa:
1 3 5 2 1
2n 1 2n 1 2n 1 2nn 1 1024.
C C C C ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: n 10 Hệ số cần tìm là 210.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: Hệ số cần tìm là C107.2 .( 3) .3 7
29. Xét khai triển nhị thức của đa thức:
2
0 1 2
(1 2 ) x n a a x a x a xn n Tìm a5, biết rằng a0 a1a2 71.
30. Xét khai triển nhị thức của đa thức:
2
0 1 2
(12 )x n a a x a x a xn n.
Tìm n , biết a0 8a1 2a2 1.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: a5 672.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: n 5.
31. Cho khai triển nhị thức Newton:
2
0 1 2
(x 3)n a a xa x a xn n. Gọi S là tập hợp chứa các số tự nhiên n để a10 là số lớn nhất trong các số a0, ,a1
2,...., .n
a a Tính tổng các phần tử của S.
32. Xét khai triển nhị thức của đa thức:
1
1 1 0
(x 2)n a xn n a xn n a x a , với n là số nguyên dương. Biết rằng:
9 8
n n
a a và an9 an10. Hỏi giá trị của n bằng bao nhiêu ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: Tổng các phần tử của S bằng 205.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: n 13.
Chuyên đề 3. Tổ hợp & Xác suất
1. Từ một hộp chứa 4 quả cầu trắng, 6 quả cầu xanh kớch thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiờn 3 quả cầu. Tớnh xỏc suất để 3 quả cầu lấy được cú đỳng một màu ?
2. Lớp 11A cú 7 học sinh giỏi, trong đú cú 3 bạn nữ. Giỏo viờn chủ nhiệm chọn ngẫu nhiờn 3 bạn trong cỏc bạn học sinh giỏi trờn để đi dự lễ tuyờn dương cấp trường. Tớnh xỏc suất để trong ba bạn được chọn cú cả nam và nữ.
Lời giải. Chọn 3 quả cầu trong 10 quả cầu, suy ra số phần tử khụng gian mẫu là:
3
( ) 10 120.
n C
Gọi A là biến cố: “ba quả lấy cựng màu”.
TH1: Chọn 3 quả màu trắng cú C43 cỏch.
TH2: Chọn 3 quả màu xanh cú C63 cỏch.
Theo quy tắc cộngn A( )C43 C63 24.
Do đú xỏc suất cần tỡm của biến cố A là:
( ) 24 1
( ) ( ) 120 5
P A n A
n
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đỏp số: 6
( ) 7
P A 3. Từ một hộp đựng 5 bi xanh, 6 bi đỏ và 4
bi vàng, tất cả cỏc bi khỏc nhau đụi một, người ta lấy ngẫu nhiờn ba bi. Tớnh xỏc xuất để ba bi được chọn chỉ gồm đỳng hai màu.
4. Thầy giỏo cú 10 cõu hỏi trắc nghiệm, trong đú cú 6 cõu đại số và 4 cõu hỡnh học. Thầy gọi bạn An lờn bảng chọn ngẫu nhiờu 3 cõu trong 10 cõu hỏi để trả lời. Tớnh xỏc suất để bạn An chọn ớt nhất một cõu hỡnh học.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đỏp số: 43
( ) 65 P A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đỏp số: 5
( ) 6
P A
5. Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán.
6. Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm.
Tính xác suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 37
( ) 42 P A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 244
( ) 247 P A 7. Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30.
Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho 10.
8. Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ bằng số bi vàng.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 99
( ) 667 P A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 95 408
9. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn.
10.Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất.
Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xác suất để phương trình x2 bx 2 0 có hai nghiệm phân biệt là bao nhiêu ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 13 18
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2
( ) 3
P A 11. Gọi E là tập các số tự nhiên gồm năm
chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Lấy ngẫu nhiên một số trong E tính xác suất để lấy được số chia hết cho 5.
12.Gọi E là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 7. Tập E có bao nhiêu phần tử ? Chọn ngẫu nhiên một phần tử của E, tính xác suất được chọn chia hết cho 3.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 13
( ) 49 P A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2
( ) 5
P A
13. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số có 4 chữ số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 1 số trong các số được lập, tính xác suất để số được lấy có hai chữ số chẵn, hai chữ số lẻ ?
14.Trong giờ Thể dục, tổ I lớp 12A có 12 học sinh gồm 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ tập trung ngẫu nhiên theo một hàng dọc.
Tính xác suất để người đứng ở đầu hàng và cuối hàng đều là học sinh nam.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 3
( ) 5
P A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 7
( ) 22 P A
15. Một tổ học sinh trong lớp 11A1 tường THPT X có 4 em nữ và 5 em nam được xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để chỉ có hai em nữ A B, đứng cạnh nhau, còn các em nữ còn lại không đứng cạnh nhau và cũng không đứng cạnh A B, .
