SӢ GIÁO DӨC & ĈÀO TҤO ĈӖNG NAI
Trѭӡng THPT BC Lê Hӗng Phong
Giáo viên thӵc hiӋn
NGUYӈN TҨT THU
Năm hӑc: 2008 – 2009
MӨC LӨC
MӨC LӨC... 1
LӠI MӢ ĈҪU... 3
I. SӰ DӨNG CSC – CSN Ĉӆ XÂY DӴNG CÁCH TÌM CTTQ CӪA MӜT SӔ DҤNG DÃY SӔ CÓ CÔNG THӬC TRUY HӖIĈҺC BIӊT. ... 4
II. SӰ DӨNG PHÉP THӂ LѬӦNG GIÁC Ĉӆ XÁC ĈӎNH CTTQ CӪA DÃY SӔ... 24
III. ӬNG DӨNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CӪA DÃY SӔ VÀO GIҦI MӜT SӔ BÀI TOÁN Vӄ DÃY SӔ - TӘ HӦP... 30
BÀI TҰP ÁP DӨNG ... 41
KӂT LUҰN – KIӂN NGHӎ... 45
TÀI LIӊU THAM KHҦO ... 46
LӠI MӢ ĈҪU
Trong chѭѫng trình toán hӑc THPT các bài toán liên quan ÿӃn dãy sӕ là mӝt phҫn quan trӑng cӫa ÿҥi sӕ và giҧi tích lӟp 11 , hӑc sinh thѭӡng gһp nhiӅu khó khăn khi giҧi các bài toán liên qua ÿӃn dãy sӕ và ÿһc biӋt là bài toán xác ÿӏnh công thӭc sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ . Hѫn nӳa ӣ mӝt sӕ lӟp bài toán khi ÿã xác ÿӏnh ÿѭӧc công thӭc tәng quát cӫa dãy sӕ thì nӝi dung cӫa bài toán gҫn nhѭ ÿѭӧc giҧi quyӃt. Do ÿó xác ÿӏnh công thӭc tәng quát cӫa dãy sӕ chiӃm mӝt vӏ trí nhҩt ÿӏnh trong các bài toán dãy sӕ.
Chuyên ÿӅ “M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ” nhҵm chia sҿ vӟi các bҥn ÿӗng nghiӋp mӝt sӕ kinh nghiӋm giҧi bài toán xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ mà bҧn thân ÿúc rút ÿѭӧc trong quá trình hӑc tұp và giҧng dҥy.
Nӝi dung cӫa chuyên ÿӅ ÿѭӧc chia làm ba mөc :
I: S͵ dͭng CSC – CSN ÿ͋ xây dng ph˱˯ng pháp tìm CTTQ cͯa m͡t s͙ d̩ng dãy s͙
có d̩ng công thͱc truy h͛i ÿ̿c bi͏t.
II: S͵ dͭng ph˱˯ng pháp th͇ l˱ͫng giác ÿ͋ xác ÿ͓nh CTTQ cͯa dãy s͙
III: Ͱng dͭng cͯa bài toán xác ÿ͓nh CTTQ cͯa dãy s͙ vào gi̫i m͡t s͙ bài toán v͉
dãy s͙ - t͝ hͫp .
Mӝt sӕ kӃt quҧ trong chuyên ÿӅ này ÿã có ӣ mӝt sӕ sách tham khҧo vӅ dãy sӕ, tuy nhiên trong chuyên ÿӅ các kӃt quҧ ÿóÿѭӧc xây dӵng mӝt cách tӵ nhiên hѫn và ÿѭӧc sҳp xӃp tӯ ÿѫn giҧn ÿӃn phӭc tҥp giúp các em hӑc sinh nҳm bҳt kiӃn thӭc dӉ dàng hѫn và phát triӇn tѭ duy cho các em hӑc sinh.
Trong quá trình viӃt chuyên ÿӅ, chúng tôi nhұn ÿѭӧc sӵ ÿӝng viên, giúp ÿӥ nhiӋt thành cӫa BGH và quý thҫy cô tә Toán Trѭӡng THPT BC Lê Hӗng Phong. Chúng tôi xin ÿѭӧc bày tӓ lòng biӃt ѫn sâu sҳc.
Vì năng lӵc và thӡi gian có nhiӅu hҥn chӃ nên ӣ chuyên ÿӅ sӁ có nhӳng thiӃu sót. Rҩt mong quý Thҫy – Cô và các bҥn ÿӗng nghiӋp thông cҧm và góp ý ÿӇ chuyên ÿӅ ÿѭӧc tӕt hѫn.
