LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2021
hoctoanonline.vn
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2018 MÔN TOÁN TRƯỜNG CHUYÊN HẠ LONG- QUẢNG NINH,
NĂM 2020 - 2021, LẦN 2 Đề thi có 50 câu trắc nghiệm Thời gian: 90 phút (không kể phát đề)
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Câu 1. Cho hình nón có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 8. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
A. 120π. B. 64π. C. 60π. D. 80π. Câu 2. Cho hai số phức z
1 = 3−4i và z
2 = 2 +i. Số phức z
1+iz
2 bằng
A. 5−3i. B. 5 + 3i. C. 2−2i. D. 2 + 2i. Câu 3. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(5; 4;−3) đến trục Ox bằng
A. 4. B. 5. C. 3. D. 25.
Câu 4.
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f(x) = log 2021 là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
x y
−1 1 1
5
Câu 5. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là 8, chiều cao là 6. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. 16. B. 36. C. 48. D. 24.
Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x+ 2)
2
+ (y −1)
2
+ (z+ 3)
2
= 25. Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là
A. (−2; 1;−3). B. (2; 1; 3). C. (2;−1; 3). D. (−2;−1;−3).
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(4; 1; 3), B(2; 1; 5), C(4; 3;−3) không thẳng hàng. Mặt phẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC và vuông góc với AB có phương trình là
A. 2x − y − z −1 = 0. B. 2x −2z −1 = 0.
C. x − z+ 1 = 0. D. x+y − z+ 3 = 0.
Câu 8. Nghiệm của phương trình 5
x−2
= 1 125
là
A. x =−1. B. x= 3. C. x= 2. D. x =−2.
Câu 9. Cho khối trụ có bán kính r = 3 và độ dài đường sinh ` = 5. Thể tích khối trụ đã cho bằng
A. 15π. B. 12π. C. 45π. D. 36π.
Câu 10. Cho khối nón có bán kính bằng 3 và khoảng cách từ tâm của đáy đến một đường sinh bất kỳ bằng
12 5
. Thể tích của khối nón đã cho bằng
A. 12π. B. 18π. C. 36π. D. 24π. Câu 11. Cho cấp số cộng (un) với u
1 =−3 và u
5 = 13. Giá trị của u
9 bằng
A. 33. B. 37. C. 29. D. 25.
Câu 12. Gọiz
0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trìnhz2−4z+ 8 = 0. Trên mặt phẳng tọa độOxy, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức iz0?
A. O(2; 2). B. M(−2; 2). C. P(−2;−2). D. N(2;−2).
Câu 13. Mặt cầu có diện tích là 36π. Thể tích của khối cầu tương ứng là A. 27π. B. 108π. C. 81π. D. 36π. Câu 14. Cho hàm sốy =f(x) có bảng biến thiên như sau
x f0(x)
f(x)
−∞ −1 2 +∞
+ 0 − +
−∞
−∞
4 4
−3
−3
+∞ +∞
Điểm cực tiểu của hàm sốy =f(3x) là A. x =
2 3
. B. x= 2. C. y =−3. D. x =−2
3 .
Câu 15. Biết hàm sốF(x) = cosx là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Giá trị của
π
Z
0
[3f(x) + 2] dx bằng
A. 2. B. 2π. C. 2π −6. D. −4.
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, biết điểm M(3;−5) là điểm biểu diễn của số phứcz. Phần ảo của số phức z+ 2i bằng
A. −5. B. 2. C. −3. D. 5.
Câu 17. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 1 2020
x4 − 1 2020
x2 + 2021 trên đoạn [−1; 1]
bằng
A. 2021− 1 8080
. B. 2020. C. 2021− 1
4040
. D. 2021.
Câu 18. Số phức liên hợp của số phứcz= 4 + Ä√
3−1 äi là A. 4−Ä√
3 + 1
äi. B. 4 + Ä
1−√ 3
äi. C. 4−Ä 1−√
3
äi. D. 4 + Ä√
3 + 1 äi. Câu 19. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua M(2;−5; 1) và song song với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là
A. x+y+ 3 = 0. B. x+z −3 = 0. C. y+ 5 = 0. D. x −2 = 0.
Câu 20. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
3x −2 4− x là A. y = 2. B. y =
3 4
. C. y =−3. D. x =−3.
Câu 21. Có bao nhiêu cách chọn ra hai loại khối đa diện đều khác nhau?
A. 5. B. 2. C. 10. D. 20.
Câu 22. Biết log712 =a, log1224 =b. Giá trị của log54168 được tính theo a và b là A.
ab+ 1 a(8−5b)
. B.
ab −1 a(8 + 5b)
. C.
2ab+ 1
8a −5b. D.
2ab+ 1 8a+ 5b. Câu 23.
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên?
A. y = x+ 2 x −2
. B. y =−x3+ 3x2−1.