16.Cho hai đường thẳng d1d2. Trên d1 có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ. Trên d2 có
4 điểm phân biết được tô màu xanh. Xét tất cả các tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau. Chọn ngẫu nhiên một tam giác. Tính xác suất thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏ ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 5
P 63
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 5
( ) 8
P A
17.Lập các số tự nhiên có 7 chữ số từ các chữ số 1, 2, 3, 4. Tính xác suất để số lập được thỏa mãn: các chữ số 1, 2, 3 có mặt hai lần, chữ số 4 có mặt 1 lần đồng thời các chữ số lẻ đều nằm ở các vị trí lẻ (tính từ trái qua phải).
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 9
( ) 2
P A 819 ...
18. Một học sinh A thiết kế một bảng khóa điện tử để khóa một hộp bí mật. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở được hộp bí mật này cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Bạn A mang hộp đến lớp cho các bạn thử mở. Một bạn B trong lớp không biết quy tắc mở nên đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng khóa. Tính xác suất để bạn B mở được hộp bí mật.
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 8 1
( ) 720 90
P E ...
19.Xét tập hợp A gồm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ A. Tính xác suất để số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước (tính từ trái sang phải) ?
...
...
...
...
...
Đáp số: 1
( ) 216
P A ...
Chuyên đề 4. Phương pháp quy nạp, dãy số tăng giảm
Phương phỏp quy nạp toỏn học
Bài toỏn. Chứng minh mệnh đề chứa biến P n( ) đỳng với mọi số nguyờn dương n.
Phương phỏp
— Bước 1. Với n 1, ta chứng minh P(1) đỳng.
— Bước 2. Giả sử P n( ) đỳng với n k 1.
Ta phải chứng minh P n( ) đỳng với n k 1.
Kết luận: mệnh đề P n( ) đỳng với mọi số nguyờn dương n. 1. Chứng minh rằng với mọi n , ta cú:
1.42.7 n n(3 1)n n( 1)2 ( )
2. Chứng minh rằng với mọi n , ta cú:
1.22.53.8 n n(3 1)n n2( 1).
Lời giải.
Với n 1 VT( ) VP( ) 4.
Suy ra ( ) đỳng với n 1.
Giả sử ( ) đỳng với n k, nghĩa là cú:
1.42.7 k k(3 1)k k( 1) .2
Ta chứng minh ( ) đỳng với n k 1, nghĩa là cần chứng minh:
1.4k k(3 1) (k 1)(3k 4) (k 1)(k2)2
Thật vậy, ta cú:
( 1)2
1.4 2.7 (3 1) ( 1)(3 4)
k k
k k k k
( 1)2 ( 1)(3 4)
k k k k
(k 1)(k 2)2
( ) đỳng khi n k 1.
Kết luận: Theo nguyờn lý quy nạp, ( ) đỳng với mọi số nguyờn dương n.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. Chứng minh với mọi số nguyờn dương n thỡ 2 2 2 2 ( 1)(2 1)
1 2 3
6 n n n
n
...
...
...
...
...
...
...
...
4. Chứng minh với mọi số n , thì ta có 2 2 2 2 2 ( 1)(2 1)
2 4 6 (2 )
3 n n n
n
...
...
...
...
...
...
...
...
5. Chứng minh với mọi số n , thì ta có:
2 2
3 3 3 3 ( 1)
1 2 3
4 n n n
...
...
...
...
...
...
...
...
...
6. Chứng minh: 1 1 1 12 1
1 1 1 1
4 9 16 2
n n n
với n và n 2.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
7. Chứng minh với mọi số n , thì un n3 11n chia hết cho 6.
Lời giải.
Với n 1 u1 12 6. Do đó un đúng khi n 1.
Giả sử với n k thì uk k3 11 6.k
Ta cần chứng minh n k 1 thì uk1 (k 1)3 11(k 1) 6 Thật vậy: uk1 (k 1)3 11(k 1)k3 3k2 3k 1 11k 11
(k3 11 )k 3 (k k 1) 12uk 3 (k k 1) 12.
Mà uk 6, 12 6 và có k k( 1) 2 3 (k k 1) 6 nên tổng của chúng sẽ chia hết cho 6. Nghĩa là uk1 6. Do đó un đúng khi n k 1.
Theo nguyên lý quy nạp, ta có un n3 11n chia hết cho 6 (đpcm).
Cần nhớ: n thì ta luôn có n n( 1) 2.
8. Chứng minh với mọi số n , thì un 2n33n2 n chia hết cho 6.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
9. Chứng minh với mọi số n , thì un n3 3n2 5n chia hết cho 3.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
10.Chứng minh với mọi số n , thì un 4n 15n1 chia hết cho 9.
Lời giải.
