30 câu Vận dụng cao - Hình học Giải tích Oxyz bám sát cấu trúc đề thi THPTQG năm 2021

PHẦN 2. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Câu 8. (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 

^{S :}



xcos



²



ycos



²



zcos



²4 với  ,  và  lần lượt là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì với 3 tia Ox, Oy và Oz. Biết rằng mặt cầu

 

^S luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định. Tổng diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng

A. 36. B. 4 . C. 20 . D. 40 .

Câu 9. (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm ^A



^{2; 0;0}



^{, B}



^{0;6; 0}



^{, C}



^{0; 0;5}



^{và điểm N sao cho ON}   ^{OA OB OC}

. Một mặt phẳng

 

P thay đổi cắt các đoạn OA, OB, OC, ON lần lượt tại các điểm A₁, B₁, C₁, N₁ thỏa mãn

1 1 1

OA OB OC 2019

OA OB OC  và N x y z1



0; 0; 0



khi đó:

A. _{0 0 0} 11

x y z  2019. B. _{0 0 0} 18 x y z  2019.

C. _{0 0 0} 13

x y z 2019. D. _{0 0 0} 19 x y z  2019.

Câu 10. (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 

S :x²y²z²2x4y6z130 và đường thẳng 1 2 1

: 1 1 1

x y z

d   

  . Điểm



^{; ;}



M a b c



^a0



nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu

 

S ( A, B, C là các tiếp điểm ) thỏa mãn AMB60, BMC90 và

 120

CMA . Tính Qa b c

A. Q1. B. Q2. C. 10

Q 3 . D. Q3.

Câu 11. (Sở Đồng Tháp 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho véc tơ ^a



^{1; 1; 0}



và hai điểm



^{4; 7;3 ,}

 

^{4; 4;5}



A  B . Hai điểm M N, thay đổi thuộc mặt phẳng



^Oxy



sao cho MN

cùng hướng với a

và MN 5 2. Giá trị lớn nhất của AM BN bằng

A. 17 . B. 77 . C. 7 23. D. 825.

Câu 12. (Sở Đồng Tháp 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi ^{I a b c}



^{; ;}



là tâm mặt cầu đi qua điểm ^A



^{1; 1; 4}



và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính Pa b c có tập nghiệm là A. P6. B. P0.

C. P9. D. P3.

Câu 13. (Sở Đồng Tháp 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ^A



^{2; 2; 2}



^{; B}



^{2; 2;0}



^và



^{4;1; 1}



C  . Trên mặt phẳng



^Oxz



, điểm nào dưới đây cách đều ba điểm A; B; C?

A. 3 1

4; 0; 2

P 

  

 

. B. 3 1

4; 0;2

M 

 

 

. C. 3 1

4; 0;2

Q 

 

 

. D. 3 1

; 0 ;

4 2

N 

 

 

 

.

Câu 14. (Sở Đồng Tháp 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm ^A



^{1;1; 2}



^;



^{1;0; 4}



B  ; ^C



^{0; 1;3}



và điểm M thuộc mặt cầu

 

^{S : x2y2}



^z1



^{2 1}. Nếu biểu thức

2 2 2

MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn AM bằng:

A. 2 . B. 6. C. 2. D. 6 .

Câu 15. (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - 2021) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C. ' ' ' _có tất cả các cạnh bẳng nha

 

^{C AB'}

 

^{; BCC B' '}

 

^{, giá trị tan bằng}

A. 6 . B. 2. C. 6

2 ^{. D.}

2 3 3 .

Câu 16. (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD; có tọa độ ba đỉnh ^A



^{1; 2;1}



^{, B}



^{2;0; 1}



^{, C}



^6;1;0



. Biết hình thang có diện tích bằng 6 2. Giả sử đỉnh ^{D a b c}



^{; ;}



, tìm mệnh đề đúng?

A. a b c  6. B. a b c  5. C. a b c  8. D. a b c  7.

Câu 17. (THPT Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2021) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

: 1 1 2

2 1

x y z

d  

 

 và mặt phẳng

 

^{P :x   y z 3 0}. Đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng

 

P . Đường thẳng dđi qua điểm nào sau đây?

A. ^K



^3;1;7



^{. B. M}



^3;1;5



^{. C. N}



^{3; 1;7}



^{. D. I}



^{ 2; 1; 2}



^.

