BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ PHƯƠNG PHÁP
Đưa về cùng cơ số.
+ Nếu a1 thì af x ag x f x
g x
.+ Nếu 0 a 1 thì af x ag x f x
g x
.Đặt ẩn phụ.
Sử dụng tính đơn điệu:
Hàm số y f x( ) đồng biến trênD thì f u
f v
u v
u v D,
.Hàm số y f x( ) nghịch biến trênD thì f u
f v
u v
u v D,
.Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
2021; 2021
để bất phương trình1
. 1 .
7 3 3 27
2 xm x m x x có nghiệm?
A. 2018. B. 2019. C. 2020. D. 2017.
Lời giải Chọn A
Đặt 3x t điều kiện t0. Bất phương trình trở thành:
3 3
27 3 *
m t
t t t
. Do t0 nên 3 0
t t suy ra
* t2 3 92 m t
.
Xét f t
t2 3 92
t 0
t
. Với t0 ta có f t
2t 183 t ; f t
0 t 3.Ta có bảng biến thiên
Để
* có nghiệm thìmin0;
3m f t
. Vậy có 2018 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2x 3 5 2 x m nghiệm đúng với mọi x
;log 52
.A. m4. B. m2 2. C. m4. D. m2 2.
Lời giải Chọn A
Đặt 2x t. Vì xlog 52 0 2x 2log 52 0 t 5.
Yêu cầu bài toán trở thành t 3 5 t m, t
0;5 .Xét hàm số f t
t 3 5t với 0 t 5.Có
1 12 3 2 5
f t t t
.
0 1 1 0 3 5 12 3 2 5 3 5
f t t t
t t t t
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có: m4.
Câu 3. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m [ 30;30] để bất phương trình (3 5)x (3 5)x ( 1).2x
m m đúng với 1
2;
x
?
A. 36. B. 34. C. 35. D. 37.
Lời giải Chọn A
Ta có : m(3 5)x (3 5)x (m1).2x 3 5 3 5 1
2 2
x x
m m
Đặt 3 5
2
x
t
, do 1 2;
x suy ra
1
3 5 2 5 1
; ;
2 2
t
Khi đó 3 5 1
2
x
t
. Suy ra bất phương trình:
2 2
1 ( 1) ( )
1
m t t
t m t t m t m f t
t t
đúng với
5 1; t 2
Khảo sát nhanh hàm số:
2
( ) 1 t t f t t
với
5 1; t 2
.
Suy ra được giá trị nhỏ nhất: min ( )f t f(1 2) 3 2 2 m min ( ) 3 2 2 5,8.f t Suy ra: 30 m 5 Suy ra có tất cả 36 giá trị nguyên m thỏa mãn.
Câu 4. Gọi S là tập chứa tất cả những giá trị nguyên m [ 20; 20] để bất phương trình đúng với mọi x : 3sin2x(2m1)31 cos 2x 4. Số phần tử của tập S là
A. 18. B. 20. C. 21 . D. 19.
Lời giải Chọn B
Đặt: t3sin2x, do x suy ra t3sin2x3 ;30 1[1;3]
Khi đó : 2 2 2
1 cos 2 sin
sin
9 9
3 3
3
x x
x t
Bất phương trình trở thành: t (2m 1) 9 4 9(2m 1) 4t t2
t t [1;3]
Do đó:
1;3 1;3
2
9(2 1) max ( ( )) max 4 2 4
t t
m f t t t f
Suy ra: 9(2 1) 4 13 1 20
m m 18 m Vậy có 20 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Câu 5. Tìm tất cả các tham số m để bất phương trình 2 4x24x8m 4x2 2 2 2
x2 x 2m2x
nghiệmđúng với mọi x.
A. 1
m 8. B. 1
m 8. C. 3
m8. D. 1
m7. Lời giải
Chọn A
Ta có : 2 4x2 4x 8m4x2 2 2 2
x2 x 2m 2x
4 x2 x 2m4x2 2 2 2
x2 x 2m2x
Để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x, trước hết bất phương trình phải xác định trên
.Suy ra 2 2 0,
2 , min
1 12 x 2 8
x x
x x m x m g x x m g x g
Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 x x m 4x 2 2 2 x x m2x , x 2 x x m1 2x1 0, x (*)
Ta có
2 x2 x m 1
2
2x1
2 0, x và dấu bằng xảy ra khi2 2
1
2 1 0 2
2 1 0 1.