C. y = x −1 x −2
. D. y =x4−3x2+ 2.
x y
O
Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình (0,125)
x2−5 >64 là A. {−1; 0; 1}. B.
î−√ 3;
√ 3
ó
. C.
Ä−√ 3;
√ 3
ä
. D. (−3; 3).
Câu 25. Cho Z
f(x) dx= 3x2+ 2x −3 +C. Hỏi f(x) là hàm số nào sau đây?
A. f(x) = 6x+ 2 +C. B. f(x) =x3+x2−3x+C. C. f(x) = 6x+ 2. D. f(x) =x3+x2−3x.
Câu 26. Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC có cạnh đáy bằnga, cạnh bên bằng 2a
3 . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
A. 90
◦
. B. 45
◦
. C. 30
◦
. D. 60
◦
.
Câu 27. Trong không gianOxyz, cho điểmM(3; 4;−2) và mặt phẳng (P) : 2x+5z−3+
√ 3 = 0. Đường thẳngdđi quaM và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là
A.
x = 3 + 2t y = 4 z =−2 + 5t
. B.
x = 3−2t y = 4 + 5t z =−2−3t
. C.
x= 3 + 2t y = 4 z=−2−5t
. D.
x = 3 + 2t y = 4 + 5t z=−2−3t
. Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x −1) x2−5x+ 6
và hai trục tọa độ bằng
A. 11
4
. B.
1 2
. C.
11π 4
. D.
π 2 . Câu 29. Cho hàm sốy =f(x) có bảng biến thiên như sau
x f0(x)
f(x)
−∞ −3 0 3 +∞
− 0 + 0 −
0 +
+∞ +∞
−5
−5
2 2
−5
−5
+∞ +∞
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (−5; +∞). B. (−3; 0). C. (2; 4). D. (−5; 2).
Câu 30. Vớia, b là các số thực dương tùy ý vàa 6= 1, log
√a
Äa√ bä
bằng A. 2 + logab. B.
1 2
−logab. C. 1 2
+ logab. D. 2−logab. Câu 31. Trong không gianOxyz, cho đường thẳng d:
x −3 2
= y+ 1
−3
=
2z −1 4
. Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chỉ phương của d?
A.
#»u
2 = (2;−3; 4). B. u#»
3 = (2; 3; 4). C. u#»
4 = (2; 3;−4). D. u#»
1 = (2;−3; 2).
Câu 32. Biết Z3
1
f(x) dx = 5 và Z3
1
g(x) dx =−7. Giá trị của Z3
1
[3f(x)−2g(x)] dx bằng
A. 29. B. −29. C. 1. D. −31.
Câu 33. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằnga= 3, chiều cao h= 5. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. 15π. B. 15. C. 45. D. 45π.
Câu 34. Nghiệm của phương trình log(3x −5) = 0 là
A. x = 36. B. x= 35. C. x= 40. D. x = 30.
Câu 35. Tập xác định của hàm sốy = log(−3x −6) là
A. [−2; +∞). B. (−∞;−2). C. (−∞;−3]. D. (0; +∞).
Câu 36. Cho hình chópS.ABCcó đáyABC là tam giác đều cạnh 3a, tam giácSBC vuông tạiS và mặt phẳngSBC vuông góc với mặt phẳngABC. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng
A. 12πa2. B. 36πa2. C. 18πa2. D. 12πa3. Câu 37. Cho hai số phứcz
1 = 1−2i,z
2 = 3 +i. Mô-đun của số phức (z
1+z
2)z
1·z
2bằng A. 5
√
34. B. 4
√
35. C. 5
√
43. D. 5
√ 10.
Câu 38. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f0(x) = (x+ 2)
2
(x −1)
3 x2−4
(x2−1),∀x ∈ R. Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 39. Số giao điểm của đồ thị hàm sốy =
x4−4x2+ 2
với đường thẳng y = 2 là
A. 4. B. 2. C. 8. D. 5.
Câu 40. Một người gửi tiền vào ngân hàng 200 triệu đồng với kì hạn 12 tháng, lãi suất 5,6% một năm theo hình thức lãi kép (sau 1 năm sẽ tính lãi và cộng vào gốc). Sau đúng 2 năm, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thứcT =A(1 +r)
n
, trong đó A là số tiền gửi,r là lãi suất vànlà số kì hạn gửi. Tính tổng số tiền người đó nhận được sau đúng 5 năm kể từ khi gửi tiền lần thứ nhất (số tiền lấy theo đơn vị triệu đồng, làm tròn 3 chữ số thập phân)
A. 381,329 triệu đồng. B. 380,391 triệu đồng.
C. 385,392 triệu đồng. D. 380,392 triệu đồng.
Câu 41. Cho x, y là các số thực dương thoả mãn điều kiện
®x2− xy+ 3 = 0 2x+ 3y −14≤0
. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP = 3x2y − xy2−2x3+ 2x thuộc khoảng nào dưới đây?
