CHƯƠNG 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC 1
1 VEC - TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1
1 Các định nghĩa 1
2 Các quy tắc tính toán với véc-tơ 1
3 Một số hệ thức véc-tơ trọng tâm, cần nhớ 2
4 Điều kiện đồng phẳng của ba véc-tơ 2
5 Phân tích một véc-tơ theo ba véc-tơ không đồng phẳng 2
6 Tích vô hướng của hai véc-tơ 2
B Các dạng toán 3
Dạng 1. Xác định véc-tơ và các khái niệm có liên quan 3
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véc-tơ 3
Dạng 3. Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ 4
Dạng 4. Tích vô hướng của hai véc-tơ 6
Dạng 5. Chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng 6
Dạng 6. Phân tích một véc-tơ theo 3 véc-tơ không đồng phẳng cho trước 7 Dạng 7. Ứng dụng véc-tơ chứng minh bài toán hình học 7
C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 9
1 ĐÁP ÁN 17
2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 19
A TÓM TẮT LÝ LÝ THUYẾT 19
1 Tích vô hướng của hai véc-tơ trong không gian 19
2 Góc giữa hai đường thẳng 19
B CÁC DẠNG TOÁN 20
Dạng 2. Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian 21 Dạng 3. Sử dụng tính chất vuông góc trong mặt phẳng. 22 Dạng 4. Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba 23
C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 24
1 ĐÁP ÁN 42
3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 43
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 43
1 Định nghĩa 43
2 Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 43
3 Tính chất 43
4 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng 44
5 Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc 45
B CÁC DẠNG TOÁN 45
Dạng 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 45
Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 47
Dạng 3. Xác định thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm
và vuông góc với một đường thẳng cho trước 49
C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 50
1 ĐÁP ÁN 83
4 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 85
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 85
1 Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng 85
2 Cách xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau 85
3 Diện tích hình chiếu của một đa giác 85
4 Hai mặt phẳng vuông góc 85
5 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương 86
Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
B CÁC DẠNG TOÁN 86
Dạng 1. Tìm góc giữa hai mặt phẳng 86
Dạng 2. Tính diện tích hình chiếu của đa giác 88
Dạng 3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 88
Dạng 4. Thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng 90
C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 91
5 KHOẢNG CÁCH 125
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 125
1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 125
2 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng 125
3 Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song 125
4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 125
5 Đường thẳng vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 126
B CÁC DẠNG TOÁN 126
Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng 126 Dạng 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 127 Dạng 3. Khoảng cách giữa đường và mặt song song - Khoảng cách giữa hai mặt song
song 128
Dạng 4. Đoạn vuông góc chung - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 130
C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 132
1 ĐÁP ÁN 186
D ÔN TẬP CHƯƠNG III 187
1 ĐÁP ÁN 191
3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC
BÀI 1. VEC - TƠ TRONG KHÔNG GIAN
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA
1 Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu và điểm cuối).
2 Véc-tơ - không là véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Ký hiệu #»0. 3 Ký hiệu véc-tơ: # »
AB (điểm đầu làA, điểm cuối là B) hay #»a ,#»
b ,#»x ,#»y , . . . 4 Độ dài của véc-tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của véc-tơ đó.
Độ dài của # »
AB ký hiệu là |AB|, độ dài của# » #»a ký hiệu là |#»a|.
5 Giá của véc-tơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véc-tơ đó.
6 Hai véc-tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
7 Hai véc-tơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.
8 Hai véc-tơ bằng nhau là hai véc-tơ cùng hướng và có cùng độ dài.
Tức là #»a = #»
b ⇔
(#»a , #»
b cùng hướng
|#»a|=|#»
b|.
9 Hai véc-tơ đối nhau là hai véc-tơ ngược hướng nhưng vẫn có cùng độ dài.
10 Các phép toán cộng, trừ, nhân véc-tơ với một số được định nghĩa tương tự trong mặt phẳng.
2 CÁC QUY TẮC TÍNH TOÁN VỚI VÉC-TƠ
1 Quy tắc ba điểm (với phép cộng): # »
AB+# »
BC = # »
AC.
2 Quy tắc ba điểm (với phép trừ): # »
OB− # »
OA= # »
AB.
3 Quy tắc ba điểm (mở rộng): # »
AX1+# »
X1X2+ # »
X2X3+· · ·+# »
Xn−1Xn+# » XnB = # »
AB.
4 Quy tắc hình bình hành:
(a) # »
AB+# »
AD= # »
AC. (b) # »
AB+# »
AD= 2# » AE
trong đó ABCD là hình bình hành và E là trung điểm của BD.
5 Quy tắc hình hộp:
# »
AB+ # »
AD+# »
AA0= # » AC0 trong đóABCD.A0B0C0D0 là một hình hộp.
