Tam giác cân, Tam giác đều và cách giải các dạng bài tập | Toán lớp 7

DẠNG 3: TAM GIÁC CÂN, TAM GIÁC ĐỀU.

I. LÝ THUYẾT:

1. Tam giác cân:

a. Định nghĩa:

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Trên hình, tam giác ABC cân ở A (AB = AC), AB và AC là hai cạnh bên, BC là cạnh đáy, B, C là các góc ở đáy, A là góc ở đỉnh.

b. Tính chất:

- Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.

Tam giác ABC vuông cân tại A thì B= =C 45^o 2. Tam giác đều.

Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Tam giác ABC đều thì AB = AC = BC và A= = =B C 60^o Hệ quả:

- Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60°.

- Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

- Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60° thì tam giác đó là tam giác đều.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 3.1: Cách vẽ tam giác cân, vuông cân, tam giác đều.

1. Phương pháp giải:

Dựa vào các cách vẽ tam giác đã học và định nghĩa các tam giác cân, vuông cân, đều.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Vẽ tam giác ABC cân tại C có AB = 6 cm, AC = BC = 5cm.

Giải: (Vẽ tương tự như cách vẽ tam giác thường biết độ dài ba cạnh) Cách vẽ:

- Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm.

- Vẽ cung tròn tâm A bán kính 5cm.

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5cm.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại C.

- Nối CA, CB ta được tam giác ABC cần vẽ.

Ví dụ 2: Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A.

Giải:

- Vẽ góc vuông xAy

- Trên tia Ax lấy điểm B, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AB = AC - Nối B với C

- Khi đó ta được tam giác ABC vuông cân tại A.

Ví dụ 3: Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 4 cm.

Giải:

- Vẽ đoạn thẳng BC = 4 cm

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 4 cm.

- Vẽ cung tròn tâm C bán kính 4 cm.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại A.

- Nối AB, AC ta được tam giác ABC cần vẽ.

Dạng 3.2: Nhận biết một tam giác là tam giác cân, vuông cân, đều.

1. Phương pháp giải:

Những dấu hiệu nhận biết các tam giác cân, vuông cân, đều:

*Tam giác cân:

- Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau (theo định nghĩa).

- Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

*Tam giác vuông cân:

- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau (theo định nghĩa).

- Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45^o là tam giác vuông cân.

*Tam giác đều:

- Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau (theo định nghĩa).

- Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều.

- Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 4: Tìm các tam giác cân, vuông cân, đều trên hình vẽ sau:

Giải:

(a) Áp dụng định lý góc ngoài trong tam giác ABC có:

A+ + =B C 180o =C 180^o − −A B

o o o o

C 180 50 65 65

 = − − =

ABCcó B= =C 65^o

Do đó ABC cân tại A.

(b) Ta có, _HKF vuông tại H có K=45^o Nên ^HKFlà tam giác vuông cân tại H (1) Vì DEF=HKF=45^o

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên HK // DE Vì HK⊥HF, HK // DE

DE DF

 ⊥ (Tính chất từ vuông góc đến song song) Ta có, DEF vuông tại D có E=45^o

Nên ^DEF là tam giác vuông cân tại D (2)

Từ (1) và (2) suy ra HKF, DEF là tam giác vuông cân.

(c) Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác MNP có:

M+ + =N P 180oM 180= ^o − −N P

o o o o

M 180 60 60 60

 = − − =

Ta có, MNP có M= =N P ( 60 )= ^o Do đó MNP là tam giác đều.

Dạng 3.3: Sử dụng định nghĩa, tính chất tam giác cân, vuông cân, đều để suy ra các đoạn thẳng, các góc bằng nhau.

1. Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa và tính chất của tam giác cân, vuông cân, đều.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân tại A (BC < AB). Trên cạnh AB lấy D sao cho CD

= CB.

a) Chứng minh: ACB CDB .

b) Trên tia đối của tia CA lấy E sao cho CE = AD. Chứng minh BE = BA.

Giải:

GT Cho ABC , AB = AC (BC < AB) CD = CB (DAB)

CE là tia đối của tia CA: CE = AD KL a) ACB CDB

b) BE = BA

a) ABC cân tại A nên ABC ACB (1)

Vì BCDcân tại C (do CD = CB) nên CDB DBC ABC (2) Từ (1) và (2) suy ra ACB CDB

b) Ta có: ACB BCE 180^o CDB ADC 180o

Mà ACB CDB (câu a) Do đó: ADC BCE Xét ADC và ^ECB có:

CE = AD (gt) ADC BCE (cmt) CD = CB (gt)

Do đó:ADC= ECB (c.g.c)

BE AC

 = (hai cạnh tương ứng)

Mà AC = AB (do tam giác ABC cân tại A) Vậy BE = AB (đpcm).