A. (−2; 2). B. (−∞;−1). C. (1; 3). D. (0;∞).
Câu 42. Cho hàm sốy =f(x) có bảng biến thiên như sau
x −∞ −2 1 +∞
y0 −
0 + 0 −
y
+∞
2
5
−∞
Số điểm cực đại của hàm sốy =g(x) =
f 2x2+x2
là
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
Câu 43. Cho một đa giác đều có 20 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi X là tập các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác trên. Xác suất để chọn một tam giác từ tập X là tam giác vuông nhưng không phải là tam giác cân bằng
A. 10 57
. B.
8 57
. C.
3 19
. D.
1 57
.
Câu 44. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = m2− m −6 x3+ (m −3)x2−2x+ 1 nghịch biến trên R?
A. 6. B. 5. C. 4. D. 3.
Câu 45. Cho F(x) = x3
3
là một nguyên hàm của f(x)
x . Biết f(x) có đạo hàm xác định với mọix 6= 0. Tính
Z
f0(x)e
x
dx. A. 3x2e
x −6xe
x
+ e
x
+C. B. x2e
x −6xe
x
+ 6e
x
+C. C. 3x2e
x
+ 6xe
x
+ 6e
x
+C. D. 3x2e
x −6xe
x
+ 6e
x
+C. Câu 46. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) nguyên thỏa mãn
(4xy+ 7y)(2x −1) e
2xy −e
4x+y+7
= [2x(2− y) +y+ 7] e
y.
A. 8. B. 5. C. 6. D. 7.
Câu 47. Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên Ä−√
2;
√ 2
ä \ {0}, thoả mãn f(1) = 0 và f0(x) +x e
f(x)
+ 2
+ x e
f(x) = 0. Giá trị củaf Å
1 2
ã bằng
A. ln 7. B. ln 5. C. ln 6. D. ln 3.
Câu 48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = a√
3. Mặt bên SAB là tam giác cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. GọiH là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD. Khoảng cách giữa hai đường SD và HK bằng
A. a√
105 5
. B.
a√ 105 20
. C.
a√ 105 30
. D.
a√ 105 10
. Câu 49.
Cho hàm số bậc bay =f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f
√
4− x2− x2−1
= 1 2021 là
A. 24. B. 14. C. 12. D. 10.
x y
O 1 2
4
√ 3 9
−4
√ 3 9
Câu 50. Trong mặt phẳng (α), cho hai tia Ox,Oy, góc xOy = 60
◦
. Trên tia Ozvuông góc với mặt phẳng (α) tạiO, lấy điểm S sao cho SO=a. Gọi M,N là các điểm lần lượt di động trên hai tia Ox, Oy sao cho OM +ON = a (a > 0 và M, N khác O). GọiH, K lần lượt là hình chiếu vuông góc củaO trên hai cạnh SM, SN. Mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK có diện tích nhỏ nhất bằng
A.
2πa2 3
. B. πa2. C.
πa2 3
. D.
4πa2 3
. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1
1. C 2. C 3. B 4. C 5. C 6. A 7. C 8. A 9. C 10. A 11. C 12. B 13. D 14. A 15. C 16. C 17. A 18. B 19. C 20. C 21. C 22. A 23. A 24. D 25. C 26. C 27. A 28. B 29. B 30. A 31. D 32. A 33. B 34. B 35. B 36. A 37. A 38. C 39. D 40. D 41. A 42. C 43. B 44. C 45. D 46. C 47. A 48. C 49. D 50. C
ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1. Độ dài đường sinh của hình nón là` =
√r2+h2 =
√
62+ 82 = 10.
Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq =πr` =π ·6·10 = 60π.
Chọn đáp án C
Câu 2. Ta có z
1+iz
2 = (3−4i) +i(2 +i) = 3−4i+ 2i −1 = 2−2i.
Chọn đáp án C
Câu 3. Hình chiếu vuông góc của A(5; 4;−3) lên Ox là H(5; 0; 0)Ñ AH =
√
02+ 42+ 32 = 5.
Chọn đáp án B
Câu 4. Số nghiệm của phương trình chính bằng số giao điểm của đường thẳng y = log 2021 và đồ thị hàm số y =f(x).
Do 1<log 2021<5 nên y = log 2021 cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
Suy ra phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm.
Chọn đáp án C
Câu 5. Thể tích của khối lăng trụ là V = 8·6 = 48.
Chọn đáp án C
Câu 6. Từ phương trình suy ra tọa độ tâm mặt cầu là (−2; 1;−3).
Chọn đáp án A
Câu 7. Mặt phẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC và vuông gócAB chính là mặt phẳng trung trực củaAB.