MӜT SӔ PHѬѪNG PHÁP XÁC ĈӎNH CÔNG THӬC TӘNG QUÁT CӪA DÃY SӔ
I. SӰ DӨNG CSC – CSN Ĉӆ XÂY DӴNG CÁCH TÌM CTTQ CӪA MӜT SӔ DҤNG DÃY SӔ CÓ CÔNG THӬC TRUY HӖI ĈҺC BIӊT.
Trong mөc này chúng tôi xây dӵng phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy sӕ có công thӭc truy hӗi dҥng ÿһc biӋt. Phѭѫng pháp này ÿѭӧc xây dӵng dӵa trên
các kӃt quҧ ÿã biӃt vӅ CSN – CSC , kӃt hӧp vӟi phѭѫng pháp chӑn thích hӧp. Trѭӟc hӃt chúng ta nhҳc lҥi mӝt sӕ kӃt quҧ ÿã biӃt vӅ CSN – CSC .
1. Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ cӝng và cҩp sӕ nhân 1.1: Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ cӝng
Ĉ͓nh nghƭa: Dãy sӕ UN có tính chҩt UN =UN− +D ∀ ≥N , D là sӕ thӵc không ÿәi gӑi là cҩp sӕ cӝng .
D : gӑi là công sai cӫa CSC; U: gӑi sӕ hҥngÿҫu, UN gӑi là sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ Ĉ͓nh lí 1: Cho CSC UN . Ta có : UN = U +N − D (1).
Ĉ͓nh lí 2: Gӑi 3N là tәng n sӕ hҥngÿҫu cӫa CSC UN có công sai d. Ta có:
3 ; =
N
N U N D
= + − (2).
1. 2: Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ nhân
Ĉ͓nh nghƭa: Dãy sӕ UN có tính chҩt UN+ =Q U ÅÅÅN ∀ ∈N ` gӑi là cҩp sӕ nhân công bӝi Q.
Ĉ͓nh lí 3: Cho CSN UN có công bӝi Q. Ta có: UN = U Q N− (3).
Ĉ͓nh lí 4: Gӑi 3N là tәng n sӕ hҥngÿҫu cӫa CSN UN có công bӝi Q . Ta có:
N N
3 U Q
= Q (4).
2. Áp dөng CSC – CSN ÿӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy sӕ ÿһc biӋt Ví dͭ 1.1: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:
Å N N ÅÅÅÅÅÅÅ U = U = U − − ∀ ≥N . Giҧi:
Ta thҩy dãy UN là mӝt CSC có công sai D = −. Áp dөng kӃt quҧ (1) ta có:
UN = − N − = − N + .
Ví dͭ 1.2: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:
Å N N ÅÅÅÅÅÅÅ U = U = U − ∀ ≥N . Giҧi:
Ta thҩy dãy UN là mӝt CSN có công bӝi Q = . Ta có:UN = N−. Ví dͭ 1.3: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:
ÅÅ N N ÅÅÅÅÅÅÅ U = − U = U − − ∀ ≥N . Giҧi:
Trong bài toán này chúng ta gһp khó khăn vì dãy UN không phҧi là CSC hay CSN! Ta thҩy dãy UN không phҧi là CSN vì xuҩt hiӋn hҵng sӕ − ӣ VT. Ta tìm cách làm mҩt
− ÿi và chuyӇn dãy sӕ vӅ CSN.
Ta có:
− = − + nên ta viӃt công thӭc truy hӗi cӫa dãy nhѭ sau:
N N N
U − = U − − = U − − (1).
Ĉһt
N N
V =U − V = − và VN = VN−ÅÅ∀ ≥N . Dãy VN là CSN công bӝi Q =
N N
VN V Q − −
= = − . Vұy
N
N N
U = V + = − + ∀ =N . Nh̵n xét:Mүu chӕt ӣ cách làm trên là ta phân tích
− = − + ÿӇ chuyӇn công thӭc truy hӗi cӫa dãy vӅ (1), tӯ ÿó ta ÿһt dãy phө ÿӇ chuyӇn vӅ dãy VN là mӝt CSN. Tuy nhiên viӋc làm trên có vҿ không tӵ nhiên lҳm! Làm thӃ nào ta biӃt phân tích
− = − + ? Ta có thӇ làm nhѭ sau:
Ta phân tích
K K K
− = − = .
Vӟi cách làm này ta xác ÿӏnh ÿѭӧc CTTQ cӫa dãy
N N N ÅÅÅ
U X
U U AU − B N
=
°® = + ∀ ≥
°¯ .
Thұt vұy:
* NӃu A = thì dãy UN là CSC có công sai D =B nên UN =U +N − B.