A0
B0 C0
D0 A
B C
D
3 MỘT SỐ HỆ THỨC VÉC-TƠ TRỌNG TÂM, CẦN NHỚ
1 I là trung điểm của đoạn thẳngAB ⇔ # » IA+# »
IB = #»
0 ⇔ # »
OA+# »
OB = 2# » OI (với O là một điểm bất kỳ).
2 G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔ # »
GA+ # »
GB + # »
GC = #»
0 ⇔ # »
OA+ # »
OB + # »
OC = 3# »
OG
⇔ # » AG= 2
3
# »
AM (với O là một điểm bất kỳ, M là trung điểm cạnh BC).
3 Glà trọng tâm của tứ diện ABCD ⇔ # »
GA+ # »
GB+# »
GC+ # »
GD= #»
0
⇔OA# »+OB# »+OC# »+OD# »= 4OG# »⇔AG# »= 3 4
# » AA0 (với điểm O bất kỳ,A0 là trọng tâm của4BCD)
⇔ # »
GM+# »
GN = #»0 (với M, N là trung điểm 1 cặp cạnh đối diện).
4 #»a và #»
b 6= #»
0 cùng phương⇔ ∃k∈R: #»a =k·#»
b. 5 #»a và #»
b 6= #»
0 cùng hướng⇔ ∃k∈R+: #»a =k·#»
b. 6 #»a và #»
b 6= #»0 ngược hướng ⇔ ∃k∈R− : #»a =k·#»
b. 7 Ba điểmA, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k∈R: # »
AB=k·# » AC. 4 ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉC-TƠ
Định nghĩa 1. Trong không gian, ba véc-tơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.
Hệ quả 1. Nếu có một mặt phẳng chứa véc-tơ này đồng thời song song với giá của hai véc-tơ kia thì ba véc-tơ đó đồng phẳng.
Định lí 1. (Điều kiện để ba véc-tơ đồng phẳng) Trong không gian cho hai véc-tơ #»a và #»
b không cùng phương và véc-tơ #»c. Khi đó #»a ,#»
b và #»c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số(m;n) sao cho
#»c =m#»a +n#»
b (cặp số (m;n) nêu trên là duy nhất).
4
! Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng ⇔ # » AB,# »AC,# »
AD đồng phẳng ⇔ # »
AB=m# »
AC+n# » AD.
5 PHÂN TÍCH MỘT VÉC-TƠ THEO BA VÉC-TƠ KHÔNG ĐỒNG PHẲNG
Định lí 2.
Cho ba véc-tơ #»a ,#»
b và #»c không đồng phẳng. Với mọi véc-tơ #»x, ta đều tìm được duy nhất một bộ số (m;n;p) sao cho #»x =m#»a +n#»
b +p#»c.
#»a #»
b
#»c
#»x
6 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ
Định nghĩa 2.
1 Nếu #»a 6= #»0 và #»
b 6= #»0 thì #»a ·#»
b =|#»a| ·
#»b
·cos(#»a ,#»
b) 2 Nếu #»a = #»0 hoặc #»
b = #»0 thì #»a ·#»
b = 0.
3 Bình phương vô hướng của một véc-tơ: #»a2=|#»a|2.
4
! Một số ứng dụng của tích vô hướng 1 Nếu #»a 6= #»0 và #»
b 6= #»
0 ta có #»a ⊥ #»
b ⇔ #»a ·#»
b = 0.
2 Công thức tính cô-sin của góc hợp bởi hai véc-tơ khác #»
0: cos(#»a ,#»
b) =
#»a ·#»
b
|#»a| ·
#»b .
3 Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng: AB=
# » AB
=p# »
AB2.
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Xác định véc-tơ và các khái niệm có liên quan
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa của các khái niệm liên quan đến véc-tơ (xem mục 1) Dựa vào tính chất hình học của các hình hình học cụ thể.
Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Hãy xác định các véc-tơ (khác #»0) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộpABCD.A0B0C0D0 và
a) cùng phương với # »
AB; b) cùng phương # »
AA0. -Lời giải.
a) Các véc-tơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp cùng phương với # » AB là
# » BA;# »
CD;# » DC;# »
A0B0;# » B0A0;# »
C0D0;# » D0C0
b) Các véc-tơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp cùng phương với # » AA0 là
# » AA0;# »
A0A;# » BB0;# »
B0B;# » CC0;# »
C0C;# » DD0;# »
D0D .
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0. GọiO, O0 lần lượt là các giao điểm của hai đường chéo của hai đáy. Hãy xác định các véc-tơ (khác #»0) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 sao cho
a) bằng # »
OO0. b) bằng # »
AO.
