Đề thi giữa HK1 Toán 8 năm 2020 - 2021 trường chuyên Hà Nội - Amsterdam - THCS.TOANMATH.com

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ N ỘI - AMSTERDAM

THCS.TOANMATH.com

Câu 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)

A x ( )  x

²

 3 x  2

b)

B x y  ,   x

²

 4 y

²

 4 xy  4

Câu 2. Tìm

x

sao cho 

^x²

 

³ ^2x¹



³⁹



^x¹



³ ¹⁶

.

Câu 3. Cho a , b , c . là các s ố thực thỏa mãn

^{a2b2c2 abbcca}

. Ch ứng minh rằng

.

a b c

Câu 4. Cho  ABC vuông ở

^{A AB, ( AC)}

, đường cao AH , đường trung tuyến AM . G ọi

E

,

F

l ần lượt là hình chiếu vuông góc của

^H

trên

AB

,

AC

. Trên tia đối của tia

^EH

l ấy điểm

^P

sao cho EP  EH , trên tia đối của tia

^FH

l ấy điểm

^Q

sao cho

FQFH

.

a) Chứng minh ba điểm P, A, Q. thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng tứ giác BPQC là hình thang vuông và BPQCBC. c) Chứng minh AM vuông góc với EF

d) Gọi

( )

^d là đường thẳng thay đổi, đi qua A, nhưng không cắt cạnh BC của tam giác ABC. Gọi X , Y lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C trên

( )

^d . Tìm vị trí của

( )

^d để chu vi tứ giác BXYC lớn nhất.

Câu 5.

a) ( Dành cho các lớp 8B, 8C, 8D, 8E )

Cho

a

,

b

,

c

là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn a³  b³ c³ 3abc. Tính giá trị của biểu thức

M    a b b   c c    a  abc

b) ( Dành riêng cho lớp 8A)

Với

a

,

b

là các số thực thỏa mãn a³ b³ 3ab 18. Chứng minh rằng

    9 a b 1

HẾT

ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2020 - 2021

MÔN TOÁN - LỚP 8

Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề)

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)

A x ( )  x

²

 3 x  2

b)

B x y  ,   x

²

 4 y

²

 4 xy  4

Lời giải a)

A x ( )  x

²

 3 x  2

2 2 2

x x x

   

 1  2  1 

x x x

   

 x 1  x 2 

  

b)

B x y ( , )  x

²

 4 y

²

 4 xy  4



^{x2 4xy 4y2}



⁴

   



^{x 2y}



^{2 22}

  

 x 2 y 2  x 2 y 2 

    

Câu 2. Tìm

x

sao cho 

^x²

 

³ ^2x¹



³⁹



^x¹



³ ¹⁶

.

Lời giải Ta có



x2

 

³ 2x1



³9



x1



³  16



x 2

 

³ 2x 1

 

³ x 1



³ 8



x 1



³ 16

         



x 2

 

³ x 1

 

³ 2x 1



³ 8



x 1



³ 16

         

 



^{x 2 x 1}

 

^{x 2}

 

^{2 x 2}



^{x 1}

 

^{x 1}



²



^{2x 1}



³



²



^{x 1}

 

^{3 16}

   



     



     

 

 



^{x 2 x 1 3}

 

^{x2 3x 3}

 

^{2x 1 2}



^{x 1}

  

^{2x 1}

 

^{2 2x 1 2}



^{x 2}

 

^{2x 2}



^{2 16}

         



     



 

 

 



²

   

^{2 2 2}



3 3x 3x 3 1 4x 4x 1 4x 6x 2 4x 8x 4 16 0

               

 

2 2

9x 9x 9 12x 18x 7 16 0

        

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

HÀ N ỘI - AMSTERDAM

THCS.TOANMATH.com

ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2020 - 2021

MÔN TOÁN - LỚP 8

Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề)

2 2

9x 9x 9 12x 18x 7 16 0

         21x2 9x 0

   

 

3 . 7x x 3 0

   

0

7 3 0

x x

 

 

 



0 3 7 x x



  

 

 



Vậy 3

0; 7 x  ^.

Câu 3. Cho a , b , c . là các s ố thực thỏa mãn

^{a2b2c2 abbcca}

. Ch ứng minh rằng

.

a b c

Lời giải

2 2 2

a b c abbcca

2 2 2

2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca

     

2 2 2

2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca 0

      

2 2 2 2 2 2

2 2 2 0

a ab b b bc c c ca a

         



^{a b}

 

^{2 b c}

 

^{2 c a}



^{2 0}

      

Mà



^ab



^20;



^bc



^{2 0;}



^ca



^20 với mọi số , ,a b c. Suy ra



^ab

 

^{2 b c}

 

^{2 c a}



^{2 0}

 

 

 

2

2

2

0 0 0 a b b c c a

 

  

 

 

 



0 0 0 a b b c c a

 

  

 

 

 

a b b c c a



 



 

 

a b c

   (điều phải chứng minh).