8
x x m x
x m
.
Vậy để (*) luôn đúng suy ra 1
m 8. Kết hợp với điều kiện ban đầu vậy 1 m 8 . Câu 6. Tìm m để bất phương trình 2x 3x 4x5x 4 mx có tập nghiệm là .
A. ln120. B. ln10. C. ln 30. D. ln14 . Lời giải
Chọn A
+ Với a1 ta có ln
0 0
1 1
lim lim .ln ln
ln
x x a
x x
a e
a a
x x a
.
+ Với a1 xét hàm số f x
ax 1
x 0
x
, ta có f x
xaxlna a2 x 1x
.
Xét hàm số g x
xaxlna a x 1 g x
axlna xa xln2a a xlna xa xln2a. Với x0 ta có g x
0 suy ra g x
g
0 g x
0 f x
0, x 0.Với x0 ta có g x
0 suy ra g x
g
0 g x
0 f x
0, x 0.Do đó hàm số f x
ax 1
a 1
x
đồng biến trên các khoảng
;0
và
0;
.Trở lại bài toán:
+ Xét x0 bất phương trình thỏa mãn.
+ Xét x0 ta có: 2x 3x 4x 5x 4 mx m 2x 1 3x 1 4x 1 5x 1 h x
x x x x
.
Từ nhận xét trên ta có h x
đồng biến trên
0;
. Do đó yêu cầu của bài toán tương đươngvới
lim0 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln120 m x h x
.
+ Xét x0 ta có: 2x 3x 4x 5x 4 mx m 2x 1 3x 1 4x 1 5x 1 h x
x x x x
.
Từ nhận xét trên ta có h x
đồng biến trên
;0
. Do đó yêu cầu của bài toán tương đươngvới
lim0 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln120 m x h x
.
Kết hợp lại ta có mln120.
Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
10;10
để bất phương trình sau nghiệm đúng với x :
6 2 7
x
2m
3 7
x
m1 2
x 0?A. 10. B. 9. C. 12 . D. 11.
Lời giải Chọn D
Ta có:
6 2 7
x
2m
3 7
x
m1 2
x 0 2 3x
7
x
2m
3 7
x
m1 2
x
3 7
x
2 m
32 7x m 1 Đặt t
3 7
x, t0 32 7x 1t . Bất phương trình đã cho trở thành:
2
.1 1t m m
t 2 2 1 t t
t m
. Xét hàm số
2 21 t t f t t
trên khoảng
0;
, ta có
2 2
2 3
1 t t
f t t
0f t 3
0 t t
. Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m1. Suy ra trong đoạn
10;10
có tất cả 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.Câu 8. ) Cho hàm số y f x
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình sau đúng x
2
2
9.6f x 4 f x .9f x m 5m .4f x
A. 10. B. 4 . C. 5. D. 9.
Lời giải Chọn B
Ta có: 9.6f x
4 f2
x
.9f x
m25m
.4f x
4 f2
x
. 32 2f x 9; 32 f x m2 5m
1
Từ đồ thị hàm số suy ra f x
2, x Do đó
4 f2
x
32 2f x 0, x và 2
3 3
9. 9. 4,
2 2
f x
x
.
Suy ra
4 f2
x
. 32 2f x 9. 32 f x 4, x .Để
1 có nghiệm đúng x thì 4 m25m 1 m 4. Do m là số nguyên nên m
1, 2, 3, 4
.Câu 9. Bất phương trình 4x
m1 2
x1 m 0 nghiệm đúng với mọi x0. Tập tất cả các giá trị của m làA.
;12
. B.
; 1
. C.
;0
. D.
1;16
.Lời giải Chọn B
14x m1 2x m 0, x 0.
2x 22
m1 2
x m 0, x 0 (1).Đặt t2 ,x
t1
. (1) trở thành t22
m1
t m 0, t 1 (2).Cách 1:
(2)
2 2
, 1
2 1 t t
m t
t
(3).
Xét hàm số
2 22 1 t t y f t
t
. Ta có hàm số y f t
liên tục trên
1;
.
2 2
2 2
2 2 2 1 2 2 2 2 2 0, 1
2 1 2 1
t t t t t t
f t t
t t
.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có f t
m t
1;
m 1.Cách 2:
2 2 1 0
t m t m là một bất phương trình bậc hai.