-Lời giải.
a) Ta có # »
OO0 = # »
AA0 = # »
BB0 = # »
CC0 = # » DD0. b) Ta có Các véc-tơ thỏa mãn là: # »
AO= # » A0O0 = # »
OC = # » O0C0.
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véc-tơ
Phương pháp giải:
Để chứng minh đẳng thức véc-tơ ta thường sử dụng:
Qui tắc cộng, qui tắc trừ ba điểm, qui tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp.
Tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác, tích một số với một véc-tơ... Để biến đổi vế này thành vế kia.
Ví dụ 1. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:
# »
AB+# »
CD= # »
AD+# »
CB -Lời giải.
T ac:AB# »+CD# »=AD# »+DB# »+CB# »+BD# »=AD# »+CB# »+DB# »+BD# »
= # »
AD+# »
CB+ #»0 = # »
AD+# »
CB
Ví dụ 2. Cho tứ diện A, B, C, D. GọiI, J lần lượt là trung điểm củaAB, CD.
a) Chứng minh rằng: # » IJ = 1
2 Ä# »
AD+# »
BCä
b) ChoGlà trung điểm củaI, J. Chứng minh rằng:4# »
M G= # » M A+# »
M B+# »
M C+# »
M D, với mọi điểm M trong không gian.
-Lời giải.
a) Chứng minh rằng: # » IJ = 1
2 Ä# »
AD+# »
BCä Ta có # »
IJ= # » IA+# »
AD+# »
DJ và # » IJ = # »
IB+ # »
BC+ # »
CJ Suy ra2# »
IJ = # » IA+# »
AD+# »
DJ+ # » IB+# »
BC+# »
CJ =Ä# » IA+# »
IBä
+Ä# »
AD+# »
BCä
+Ä# »
DJ+# »
CJä
= #»0 +ÄAD# »+BC# »ä
+#»0 =AD# »+BC# »
b) Cho G là trung điểm của I, J. Chứng minh rằng: 4# »
M G= # »
M A+# »
M B+ # »
M C +# »
M D, với mọi điểm M trong không gian.
Tacó # » M A+# »
M B+# » M C+# »
M D = 4# »
M G+# »
GA+# »
GB+# » GC+# »
GD= 4# » M G+2# »
GI+2# »
GJ = 4# » M G+2#»
0 = 4# » M G (Vì I là trung điểm của AB, J là trung điểm của CD,Glà trung điểm của IJ)
Dạng 3. Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ
Phương pháp giải:
Dựa vào các yếu tố cố định như điểm và véc-tơ.
Các bước thực hành giải toán:
1. Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho trước về dạng: # » OM = #»v. Trong đó: Điểm O và véc-tơ #»v đã biết.
2. Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một véc-tơ bằng véc-tơ #»v, khi đó điểm ngọn của véc-tơ này chính là M.
Ứng dụng tính chất tâm tỉ cự của hệ điểm
Với các điểmA1, A2,· · ·, An và các số α1, α2,· · ·, αn thỏa mãn điều kiện
n
X
i=1
ai 6= 0.
Tồn tại duy nhất điểm M sao cho:
n
X
i=1
αi# » M Ai = #»
0.
Điểm M như vậy gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm {A1, A2,· · ·, An} với các hệ số tương ứng là {α1, α2,· · ·, αn}.
Trong trường hợpαi=αj ∀i, j điểm M gọi là trọng tâm của hệ điểm {A1, A2,· · · , An}.
Một số kết quả thường sử dụng
Với A, B, C là các điểm cố định, #»v là véc-tơ đã biết.
1 # » M A+# »
M B= #»0 ⇒M là trung điểm AB.
2 Nếu A, B, C không thẳng hàng thì # »
M A+ # »
M B+ # »
M C = #»0 ⇒ M là trọng tâm tam giác ABC.
3 Tập hợp điểm M thỏa mãn
# » M A =
# » M B
là mặt phẳng trung trực của AB.
4 Tập hợp điểm M thỏa mãn
# » M C =k
# » AB
là mặt cầu tâm C bán kính bằngk.AB. Ví dụ 1.# » Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Xác định vị trí của điểm O sao cho:
OA+# »
OB+# »
OC+# »
OD+# »
OA1+# »
OB1+# »
OC1+# » OD1 = #»0. -Lời giải.
GọiG, G0 là giao điểm các đường chéo củaABCD vàA1B1C1D1. Khi đó ta có:# »
OA+OB# »+OC# »+OD# »+OA# »1+OB# »1+OC# »1+OD# »1
=GA# »+GB# »+GC# »+GD# »+# » G0A1+
# »
G0B1+# »
G0C1+# »
G0D1+ 4(GO# »+# » G0O)
= 4(# » GO+# »
G0O) = #»0
Suy raO là trung điểm GG0.