Ta có
# »
AB = (−2; 0; 2), trung điểm của AB có tọa độ (3; 1; 4).
Suy ra phương trình của mặt phẳng cần tìm là−2x+ 2z −2 = 0⇔ x − z+ 1 = 0.
Chọn đáp án C
Câu 8. Ta có 5
x−2
= 1 125
⇔5
x−2
= 5
−3 ⇔ x −2 =−3 ⇔ x=−1.
Chọn đáp án A
Câu 9. Thể tích của khối trụ là V =πr2` =π ·3
2·5 = 45π.
Chọn đáp án C
Câu 10.
Gọi h, r lần lượt là đường cao và bán kính đáy của khối nón, ta có
1 Å
12 5
ã2 = 1 h2 +
1 r2 ⇔ 1
h2 = 25 144
−1 9
⇔ h= 4.
Thể tích của khối nón là V = 1 3
πr2h= 1 3
· π ·3
2·4 = 12π.
Chọn đáp án A
Câu 11. Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có u
5 =u
1+ 4d ⇔ d=
u5− u
1
4
=
13 + 3 4
= 4⇔ d= 4.
Suy rau
9 =u
1+ 8d=−3 + 8·4 = 29.
Chọn đáp án C
Câu 12. Ta có z2−4z+ 8 = 0 ⇔
ñz= 2−2i z= 2 + 2i.
Nghiệm có phần ảo dương của phương trình là z
0 = 2 + 2i Ñ iz
0 = −2 + 2i, nghiệm này có điểm biểu diễn có tọa độ (−2; 2).
Chọn đáp án B
Câu 13. Gọi R là bán kính của mặt cầu, ta có S = 4πR2 = 36π ⇔ R= 3.
Thể tích của khối cầu là V = 4 3
πR3 = 4 3
· π ·3
3
= 36π.
Chọn đáp án D
Câu 14. Ta có y0 = 3f0(3x), f0(3x) = 0⇔ ñ
3x =−1 3x = 2
⇔
x=−1 3 x=
2 3 .
Do f0(x) và 3f0(3x) cùng dấu nên hàm số y =f(3x) có điểm cực tiểu là x = 2 3 .
Chọn đáp án A
Câu 15. Ta có
π
Z
0
[3f(x) + 2] dx= (3 cosx+ 2x)
π
0
= 2π −6.
Chọn đáp án C
Câu 16. Ta có z= 3−5i Ñ z+ 2i = 3−5i+ 2i = 3−3i Ñsố phức z+ 2icó phần ảo là −3.
Chọn đáp án C
Câu 17. Ta có f0(x) = 1 2020
·4x3− 1 2020
·2x, f0(x) = 0⇔4x3−2x= 0 ⇔
x= 0 x=±√1
2 .
Xét trên đoạn [−1; 1], ta có f(−1) =f(1) = 2021, f Å
±√1 2
ã
= 2021− 1 8080
. Suy ra min
[−1;1]f(x) = 2021− 1 8080
.
Chọn đáp án A
Câu 18. Ta cóz= 4 + Ä√
3−1
äicó số phức liên hợp làz= 4−Ä√ 3−1
äi= 4 + Ä
1−√ 3
äi.
Chọn đáp án B
Câu 19. Do mặt phẳng song song với (Oxz) Ñ phương trình của mặt phẳng có dạng y+m = 0.
Thay tọa độM(2;−5; 1) vào phương trình, ta có −5 +m = 0⇔ m= 5 Ñphương trình của mặt phẳng là y+ 5 = 0.
Chọn đáp án C
Câu 20. Ta có xϱ∞lim
3x −2
4− x =xϱ∞lim 3− 2
x 4 x −1
=−3.
Do vậy, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang lày =−3.
Chọn đáp án C
Câu 21. Có tất cả 5 loại khối đa diện đều: khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều, khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều.
Mỗi cách chọn 2 trong 5 loại là một tổ hợp chập 2 của 5.
Suy ra số cách chọn 2 loại khối đa diện đều khác nhau là C
2 5 = 10.
Chọn đáp án C
Câu 22. Ta có log54168 = log547·log7168 = 1 log754
·(log724 + 1) = 1 log754
(ab+ 1).
Ta có log754 = log712 ·log1254 = log712 Å
log12
12
8
245 ã
= log712 log1212
8−log1224
5
= a(8−5b).
Vậy log54168 =
ab+ 1 a(8−5b)
.
Chọn đáp án A
Câu 23. Đồ thị của hàm số là đồ thị của hàm y =
ax+b cx+d.
Đồ thị có hai nhánh đi xuống, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm.
Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm y = x+ 2 x −2
thỏa mãn.
Chọn đáp án A
Câu 24. Bất phương trình tương đương Å
1 8
ãx2−5
>64⇔2
−3x2+15 >2
6 ⇔ −3x2+ 15>6⇔ −x2+ 9 >0⇔ x ∈ (−3; 3).