Tam thức bậc hai ở vế trái luôn có m2 m 1 0, m nên tam thức luôn có hai nghiệm là
1 2 1
t m m m và t m 1 m2 m 1.
Suy ra bất phương trình t22
m1
t m 0 có tập nghiệm là
;m 1 m2 m 1 m 1 m2 m 1;
.(2) 2 2 2 0 2
1 1 1 1 1
1
m m m m m m m m
m m m
.
Câu 10. Có bao nhiêu m nguyên dương để bất phương trình 32x23 3x
m2 1
3m 0 có không quá 30 nghiệm nguyên?A. 28. B. 29. C. 30. D. 31.
Lời giải Chọn B
2 2 2 2
3 x 3 3x m 1 3m 0 9.3 x 9.3 .3x m 3x 3m 0
9.3 3x x 3m 3x 3m 0 3x 3m 9.3x 1 0
Ta có 3x3m 0 x m. Cho 9.3x 1 0 x 2.
Vì m nguyên dương nên ta có bảng xét dấu như sau:
Ta có tập nghiệm S
2 ;m
. Suy ra tập hợp các nghiệm nguyên là
1; 0; 1; ...;m1 .
Để có không quá 30 nghiệm nguyên thì m 1 28 m 29.
Câu 11. Tất cả giá trị của tham số thực m sao cho bất phương trình
9x2
m1 .3
x 3 2m0 có nghiệm đúng với mọi số thực x làA. 3
m 2. B. m2. C. 3
m 2. D. m. Lời giải
Chọn A
Ta có: 9x2
m1 .3
x 3 2m0
3x 22.3x 3
3x1 .2
m
3x 1 3
x 3
3x 1 .2
m 3x 3 2m3x 3 2m
Vậy, để 9x2
m1 .3
x 3 2m 0, x khi 33 2 0
m m 2
. Câu 12. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để bất phương trình
4x 2022 .2m x1 3 1011m0 có nghiệm.
A. m1. B. m 1. C. m 3. D. m5. Lời giải
Chọn A
4x 2022 .2m x1 3 1011 0 (1). Đặt t2 ,x t0.
Khi đó bất phương trình (1) trở thành t21011mt 3 1011m0 1011 2 3
*1 m t
t
(Vì t0).
Xét hàm số
2 31 f t t
t
(t0),
2 2
2 3
1 t t
f t t
,
0 13 f t t
t
. Bảng biến thiên
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình
* có nghiệm t0 1011m 2 2
m 1011
.
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m thoả mãn yêu cầu bài toán là m1. Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng
2021;2022
để bất phương trình 9x
m2 3
x 3 m 0 nghiệm đúng với mọi số thực x?A. 2020. B. 2019. C. 2018. D. 2017.
Lời giải Chọn C
9x m2 3x 3 m 0 (1). Đặt t3 ,x t0.
Khi đó bất phương trình
1 có dạng t2
m2
t 3 m 0
t 1
t 3 m
03 0
t m
(vì t0) t 3 m (2).
Bất phương trình
1 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi phương trình
2 đúng với mọi 0t 3 m 0 m 3.
Mà m nguyên thuộc khoảng
2021;2022
nên m
2020; 2019;...; 3
. Vậy có 2018 giá trị của tham số m thoả mãn yêu cầu bài toán.Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 12x 2 1
m
6x3x 0 nghiệm đúng với mọi x0?A. 6. B. 2 . C. 3. D. 4 .
Lời giải Chọn B
12x2 1m 6x3x 0 4x2 1
m
2x 1 0(1)Đặt t2 ,x với x 0 t 1.
Khi đó bất phương trình (1) trở thành t22 1
m t
1 0 2mt t 2 2 1t2 2 1
2 t t
m t
(vì t1).
Xét hàm số
2 2 12 t t
g t t
với t1,
2 212 f t t
t
,
0 11 f t t
t
. Bảng biến thiên
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x0 khi và chỉ khi bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi t1 m 2.
Mà m nguyên dương nên m
1; 2 . Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán.Câu 15. Tổng các số nguyên m, m
10;10
để bất phương trình m.9x
2m1 .6
xm.4x 0 có nghiệm đúng với mọi x
0;1 .A. 34. B. 34. C. 17. D. 18.
Lời giải Chọn A
Ta có m.9x
2m1 .6
xm.4x 0 . 9
2 1 .