Dạng 3.4: Tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc.

1. Phương pháp giải:

Dựa vào định lý tổng ba góc của một tam giác và mối quan hệ giữa các cạnh, các góc trong tam giác đó.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC cân tại A và tam giác đều BCD (D và A nằm khác phía đối với BC). Tính số đo góc BDA.

Giải:

GT ABC, AB=AC BCD, BC BD CD

 = =

(D và A nằm khác phía đối với BC) KL _BDA=?

Xét ABD và ^ACD có:

AB = AC (ABCcân) BD = CD (BCDđều) Cạnh AD chung

Do đó: ABD= ACD (c.c.c)

1 2

D D

 = (hai góc tương ứng)

Mặt khác, BCDđều nên BDC=60^o =D1+D2 o

1 2

D D 30

 = = Vậy BDA=30^o.

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Câu nào đúng, câu nào sai? ( Đánh dấu x vào câu lựa chọn)

Đúng Sai a) Tam giác cân có một góc 45^o là tam giác vuông cân.

b) Mỗi góc ngoài của 1 tam giác thì bằng tổng 2 góc không kề nó của tam giác đó.

c) Nếu tam giác có 1 cặp cạnh không bằng nhau thì tam giác đó không phải là tam giác cân.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, có A 50^o. Tính các góc còn lại của tam giác đó.

Bài 3: Số tam giác cân ở hình sau là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Bài 4: Cho ∆ABC cân tại A. Lấy điểm E và F lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho BE = CF. Chứng minh AEF là tam giác cân.

Bài 5: Vẽ tam giác đều ABC có AB = AC = BC = 6cm

Bài 6: Tìm các tam giác cân trên hình vẽ sau:

Bài 7: Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại O. Biết OC = AB.

a) Chứng minh AEB OEC . b) Tính góc ACB.

Bài 8: Tìm số đo x trên mỗi hình sau:

Bài 9: Cho ABC cân tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AC, điểm K thuộc cạnh AB sao cho AH = AK. Gọi O là giao điểm của BH và CK. Chứng minh OBC và

OHK là các tam giác cân.

Bài 10: Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tam giác đều AMC và BMD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, CB. Chứng minh: MEF là tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

Bài 1:

Đúng Sai a) Tam giác cân có một góc 45^o là tam giác vuông cân. x b) Mỗi góc ngoài của 1 tam giác thì bằng tổng 2 góc không

kề nó của tam giác đó.

x c) Nếu tam giác có 1 cặp cạnh không bằng nhau thì tam

giác đó không phải là tam giác cân.

x Bài 2: B C 65^o

Bài 3: Đáp án: C

Tam giác ABC cân tại A do AB = AC

Tam giác DEF cân tại D do E F 64 (tính toán được) ^o Tam giác GIH không cân do G 58 , I^o 60 , H^o 72^o Bài 4: Dễ dàng chứng minh được AE = AF

AEF cân tại A.

Bài 5:

Cách vẽ:

- Vẽ đoạn thẳng BC = 6 cm.

- Vẽ cung tròn tâm C bán kính 6 cm.

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 6 cm.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại A.

- Nối AB, AC ta được tam giác ABC cần vẽ.

Bài 6:

a) ABD cân

b) ABE, ACD cân

c) ABC, ABD, BCD cân Bài 7:

a) Xét AEB và OEC : AEB BEC 90 o

AB OC (gt)

ABE ECO (vì cùng phụ với góc A) Do đó: AEB OEC (g.c.g)

b) Tam giác EBC vuông cân tại E: ACB 45^o Bài 8:

a) x = 22,5^o b) x = 25^o Bài 9:

*Tam giác ABC cân tại A AB =AC Mà AH = AK BK = HC

Ta chứng minh được BKC= CHB (c.g.c) B

KCB H C OBC cân tại O.

* Ta có: BH = CK, OB = OC OH = OK.

OHKcân tại O.

Bài 10:

AMD =CMB (c.g.c)

DAM BAM, AD = CB, AE = CF Có: MAE =MCF (c.g.c)

ME = MF, AME CMF

EMF 60 o

Mà MEF cân (do ME = MF) MEF đều.