Câu 18. (Bắc Ninh - 2021) Trong không gian Oxyzcho mặt phẳng

 

^{P :x2y2z 5 0}. Xét mặt phẳng

 

^{Q :x}



^2m1



^{z 7 0, với m} là tham số thực. Tìm tất cả các giá của mđể mặt phẳng

 

^{P tạo}

với mặt phẳng

 

^{Q một góc}

4

.

A. 2

2 2 m m

 

  



. B. 4

2 m m

 

 



. C. 1

4 m m

 

 



. D. 1

2 m m

 

  



.

Câu 19. (Bắc Ninh - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A



1;0;1



, B



1;1; 1



,



^{5;0; 2}



C  . Tìm tọa độ điểm H sao cho tứ giác ABCH theo thứ tự đó lập thành hình thang cân với hai đáy AB CH,

A. ^H



^{1; 2; 2}



^{. B. H}



^{3; 1; 0}



^{. C. H}



^{ 1; 3; 4}



^{. D. H}



^{7;1; 4}



^.

Câu 20. (Bắc Ninh - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ^A



^{1;1;1 ;}



^B



^{2; 0;1}



^{và mặt}

phẳng

 

^{P :x y2z20}. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng

 

^P sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn nhất

A. 2 2

: 1 1 1

x y z

d  

 

 ^{. B.}

1 1 1

: 3 1 1

x y z

d   

 

  ^.

C. 2

:2 2 2

x y z

d 

 

 ^{. D.}

1 1 1

: 3 1 2

x y z

d   

 

 ^.

Câu 21. (Bắc Ninh - 2021) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu

 

^{S :x2y2z23. Một}

mặt phẳng

 

^ tiếp xúc với mặt cầu

 

^S và cắt các tia Ox Oy Oz, , lần lượt tại các điểm , ,A B C thoả mãn OA²OB²OC²27. Diện tích của tam giác ABC bằng

A. 9 3

2 . B. 3 3 . C. 9 3 . D. 3 3

2 .

Câu 22. (Bắc Ninh - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng là

 

^{P :x2y2z 1 0 và}

 

^{Q : x 2y2z110 và điểm A }



^2;1;1



. Một mặt cầu di động

 

^S đi qua điểm A đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng

 

^{P và}

 

^{Q có tâm I} của nó nằm trên đường cong có độ dài bằng

A. 2 2. B. 2 . C. 4 . D. 2 3.

Câu 23. (Bắc Ninh - 2021) Cho điểm ^M



^{2; 6; 4}



và đường thẳng d: 1 3

2 1 2

x y z

 

 . Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm M qua đường thẳng d:

A. ^{M }



^{4; 2;8}



^{. B. M  }



^{4; 2;0}



^{. C. M}



^{4; 2; 8}



^{. D. M}



^{3; 6;5}



^.

Câu 24. (Nam Định - 2021) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

 

S2 có tâm I2



2;1;5



, bán kính bằng 2 và mặt cầu

 

S1 có phuong trình:



^x2



^2



^y1



^2



^z1



^{2 16}. Mặt phẳng

 

^P thay đổi và luôn tiếp xúc với 2 mặt cầu trên. Khoảng cách nhỏ nhất từ O đến mặt phẳng

 

^{P bằng}

A. 15 . B. 9 15

2

 . C. 9 15

2

 . D. 9 3 15

2

 .

Câu 25. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng nằm trong , cắt và vuông góc với .

A. . B. .

C. . D. .

Câu 26. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2021) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các đường

thẳng , . Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả

và , đồng thời cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng ?

A. . B. . C. . D. Vô số.

Câu 27. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2021) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm và mặt cầu tâm , bán kính . Mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn . Gọi là khối nón có đỉnh và nhận làm đường tròn đáy. Tính bán kính của khi thể tích khối nón đạt giá trị lớn nhất

Oxyz

1 2

: 2 1 3

x y z

d  

 



 

^{P :x2y  z 3 0}

 

^

 

^P

 

^d

 

^d

3 2 4

: 7 5 3

x y z

 ^  ^  ^



3 2 4

: 7 5 3

x y z

 ^  ^  ^



3 2 4

: 7 5 3

x y z

 ^  ^  ^



3 2 4

: 7 5 3

x y z

 ^  ^  ^



Oxyz

 

1

2 1 2

: 1 1 1

x y z

d   

 

 

 

2 : 3 2 x t

d y

z t

 

 



   



 

d1

 

d2

 

S :x²y²z²2x4y 2 0

 6

2 1 0

Oxyz ( 1;1; 1)

A   ( )S I(1;2; 3) R5 ( )P A

( )S ( )C ( )N I ( )C

( )C ( )N

A. . B. . C. . D. .

Câu 28. (Chuyên Biên Hòa - 2021) Cho hàm số ABCD A B C D. ' ' ' ' có tất cả các cạnh bằng 1 và

 ' ' 60^o BADDAA  A AB .