Chọn đáp án D
Câu 25. Ta có f(x) =
3x2+ 2x −3 +C0
= 6x+ 2.
Chọn đáp án C
Câu 26.
GọiM là trung điểm của BC, ta có
®SM ⊥ BC
AM ⊥ BC Ñ BC ⊥(SAM) Ñ AM là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC).
Suy ra góc giữa SA và (ABC) là α= Ÿ (SA, AM), AM =
√ 3a 2
, SM =
√SB2− BM2 =
… 4a2
9
− a2 4
=
√ 7 6
a Ta có cosα =
cosSAM’ =
SA2+AM2− SM2 2SA · SM =
4 9
a2+ 3 4
a2− 7 36
a2
2· 2a 3
· 3 4
a
=
√ 3 2
. Suy raα= 30
◦
.
S
A B
C
M
Chọn đáp án C
Câu 27. Đường thẳng d qua M(3; 4;−1) và nhận n#»
(P) = (2; 0; 5) là một véc-tơ chỉ phương.
Suy ra phương trình tham số của d là
x = 3 + 2t y = 4
z =−2 + 5t.
Trong các phương trình tham số đã cho ngoại trừ phương trình trên, các phương trình còn lại đều có véc-tơ chỉ phương không cùng phương với
n#»P.
Chọn đáp án A
Câu 28. Xét phương trình f(x) = 0⇔(x −1) x2−5x+ 6
= 0 ⇔
x= 1 x= 2 x= 3.
Do đó, diện tích cần tính làS = Z3
1
(x −1) x2−5x+ 6
dx= 1 2 .
Chọn đáp án B
Câu 29. Từ bảng biến thiên suy ra hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (−3; 0) và (3; +∞).
Trong các khoảng đã cho, hàm số đồng biến trên khoảng (−3; 0).
Chọn đáp án B
Câu 30. Ta có log
√a
Äa√ bä
= 2 logaa√ b= 2
Å
logaa+ 1 2
logab ã
= 2 + logab.
Chọn đáp án A
Câu 31. Viết lại phương trình của d: x −3
2
= y+ 1
−3
= z − 1
2 2
. Suy ra các véc-tơ chỉ phương của d là các véc-tơ cùng phương với
u#»= (2;−3; 2).
Trong các véc-tơ đã cho thì u#»
1 thỏa mãn.
Chọn đáp án D
Câu 32. Ta có Z3
1
[3f(x)−2g(x)] dx = 3 Z3
1
f(x) dx −2 Z3
1
g(x) dx= 3·5−2·(−7) = 29.
Chọn đáp án A
Câu 33. Ta có V = 1 3
· SĐ· h= 1 3
· a2· h= 1 3
·9·5 = 15.
Chọn đáp án B
Câu 34. Phương trình log(3x −5) = 2⇔3x −5 = 10
2 ⇔3x = 105⇔ x= 35.
Chọn đáp án B
Câu 35. Điều kiện xác định −3x −6>0⇔ x ∈ (−∞;−2).
Vậy tập xác định của hàm số là D = (−∞;−2).
Chọn đáp án B
Câu 36.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác SBC là tam giác vuông nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.
Ta cóAM ⊥ BC và (SBC)⊥(ABC) nên AM ⊥(SBC).
Mặt khác O ∈ AM nên OS=OB=OC.
Do vậy O là tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chópS.ABC. Bán kính mặt cầu (S) là
S
B
C
A M O
R=OA= 2 3
AM = 2 3
·
√ 3·3a
2
=
√ 3a.
Vậy diện tích mặt cầu (S) là
S = 4πR2 = 4· π ·Ä√ 3aä2
= 12πa2.
Chọn đáp án A
Câu 37. Ta có
(z1+z2)z1· z2 = (4− i)·(1 + 2i)·(3− i) = 55 + 3i). Vậy mô-đun của số phức (z
1+z
2)z
1· z
2 bằng 5
√ 34.
Chọn đáp án A
Câu 38. Ta có
f0(x) = 0 ⇔ (x+ 2)
3
(x+ 1)(x −1)
4
(x −2) = 0
⇔
x=−2 x=−1 x= 1 x= 2. Bảng biến thiên của hàm sốf(x) như sau
x −∞ −2 −1 1 2 +∞
f0 −
0 + 0 −
0 −
0 +
f
+∞
f(−2)
f(−1)
f(2)
+∞
Vậy hàm sốy =f(x) đã cho có 1 điểm cực đại.