* NӃu A ≠ , ta viӃt
AB B
B = A −A
− − . Khi ÿó công thӭc truy hӗi cӫa dãy ÿѭӧc viӃt nhѭ
sau:
N N
B B
U A U
A − A
+ = +
− − , tӯ ÿây ta có ÿѭӧc:
N N
B B
U U A
A A
+ = + −
− −
Hay
N N N
U U A BA A
− − −
= +
− . Vұy ta có kӃt quҧ sau:
Dҥng 1: Dãy sӕ UN U = X ÅUN =AUN− + ∀ ≥BÅ N (A B ≠ là các hҵng sӕ) có CTTQ là:
ÅÅÅÅÅKHIÅÅÅÅ ÅÅÅ
ÅÅKHIÅA
N N N
U N B A
U A
U A B
A
− −
+ − =
= °®°¯ + −− ≠
.
Ví dͭ 1.4: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh : U = ÅUN = UN− +N −. Giҧi:ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy sӕ ta tìm cách làm mҩt N − ÿӇ chuyӇn vӅ dãy sӕ là mӝt CSN. Muӕn làm vұy ta viӃt :
N − = − N − + ª¬ N − + º¼ (2).
Khi ÿó công thӭc truy hӗi cӫa dãy ÿѭӧc viӃt nhѭ sau:
N N
U + N + = ª¬U + N − + º¼.
Ĉһt VN =UN + N +, ta có: V = và VN = VN−Å∀ ≥N VN = VN− = N− Vұy CTTQ cӫa dãy UN UN =VN −N − = N −N −ÅÅ∀ =N .
Chú ý : 1) ĈӇ phân tích ÿѭӧc ÿҷng thӭc (2), ta làm nhѭ sau:
N − = AN B+ − ª¬A N − +Bº¼. Cho N = N = ta có:
A B A
B B
− = = −
° °
⇔
®− = ® = −
° °
¯ ¯ .
2) Trong trѭӡng hӧp tәng quát dãy
( )
ÅÅ
N N N
U U
U AU − F N N
°® = + ∀ ≥
°¯ , trong ÿó F N
là mӝt ÿa thӭc bұc K theo N, ta xác ÿӏnh CTTQ nhѭ sau:
Phân tích F N = G N −AG N − (3) vӟi G N cNJng là mӝt ÿa thӭc theo N. Khi ÿó ta có: UN −G N =A Uª¬ N− −G N − º¼ = =AN− ª¬U −G º¼
Vұy ta có: UN = ª¬U −G º¼AN− +G N .
Vҩn ÿӅ còn lҥi là ta xác ÿӏnh G N nhѭ thӃ nào ? Ta thҩy :
*NӃu A = thì G N −AG N − là mӝt ÿa thӭc có bұc nhӓ hѫn bұc cӫa G N mӝt bұc và không phө thuӝc vào hӋ sӕ tӵ do cӫa G N , mà F N là ÿa thӭc bұc K nên ÿӇ có (3) ta chӑn G N là ÿa thӭc bұc K +, có hӋ sӕ tӵ do bҵng không và khi ÿó ÿӇ xác ÿӏnh G N thì trong ÿҷng thӭc (3) ta cho K + giá trӏ cӫa N bҩt kì ta ÿѭӧc hӋ K + phѭѫng trình, giҧi hӋ này ta tìm ÿѭӧc các hӋ sӕ cӫa G N .
* NӃu A ≠ thì G N −AG N − là mӝt ÿa thӭc cùng bұc vӟi G N nên ta chӑn G N là ÿa thӭc bұc K và trong ÿҷng thӭc (3) ta cho K + giá trӏ cӫa N thì ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc
G N .
Vұy ta có kӃt quҧ sau:
Dҥng 2: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:
N N
U X
U A U − F N
=
°® = +
°¯ , trong
ÿó F N là mӝt ÿa thӭc bұc K theo N ; A là hҵng sӕ. Ta làm nhѭ sau:
Ta phân tích: F N = G N −A G N − vӟi G N là mӝt ÿa thӭc theo N. Khi ÿó, ta ÿһt
N N
V = U −G N ta có ÿѭӧc: UN = ª¬U −G º¼AN− +G N .
Lѭu ý nӃu A =, ta chӑn G N là ÿa thӭc bұc K + có hӋ sӕ tӵ do bҵng không, còn nӃu
A ≠ ta chӑn G N là ÿa thӭc bұc K.
Ví dͭ 1.5: Cho dãy sӕ
N N N
U U
U U − N
=
°® = + +
°¯ . Tìm CTTQ cӫa dãy UN .