Cho hai M N, thoả mãn điều kiện C B  ' BM DN, 2DD'

. Độ dài đoạn thẳng MNlà

A. 3 . B. 13 . C. 19 . D. 15 .

Câu 29. (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2021) Trong không gian cho ba điểm

và Gọi là đường

thẳng qua vuông góc với đồng thời cách một khoảng nhỏ nhất. Một véc tơ chỉ phương của có dạng Tính tổng

A. B. C. D.

Câu 30. (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Trong không gian , cho ba điểm và mặt phẳng có phương trình Gọi là điểm thuộc mặt phẳng sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 31. (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử của là

A. . B. . C. . D. .

Câu 32. (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường

thẳng : và hai điểm ; . Gọi ; lần

lượt là hình chiếu vuông góc của ; lên đường thẳng sao cho khối tứ diện có thể tích nhỏ nhất. Tính giá trị :

A. . B. . C. . D. .

Câu 33. (Chuyên KHTN - Hà Nội - 2021) Trong không gian , cho hai điểm

và mặt phẳng Xét mặt cầu đi qua hai điểm và có tâm thuộc mặt phẳng . Bán kính mặt cầu nhỏ nhất bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 34. (Chuyên Bắc Ninh - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm thuộc mặt cầu

và ba điểm . Biết rằng quỹ

tích các điểm thỏa mãn là một đường tròn cố định, tính bán kính của đường tròn này

A. B. C. D.

5 6

3 3 5

2 4

, Oxyz



^{1; 2;3 ,}

 

^{1; 2;0}



A B ^M



^{1;3; 4 .}



^d

B AB M

d ^u



^{2; ;a b}



^{. a b .}

1. 2. 1. 2.

Oxyz



^{1; 4;5 ,}

 

^{0;3;1 ,}

 

^{2; 1; 0}



A B C 

 

^{P 2x2y  z 9 0.}



^{; ;}



M a b c

 

^{P T MA2MB2MC2}

S m

2 2 2 6 4 3

2 3 0

x y z x z

mx y z m

     

    



S

23

13 6

5 19

 5 12

13

Oxyz



1 2

1 2 1

x m y zm

 

 ^M



^{1; 4;1}



^N



^{3; 2;0}



^{H a b c}



^{; ;}



^K

M N  HKMN

2 T a b c 8

T T 8 T 3 T5

Oxyz ^A



^{4;1;5 ,}



^B



^{6; 1;1}



 

^{P :x   y z 1 0}

 

^{S A B,}

 

^P

 

^S

35 33 6 5

Oxyz M

  

^{S : x3}



^2



^y3



^2



^z2



^{2 9 A}



^{1; 0; 0 ,}



^B



^{2;1;3 ,}



^C



^{0; 2; 3}



M MA²2MA MC. 8

 

r

3.

r r3. r6. r 6.

a2bc

0 3 3 9

Câu 35. (Chuyên Bắc Ninh - 2021) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Lấy điểm là điểm trên cạnh sao cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

. Thể tích của khối đa diện là

A. . B. . C. . D. .

Câu 36. (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm ^B



^{2;1; 0}



^,



^{2; 0; 2}



C , ^A



^1;1;1



^{. Gọi}

 

^P là mặt phẳng chứa BC và cách A một khoảng lớn nhất. Hỏi vecto nào sau đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng

 

^{P ?}

A. ^n



^{5; 2; 1}



^{. B. n }



^{5; 2;1}



^{. C. n }



^{5; 2; 1}



^{. D. n}



^{5; 2; 1 }



^.

Câu 37. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

1

1 2

: 1 2 1

x y z

d  

  ; ₂ 2 1 1

: 2 1 1

x y z

d   

  và mặt phẳng ( ) :P x y 2z 5 0. Phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )P và cắt d₁, d₂ lần lượt tại A và B sao cho

3 3 AB là

A. 1 2 2

1 1 1

x y z

  . B. 1 2 2

1 1 1

x y z

  .

C. 1 2 2

1 1 1

x y z

  . D. 1 2 2

1 1 1

x y z

  .

Câu 38. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y4z0, đường thẳng d: 1 1 3

2 1 1

x y z

 

 ^{và điểm} A(1;3;1) thuộc mặt phẳng ( )P . Gọi  là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng ( )P và cách đường thẳng d một khoảng cách lớn nhất. Gọi u( ; ;1)a b

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng . Giá trị của a2b là

A. 4. B. 0. C. 3. D. 7.

.