A B
D C
A1 B1
C1 D1
G G0
O
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Xác định các điểmI, H, G thỏa mãn
1 # » AI = # »
AB+ # »
AC+# »
AD.
2 # »
AH= # »
AB+# »
AC−# »
AD.
3 # »
GA+ # »
GB+# »
GC+# »
GD= #»
0. -Lời giải.
1 Ta có: # » AI = # »
AB+# »
AC+# »
AD.
Mà(AB# »+AC) +# » AD# »=AG# »+AD# »vớiGlà đỉnh còn lại của hình bình
hành ABGC vì # »
AG= # »
AB+# »
AC. Vậy # »
AI = # »
AG+# »
ADvới I là đỉnh còn lại của hình bình hành AGID.
Do đó AI là đường chéo của hình hộp có ba cạnh làAB, AC, AD.
2 Ta có: # »
AH = # »
AB+ # »
AC−# »
AD.
Mà(# »
AB+# »
AC)− # »
AD= # »
AG−# »
AD= # »
DG.
Vậy # »
AH = # »
DG nên F là đỉnh còn lại của hình bình hànhADGH. 3 Ta có: # »
GA+# »
GB+# »
GC+# »
GD= 4# »
GP+# »
P D = #»
0 ⇒ # »
P D= 4# » P GvớiP là trọng tâm tam giác ABC ⇒G là điểm nằm trên đoạn thẳng DP sao choP D = 4P G.
ĐiểmGthỏa mãn đẳng thức trên gọi là trọng tâm tứ diện.
D
I
A C
B G
H
P
Ví dụ 3. Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng, tìm tập hợp các điểm M sao cho:
# » M A+# »
M B+# » M C =
2# »
M A−# »
M B− # » M C . -Lời giải.
GọiGlà trọng tâm 4ABC, ta biến đổi đẳng thức về dạng:
3# »
M G =
3# »
M A−3# » M G ⇔
# » M G =
# » GA
⇒M thuộc mặt cầu tâmG, bán kính GA cố định.
Dạng 4. Tích vô hướng của hai véc-tơ Phương pháp giải:
dựa vào định nghĩa và tính chất của tích vô hướng (xem mục 6), các quy tắc tính toán véc-tơ (xem mục 2) và các hệ thức véc-tơ trọng tâm (xem mục 3) để giải toán.
Ví dụ 1. Cho hai véc-tơ #»a và #»
b. Chứng minh rằng: #»a .#»
b = 1 4(
#»a+ #»
b
2−
#»a −#»
b
2
)
-Lời giải.
Ta có:V P = 1 4(
#»a +#»
b
2−
#»a −#»
b
2) = 1
4((#»a +#»
b)2−(#»a −#»
b)2).= 1
4(#»a2+#»
b2+2#»a .#»
b−(#»a2+#»
b2−2#»a .#»
b)) =
#»a .#»
b =V T
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằnga. TínhÄ# »
AB+# »
ADä .# »
B0D0. -Lời giải.
Ta có:Ä# »
AB+# »
ADä .# »
B0D0 = # » AC.# »
B0D0 = 0 (vìAC⊥B0D0 ⇒ # » AC.# »
B0D0 = 0)
Ví dụ 3. Cho |#»a|= 2,
#»b
= 3,(#»a ,#»
b) = 120◦. Tính
#»a+#»
b và
#»a−#»
b
-Lời giải.
Ta có:
#»a +#»
b
2
=Ä#»a +#»
bä2
=|#»a|2+
#»b
2
+ 2#»a .#»
b =|#»a|2+
#»b
2
+ 2|#»a|.
#»b
.cosÄ#»a ,#»
bä .⇒
#»a +#»
b
2
= 22+ 32+ 2.2.3.cos 120◦ = 7⇒
#»a +#»
b =√
7.
Ta có:
#»a −#»
b
2
=Ä#»a −#»
bä2
=|#»a|2+
#»b
2−2#»a .#»
b =|#»a|2+
#»b
2−2|#»a|.
#»b
.cosÄ#»a ,#»
bä .⇒
#»a +#»
b
2
= 22+ 32−2.2.3.cos 120◦ = 19⇒
#»a +#»
b =√
19
Ví dụ 4. Cho |#»a|= 3,
#»b
= 4,#»a .#»
b =−6. Tính góc hợp bởi hai véc-tơ #»a và #»
b. -Lời giải.
Ta có #»a .#»
b =|#»a|.
#»b
.cosÄ#»a ,#»
bä
⇔cosÄ#»a ,#»
bä
=
#»a .#»
b
|#»a|.
#»b
= −6 3.4 =−1
2. Vậy góc hợp bởi hai véc-tơ #»a và #»
b là120◦
Dạng 5. Chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng Phương pháp giải:
Để chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong hai cách:
Chứng minh các giá của ba véc-tơ cùng song song với một mặt phẳng.