Giҧi: Ta phân tích N + = G N −G N − =A Nª¬ −N − º¼ +B Nª¬ −N − º¼
( trong ÿó G N =AN +BN).
Cho N = N = ta có hӋ:
A B A
G N N N
A B B
− + = =
° °
⇔ = +
® + = ® =
° °
¯ ¯
.
UN N N
= + − .
Ví dͭ 1.6: Cho dãy sӕ
ÅÅÅN
N
N N
U U
U U − N
=
°®
= + =
°¯ .Tìm CTTQ cӫa dãy UN .
Giҧi: Ta vүn bҳt chѭӟc cách làm trong các ví dө trên, ta phân tích:
N =AN − A N−. Cho N =, ta có: A = − N = −N + N− Nên ta có: UN +N = UN− + N− = = N−U +
Vұy UN = N− −N+ .
Chú ý : Trong trѭӡng hӧp tәng quát dãy UN UN =A U N− +BαN, ta phân tích
N K N AK N
α = α − α − vӟi A ≠α . Khi ÿó: UN −KBαN =A U
(
N− −KBαN−)
= =AN−(
U −BK)
Suy ra UN =AN−U −BK +BKαN.
Trѭӡng hӧp α =A, ta phân tích αN = NαN −αN − αN−
(
)
N N N
N N
U BNα α U − B N α − α − U Bα
− = − − = = −
N N
UN B N α U α −
= − + . Vұy ta có kӃt quҧ sau.
Dҥng 3:ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy
N N N NÅ U U
U A U − Bα N
°®
= + ∀ ≥
°¯ , ta làm nhѭ
sau:
•ÅNӃu A =α UN =B N − αN +UαN−.
•ÅNӃu A ≠α , ta phân tích αN = KαN −AKαN−. Khi ÿó: UN =AN−U −BK +BKαN Ta tìm ÿѭӧc: K
A α
= α
− .
Ví dͭ 1.7: Tìm CTTQ cӫa dãy
N N ÅÅ Å
N
N N
U U
U U − N
= −
°®
= + − + =
°¯ .
Giҧi: Ta có:
N N N
N N N
K K
L L
−
−
= −
°®
= −
°¯ cho N =, ta ÿѭӧc:
K L
= −
°°®
° =
°¯
Hѫn nӳa = − + nên công thӭc truy hӗi cӫa dãy ÿѭӧc viӃt lҥi nhѭ sau:
(
)
N N N N N
N N
U + + + = U − + − + − + = = − U + + +
Vұy UN =N− −N+ −N+ − . Ví dͭ 1.8: Tìm CTTQ cӫa dãy
N ÅÅ
N
N N
U U
U U − N N
=
°®
= + − ∀ ≥
°¯ .
Giҧi: Ta phân tích:
N N N
N N N
= − −
°® = − − + ª − + º
° ¬ ¼
¯
nên ta viӃt công thӭc truy hӗi cӫa dãy nhѭ sau: UN − N − − =N ª¬UN− − N− −N − − º¼ = = N−U −
Vұy UN = −N− + N+ + +N .
Dҥng 4: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy
N N N N ÅÅ
U P
U U A U − Bα F N N
=
°®
= + + ∀ ≥
°¯ , trong
ÿó F N là ÿa thӭc theo N bұc K , ta phân tích αN và F N nhѭ cách phân tích ӣ dҥng 2 và dҥng 3.
Ví dͭ 1.9: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN U = −U = ÅUN = UN− −UN−Å∀ ≥N Giҧi: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ trên, ta thay thӃ dãy UN bҵng mӝt dãy sӕ khác là mӝt CSN. Ta viӃt lҥi công thӭc truy hӗi cӫa dãy nhѭ sau:
N N N N
U −X U − = X U − −X U − , do ÿó ta phҧi chӑn
X X X X X X
+ =
°® =
°¯ hay X X là nghiӋm phѭѫng trình :X − X + = ⇔ = X X = . Ta chӑn X = X = . Khi ÿó:
N N
N N N N
U − U − = U − − U − = = − U − U = −
N
N N
U U − −
= + . Sӱdөng kӃt quҧ dҥng 3, ta tìm ÿѭӧc: UN = N −N.
Chú ý : Tѭѫng tӵ vӟi cách làm trên ta xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:
Å
ÅÅ
N N N
U U
U A U − B U − N
°® − + ∀ ≥
°¯ , trong ÿó A B là các sӕ thӵc cho trѭӟc và A −B ≥ nhѭ sau:
Gӑi X X là hai nghiӋm cӫa phѭѫng trình : X −AX + =B ÅÅÅ ( phѭѫng trình này ÿѭӧc gӑi là phѭѫng trình ÿһc trѭng cӫa dãy).