S ABC ABC A

SAB M

BC MC2MB SM AC

4 21

7 S AMC.

32 3 3

32 3

9 32 3 16 3

3

 



xcos



²



ycos



²



zcos



²4 với ,  và  lần lượt là ba góc tạo bởi tia Ot bất  kì với  3  tia Ox, Oy và Oz. Biết rằng mặt cầu 

 

^S  luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định. Tổng  diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng 

A. 36.  B. 4 .  C. 20 .  D. 40 . 

Lời giải  Chọn D

Cách 1:

Mặt cầu 

 

^S  có tâm là I



cos ; cos ; cos  



 và có bán kính là R2. 

Khi đó tâm I thuộc mặt cầu tâm ^O



^{0; 0; 0}



, bán kính R  cos²cos²cos² ; 



cos ; cos ; cos



OI     

Do   là góc tạo bởi tia Ot (có véc tơ chỉ phương là OI



) với tia Ox (có véc tơ chỉ phương là 



^{1; 0; 0}



i



)  2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos .1 cos .0 cos .0 cos

cos

cos cos cos . 1 0 0 cos cos cos

   



     

 

  

     

 

Tương tự, ta có: 

2 2 2

cos cos

cos cos cos

 

  



 

;  2 2 2

cos cos

cos cos cos

 

  



 

 

Câu 8. (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Trong  hệ  tọa  độ  Oxyz,  cho  mặt  cầu 



^S



^: 

2 2 2

2 2 2

2 2 2

cos cos cos

cos cos cos 1

cos cos cos

  

  

  

 

    

   ROI 1 

 

Gọi A và B là các giao điểm của OI với mặt cầu 

 

^{S  (giả sử OAOB) IAIB2} 

Mặt cầu 

 

^S  luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định là: 

Mặt cầu 

 

S1 , tâm O, bán kính R₁OA và mặt cầu 

 

S2 , tâm O, bán kính R₂OB  Ta có: R₁OAOI1; R₂ OIIB  1 2 3R₁R₂   1 3 4 

Diện tích của mặt cầu 

 

S1  là: 4R₁²4  Diện tích của mặt cầu 

 

S2  là: 4R₂² 36  

Vậy tổng diện tích của hai mặt cầu cố định bằng  4 36 40 .  Cách 2:

Mặt cầu 

 

^S  có tâm là I



cos ; cos ; cos  



 và có bán kính là R2. 

Khi đó tâm I  thuộc mặt cầu tâm ^O



^{0; 0; 0}



, bán kính R  cos²cos²cos²   Dựng hình hộp chữ nhật như hình vẽ dưới đây: 

  Ta có: cos OM

 OI ; cos OP

  OI ; cos OD

  OI

2 2 2

2 2 2

cos cos cos OM OP2 OD

   ^OI ^

     

Mà OM²OP²OD² OI²OI R cos²cos² cos² 1 

Như vậy khoảng cách từ O đến tâm I  của mặt cầu 

 

^S , bán kính 2 luôn bằng 1 nên luôn tồn tại  hai mặt cầu tâm O có bán kính lần lượt là R₁1 và R₂3 tiếp xúc với mặt cầu 

 

^S  

  Diện tích của mặt cầu 

 

S1  là: 4R₁² 4 

Diện tích của mặt cầu 

 

S2  là: 4R₂²36 

Vậy tổng diện tích của hai mặt cầu cố định bằng  436 40 . 

Câu 9. (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz,  cho  các  điểm ^A



^2;0;0



^, B



^{0;6; 0}



^, C



^0;0;5



 ^{và điểm N sao cho ON}   ^{OA OB OC}

. Một mặt phẳng 

 

^P  thay đổi cắt các đoạn OA, OB, OC, ON lần lượt tại các điểm  A₁, B₁, C₁,  N₁ thỏa mãn 

1 1 1

OA OB OC 2019

OA OB OC   và N x y z1



0; 0; 0



 khi đó: 

A. _{0 0 0} 11

x y z  2019. B. _{0 0 0} 18 x y z  2019. 

C. _{0 0 0} 13

x y z 2019.  D. _{0 0 0} 19 x y z  2019. 

Lời giải Chọn C

  Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:  2 6 5

3 3 3; ;

G 

 

 ^.  Theo giả thiết ONOA OB   OC 3OG

. Suy ra ba điểm O, G, Nthẳng hàng. 