Dựa vào điều kiện để ba véc-tơ đồng phẳng : Nếu cóm, n∈R: #»c =m#»a +n#»
b thì #»a ,#»
b ,#»c đồng phẳng.
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rẳng 3 véc-tơ # »
BC,# » AD,# »
M N đồng phẳng.
-Lời giải.
%
GọiP, Qlần lượt là trung điểm của AC, BD.
Ta có
P N kM Q P N =M Q= 1
2AD ⇒M N P Q là hình bình hành.
Mặt khác (M N P Q) chứa đường thẳng M N và song song với các đường thẳngAD vàBC.
⇒ba đường thẳngM N, AD, BCcùng song song với một mặt phẳng.
Do đó 3 véc-tơ # » BC,# »
AD,# »
M N đồng phẳng.
Q
C
B D
N A
P M
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho # »
M S=−2# »
M A và trên đoạn BC lấy điểmN sao cho # » N B=−1
2
# »
N C. Chứng minh rằng ba véc-tơ # »
AB,# » M N ,# »
SC đồng phẳng.
-Lời giải.
Ta có : # »
M N = # » M A+# »
AB+# »
BN ⇒2# »
M N = 2# »
M A+ 2# »
AB+ 2# » BN (1) Mặt khác : # »
M N = # »
M S+# »
SC+# »
CN =−2# »
M A+ # »
SC+ 2# » N B (2) Cộng vế theo vế, ta được : 3# »
M N = # »
SC+ 2# »
AB hay # » M N = 1
3
# » SC+2
3
# » AB.
Vậy :# » AB,# »
M N ,# »
SC đồng phẳng.
Dạng 6. Phân tích một véc-tơ theo 3 véc-tơ không đồng phẳng cho trước Phương pháp giải:
Để phân tích một véc-tơ #»x theo ba véc-tơ #»a ,#»
b ,#»c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho
#»x =m#»a +n#»
b +p#»c.
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. GọiM là trung điểm của CD, I là trung điểm của BM. Đặt # » AB=
#»b ,# » AC= #»
b và # »
AD= #»c. hãy phân tích véc-tơ # »
AI theo 3 véc-tơ #»a ,#»
b ,#»c. -Lời giải.
Ta có2# » AI = # »
AB+# »
AM = # »
AB+
# »
AC+# »
AD
2 = #»a+
#»b +#»c 2 . VậyAI# »= 1
2
#»a + +1 4
#»b +1 4
#»c.
Dạng 7. Ứng dụng véc-tơ chứng minh bài toán hình học
Phương pháp giải:
Chọn3 véc-tơ không đồng phẳng làm cơ sở.
Biểu diễn các véc-tơ cần tính toán về hệ 3 véc-tơ cơ sở.
Dựa vào hệ thức biểu diễn ở trên ta tìm mối quan hệ giữa các véc-tơ cần xét.
Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhậtABCD.A0B0C0D0. Gọi G là trọng tâm tam giácA0BD. Chứng minh rằngA, G, C0 thẳng hàng.
-Lời giải.
Đặt # »
AA0 = #»a ,# » AB= #»
b ,# »
AD= #»c. Khi đó # »
AC0 = #»a +#»
b +#»c
# » AG= # »
AA0+# » A0G= # »
AA0+1 3(# »
A0D+# » A0B) = 1
3(#»a +#»
b +#»c)
Suy ra # » AG= 1
3
# »
AC0 hayA, G, C0 thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0. Gọi G, G0 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC vàA0B0C0,I là giao điểm của hai đường thẳngAB0 vàA0B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI vàCG0 song song với nhau.
-Lời giải.
1. Phương pháp véc-tơ.
Lấy trung điểmE, F (như hình vẽ).
Ta có # »
CG0 = # »
CC0+# »
C0G0 = # » CC0+2
3
# » C0F
= # » CC0+2
3 Ä# »
A0F −# » A0C0ä
=−# » A0A+1
3
# » A0B0−2
3
# » A0C0,(1).
Và # » GI = # »
GE+# » EI = 1
3
# » CE−1
2
# » A0A= 1
3 Ä# »
AE−# »
ACä
− 1 2
# » A0A
= 1 3
Å1 2
# »
A0B0−# » A0C0 ã
−1 2
# » A0A= 1
2 Å
−# » A0A+1
3
# » A0B0−2
3
# » A0C0 ã
= 1 2
# » CG0,(2) Suy ra # »
GI và # »
CG0 cùng phương⇒GI kCG0.
C0 A0
B0 G0 F
C A
B
E G K
I
2. Phương pháp cổ điển.
Lấy các trung điểmE, F, K.