Chọn đáp án C
Câu 39. Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị (C) của hàm sốy =
x4−4x2+ 2 với đường thẳngd: y = 2
x4−4x2+ 2
= 2⇔
ñx4−4x2+ 2 = 2 x4−4x2+ 2 =−2. Ta có
x4−4x2+ 2 = 2 ⇔ x4−4x2 = 0⇔
ñx2 = 0 x2 = 4
⇔
ñx= 0 x=±2.
x4−4x2+ 2 =−2⇔ x2−2 2
= 0⇔ x2 = 2⇔ x=±√ 2. Vậy (C) cắt d tại 5 điểm.
Chọn đáp án D
Câu 40. Ta có
• Số tiền của người đó sau 2 năm là T1 =A(1 +r)
2
= 200·(1 + 5,6%)
2
triệu đồng.
• Tổng số tiền người đó sau 3 năm tiếp theo là T2 = (T
1+ 100)(1 +r)
3
= î
200·
(1 + 5,6%)
2
+ 100 ó·
(1 + 5,6%)
3 ≈380,392 triệu đồng.
Vậy tổng số tiền người đó nhận được sau đúng 5 năm là 380,392 triệu đồng.
Chọn đáp án D
Câu 41. Ta có
x2− xy+ 3 = 0Ñ
x(x − y) =−3 xy − x2= 3 y =
x2+ 3
x =x+ 3 x, suy ra
2x+ 3y −14≤0
⇔ 2x+ 3· Å
x+ 3 x
ã
−14≤0
⇔ 5x+ 9 x ≤14
⇔ 5x2−14x+ 9≤0
⇔ 1 ≤ x ≤ 9 5 .
Ta có
P = 3x2y − xy2−2x3+ 2x= x2y − xy2
+ 2x2y −2x3+ 2x
= xy(x − y) + 2x xy − x2+ 1
= 8x −3y
= 8x −3· Å
x+ 3 x
ã
= 5x − 9 x.
Do hàm số y = f(x) = 5x − 9
x liên tục trên ï
1;
9 5 ò
và y0 = 5 + 9
x2 > 0, với mọi x ∈ ï
1;
9 5 ò
nên
max [1;
9 5]
f(x) =f Å
9 5
ã
= 4, min [1;
9 5]
f(x) =f
(1) =−4. Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củaP bằng 0∈(−2; 2).
Chọn đáp án A
Câu 42. Ta có g0(x) = 2f 2x2+x
·(4x+ 1)· f0 2x2+x
;
g0(x) = 0⇔
4x+ 1 = 0 f 2x2+x
= 0 f0 2x2+x
= 0
⇔
x =−1 4
2x2+x =a (a >1) 2x2+x =−2 2x2+x = 1. Bảng biến thiên của hàm sốy =h(x) = 2x2+x như sau
x −∞ −1 4
+∞
h0 −
0 +
h
+∞
−1 8
+∞
Do đó, phương trình 2x2+x =acó 2 nghiệmx
1,x
2 thoả mãnx
1 < −1 4
< x
2; phương trình 2x2+x =−2 vô nghiệm; phương trình 2x2+x= 1 có 2 nghiệm là x =−1 và x =
1 2 . Do a >1 nên x
1 < −1< −1 4
< 1 2
< x
2. Vì x→lim
+∞g0(x) = +∞ và các nghiệm của phương trình g0(x) = 0 đều là các nghiệm bội 1 nên ta có bảng biến thiên của g(x) như sau
x −∞ x
1 −1 −1
4
1 2
x
2 +∞
y0 −
0 + 0 −
0 + 0 −
0 +
y
+∞ +∞
Vậyy =g(x) có 2 điểm cực đại.
Chọn đáp án C
Câu 43. Số tam giác lập từ 20 đỉnh nói trên là C
3
20 = 1140.
Giả sử các đỉnh liên tiếp của đa giác lần lượt là A
1,A
2, . . ., A
20. Khi đó, ta có 10 đường kính của đường tròn làA
1A
11,A
2A
12, . . . , A
10A
20. Ứng với mỗi đường kính ta lập được 16 tam giác vuông không cân có cạnh huyền là đường kính đó (trừ đi 2 điểm chính giữa 2 nửa đường tròn đường kính trên).
Do đó, tập X có 16·10 = 160 tam giác.
Vậy xác suất cần tìm là
P = 160 1140
= 8 57
.
Chọn đáp án B
Câu 44. Ta có
y0 = 3 m2− m −6
x2+ 2(m −3)x −2 = 3(m+ 2)(m −3)x2+ 2(m −3)x −2. Vớim =−2 thì y =−5x2−2x+ 1<0 không nghịch biến trên R.
Vớim = 3 thìy0 =−2 <0 với mọix ∈R nên hàm số nghịch biến trênR.
Với m 6= 2 và m 6= 3, khi đó y0 là một tam thức bậc hai. Hàm số đã cho nghịch biến trên Rkhi và chỉ khi
®
(m+ 2)(m −3)<0
∆
0
= (m −3)
2−3(m+ 2)(m −3)·(−2)≤0
⇔
−2 < m <3
− 9 7
≤ m < 3
⇔ −9 7
≤ m <3.