Ta có:  ^{. 1 1 1 . 1 1 1 . 1 1 1 . 1 1 1}

. . . .

O A B C O A B N O A N C O N B C

O ABC O ABC O ABC O ABC

V V V V

V  V  V  V  

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

. 1

. .

. 3

O A OB OC OA OB ON OB OC ON OA OC ON O A OB OC OA OB OG OB OC OG OA OC OG

 

     

  

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

. 1 .

. . . . .

. 3 .

O A OB OC O A OB OC ON OC OB OA O A OB OC O A OB OC OG OC OB OA

 

     

 

 

1 1 1 1

1 2019

3 3

OG OC OB OA

ON OC OB OA

 

     

 

. 

Suy ra:  ₁ 3 ON2019OG

0

0

0

2 2019

6 2019

5 2019 x

y z

 





 



 



0 0 0

2 6 5 13

2019 2019 2019 2019 x y z

       . 

Câu 10. (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt  cầu 

 

^{S :x2y2z22x4y6z130}  và  đường  thẳng  1 2 1

: 1 1 1

x y z

d   

  .  Điểm 



^{; ;}



M a b c  



^a0



  nằm  trên  đường  thẳng d  sao  cho  từ M   kẻ  được  ba  tiếp  tuyến MA,  MB,  MC  đến  mặt  cầu 

 

^{S   (  A,  B,  C}  là  các  tiếp  điểm  )  thỏa  mãn  AMB60,  BMC90  và 

 120

CMA . Tính Qa b c 

A. Q1.  B. Q2.  C. 10

Q 3 .  D. Q3.  Lời giải

Chọn B

  Theo tính chất của tiếp tuyến ta có: MAMBMCm. 

+) AMB60, suy ra AMB đều ABm. 

+) BMC90, suy ra CMB vuông cân tại M BCm 2.  +) CMA120, từ tam giác AMC ta có: 

2 2 2 2 2 1 2

2. . .cos120 2 2 3

AC MA MC MA MC m m  2 m

       

 

3

AC m

  . 

Suy ra: AB²AC²m²2m²3m²  AC² hay tam giác ABC vuông tại B.  Mặt cầu 

 

^{S  có tâm I}



^{1; 2; 3}



, bán kính R3 3. 

Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BAC, ta có:, J là trung điểm của  AC.  Ba điểm  , ,

I J M  thẳng hàng. 

Theo tính chất tiếp tuyến ta cũng có:IAM ICM90, suy ra: 

TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

IAM ICM AICM

S_ S_ S 1 1 1

. . .

2IA AM 2IC CM 2IM AC

    

3 3.m 3 3.m IM m. 3

   IM 6. 

Đường thẳng d có dạng tham số: 

1

: 2

1

x t

d y t

z t

  



  



  



; Md ^M



^{   1 t; 2 t;1t}



^. 

 

²

 

²

 

²

6 2 4 4 36

IM   t  t  t  3t²4t0

0 4 3 t t

 



  . 

Ta được: ^M



^{ 1; 2;1}



 ^{hoặc  1; 2 7;}

3 3 3

M 

  

 .  Với ^{M a b c}



^{; ;}



 



^a0



^{, suy ra:  1; 2 7;}

3 3 3

M 

  

 . Vậy  1 2 7

3 3 3 2 a  b c    . 

Câu 11. (Sở Đồng Tháp 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho véc tơ ^a



^{1; 1; 0}



 và hai điểm 



^{4; 7;3 ,}

 

^{4; 4;5}



A  B .  Hai  điểm  M N,   thay  đổi  thuộc  mặt  phẳng 



^Oxy



  sao  cho  MN



  cùng  hướng với a



 và MN 5 2. Giá trị lớn nhất của  AM BN  bằng 

A. 17 . B. 77 . C. 7 23. D. 825. 

Lời giải Chọn A

Vì  MN

  cùng  hướng  với  a

  nên  tồn  tại  số  thực  k 0  sao  cho  MN k a

 

. MN k a

  

5 5

k k

     

Gọi ^{K x y z}



^{; ;}



 ^{thỏa mãn  AK MN} 

AK MN

  4 5 1

7 5 2

3 0 3

x x

y y

z z

  

 

 

     

    

 



^{1; 2;3}



K

  K và B nằm cùng phía đối với 



^Oxy



 

17 AM BN KN BN KB

       

Dấu '''' xảy ra  K N B, ,  thẳng hàng. 

Vậy giá trị lớn nhất của  AM BN  bằng  17 . 