Chứng minhEG0CK là hình bình hành⇒CG0 kF K, (1).
Chứng minhGI là đường trung bình của4EF K: suy raGI kF K, (2).
Kết hợp (1) và (2) suy raGI kCG0.
Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0; các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng CA và DC0 sao cho # »
M C =m.# » M A,# »
N D =m.# »
N C0. Xác địnhm để các đường thẳng M N vàBD0 song song với nhau. Khi ấy, tínhM N biết ABC’ =÷ABB0=÷CBB0 = 60◦ vàBA=a, BB0 =b, BC =c.
-Lời giải.
C0 A0
B0
D0
N
C A
B
D M Đặt #»a = # »
BA,#»
b = # »
BB0,#»c = # » BC.
Ta có (# »
M C =m# » M A
# »
N D=m# » N C0
⇔
# »
BC−# »
BM =mÄ# »
BA−# » BMä
# »
BD−BN# »=mÄ# »
BC0−BN# »ä
⇒
# »
BM =− m 1−m
# » BA+ 1
1−m
# » BC
# » BN = 1
1−m
# » BD− m
1−m
# » BC0 = 1
1−m Ä# »
BA+ # »
BCä
− m 1−m
Ä# »
BC+# » BB0ä
⇒
# »
BM =− m 1−m
#»a + 1
1−m
#»c
# » AN = 1
1−m
#»a − m
1−m
#»b + #»c
⇒ # » M N = # »
BN −# »
BM = 1 +m 1−m
#»a− m
1−m
#»b − m
1−m
#»c
Ngồi ra # »
BD0 = #»a +#»
b +#»c nên để M N kBD0 thì cần cĩ # »
M N =k.# »
BD0 ⇔ 1 +m
1−m =− m 1−m. Giải hệ phương trình trên ta tìm đượcm=−0,5.
Vớim=−1
2 ta cĩ # » M N = 1
3
Ä#»a +#»
b + #»cä
⇒ # » M N2 = 1
9
Ä#»a2+ #»
b2+#»c2+ 2#»a#»
b + 2#»
b#»c + 2#»c#»ậ . DoABC’ =ABB÷0 =CBB÷0 = 60◦ nên 2#»a#»
b + 2#»
b#»c + 2#»c #»a =ab+bc+ca.
VậyM N = 1 3
√
a2+b2+c2+ab+bc+ca.
C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Đặt #»a = # » AA0,#»
b = # »
AB,#»c = # »
AC. Gọi G0 là trọng tâm của tam giácA0B0C0. Véc-tơ # »
AG0 bằng A. 1
3
Ä#»a + 3#»
b +#»cä
. B. 1
3
Ä3#»a +#»
b + #»cä
. C. 1
3
Ä#»a+ #»
b + 3#»cä
. D. 1
3
Ä#»a +#»
b +#»cä . -Lời giải.
GọiI là trung điểm củaB0C0.
VìG0 là trọng tâm của tam giácA0B0C0 ⇒ # » A0G0 = 2
3
# » A0I. Ta cĩ # »
AG0 = # »
AA0+# »
A0G0 = # » AA0+ 2
3
# » A0I
= # » AA0+1
3 Ä# »
A0B0+# » A0C0ä
= # » AA0+1
3 Ä# »
AB+# »
ACä
= 1 3
Ä3# » AA0+# »
AB+# »
ACä
= 1 3
Ä3#»a +#»
b +#»cä .
B C0
I A0
A C
B0 G0
Chọn đáp án B
Câu 2. Cho hình lăng trụABC.A0B0C0. Đặt #»a = # » AA0,#»
b = # »
AB,#»c = # »
AC. Hãy biểu diễn véc-tơ # » B0C theo các véc-tơ #»a ,#»
b ,#»c. A. # »
B0C= #»a +#»
b −#»c. B. # »
B0C=−#»a +#»
b −#»c. C. # »
B0C= #»a +#»
b +#»c. D. # »
B0C=−#»a −#»
b +#»c. -Lời giải.
VìBB0C0C là hình bình hành nên
# »
B0C = # » B0C0+# »
B0B
= # » BC− # »
AA0
=−# » AA0+# »
BA+ # »
AC
=−# » AA0−# »
AB+ # »
AC
=−#»a −#»
b + #»c . B
C0 A0
A C
B0
Chọn đáp án D
Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi M là trung điểm của cạnh BB0. Đặt # »
CA = #»a, # » CB = #»
b,
# »
AA0 = #»c. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. AM# »= #»a +#»c −1 2
#»b. B. AM# »= #»
b +#»c −1 2
#»a. C. AM# »= #»
b −#»a +1 2
#»c. D. AM# »= #»a −#»c + 1 2
#»b. -Lời giải.