Khi ÿó: UN −X U N− = X U N− −X U N− = = XN−U −X U . Sӱdөng kӃt quҧ cӫa dҥng 3, ta có các trѭӡng hӧp sau:
•Å NӃu X ≠ X thì
N N
N
X U U U X U
U X X
X X Y X
− −
= +
− − . Hay UN =K X N +L X N, trong ÿó
K L là nghiӋm cӫa hӋ:
K L U X K X L U
+ =
°® + =
°¯ .
•ÅNӃu X = X =α thì
N N
U A AU
U =α − ª« + U − Nº»
« »
¬ ¼, hay UN =KN L+ αN−, trong ÿó K L là nghiӋm cӫa hӋ:
L U
K L U
=α
°® + =
°¯ .
Vұy ta có kӃt quҧ sau:
Dҥng 5: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN :
Å
ÅÅ
N N N
U U
U A U − B U − N
°® − + = ∀ ≥
°¯ , trong
ÿó A B C là các sӕ thӵc khác không; A − B ≥ ta làm nhѭ sau:
Gӑi X X là nghiӋm cӫa phѭѫng trình ÿһc trѭng: X −AX B+ = .
•Å NӃu X ≠ X thì UN =K X N +L X N, trong ÿó K L là nghiӋm cӫa hӋ :
K L U X K X L U
+ =
°® + =
°¯ .
•Å NӃu X = X = α thì UN =KN L+ αN−, trong ÿó K L là nghiӋm cӫa hӋ:
L U
K L U
=α
°® + =
°¯ .
Ví dͭ 1.10: Cho dãy sӕ
( )
UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi :
ÅÅ
N N N
U U
U + U U − N
= =
°® = + ∀ ≥
°¯ .
Hãy xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN . Giҧi:
Phѭѫng trình X −X − = có hai nghiӋm X = + ÅX = − .
N N UN K X L X
= + . Vì U = U = nên ta có hӋ:
K L
K L
+ =
°®
+ + − =
°¯
K L
⇔ = = . Vұy
N N
UN = ª¬ + + − º¼.
Ví dͭ 1.11: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy:
N N N N Å
U U
U U U − U − N
= =
°® − + = ∀ =
°¯ .
Giҧi:
Phѭѫng trình ÿһc trѭng X −X + = có nghiӋm kép X = nên UN =KN L+ N− Vì U =U = nên ta có hӋ:
L K L
K L
=
° ⇔ = =
® + =
°¯ .
Vұy UN =N + N−.
Ví dͭ 1.12: Cho dãy
N N N N ÅÅÅ
U U
U U U − U − N N N
= − =
°®
− + = + + ∀ ≥
°¯ . Xác ÿӏnh
CTTQ cӫa dãy UN . Giҧi:
Vӟi cách làm tѭѫng tӵ nhѭVí dͭ 1.4, ta phân tích: N +N + =
KN LN T ªK N L N Tº ªK N L N Tº
= + + − ¬ − + − + ¼ + ¬ − + − + ¼ (5)
Ӣ (5) cho N = N =N = ta có hӋ:
K L T K
K L T L
K L T T
− + = =
° °
− + = ⇔ =
® ®
°− − + = ° =
¯ ¯
.
Ĉһt VN =UN −N −N − V = −V = − và VN −VN− +VN− = N N
VN α β
= + . Ta có hӋ:
α β α
α β β
+ = − =
° °
⇔
® + = − ® = −
° °
¯ ¯
N N N N
N N
V U N N
= − = − + + + .
Chú ý :ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ:
ÅÅ
N N N N
U U U
U + A U B U − F N N
°® + + = ∀ ≥
°¯ ,
( trong ÿó F N là ÿa thӭc bұc K theo N và A − B ≥ ) ta làm nhѭ sau:
•Å Ta phân tích F N = G N +AG N − +BG N − (6) rӗi ta ÿһt VN = UN −G N
Ta có ÿѭӧc dãy sӕ
N N N N Å
V U G V U G
V V AV − BV − N
= − = −
°® + + = ∀ ≥
°¯ . Ĉây là dãy sӕ mà ta ÿã xét
trong dҥng 5. Do ÿó ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc CTTQ cӫa VN UN.
•ÅVҩn ÿӅ còn lҥi là ta xác ÿӏnh G N nhѭ thӃ nào ÿӇ có (6) ?