Câu 12. (Sở Đồng Tháp 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi ^{I a b c}



^{; ;}



 là tâm mặt cầu đi qua  điểm ^A



^{1; 1; 4}



 và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính Pa b c có tập nghiệm là A. P6. B. P0. 

C. P9. D. P3. 

Lời giải Chọn C

Gọi mặt cầu có tâm ^{I a b c}



^{; ;}



, bán kính , khi đó ta có pt 



^xa



^2



^{y b}



^2



^zc



^22 



^{5; 5; 0}



MN

 

Từ giả thiết ta có 



¹



²



¹



²



⁴



^{2 2}

a b c

a b c

   



      





   TH1: abc, ^



^1a



^2



^1a



^2



^4a



^2a2 

2 4 9 0

a a

    , pt vô nghiệm 

TH2: a  b c, ^



^1a



^{2  }



^{1 a}



^2



^4a



^2a2 

2 6 9 0 3 3; 3 9

a a a b c P

             

TH3: ab c, ^



^1a



^2



^1a



^2



^4a



^{2 a2 a24a 9 0} 

pt vô nghiệm 

TH4: a   b c, ^



^1a



^{2  }



^{1 a}



^2



^4a



^{2 a2} 

2 2 9 0

a a

    , pt vô nghiệm  Vậy P9. 

Câu 13. (Sở Đồng Tháp 2021) Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz,  cho  ^A



^{2; 2; 2}



^; B



^{2; 2;0}



  ^và 



^{4;1; 1}



C  . Trên mặt phẳng 



^Oxz



, điểm nào dưới đây cách đều ba điểm A; B; C?

A. 3 1

4; 0; 2

P 

  

 

. B. 3 1

4; 0;2

M 

 

 

. C. 3 1

4; 0;2

Q 

 

 

. D. 3 1

4; 0; 2

N 

 

 

 

.  Lời giải

Chọn A

Ta có: ^{AB }



^{4; 0; 2}



^{; AC}



^{2; 1; 3 }



 

Trung điểm của AB; AC lần lượt là ^I



^{0; 2;1}



 ^{và  3; ;3 1}

J 2 2

 

 . 

Gọi 

 

^{ ;} 

 

^  lần lượt là mặt phẳng trung trực của AB và AC 

 

^{ AB;} 

 

^{ AC} 



 

^{  đi qua I}



^{0; 2;1}



 và có một vector pháp tuyến n1



2; 0;1



; 

 

^{  đi qua  3; ;3 1}

J 2 2

 

  và có  một vector pháp tuyến n1



2; 1; 3 



. 

Phương trình 

 

^{ ;} 

 

^  lần lượt là 2x  z 1 0 và  2xy3z 3 0. 

Điểm K thuộc mặt phẳng 



^Oxz



 cách đều ba điểm A; B; C nằm trên trục của đường tròn ngoại  tiếp tam giác ABCĐiểm K cũng thuộc hai mặt phẳng 

 

^{  và} 

 

^  

Tọa độ điểm K thỏa mãn hệ: 

2 1 0

2 3 3 0

0 x z x y z y

  



   



 

 3 4 0 1 2 x y z

 



 





  



 3 1

4; 0; 2

K P 

   

 

. 

Câu 14. (Sở Đồng Tháp 2021) Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz,  cho  ba  điểm  ^A



^{1;1; 2}



^; 



^{1;0; 4}



B  ; ^C



^{0; 1;3}



  và  điểm M   thuộc  mặt  cầu 

 

^{S :  x2y2}



^z1



^21.  Nếu  biểu  thức 

2 2 2

MA MB MC  đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn AM  bằng:

A. 2 . B. 6. C. 2. D. 6 . 

Lời giải Chọn C

Mặt cầu 

 

^{S  có tâm I}



^{0; 0;1}



, bán kính R1. 

Trọng tâm của tam giác ABC là điểm ^G



^{0; 0;3}



^{IG 2 2RG} nằm ngoài mặt cầu 

 

^S  

Ta có: ^{MA2MB2MC2 MA2MB2MC2}



^{MG GA }

 

^{2 MG GB }

 

^{2 MG GC }



² 

 

2 2 2 2 2 2 2 2

3MG GA GB GC 2MG GA GB. GC 3MG GA GB GC

           

       

 

Do đó MA²MB²MC² nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất. Khi đó M  là giao điểm của mặt cầu 

 

^S  

và đoạn thẳng IG. 