Với n 1 u1 41 15.1 1 18 9. Do đó un đúng khi n 1.
Giả sử với n k thì uk 4k 15k 1 9 4uk (4k 15k 1) 9. Ta cần chứng minh n k 1 thì uk1 4k1 15(k 1) 1 9.
Thật vậy: uk1 4.4k 15k 144(4k 15k 1) 45k 184.uk 9(25 )k Mà 4uk1 9 và 9(25 ) 9k nên tổng của chúng sẽ chia hết cho 9 nghĩa là uk1 9.
Do đó un đúng khi n k 1.
Theo nguyên lý quy nạp, ta có un 4n 15n1 chia hết cho 9. (đpcm).
Cần nhớ: Gặp dạng un có chứa an ta sẽ nhân thêm a để dễ nhìn nhận uk1 chia hết.
11.Chứng minh với mọi số n , thì un 4n 6n 8 chia hết cho 8.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
12.Chứng minh với mọi số n , thì un 32n1 2n2 chia hết cho 7.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Phương pháp xét tính tăng giảm của dãy số
Phương pháp 1. Xét dấu của hiệu số un1 un. (sử dụng khi đề cho đa thức)
Nếu un1un 0 thì ( )un tăng. Nếu un1un 0 thì ( )un giảm.
Phương pháp 2. Nếu n *, un 0 thì so sánh tỉ số n 1
n
u u
với số 1.(sử dụng khi có an).
Nếu n 1 1
n
u u
thì ( )un là dãy số tăng. Nếu n 1 1
n
u u
thì ( )un là dãy số giảm.
13.Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:
1
n 1 u n
n
với mọi n .
14.Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:
2 1
n 3 u n
n
với mọi n .
Lời giải. Ta có: 1 2
1 1 1
n
u n
n n
Xét 1 2 2
1 1
2 1
n n
u u
n n
1 1 1
0, .
1 2 ( 1)( 2) n
n n n n
Kết luận: Dãy số ( )un là dãy số tăng.
...
...
...
...
...
...
15.Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:
3 2 2 1
n 1
n n
u n
với mọi n .
16.Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:
2 2
1
2 1
n
n n
u n
với mọi n . ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
17.Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:
2 1
un n n với mọi n .
18.Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:
2 4 2 1
un n n với mọi n . ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
19.Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:
n 2n
u n với mọi n .
20.Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:
1
n 3n
u n
với mọi n .
Lời giải. Nhận thấy un 0, n .
Xét 1 2 11 2 . 1
2 .2.2
n n
n
n n
n
u n n
u n n
1
1, ( 1).
2
n n
n
Thật vậy 1 1 2
1 1
2 4
n n
n n
4n n 1 3n 1
: đúng n 1.
Kết luận: Dãy số ( )un là dãy số giảm.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
21.Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:
2
3n un
n với mọi n .
22.Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:
1
3 2
n
n n
u với mọi n . ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Chuyên đề 5. Cấp số cộng, cấp số nhân
Cấp số cộng Cấp số nhõn uk uk1 d.
uk1 q u. .k
un u1 (n1). .d un u q1. n1.
1 1
.
2
k k
k
u u
u
uk1.uk1 uk2.
( 1 ).
n 2 n
S n u u 1. 1
1
n n
S u q q
23. Tỡm số hạng đầu, cụng sai và tổng của 20 số hạng đầu tiờn của cấp số ( ),un biết
rằng 2 5 3
4 6
10. 26 u u u u u
24. Tỡm số hạng đầu, cụng sai và tổng của 20 số hạng đầu tiờn của cấp số ( ),un biết rằng
2 3 5
2 7
10. 17 u u u u u
Lời giải. Áp dụng: un u1 (n1). .d Ta cú: 2 5 3
4 6
10 26 u u u u u
1 1 1
1 1
( ) ( 4 ) ( 2 ) 10
( 3 ) ( 5 ) 26
u d u d u d
u d u d
1 1
1
3 10 1
2 8 26 3 .
u d u
u d d
Khi đú: u20 u1 19d 1 19.358.
1
( ) 20(1 58) 590.
2 2
n n
S n u u
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đỏp số: u1 19,d 3, S20 190.
25.Cho cấp số cộng (un) thỏa 3 5
13
14. 130 u u S
Tỡm số hạng đầu tiờn, cụng sai và tổng của 30 số hạng đầu tiờn của cấp số cộng.
26.Tỡm số hạng đầu và cụng sai của cấp số cộng, biết rằng
2 2 2
1 2 3
3
155. 21
u u u S
Tớnh
tổng của 10 số hạng đầu tiờn của cấp số.
...
...
...
...
...
...
...
Đỏp số: d 1, u1 4, S30 555.
...
...
...
...
...
...
...
Đỏp số: u1 5, d 2, S10 140.