Vì F N là ÿa thӭc bұc K nên ta phҧi chӑn G N sao cho G N +AG N − +BG N − là mӝt ÿa thӭc bұc K theo N. Khi ÿó ta chӍ cҫn thay K + giá trӏ bҩt kì cӫa N vào (6) ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc G N .
Giҧ sӱ G N =A NM M +AM−NM− + + A N A + AM ≠ ) là ÿa thӭc bұc M. Khi ÿó hӋ sӕ cӫa XM và XM− trong VP là: AM+ +A B và ª¬− +A B M AM + + + A B AM−º¼. Do ÿó :
I NӃu PT: X +AX + =B (1) có nghiӋm hai nghiӋm phân biӋt khác thì + + ≠A B nên VP(6) là mӝt ÿa thӭc bұc M.
II NӃu PT (1) có hai nghiӋm phân biӋt trong ÿó có mӝt nghiӋm X = + + =A B và − +A B M AM + + + A B AM− = − +A B M AM ≠ nên VP(6) là mӝt ÿa thӭc bұc
M − .
III NӃu PT (1) có nghiӋm kép X = A = −B = nên VP(6) là mӝt ÿa thӭc bұc
M − .
Vұy ÿӇ chӑn G N ta cҫn chú ý nhѭ sau:
NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt, thì G N là mӝt ÿa thӭc cùng bұc vӟi F N
NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt, trong ÿó mӝt nghiӋm bҵng thì ta chӑn
G N = N H N trong ÿó H N là ÿa thӭc cùng bұc vӟi F N .
NӃu (1) có nghiӋm kép X = thì ta chӑn G N = N H N trong ÿó H N là ÿa thӭc cùng bұc vӟi F N .
Dҥng 6:ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy
ÅÅ
N N N N
U U U
U A U − B U − F N N
°® + + = ∀ ≥
°¯ ,
( trong ÿó F N là ÿa thӭc theo Nbұc K và B − AC ≥ ) ta làm nhѭ sau:
Xét G N là mӝt ÿa thӭc bұc K : G N =A NK K + + A K A + .
•ÅNӃu phѭѫng trình : X +AX B+ = Å có hai nghiӋm phân biӋt, ta phân tích
F N = G N +AG N − +BG N − rӗi ÿһt VN =UN −G N .
•ÅNӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt trong ÿó mӝt nghiӋm X =, ta phân tích
F N = N G N +A N − G N − +B N − G N − rӗi ÿһt VN = UN −N G N .
•Å NӃu (1) có nghiӋm kép X =, ta phân tích
F N = N G N +A N − G N − +B N − G N − rӗi ÿһt VN = UN −N G N .
Ví dͭ 1.13: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy
N N N N Å
U U
U U U − U − N N
= =
°® − + = + ∀ ≥
°¯ .
Giҧi:
Vì phѭѫng trình X −X + = có hai nghiӋm X =X = nên ta phân tích
N + = N KN L + − N − ª¬K N − + +Lº¼ N − ª¬K N − +Lº¼, cho N = N = ta
có hӋ:
K L K L
K L
− =
° ⇔ = − = −
® − =
°¯ .
Ĉһt VN =UN +N N + V =V = và VN − VN− +VN− = N N
VN α β
= + vӟi
α β α βα β α β
+ =
° ⇔ = = −
® + =
°¯
N N ÅÅ
N N
V U + N N N
= − = − − − ∀ = .
Ví dͭ 1.14: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ
N N N N ÅÅN
U U
U U U − U − N
= − =
°®
− + = ∀ ≥
°¯ .
Giҧi: Ta phân tích N =AN − A N− + A N−. Cho N = ta có: = A − A + A ⇔ = −A
Ĉһt VN =UN +N V =V = và VN − VN− + VN− =
Vì phѭѫng trình X −X + = có hai nghiӋm X = X = nên VN =αN + βN
Vӟi
N
VN
α β α βα β α β
+ =
° ⇔ = = = +
® + =
°¯ .
Vұy UN = N+ −N+ +ÅÅ∀ =N .
Chú ý : Vӟi ý tѭӣng cách giҧi trên, ta tìm CTTQ cӫa dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:
NÅÅ
N N N
U U
U A U − B U − Cα N
°®
+ + = ∀ ≥
°¯ (vӟi A −B ≥ ) nhѭ sau:
Ta phân tích αN =KαN +A KαN− +B KαN− (7).
Cho N = thì (7) trӣ thành: Kα +Aα +B =α Tӯ ÿây, ta tìm ÿѭӧc
K
A B
α
α α
= + + khi α không là nghiӋm cӫa phѭѫng trình :
X +AX + =B (8).