3 04 2
x x
m m m
Đặt 3
2
x
t
, x
0;1 1;3t 2
.
Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành m t. 2
2m1
t m 0
t2 2t 1
m t 0
1
2m t
t
Đặt
1
2f t t
t
, 3 1;2 t
ta có
2 3
1 1 f t t
t
f t
0 t 1.Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta có bất phương trình có nghiệm 3 1;2 t
m 6. Mà m, m
10;10
m
10; 9;...;5; 6
.Vậy tổng các giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán là 34. Câu 16. Số các giá trị nguyên m, m
2021; 2022
để bất phương trình
3m1 12
x
3 m
6x 3x 0có nghiệm đúng x 0 làA. 2020. B. 2022. C. 2021. D. 4042.
Lời giải Chọn B
Ta có
3m1 12
x
3 m
6x3x 0
3m1 4
x
3 m
2x 1 0Đặt2x t. Dox 0 t 1.
Khi đó, yêu cầu bài toán
3m1
t2
3 m t
1 0, t1
3t2 t m
t2 3 1t 2 23 1
3 t t
m t t
, do
3t2 t 0, t 1. Đặt
2 23 13 t t
f t t t
, ta có
2 2 2
8 6 1
3 0 t t
f t t t
, t 1 Bảng biến thiên
Do đó 1
m 2thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do m, m
2021; 2022
m
1; 2;...;2022
Từ đó suy ra có 2022 giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán.Câu 17. Cho bất phương trình m.3x14m53. 4
7
x 4 7
x 0 , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x
;0
.A. 2
m3. B. 2
m 3. C. 5
m12. D. 5 2 12 m 3. Lời giải
Chọn A
Ta có m.3x14m53. 4
7
x 4 7
x 0
3 .3 4 5 . 4 7 4 7 0
3
x x
m x m
5 4 7 4 7
3 4 . 0
3 3 3
x x
m m
4 7 4 5 . 4 7 3 0
3 3 3
x x
m m
Đặt 4 7
3
x
t
, do x
;0
t
0;1
.Bất phương trình đã cho trở thành 5 1
4 . 3 0
t m 3 m
t
2 5
3 4 0
t mt m 3
4 3
2 5 0t m t 3
2 5
3
3 4
t
m t
. Đặt
2 5
3
3 4
t f t t
, t
0;1
, ta có
2
2
3 8 5
0, 0;1
3 4
t t
f t t
t
Bảng biến thiên
Vậy 2
m3 thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18. Cho hàm số y f x
có bảng biến thiên như sau:Biết rằng f
2 1, f
3 1. Tính tổng các giá trị m
2021; 2021
để bất phương trình
3 3 2 9
f x f x f x m
e m có nghiệm trên khoảng
2;3
.A. 0. B. 10. C. 2020. D. 2041210. Lời giải
Chọn A
Đặt g x
f3
x 3f2
x 9f x
, khi đó bài toán trở thành tìm m để bất phương trình
g x m
e m có nghiệm trong khoảng
2;3
.Ta có: g x
f x
3f2
x 6f x
9.
0
0 1
3 f x
g x f x
f x
1 0 2 3 2 x x x x x
và ta dễ dàng kiểm tra được các nghiệm này đều là
nghiệm bội lẻ nên các điểm x
2; 1;0;2;3
đều là cực trị của hàm số g x
.Ta có: eg x m m g x mm
e e
. Khi đó để có nghiệm trong khoảng
2;3
thì
27
max2;3 g x m
m e e
e .
Xét hàm số
2
1 0 1
m
m m
e m
y m y m
e e
. Ta có BBT của hàm số mm
y e như sau:
Ta thấy,
27 2;3
1 g x
m
max m e max e
e e
Bất phương trình eg x m m có nghiệm với mọi m. Mà m
2021; 2021
nên suy ra20202020
0 m
Câu 19. Cho hai hàm số g x
3x2
m26
x m 214 và f x
ex12. Có bao nhiêu giá trị m dương để f x
g x
có nghiệm duy nhất?A. 1. B. 2 . C. 0. D. 3.
Lời giải
Chọn A
Ta có: f x
g x
ex12 3x26x14m x2
1
ex12 3
x1
211m x2
1
Vì ex12 3
x1
211 0 x VP m x 2
1
0 0 01 0 1
m m
x x
.