Do đó hàm số đã cho nghịch biến trênR khi và chỉ khi −9 7
≤ m ≤3.
Kết hợp vớimnguyên nên ta có 4 giá trị củamthoả mãn yêu cầu bài toán làm ∈ {0,1,2,3}.
Chọn đáp án C
Câu 45. Theo bài ra ta có f(x)
x = Åx3
3 ã0
=x2, suy ra f(x) =x3 với x 6= 0.
Vớix 6= 0, ta có
I = Z
f0(x)e
x
dx = Z
3x2e
x
dx.
Đặt u=x2, dv = e
x
dx thì du= 2xdx,v = e
x
nên I =
Z 3x2e
x
dx = 3x2e
x −6 Z
xe
x
dx.
Đặt u0 =x, dv0 = e
x
dx thì du0 = dx,v0 = e
x
nên I = 3x2e
x−6 ï
xe
x − Z
e
x
dx ò
= 3x2e
x−6 (xe
x−e
x
) +C
= 3x2e
x−6xe
x
+ 6e
x
+C.
Chọn đáp án D
Câu 46. Ta có
(4xy+ 7y)(2x −1) e
2xy−e
4x+y+7
= [2x(2− y) +y+ 7] e
y
⇔ (4x+ 7)(2xy − y) e
2xy−y −e
4x+7
=−(2xy − y) + (4x+ 7). (∗) Dễ thấy do x, y nguyên nên 4x+ 7 = 0 hoặc 2xy − y= 0 không thoả mãn (∗).
Đặt a= 2xy − y, b= 4x+ 7, (a, b 6= 0). Khi đó phương trình (∗) trở thành ab e
a−e
b
=b − a Ñ
®a=b ab <0.
Xét ab <0, không làm mất tổng quát nếu giả sử a ≥1 và −1≥ b. Khi đó
e
a −e
b ≥e− 1 e
>2 1
a − 1 b ≤2. Điều này suy ra e
a−e
b > 1 a − 1
b hayab e
a−e
b
6=b − a. Vậy
ab e
a−e
b
=b − a ⇔ a=b.
Như vậy
2xy − y= 4x+ 7 ⇔(2x −1)(y+ 2) = 9. Do x,y là các số nguyên nên ta xét các trường hợp sau
• 2x −1 = 1 và y+ 2 = 9 suy ra x = 1,y = 7.
• 2x −1 = 3 và y+ 2 = 3 suy ra x = 2,y = 1.
• 2x −1 = 9 và y+ 2 = 1 suy ra x = 5,y =−1.
• 2x −1 = −1 vày+ 2 =−9 suy ra x= 0, y =−11.
• 2x −1 = −3 vày+ 2 =−3 suy ra x=−1, y =−5.
• 2x −1 = −9 vày+ 2 =−1 suy ra x=−4, y =−3.
Thử lại thấy các 6 cặp giá trị (x;y) tìm được đều thoả mãn phương trình đã cho.
Vậy có 6 cặp (x;y) nguyên thoả mãn.
Chọn đáp án C
Câu 47. Với mọi x ∈Ä
−√ 2;
√ 2
ä\ {0}, ta có
f0(x) +x · Å
e
f(x)
+ 2 + 1 e
f(x)
ã
= 0
⇔ f0(x) +x · e
f(x)
+ 1 2
e
f(x) = 0
⇔ f0(x)e
f(x)
e
f(x)
+ 1
2 +x= 0 Ñ
Z "
f0(x)e
f(x)
e
f(x)
+ 1 2 +x
#
dx =C
Ñ 1
e
f(x)
+ 1
− x2 2
=C.
Mặt khác f(1) = 0 nên
1 e0+ 1
−1
2
2
=C Ñ C = 0. Do đó
e
f(x)
+ 1 = 2
x2 Ñ f(x) = ln ï
2 x2 −1
ò .
Vậyf Å
1 2
ã
= ln 7.
Chọn đáp án A
Câu 48.
GọiO là tâm hình vuôngABCD, M là trung điểm của BO.
DoSABlà tam giác cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH ⊥(ABCD), suy ra SH ⊥ BD. Ta lại cóAC ⊥ BD và HM k AC nên HM ⊥ BD. Như vậy, BD ⊥(SHM) suy ra (SBD)⊥(SHM).
Do HK k(SBD) nên
S
A
B C
D H O
K
M I
d (HK, SD) = d (HK,(SBD)).
Kẻ HI ⊥ SM, (I ∈ SM), do SM là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc với nhau là (SHM) và (SBD) và HI ∈(SHM) nên HI ⊥(SBD).