Khi ÿó, ta ÿһt VN =UN −KCαN, ta có dãy
ÅÅ
N N N N
V U KC V U KC
V V A V BV N
α
− −
= − = −
°® + + = ∀ ≥
°¯
N ÅÅ N VN P X Q X X X
= + là hai nghiӋm cӫa (8)).
N N N UN P X Q X KCα
= + + .
Vұy nӃu X =α là mӝt nghiӋm cӫa (8), tӭc là: α +Aα + =B thì ta sӁ xӱ lí thӃ nào ? Nhìn lҥi cách giҧi ӣ dҥng 3, ta phân tích :
N KN N A K N N BK N N
α = α + − α − + − α − (9).
Cho N = ta có: ÅÅ
K A K A K A
A
α α α α α α α
+ = ⇔ + = ⇔ = α ≠ −
+ .
có nghiӋm K ⇔ α là nghiӋm ÿѫn cӫa phѭѫng trình (8).
Khi ÿó: UN = P X N +Q X N +KCNαN.
Cuӕi cùng ta xét trѭӡng hӧp
X =α = −A là nghiӋm kép cӫa (8). Vӟi tѭ tѭӣng nhѭ trên, ta sӁ phân tích: αN =KNαN +A K N − αN− +BK N − αN− (10).
Cho N = ta có:
K AK K
A
α α α α
⇔ = + = α =
+ .
Khi ÿó:
N N N
UN P X Q X CN α
= + + .
Vұy ta có kӃt quҧ sau:
Dҥng 7: Cho dãy sӕ UN xác ÿӏnh bӣi:
NÅ
N N N
U U
U A U − B U − Cα N
°®
+ + = ∀ ≥
°¯ .
ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ta làm nhѭ sau:
Xét phѭѫng trình : X +AX B+ = Å
•ÅNӃu phѭѫng trình (11) có hai nghiӋm phân biӋt khác α thì
N N N
UN = P X +Q X +KCα vӟi K
A B
α
α α
= + + .
•ÅNӃu phѭѫng trình (11) có nghiӋm ÿѫn X = α thì
N N N UN = P X +Q X +KCNα vӟi
K
A α
= α
+ .
•ÅNӃu X = α là nghiӋm kép cӫa (11) thì :
N
UN = P QN+ + CN α .
Ví dͭ 1.15: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy
N N N N ÅN
U U
U U U − U − N
= − =
°®
− + = ∀ ≥
°¯ .
Giҧi:
Phѭѫng trình X −X + = có hai nghiӋm X = X = , do ÿó N N N
UN = P +Q + KN .
Vӟi
K A
P Q K P Q
P Q K
α α
= = = −
° + −
° + = − ⇔ = − = − =
®° + + =
°¯
.
Vұy UN = −N +N − N N = N −N+N + ∀ =N . Ví dͭ 1.16: Tìm CTTQ cӫa dãy
− −
= =
°®
− + =
°¯
N N N N N
U U
U U U U .
Giҧi:
Phѭѫng trình X −X + = có nghiӋm kép X = nên
N
UN = P QN+ + N Dӵa vào U U ta có hӋ:
P P Q
P Q
=
° ⇔ = = −
® + =
°¯ .
Vұy UN =N −N + N−Å∀ =N .
Vӟi cách xây dӵng tѭѫng tӵ ta cNJng có ÿѭӧc các kӃt quҧ sau:
Dҥng 8: Cho dãy (un) :
Å
N N N N
U U U
U AU − BU − CU − N
°® + + + = ∀ ≥
°¯ .ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ
cӫa dãy ta xét phѭѫng trình: X +AX +BX + =C (12) .
•ÅNӃu (12) có ba nghiӋm phân biӋt X X X UN =αXN + βXN +γXN. Dӵa vào
U U U ta tìm ÿѭӧc α β γ .
•ÅNӃu (12) có mӝt nghiӋm ÿѫn, 1 nghiӋm kép:
N N N
X = X ≠ X U = α β+ N X +γ X Dӵa vào U U U ta tìm ÿѭӧc α β γ .
•ÅNӃu (12) có nghiӋm bӝi 3 X = X = X UN =α β+ N + γN X N. Dӵa vào U U U ta tìm ÿѭӧc α β γ .
Ví dͭ 1.17:Tìm CTTQ cӫa dãy UN
ÅÅ
N N N N
U U U
U U − U − U − N
= = =
°® = − + ∀ ≥
°¯
Giҧi : Xét phѭѫng trình ÿһc trѭng : X −X +X − = Phѭѫng trình có 3 nghiӋm thӵc: X = X = ÅX =
Vұy AN = +α βN +γN
Cho N = ÅN = ÅN = và giҧi hӋ phѭѫng trình tҥo thành, ta ÿѭӧc
Å Å
α = − β = γ =
Vұy 1 3
(
1)
1 .5 116 4 16
= − + − + n−
an n .