Khi đó, bài toán trở thành tìm m0 để
12 2
3 6 14 2
1
e x x x
x m
có nghiệm duy nhất trên khoảng
1;
. Điều này xảy ra khi
2
min1;
m h x
và nếu tồn tại GTNN.
Với
12 3 2 6 14
1
ex x x
h x x
12 2 2
2
2 3 3 6 8
1
ex x x x
h x x
.
Cho h x
0 ex12
2x2 3
3x26x 8 0 và ta chỉ lấy nghiệm x 1. Sử dụng máy tính CASIO 11 x
x a
. Ta lập được bảng biến thiên của h x
như sau:min 1;
h x
12 m212m 12 thì thỏa mãn bài toán.
Mà m m 12 là giá trị duy nhất.
Câu 20. Với m là tham số để bất phương trình 2x 3x mx2 có tập nghiệm là , khi đó A. m
;0
. B. m
1;3 . C. m
3;
. D. m
0;1 .Lời giải Chọn B
+) Với m0, bất phương trình không nhận các giá trị âm của x làm nghiệm.
Thật vậy, khi đó 2x3x 2 mà mx 2 2. Suy ra m0 loại . +) Với m0, ta có 2x3x mx 2 2x 3x mx 2 0.
Đặt f x
2x 3x mx2, x. Khi đó f x
2 ln 2 3 ln 3x x m. Ta có f x
0 2 ln 2 3 ln 3x x m 0 2 ln 2 3 ln 3x x m (1) Đặt g x
2 ln 2 3 ln 3x x g x
2 ln 2 3 ln 3 0,x 2 x 2 x . Suy ra hàm số g x
đồng biến trên .Lại có xlimg x
0 và xlimg x
.Suy ra với mỗi giá trị m0 thì phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất là x0. Ta có phương trình f x
0 có nghiệm duy nhất là x0.Mà xlim f x
m 0 và xlim f x
nên f x
0, x x0 và f x
0, x x0.Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min
0x f x f x
.
Kết hợp điều kiện đề bài là
0, min
0 0f x x x f x f x
mà f
0 0 .Suy ra x0 0 và x00 là giá trị duy nhất để f x
0.Suy ra x0 0 là giá trị duy nhất để f x
0. Suy ra f
0 ln 2 ln 3 m 0.Vậy mln 2 ln 3 ln 6 .
Câu 21. Tập các giá trị của tham số m để bất phương trình 9xm.6xm.4x 0 nghiệm đúng với mọi x là đoạn
a b; . Khi đó b a có giá trị bằngA. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3.
Lời giải Chọn A
Ta có
3 2 . 3 0
2 2
x x
m m
(1). Đặt 3
2
x
t
, t0.
Bất phương trình (1) trở thành t2mt m 0 m t
1
t2 (2)Bất phương trình (1) đúng với mọi x khi và chỉ khi bất phương trình (2) đúng với mọi t0 Với t1, bất phương trình (2) luôn đúng m R (*).
Với t1, bất phương trình (2)
2
2
1 1
0 1
1
m t t
t
m t t
t
Xét hàm số
21 f t t
t
với t
0;
\ 1 .Khi đó
2 2
2 1 t t f t t
. Ta có
0 0
2
t l
f t t n
. Bảng biến thiên
Với 0 t 1, bất phương trình (2) tương đương m f t
.Dựa vào bảng biến thiên, bất phương trình (2) đúng với mọi 0 t 1 khi m0 (**).
Với t1, bất phương trình (2) tương đương m f t
.Dựa vào bảng biến thiên, bất phương trình (2) đúng với mọi t1 khi m4 (***).
Kết hợp (*) (**) (***), bất phương trình đã cho đúng với mọi x 0 m 4. Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình
m26 .2
4x2 9 2x2 4x218 9 2x 25 có nghiệm đúng với mọi x
0; 2 ?A. 7. B. 9. C. 8. D. vô số.
Lời giải Chọn A
Đặt 4 2 9 2 42 2 0,
0; 24 9
t x x t x x
x
.
Vì x
0; 2 t
1;3Ta có:
2
2
2
2
4 9 2
4 9 2 4 9 2 9 1
4 9 2 9
x x
x x x x
x x
Điều kiện bài toán
m26 2
t22t 25 có nghiệm đúng t
1;32
2 6 2 25
2
t
m t
có nghiệm đúng t
1;3
*Xét hàm số g X
X2 25, X
2;8X
và X 2t ,vì t
1;3 X
2;8
1 252,
2;8g X X
X . Cho g X
0 X 5
2;8Từ BBT và kết hợp với
* , ta suy ra: m2 6 10 4 m 4 và m
3; 2; 1;0;1; 2;3
m .