VìM là trung điểm của BB0 ⇒BM# »= 1 2
# » BB0. Ta cĩ # »
AM = # »
AB+# »
BM =−# »
BA+1 2
# »
BB0 =−# »
CA+# »
CB+1 2
# »
BB0 =−#»a+ #»
b +1 2
#»c.
Chọn đáp án C
Câu 4. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 tâm O. Gọi I là tâm của hình hình hành ABCD. Đặt # » AC0 = #»u,
# »
CA0 = #»v, # »
BD0 = #»x, # »
DB0= #»y. Khi đĩ
A. 2# » OI =−1
4(#»u + #»v +#»x +#»y). B. 2# » OI =−1
2(#»u +#»v + #»x +#»y).
C. 2# » OI = 1
2(#»u +#»v + #»x +#»y). D. 2# » OI = 1
4(#»u +#»v +#»x +#»y).
-Lời giải.
GọiM, N lần lượt là trung điểm của AB,CD.
VìI là trung điểm của M N nên # »
OM+# »
ON = 2# » OI. Kết hợp với
(# »
OA+# »
OB = 2# »
# » OM
OC+ # »
OD= 2# » ON ta suy ra2# »
OI = 1 2
Ä# »
OA+# »
OB+# »
OC+# »
ODä
= 1 2
Å
−1 2
# » AC0−1
2
# » CA0−1
2
# » BD0−1
2
# » DB0 ã
=−1
4(#»u +#»v + #»x +#»y).
A0 B0
C0 D0
M
N
O A
D I
C
B
Chọn đáp án A
Câu 5. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 có # »
AB= #»a, # » AC= #»
b, # »
AA0 = #»c. GọiI là trung điểm củaB0C0,K là giao điểm củaA0I vàB0D0. Mệnh đều nào sau đây đúng?
A. # » DK = 1
3
Ä4#»a −2#»
b + 3#»cä
. B. # »
DK = 1 3
Ä4#»a −2#»
b +#»cä . C. # »
DK = 4#»a−2#»
b +#»c. D. # »
DK = 4#»a −2#»
b + 3#»c. -Lời giải.
VìI là trung điểm của B0C0 ⇒ # »
A0B0+# »
A0C0 = 2# » A0I.
Và K là giao điểm của A0I, B0D0 nên theo định lí Ta-lét ta có
# » A0K = 2
3
# » A0I. Ta có # »
AK = # »
AA0+# »
A0K = # » AA0+ 2
3
# » A0I
= # » AA0+1
3 Ä# »
A0B0+ # » A0C0ä
= 1 3
#»a +1 3
#»b +#»c . Khi đó # »
DK = # »
DA+# »
AK = # »
CB+ # » AK
=Ä# »
AB−# »
ACä +# »
AK
= #»a− #»
b +1 3
#»a +1 3
#»b +#»c = 4 3
#»a −2 3
#»b +#»c . A
A0
D0
D
K I
C
B C0
B0
Chọn đáp án A
Câu 6. Cho tứ diện ABCD có trọng tâmG. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. # » AG= 2
3 Ä# »
AB+ # »
AC+# »
ADä
. B. # »
AG= 1 4
Ä# »
AB+# »
AC+# »
ADä . C. # »
OG= 1 4
Ä# »
OA+# »
OB+# »
OC+# »
ODä
. D. # »
GA+# »
GB+ # »
GC+# »
GD = #»0. -Lời giải.
VìGlà trọng tâm của tứ diện ABCD nên # »
GA+# »
GB+# »
GC+# »
GD= #»0. Do đó
# » OG= 1
4 ·4# » OG= 1
4 Ä# »
OA+# »
AG+# »
OB+# »
BG+# »
OC+# »
CG+# »
OD+# »
DGä
= 1 4
Ä# »
OA+# »
OB+# »
OC+# »
ODä .
⇒AO# »+OG# »=AO# »+ 1 4
ÄOA# »+OB# »+OC# »+OD# »ä
= # » AO+ 1
4 Ä4# »
OA+# »
AB+ # »
AC+# »
ADä
= # »
AO+ # »
OA+1 4
Ä# »
AB+# »
AC+ # »
ADä
= 1 4
Ä# »
AB+# »
AC+# »
ADä . Vậy # »
AG= 1 4
Ä# »
AB+# »
AC+# »
ADä . Suy ra mệnh đề # »
AG= 2 3
Ä# »
AB+# »
AC+# »
ADä sai.
A
B D
G
C
Chọn đáp án A
Câu 7. Cho tứ diện ABCD. Đặt # »
AB = #»a, # » AC = #»
b, # »
AD = #»c. Gọi G là trọng tâm của tam giácBCD.
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sau đây đúng?