Ví dͭ 1.18: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ
ÅÅ
Å
ÅÅÅ
N N N
N N
N N N
U U U V
U V N
V V U −− V −−
= = +
° ∀ ≥
® = = +
°¯ .
Giҧi:
Ta có: UN = UN− +UN− +VN− = UN− +UN− +UN− −UN−
N N N
U U − U −
= − và U =
Tӯ ÿây, ta có:
N N
N N N N
U = + + V =U + − U = − + + . Tѭѫng tӵ ta có kӃt quҧ sau:
Dҥng 9:Cho dãy
ÅÅÅ
ÅÅÅ
N N N
N N
N N N
X PX QY X
X Y
Y RY −− SX −− Y
= +
°® = +
°¯ . ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa hai dãy
XN YN ta làm nhѭ sau:
Ta biӃn ÿәi ÿѭӧc: XN −P S X+ N− +PS QR X− N− = tӯ ÿây ta xác ÿӏnhÿѭӧc XN, thay vào hӋ ÿã cho ta có ÿѭӧc YN.
Chú ý : Ta có thӇ tìm CTTQ cӫa dãy sӕ trên theo cách sau:
Ta ÿѭa vào các tham sӕ phө λ, 'λ
N N N N
N N N N
Q R
X Y P S X Y
S P
Q R
X Y P S X Y
P S
λ λ λ
λ λ
λ λ
λ
− −
− −
− = − − −
°° −
®°°¯ + = + + ++
Ta chӑn λ, 'λ sao cho
N N N N
N N N N
Q R
X Y P S X Y
S P
Q R X Y P S X Y
S P
λ λ λ λ λ λ
λ λ λ λ
λ λ
− −
− −
= −
° − = − −
° − °
® + ®° + = + +
° = ¯
° +
¯
N
N N
N
N N
X Y P S X Y
X Y P S X Y
λ λ λ
λ λ λ
−
−
− = − −
°®
+ = + +
°¯ giҧi hӋ này ta tìm ÿѭӧc
( ) ( )
xn , yn .Ví dͭ 1.19: Tìm CTTQ cӫa dãy
ÅÅ
N N
N
N
U
U U
U N
U − −
=
°®
= ∀ ≥
° +
¯
.
Giҧi:Ta có
N
N N N
U
U U U
−
− −
= + = + . Ĉһt
N N
X = U , ta có:
N N
X
X X −
=
°®
= +
°¯
N
N N N
X − U
−
= − =
− .
Ví dͭ 1.20: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ
ÅÅ
N N
N
N
U
U U
U N
U
−
−
=
° − −
® = ∀ ≥
° +
¯
.
Giҧi: Bài toán này không còn ÿѫn giҧi nhѭ bài toán trên vì ӣ trên tӱ sӕ còn hӋ sӕ tӵ do, doÿó ta tìm cách làm mҩt hӋ sӕ tӵ do ӣ trên tӱ sӕ. Muӕn vұy ta ÿѭa vào dãy phө bҵng cách ÿһt UN = XN +T. Thay vào công thӭc truy hӗi, ta có:
N N
N N
N N
X T T X T T
X T X
X T X T
− −
− −
− − − − − − − −
+ = =
+ + + +
Ta chӑn T T +T + = T = − X =
N N
N N N
N N N N
X X X
X X X X
− −
− − −
= = + = − =
+ −
N
N N N
U X −
−
− +
= − =
− .
Dҥng 10: Cho dãy (UN):
Å N N ÅÅ
N
PU Q
U U N
RU S
α −
−
= = + ∀ ≥
+ . ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy (xn) ta làm nhѭ sau:
Ĉһt UN = XN +T, thay vào công thӭc truy hӗi cӫa dãy ta có:
N N
N
N N
PX PT Q P RT X RT P S T Q
X T
RU RT S RX RT S
− −
− −
+ + − − + − +
= − =
+ + + + (13).
Ta chӑn T RT + −S P T Q− = . Khi ÿó ta chuyӇn (13) vӅ dҥng:
N N
A B
X = X − + Tӯ ÿây ta tìm ÿѭӧc
XN , suy ra UN.
Ví dͭ 1.21: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa hai dãy sӕ
N N U V U
V
=
°® =
°¯ và
ÅÅ
N N N
N N N
U U V
V U−− V − − N
= +
° ∀ ≥
® =
°¯ .
Giҧi:
Ta có:
N N N N N N N
N N