Câu 23. Cho hàm số f x
2x12x1. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình
3 3
3 0f x m x có nghiệm x
0; 2
.A. m1. B. m21. C. m21. D. m1.
Lời giải Chọn B
Hàm số f x
2x12x1 xác định x .Ta có: f
x 2 x 12 x 1
2x12x1
f x
và f
1 3
1 2 1 1 2 1 ln 2 0, 11 1
x x
x x
f x x
x x
.
Mà f x
liên tục trên . Suy ra, hàm số f x
nghịch biến trên . Khi đóBpt f x
3m3x
3 0 f x
3m3x
f
1 f
1 có nghiệm x
0; 2
3 3 1
x m x
có nghiệm x
0; 2
.
x 1
3 m 3x có nghiệm x
0; 2
3 3 2 1
x x m
có nghiệm x
0; 2
.Xét hàm số g x
x33x2 1, x
0; 2
có g x
3x26x 0, x
0;2
Từ BBT ta suy ra m21.
Câu 24. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
2022; 2022
để bất phương trình
2 4 2 2 2
2ex mx 2x 4mx10 x 2mx4 có nghiệm ?
A. 4040. B. 4041. C. 4042. D. 5.
Lời giải Chọn C
Ta có: 2ex2mx42x24mx10
x22mx4
2
2
2 2
4 2 2 4
1 2 4
2
x mx x mx
e x mx
. Đặt u x 22mx4 suy ra bpt trở thành:
2 2
1 1 0
2 2
u u u u
e u e u
Đến đây ta xét hàm số
1 22
u u
y f u e u
có
u 1 ;
u 1 0 0f u e u f u e u . Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:
Suy ra bất phương trình
1 2 0 0 2 2 4 02
u u
f u e u u x mx
(2)
Như vậy để bất phương trình (2) luôn có nghiệm thì
; 2022;2022
2 2 2022 2
4 0 2 2 2022
m Z m
m m
m m m
. Như vậy có tất cả 4042 giá trị nguyên mthỏa mãn
Câu 25. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc
30;30
để bất phương trình
x 1 1
x55 x24 x33 x22 0x e m nghiệm đúng với x
2;3
A. 61. B. 29. C. 31. D. 25.
Lời giải Chọn C
Đặt g x
x e
x1 1
x55 x24 x33 x22 .Ta có: x e
x1 1
x55 x24 x33 x22 m 0, x
2;3
x 1 1
x55 x24 x33 x22 ,
2;3
xmin 2;3
x e m x g x m
Xét hàm số g x
x e
x1 1
x55 x24 x33x22Ta có: g x
ex1 1 xex1x42x3x2 x ex1
x 1
x x2
1
2 x1
Ta đi chứng minh ex1
x 1
x 1
0, x
2;3
. Đặt t x 1,t
1; 4
Xét hàm số f t
tett t,
1; 4
t t 1 ;
2 t t t
2
0,
1; 4
f t e te f t e te e t t
Suy ra f t
đồng biến trên
1; 4
, do đó phương trình f t
0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên
1; 4 . Mà f
0 0 nên t0 là nghiệm duy nhất của phương trình f t
0Ta có bảng biến thiên sau:
Từ đó ta được f t
0,t
1;4
hay ex1
x 1
x 1
0, x
2;3
Do đó g x
0, x
2;3
Ta được
2;3
min ( 2) 1,8
x g x g
Vậy có 29 giá trị nguyên của tham số mthỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 26. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình
2x3 2
x1m
0 có nghiệm nguyên và chứa không quá 6 nghiệm nguyên x ?A. 506. B. 507. C. 505. D. 512.
Lời giải Chọn B
Ta có bất phương trình đã cho tương đương:
2x3 2
x m20 (*)Trường hợp 1: Nếu 3 2
m Bất phương trình (*) trở thành
2x 3
20 vô nghiệm Trường hợp 2: Nếu 32
m Bất phương trình (*) 3 2 log 32 log2
2 2
x m x m
Nếu ta chỉ xét các nghiệm nguyên thì 2 log2
2 x m
. Để có không quá 6 nghiệm nguyên xthì 2 log2