Mà IG2R nên M là trung điểm đoạn IG^M



^{0;0; 2}



 

Vậy ^AM



^{1 0}



^2



^{1 0}



^2



^{2 2}



^{2  2.} 

Câu 15. (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - 2021) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C. ' ' ' _có  tất cả các cạnh bẳng nha

 

^{C AB'}

 

^{; BCC B' '}

 

^{, giá trị tan bằng} 

A. 6 .  B. 2.  C. 6

2 ^{.  D.}

2 3 3 .  Lời giải

Chọn A

 Giả sử lăng trụ tam giác đều ABC A B C. ' ' ' có tất cả các cạnh bằng 1. 

 Chọn hệ trục Oxyz, với O là trung điểm AC, BOx, COy. 

 Ta có  1 0; ; 0 A 2 

  

 ,  3

; 0; 0 B 2 

 

 

 

,  1

0; ; 0 C 2 

 

 ,  3

; 0;1 B 2 

 

 

 

,  1

' 0; ;1 C  2 

 

 .  3 1; ; 0

2 2

AB  

  

 



,  3 1

' ; ;1

2 2

BC  

  

 



, CC'



0;0;1



 

 Mặt phẳng 



^{C AB'}



 có vectơ pháp tuyến  ₁ 1 3 3

, ' ; ;

2 2 2

n AB BC  

 

   

 

  

. 

Mặt phẳng 



BCC B' '



 có vectơ pháp tuyến  ₂ 1 3

', ' ; ; 0

2 2

n BC CC  

 

   

 

  

. 

 Ta có  ^{1 2}

1 2

1 1 3 3 3

. . .0

. 2 2 2 2 2 7

cos . 1 3 3 1 3 7

. 0

4 4 4 4 4

n n n n

 

   

 

  

   

 

 

 . 

 Ta lại có  ² 1₂ 1 tan

  cos

  ^{2 2}

1 1

tan 1 1 6

cos 7

7

     

 

 

 

  ^. 

Câu 16. (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - 2021) Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz,  cho  hình  thang  ABCD có hai đáy AB , CD; có tọa độ ba đỉnh ^A



^{1; 2;1}



^, B



^{2;0; 1}



^, C



^6;1;0



. Biết hình thang  có diện tích bằng 6 2. Giả sử đỉnh ^{D a b c}



^{; ;}



, tìm mệnh đề đúng? 

A. a b c  6.  B. a b c  5.  C. a b c  8.  D. a b c  7.  Lời giải

Chọn C

 ^{AB}



^{1; 2; 2 }



^{, DC}



^{6a;1b;c}



^{, AC}



^{5; 1; 1 }



 

 Vì ABCD là hình thang nên AB

 và DC

 cùng hướng   k 0 :DCk AB

 

 

6 6

1 2 1 2 6 ;1 2 ; 2

2 2

a k a k

b k b k D k k k

c k c k

   

 

 

         

    

 

 

  ^,



^{0; 9;9}



^{1. , 1.}



⁹



^{2 92 9 2}

2 2 2

AB AC S_ABC AB AC

          

   

   

. 

 ^{AD}



^{5k; 2k1; 2k1}



^, 

 

^{1 1}

 

²

 

^{2 9 2}

, 0;9 ; 9 . , . 9 9

2 2 2

ADC

AD AC k k S_ AD AC k k k

          

   

   

 

  ^{9 2}



¹



^{6 2 1 4 1}

2 3 3

ABCD ABC ADC

S S_ S_  k   k  k  . 

 Vậy  17 5 2 17 5 2

; ; 8

3 3 3 3

D  a b c  

    

 

 

. 

Câu 17. (THPT Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2021) Trong  không  gian  Oxyz,  cho  đường  thẳng 

: 1 1 2

2 1

x y z

d  

 

   và  mặt  phẳng 

 

^{P :x   y z 3 0}.  Đường  thẳng d  là  hình  chiếu  vuông  góc của đường thẳng d trên mặt phẳng 

 

^P . Đường thẳng dđi qua điểm nào sau đây? 

A. ^K



^3;1;7



^{.  B. M}



^3;1;5



^{.  C. N}



^{3; 1;7}



^{.  D. I}



^{ 2; 1; 2}



^. 

Lời giải

Chọn C

 Ta có: ud 



^{2; 1;1}



, n_{ }P 



^{1; 1; 1} 





. 

