Phương pháp : Sử dụng các khái niệm về véctơ + K/n Véctơ + K/n về hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC

A

D C

o B

N M

O D

A

B

C

O D

A

B

C

ƠN TẬP VECTƠ Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương, cùng hướng:

* Phương pháp : Sử dụng các khái niệm về véctơ + K/n Véctơ

+ K/n về hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC. Cĩ thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-khơng ) cĩ điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác?

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.

a) Tìm các vectơ cùng phương với AB; b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB; Bài 3: Cho lục giác đều ABCDEF cĩ tâm O

a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA; b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB;

HD:

Bài 1: cĩ các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ Bài 2:

Bài 3:

a. DA AD BC CB AO OD DO FE EF, , , , , , , , b. OC ED FO, ,

Dạng 2. Chứng minh hai vectơ bằng nhau:

* Phương pháp : Ta cĩ thể dùng một trong các cách sau:

+ Sử dụng định nghĩa: ^{| | | |}

, cùng hướng a b

a b a b

=  =



+ Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì

,

AB=DC BC= AD,…(hoặc viết ngược lại) + Nếu a=b b, =  =c a c

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

Chứng minh: EF =CD

Bài 2: Cho tứ giác ABCD.

Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB=DC

HD Bài 1:

Cách 1: EF là đường trung bình của  ABC nên EF//CD, EF=¹

2BC=CD EF=CD EF = CD (1)

EF cùng hướng CD (2) Từ (1),(2)  EF =CD

Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành EF=¹

2BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành^EF =^CD

Bài 2:

Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành





 =

CD AB

CD AB//

* AB DC

CD AB

CD

AB  =





= //

Chứng minh chiều : * AB = DC  AB, DC cùng hướng và AB = DC

* AB và DC cùng hướng  AB // CD (1)

* AB = CD  AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ:

Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau 1) Biến đổi vế này thành vế kia.

2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.

3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.

Cơ sở : sử dụng các quy tắc về véctơ

➢ Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB+ BC = AC

➢ Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB+AD = AC

➢ Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:

OB OA− = AB (hoặc OA OB− =BA)hay AB=OB OA− A

B C

D

➢ Tính chất trung điểm của đoạn thẳng :

+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB IA+IB =0

➢ Tính chất trọng tâm của tam giác :

+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC  GA GB+ +GC =0 BÀI TẬP

Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC^→ + BD^→ = AD^→ + BC^→

Bài 2 Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR : a/ DO^→ + AO^→ = AB^→ b/ OD^→ + OC^→ =BC^→

c/ ^OA→ + ^OB→ + ^OC→ + ^OD→ = 0



d/ MA^→ + ^MC→ = MB^→ + MD^→ (với M là 1 điểm tùy ý) Bài 3 Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.

CMR : OD^→ + OC^→ = AD^→ + BC^→

Dạng 4 .Tính độ dài của hệ thức véctơ : Cơ sở:

➢ sử dụng các quy tắc về véctơ : để tính hệ thức vecto về 1 vecto BÀI TẬP

Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.

a/ Tính AD^→ − AB^→  b/ Dựng u

= ^CA→ − AB^→ . Tính u

Bài 2 Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.  a/ Tính AB^→ −AC^→ 

b/ Tính BA^→ − ^→BI

Bài 3 Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. TínhAB^→ −AC^→  Bài 4 Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt AO = a ; BO = b

Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b

Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB^→ +AD^→  theo a Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.

a/ Tính AB^→ +AD^→  b/ Dựng u

= AB^→ +AC^→ . Tính ^u 

Dạng 5. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương :

Ví dụ 1.Cho  ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt u= AE v; = AF. Hãy phân tích các vectơ

, , ,

AI AG DE DC theo hai vectơ u v, . A

Giải Ta có ^{1 1}( ) ^{1 1} )

2 2 2 2

AI = AD= AE+AF = u+ v

2 2 2

3 3 3

AG= AD= u+ v 0. ( 1) DE =FA= −AF = u+ − v DC =FE= AE−AF = −u v

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ u AB v AC= , = .

Giải

Ta có ²

AM =AB+BM = AB+3BC mà BC = AC−AB

 ²( ) ^{1 2}

3 3 3

AM = AB+ AC−AB = u+ v

Dạng 6. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng : Cơ sở:

+ A, B, C thẳng hàng  ABcùng phương AC 0≠k  : AB=k AC + Nếu AB=kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=¹

3AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Giải Ta có

2 1

2

4 2 (1)

BI BA BM BA BC BI BA BC

= + = +

= +

Ta có

1 3

1 2 1

( )

3 3 3

3 2 (2)

BK BA AK BA AC

BA BC BA BA BC BK BA BC

= + = +

= + − = +

= +

Từ (1)&(2) 3 4 ⁴

BK = BI BK = 3BI B, I, K thẳng hàng.

BÀI TẬP

Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2AB^→ + 3AC^→ = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.

Bài 2: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho MB^→ = 3MC^→ ;NA^→ +3NC^→ =0

 và PA^→ + PB^→ = 0



a/ Tính PM^→ , PN^→ theo AB^→ và AC^→

b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.

a/ CMR : AD^→ + BC^→ = 2EF^→

b/ CMR : OA^→ + OB^→ + OC^→ + OD^→ = 0



Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.

CMR : AF^→ + BG^→ + CH^→ + DE^→ = 0



Bài 3: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.

CMR : AD^→ + BE^→ + CF^→ = 3GH^→

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR : a/ ^OA→ + ^OB→ + ^OC→ + ^OD→ = 0



b/ EA^→ + EB^→ + 2EC^→ = 3AB^→

Bài 5: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN^→ =

2 1 ^→

NC. Gọi K là trung điểm của MN.

a/ CMR : AK^→ =

4 1 ^→

AB +

6 1 ^→

AC b/ CMR : KD^→ =

4 1 ^→

AB +

3 1 ^→

AC