Câu 4. Cho  ABC vuông ở

^{A AB, ( AC)}

, đường cao AH , đường trung tuyến AM . G ọi

E

,

F

l ần

lượt là hình chiếu vuông góc của

^H

trên

AB

,

AC

. Trên tia đối của tia

^EH

l ấy điểm

^P

sao cho EP  EH , trên tia đối của tia

^FH

l ấy điểm

^Q

sao cho

FQFH

.

a) Chứng minh ba điểm P, A, Q. thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng tứ giác BPQC là hình thang vuông và BPQCBC. c) Chứng minh AM vuông góc với EF

d) Gọi

( )

^d là đường thẳng thay đổi, đi qua A, nhưng không cắt cạnh BC của tam giác ABC. Gọi X , Y lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C trên

( )

^{d . Tìm vị trí của}

( )

^d để chu vi tứ giác BXYC lớn nhất.

Lời giải

a) Ta có P đối xứng với H qua E



E là trung điểm của HP mà AB vuông góc với HP



AB là trung trực của HP



H đối xứng với P qua AB

 AP  AH

và góc

HAE



 PAE

 Vì Q đối xứng với H qua F



F là trung điểm của QH mà

AC

vuông góc với QF



AC

là trung trực của QF

 H đối xứng với Q qua

AC

 AQAHvà 

HAF  QAF





QAP



 2  HAE

 

 HAF   2 BAC

^

 180

⁰

 Ba điểm P, A, Q thẳng hàng.

b) Xét AQCvà

 AHC

có AQAH (cmt)

 

HAF  QAF

(cmt) AC chung

AQC=

 AHC

(c.g.c)



CQCH

; CQA



 CHA



 90

⁰

Chứng minh tương tự ta có :

BP  BH ; BPA



 BHA



 90

⁰



BPQCBHCH BC

Xét tứ giácBPQC có BPPQ; CQPQBP//CQ. Mà

CQA



 90

⁰

BPQC là hình thang vuông.

c) Xét QHPcó EF là đường trung bình

 EF

// PQ Ta có :

AHAQ (AQC=

 AHC

)

AH  AP

(

 APB   AHB

)



APAQ _. Mà

BM  MC



Hình thang BCQP có AM là đường trung bình



AM //CQ PQCQ



PQAM

 EF  AM

d) Ta có:

 BX  AX 

²

 2  BX

²

 AX

²

  2 AB

²

2 BX AX AB

  

 CY  AY 

²

 2  CY

²

 AY

²

  2 AC

²

2 CY AY AC

  

Chu vi hình thang

P

BXYC

=

BX

+

XY

+

CY

+

BC

=

BX

+

AX

+

AY

+

CY

+

BC

2 2

≤

AB

+

AC

+

BC

max 2 2

P

BXYC =

AB

+

AC

+

BC



d là phân giác góc ngoài t ại đỉnh A hay d vuông góc với phân giác BAC



. Câu 5.

a) ( Dành cho các lớp 8B, 8C, 8D, 8E )

Cho

a

,

b

,

c

là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn a³  b³ c³ 3abc. Tính giá trị của biểu thức

M    a b b   c c    a  abc

b) ( Dành riêng cho lớp 8A)

Với

a

,

b

là các số thực thỏa mãn a³ b³ 3ab 18. Chứng minh rằng

    9 a b 1

Lời giải

a) Ta có:

3 3 3

3 a   b c abc



^{a3 b3}



^{c3 3abc 0}

    

3 2 2 3 3 2 2

3 3 3 3 3 0

a a b ab b c abc a b ab

        



^{a b}



^{3 c3 3ab a( b c) 0}

      

 a b c    a b  

²

a b c  c

²

 3 ab a ( b c ) 0

              



^{a b c a}



^{ 2 2ab b2 ac bc c2 3ab 0}

          



^{a b c a}

 

^{2 b2 c2 ab ac bc}



⁰

        

    

²

 

²



²

1 0

2 a b c  a b b c c a 

            

0 a b c a b c

   

     

TH1:

a    b c 0

; ;

a b c b c a c a b

          . Khi đó

    0

M    c a   b abc   abc  abc 

. TH2:

a   b c

2 .2 .2 8 9

M a b c abc abc abc abc

     

.

b) Ta có

3 3

3 18

a  b ab 

3 3

1 3 17

a b ab

     



^{a b}



^{3 3ab a}



^b



^{1 3ab 17}

       

 a b 1    a b 

²

( a b ) 1  3 ab a  b 1  17

               



^{a b 1}

 

^{a2 b2 1 ab a b}



^{17 0}

          



^{a b 1}

 

^{a2 b2 1 ab a b}



⁰

        

mà ^{2 2 1 1}

  

^{2 1}

 

^{2 1}



^{2 0}

a   b ab  a b 2 ab  a  b  ^(dấu “=” không xảy ra vì theo giả thiết a b, không thể đồng thời bằng 1)

1 0 a b

    1 a b

  

Ta có:



^ab



^{33ab a}



^{   b 1}



¹⁸

 

²

0 3 3  

²

a  b   ab  4 a  b

  3   

²



3 1 1

ab a b 4 a b a b

      

( vì

a    b 1 0

) Đặt

a   b t

 

3

3

2

18 1

t 4 t t

    

3 2

1 3

18 0 4 t 4 t

   



^{3 2}



1 3 72 0

4 t t

   

3 2

3 72 0

t t

   

3 2

72 3 72

t t

   

3

72

  t

5 9

     t 9 a b

   

.

Vậy

    9 a b 1

.

__________ THCS.TOANMATH.com __________