 Gọi 

 

^Q  là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng 

 

^{P :} 

Mặt phẳng 

 

^Q  có một vtpt là: n_{ }Q u nd^; _{ }P  



^{2;3; 1}



  

 

 Đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng 

 

^Q  và mặt phẳng 

 

^{P :} 

Đường thẳng d có một vtcp là: ud_ n_{ }P^;n_{ }Q  



^{4; 1;5}



  

 

Gọi E là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng 

 

^P . Tọa độ của E là nghiệm của hệ: 

1

2 1

2

1 1

3 0

x y

y z x y z

 

  

 

 





   





 ⇔ 

2     1        2

3 x y

y z x y z

  



 



    



 ⇔ 

1 0 2 x y z

  

 



 

 ⇒ ^E



^{1; 0; 2}



^. 

Phương trình tham số của đường thẳng d là: 

1 4 :

2 5

x t

d y t

z t

  



   

  



. 

Với t1 ⇒ ^N



^{3; 1; 7}



^d. 

Câu 18. (Bắc Ninh - 2021) Trong không gian Oxyzcho mặt phẳng 

 

^{P :x2y2z 5 0}. Xét mặt phẳng 

 

^{Q :x}



^2m1



^{z 7 0, với m} là tham số thực. Tìm tất cả các giá của mđể mặt phẳng 

 

^{P tạo} 

với mặt phẳng 

 

^{Q một góc} 

4

.

A. 2

2 2 m

m

 

  



. B. 4

2 m m

 

 



. C. 1

4 m m

 

 



. D. 1

2 m m

 

  



.  Lời giải

Chọn C

Ta có vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 

 

^{P là n1}



^{1; 2; 2}



^. 

vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 

 

^{Q là n2 }



^{1; 0; 2m1}



^. 

   

   

 

²

2 2 2 1 2

1.1 2.0 2 2 1 2

cos , cos

4 1 ( 2) 2 . 1 0 2 1 2

P Q m

m

  

  

     

 

2 2 2

2 4m 1 3 2 4m 4m 2 64m 32m 4 72m 72m 36

            

2 1

8 40 32 0

4 m m m

m

 

       . 

Câu 19. (Bắc Ninh - 2021) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm  ^A



^1;0;1



^, B



^{1;1; 1}



^, 



^{5;0; 2}



C  . Tìm tọa độ điểm H sao cho tứ giác ABCH  theo thứ tự đĩ lập thành hình thang cân  với hai đáy AB CH,

A. ^H



^{1; 2; 2}



^{. B. H}



^{3; 1;0}



^{. C. H}



^{ 1; 3; 4}



^{. D. H}



^{7;1; 4}



^. 

Lời giải Chọn C

Gọi ^{H x y z}



^{; ;}



^{. Ta cĩ BA  }



^{2; 1; 2 ,}



^{CH}



^{x5; ;y z2}



 

Tứ  giác  ABCH  theo  thứ  tự  đĩ  lập  thành  hình  thang  cân  với  hai  đáy  AB CH,  

 

^{2 2}

 

²

2 2

, , 0, 1 2 5, , 2 2, 0, 1

1 1 18

BA CH

x k y k z k k k

CH k BA k k AB CH

x y z

AH BC AH BC

              

  

  

  

    

  

   



 

 

cïøng hư ớng

   

 

2 2 2

2 5, , 2 2, 0, 1

2 5, , 2 2, 0, 1

3

2 6 2 3 18

1

x k y k z k k k

x k y k z k k k

k

k k k

k

        

         

 

 

  

      

 

   loại

 

1 3 4 x y z

  

  

   

Vậy ^H



^{ 1; 3; 4}



^. 

Câu 20. (Bắc Ninh - 2021) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ^A



^{1;1;1 ;}



^B



^{2; 0;1}



 ^và mặt 

phẳng 

 

^{P :x y2z20}.  Viết  phương  trình  chính  tắc  của  đường  thẳng d  đi  qua  A,  song  song với mặt phẳng 

 

^P  sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn nhất 

A. 2 2

: 1 1 1

x y z

d  

 

 ^{. B.}

1 1 1

: 3 1 1

x y z

d   

 

  ^.

C. 2

:2 2 2

x y z

d 

 

 ^{. D.}

1 1 1

: 3 1 2

x y z

d   

 

 ^.  Lời giải Chọn A

  Gọi mặt phẳng 

 

^Q  là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng 

 

^{P .} 

Phương trình mp

 

^{P : (x1) ( y1)2(z1)0.} 

Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng d. 

Ta có ^{d B d}



^,



^{BK BA}, nên khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn nhất bằng BA.  Khi đó đường thẳng d  qua A, nằm trong mặt phẳng 

 

^Q  và vuông góc với BA. 

Ta có nQ 



^{1;1; 2 ;}