Đa giác, đa giác lồi, đa giác đều I. Lý thuyết
1. Đa giác
- Đa giác A A ...A là hình gồm n đoạn thẳng1 2 n A A ; 1 2 A A ; …;2 3 A A trong đó n 1 không có bất kỳ hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cùng nằm trên một đường thẳng.
Hình a Hình b
Hình a là đa giác ABCDEF là hình gồm 6 cạnh hay còn gọi là lục giác Hình b là đa giác GHIJK là hình gồm 5 cạnh hay còn gọi là ngũ giác - Đa giác có n đỉnh gọi là hình n – giác hay hình n cạnh.
- Đường chéo của đa giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của đa giác đó.
- Số đường chéo của đa giác được tính theo công thức:
n n 3 2
với n là số đỉnh của đa giác và n > 3 - Tổng số đo các góc trong một hình n – giác là:
n2 .180
với n là số đỉnh, n > 2 2. Đa giác lồiĐa giác lồi là đa giác luôn nằm trên nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng chứa một cạnh bất kỳ của đa giác.
Đa giác ABCDEF là một đa giác lồi do đa giác luôn nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là một đường thẳng chứa một cạnh bất kỳ của đa giác.
Đa giác GHIJK không phải đa giác lồi vì đa giác không nằm hoàn toàn trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh JK.
Chú ý: Từ nay, khi nói đến đa giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là đa giác lồi.
3. Đa giác đều
- Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
Số đo mỗi góc trong đa giác đều n đỉnh được tính theo công thức:
n 2 .180
n
với n là số đỉnh, n > 2.
II. Dạng bài tập
Dạng 1: Nhận dạng đa giác, đa giác lồi, đa giác đều
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa về đa giác, đa giác đều, đa giác lồi.
Ví dụ 1: Cho ngũ giác ABCDE. Kẻ các đường chéo AC và AD. Kể tên các đa giác có trong hình vẽ
Lời giải:
Các đa giác có trong hình vẽ là:
Tam giác ABC; ACD; ADE
Tứ giác ABCD; ACDE Ngũ giác là ABCDE
Ví dụ 2: Cho các hình vẽ sau
Giải thích tại sao hai đa giác trên không phải đa giác lồi Lời giải:
Đa giác ABCDE không phải đa giác lồi vì đa giác không nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh DC.
Đa giác GIJKLH không phải đa giác lồi vì đa giác không nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh LK.
Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD có A 60 . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh MBNPDQ là lục giác đều.
Lời giải:
Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA Lại có M là trung điểm của AB 1
BM AM AB
2
N là trung điểm của BC 1
CN NB BC
2
P là trung điểm của CD 1
PC PD DC
2
Q là trung điểm của AD 1
AQ QD AD
2
Do đó: AM = BM = CN = NB = CP = PD = AQ = QD (1) Xét tam giác AQM có:
AQ AM QAM 60
AQMlà tam giác đều
AM MQ
(2)
Do ABCD là hình thoi QAM NCP 60
(tính chất)
Xét tam giác CPN có CP CN
NCP 60
CPNlà tam giác đều CN PN
(3)
Từ (1); (2); (3) BM = BN = NP = PD = DQ = QM (*) Xét hình thoi ABCD có
A C 60 B D 120(4)
Ta có: AMQvà BMQlà hai góc kề bù BMQ AMQ 180
Mà AMQ 60 do tam giác AMQ đều BMQ 60 180
BMQ 120
(5)
Chứng minh tương tự ta được các góc DQMBNPDPN 120 (6) Từ (4); (5); (6)
B D BMQ DQM BNP DPN 120
(**) Xét lục giác MBNPDQ có:
BM = BN = NP = PD = DQ = QM (theo (*))
B D BMQDQMBNPDPN 120 (theo (**)) Vậy lục giác MBNPDQ là lục gác đều.
Dạng 2: Tính góc và số đường chéo của đa giác
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức về tính góc và đường chéo của đa giác - Số đường chéo của đa giác được tính theo công thức:
n n 3 2
với n là số đỉnh của đa giác và n > 3 - Tổng số đo các góc trong một hình n – giác là:
n2 .180
với n là số đỉnh, n > 2Số đo mỗi góc trong đa giác đều n đỉnh được tính theo công thức:
n 2 .180
n
với n là số đỉnh
Ví dụ 1: Tính số đường chéo của một hình lục giác.
Lời giải:
Vì lục giác là hình có 6 đỉnh nên áp dụng công thức tính số đường chéo của đa giác ta có:
Số đường chéo của hình lục giác là:
n n 3 6 6 3
2 2 9
(đường chéo)
Ví dụ 2: Một đa giác đều có n cạnh. Mỗi góc của nó bằng 156. Tính số cạnh của đa giác đó.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính số đo mỗi giác trong đa giác đều ta có:
n 2 180
n 156
n 2 180
n156
n.180 360 n.156
n.180 n.156 360
n 180 156 360
n.24 360
n 360 : 24
n 15
Vậy đa giác đều này có 15 cạnh.
III. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hình lục giác ABCDEF. Kẻ các đường chéo AC, AD, AE. Kể tên các đa giác có trong hình.
Bài 2: Tính tổng số đo các góc của một đa giác có 12 cạnh.
Bài 3: Tính số đường chéo của một bát giác.
Bài 4: Đa giác có 14 đường chéo thì có bao nhiêu cạnh.
Bài 5: Chứng minh trung điểm các cạnh của một ngũ giác đều là các đỉnh của một ngũ giác đều.
Bài 6: Mỗi góc của một đa giác đều n cạnh có số đo là 144. Tính n.
Bài 7: Tính tổng các góc ngoài của một ngũ giác.
Bài 8: Chứng minh tổng số đo các góc ngoài của một đa gíac lồi là 360.
Bài 9: Cho ngũ giác đều ABCDE, hai đường chéo AC và BE cắt nhau tại điểm K.
Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân và CDEK là hình thoi.
Bài 10: Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật ABEF, BCIJ và CAGH sao cho AF = BJ = CH = x.
a) Chứng minh: JEFEFGFGHGHIHIJIJE;
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và 2 a2để hình lục giác EFGHIJ là lục giác đều.
