Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A P, và cắt đường thẳng AD tại A K

(1)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

LẦN THỨ XI, NĂM 2018 ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 11

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 14/4/2018

(Đề thi gồm 01 trang)

Bài 1. (4,0 điểm) Cho dãy số

 

^u_{n n}_₁ xác định bởi 1 1

 

0, 3 1 .

5

n n

n

u u u n

 u

   



a. Chứng minh rằng dãy

 

^u_{n n}_₁ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b. Đặt

1

1 3

n n

k k

T  _ u



 ^{. Tìm}_n^lim_₅_n^T_ⁿ ₄^.

Bài 2. (4,0 điểm) Đường tròn  nội tiếp tam giác ABC không cân có tâm là I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D E F, , . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A P, và cắt đường thẳng AD tại A K, . Các đường thẳng PI,EF cắt nhau tại H. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DKH cắt đường tròn  tại D N, .

a. Chứng minh DH vuông góc với EF.

b. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc với đường tròn . Bài 3. (4,0 điểm) Cho P x( ) là đa thức bậc 5, mà trên đồ thị của nó có đúng ba điểm phân biệt thẳng hàng và có hoành độ là nghiệm của đa thức P x''( ). Chứng minh rằng hoành độ của ba điểm đó lập thành một cấp số cộng.

Bài 4. (4,0 điểm) Với số nguyên dương n, kí hiệu S n( ) là tổng các chữ số của n trong biễu diễn thập phân.

a. Chứng minh ^{S a}



^^b



^^{S a}

   

^^{S b} ^,^^{a b}^, ^ ^.^.

b. Tìm tất cả các số hữu tỉ q sao cho tồn tại n ^* thỏa mãn S(5 )n q S n. ( ). Bài 5. (4,0 điểm) Tìm số hoán vị



a a1, 2,...,a2018



của tập hợp



1, 2,..., 2018



thỏa mãn 2



a1a2  ... a_k



chia hết cho k với mọi k 1,2,...,2018.

--- HẾT ---

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: ...

ĐỀ CHÍNH THỨC