Tam giácSHD vuông tại H, SH =
√SD2− HD2 = a√
7 2
, HM = 1 4
AC = a√
2 4
nên
HI =
SH · HM
√SH2+HM2 = a√
7 2
· a√ 2
… 4 7a2
4 +
2a2 16
= a√
105 30
.
Vậy
d (HK, SD) = d (HK,(SBD)) = a√
105 30
.
Chọn đáp án C
Câu 49. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm x = 0, x= 1, x = 2 nên f(x) =ax(x −1)(x −2).
Ta có f0(x) =a 3x2−6x+ 2
;
f0(x) = 0⇔3x2−6x+ 2 = 0 ⇔
x= 1−
√ 3 3 x= 1 +
√ 3 3
.
Theo bài ra ta cóf Ç
1−
√ 3 3
å
= 4
√ 3 9
nên a= 2 3
vàx = 1−
√ 3 3
, x= 1 +
√ 3 3
lần lượt là các điểm cực đại và cực tiểu của hàm sốy =f(x).
Từ đồ thị của hàm số y =f(x) suy ra f
√
4− x2− x2−1
= 1 2021
⇔
√
4− x2− x2−1
=±t
√ 1
4− x2− x2−1
=±t
√ 2
4− x2− x2−1
=±t
3, trong đó t
1, t
2, t
3 là nghiệm của phương trình f(t) = 1 2021
và 0< t
1 < t
2 <1<2< t
3. Do f(2)− 1
2021
=− 1 2021
<0, f(3)− 1 2021
= 12− 1 2021
>0 nên 2< t
3 <3.
Xét g(x) =
√
4− x2− x2−1
trên [−2; 2].
Ta có
g(x) = (√
4− x2− x2+ 1, với 1≤ x2 ≤4
√
4− x2+x2−1, với 0≤ x2 <1. Xét hàm số g
1(x) =
√
4− x2− x2+ 1 với 1≤ x2 ≤4. Đặt u=
√
4− x2, u ∈[0;
√ 3].
Bảng biến thiên củah1(u) =u2+u −3 như sau
u 0
√ 3 h1
−3
√ 3
Do 0< t
1 < t
2 <1<2< t
3 <3 nên từ bảng biến thiên của g0
1(u) suy ra
• Phương trình
u2+u −3 =t
1hayu2+u−3 =±t
1có 2 nghiệmu
1,u
2, 0< u
1, u
2 <√ 3.
• Tương tự, ta có phương trình
u2+u −3
=t2 cũng có hai nghiệmu3,u4, 0< u3, u4 <
√ 3.
• Do 2 < t
3 < 3 nên phương trình
u2+u −3 = t
3 chỉ có một nghiệm u
5 ∈ (0; 3) là nghiệm của u2+u −3 =−t
3. Ứng với mỗi giá trị củau ∈(0;
√
3), ta có 2 giá trị của x do đó phương trìnhg(x) = 0 có 10 nghiệm phân biệt thoả mãn 1≤ x2 ≤4.
Xét hàm số g2(x) =
√
4− x2+x2−1 với 0≤ x2 <1.
Đặt v =
√
4− x2, v ∈(
√ 3; 2].
Xét hàm số h
2(v) =−v2+v+ 3 trên (
√
3; 2]. Ta có bảng biến thiên như sau
v √
3 2
h2
√ 3
1
Từ bảng biến thiên kết hợp với 0< t1 < t2 <1<2 < t3 <3, ta có các phương trình
√
4− x2+x2−1 =±t
1, √
4− x2+x2−1 =±t
2, √
4− x2+x2−1 =±t
3
vô nghiệm với 0≤ x2 <1.
Vậy phương trình đã cho có 10 nghiệm phân biệt.
Chọn đáp án D
Câu 50.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MON, E, F, G lần lượt là trung điểm của OM, ON,MN.
Do SO ⊥(OMN) nên (SOM)⊥(OMN), (SON)⊥(OMN),
ta cóIE ⊥ OM, IF ⊥ ON. (1)
Mặt khác các tam giácOHM,OKN là các tam giác vuông tại H, K nên E, F là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam
giác tương ứng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK.
S
O
M
N
H K
F
E I
G x
y
Xét tam giác OMN, ta có
MN2 =OM2+ON2−2· OM · ON ·cosMON÷ Ñ MN2 ≥ 1
2
·(OM+ON)
2− 1 2
(OM+ON)
2·cosMON÷ Ñ MN2 ≥ a2
4 Ñ MN ≥ a
2 .
IMN là tam giác cân tạiI và MIN’ = 2MON÷ = 120
◦
nên IM =
MG sinMIG’ =
MN 2 sin 60
◦ ≥ a
4·
√ 3 2
= a 2
√ 3
.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp đa diệnMNHOK có giá trị nhỏ nhất là Smin = 4π ·
Å a 2
√ 3
ã2
= πa2
3 .
Chọn đáp án C