A. # »
AG= #»a+ #»
b +#»c. B. # »
AG= 1 3
Ä#»a +#»
b + #»cä . C. # »
AG= 1 2
Ä#»a +#»
b +#»cä
. D. # »
AG= 1 4
Ä#»a +#»
b + #»cä . -Lời giải.
GọiM là trung điểm của CD suy ra # » BG= 2
3
# » BM. Ta cóAG# »=AB# »+BG# »=AB# »+2
3
# » BM
= # » AB+2
3 ·1 2
Ä# »
BC+# »
BDä
= # » AB+1
3 Ä# »
BC+# »
BDä
= # » AB+1
3 Ä# »
AC−# »
AB+# »
AD−# »
ABä
= 1 3
Ä# »
AB+# »
AC+# »
ADä
= 1 3
Ä#»a +#»
b +#»cä .
A
B
M
D G
C
Chọn đáp án B
Câu 8. Cho tứ diện ABCD. Đặt # »
AB= #»a, # » AC = #»
b, # »
AD= #»c. GọiM là trung điểm của đoạn thẳngBC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. # » DM = 1
2
Ä#»a +#»
b −2#»cä
. B. # »
DM = 1 2
Ä−2#»a+#»
b +#»cä . C. # »
DM = 1 2
Ä#»a −2#»
b +#»cä
. D. # »
DM = 1 2
Ä#»a+ 2#»
b −#»cä . -Lời giải.
VìM là trung điểm của BC suy ra # » BM = 1
2
# » BC.
Ta có # »
DM = # »
DA+# »
AB+# »
BM = # »
AB−# »
AD+1 2
# » BC
= # »
AB− # »
AD+1 2
Ä# »
BA+# »
ACä
= 1 2
# » AB+1
2
# »
AC−# »
AD
= 1 2
#»a+1 2
#»b −#»c = 1 2
Ä#»a +#»
b −2#»cä .
A
B M
D C
Chọn đáp án A Câu 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi M vàP lần lượt là trung điểm của các cạnhAB vàCD. Đặt # »
AB = #»
b,
# »
AC= #»c, # » AD= #»
d. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. # » M P = 1
2
Ä#»c +#»
d+ #»
bä
. B. # »
M P = 1 2
Ä#»
d +#»
b −#»cä . C. # »
M P = 1 2
Ä#»c +#»
b − #»
dä
. D. # »
M P = 1 2
Ä#»c +#»
d −#»
bä . -Lời giải.
VìM,P lần lượt là trung điểm của AB,CD nên
(2# »
AM = # »
# » AB
AC+# »
AD= 2# » AP . Ta có # »
M P = # » M A+# »
AP =−# »
AM+# »
AP
=−1 2
# » AB+1
2 Ä# »
AC+# »
ADä
=−1 2
#»b +1 2
#»c +1 2
#»d .
A
B
P M
D C
Chọn đáp án D
Câu 10. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0. Đặt # »
AA0 = #»a, # » AB = #»
b, # »
AC = #»c, # » BC = #»
d. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. #»a = #»
b +#»c. B. #»a +#»
b + #»c +#»
d = #»0. C. #»
b − #»c +#»
d = #»0. D. #»a +#»
b + #»c = #»
d. -Lời giải.
Ta có # »
BC= # »
AC− # »
AB⇔ #»
d = #»c −#»
b ⇔ #»
b −#»c +#»
d = #»0.
B B0 C0
A0
A C
Chọn đáp án C
Câu 11. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0. GọiO là tâm của hình lập phương.
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. # » AO= 1
3 Ä# »
AB+ # »
AD+# » AA0ä
. B. # »
AO= 1 2
Ä# »
AB+# »
AD+# » AA0ä
. C. # »
AO= 1 4
Ä# »
AB+ # »
AD+# » AA0ä
. D. # »
AO= 2 3
Ä# »
AB+# »
AD+# » AA0ä
. -Lời giải.
Theo quy tắc hình hộp, ta có # » AC0 = # »
AB+ # »
AD+# » AA0. MàO là trung điểm của AC0
nên # » AO= 1
2
# » AC0= 1
2 Ä# »
AB+# »
AD+# » AA0ä
.
A A0 D0
D C
B C0
B0
O
Chọn đáp án B
Câu 12. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 tâmO. Khẳng định nào dưới đây làsai?
A. # » AC0 = # »
AB+ # »
AD+# »
AA0. B. # »
AB+# » BC0+# »
CD+# » D0A= #»0. C. # »
AB+# » AA0 = # »
AD+# »
DD0. D. # »
AB+# »
BC+# »
CC0 = # » AD0+# »
D0O+# » OC0. -Lời giải.
Dựa vào các phương án, ta thấy rằng:
# » AC0 = # »
AB+# »
AD+# »
AA0 đúng, vì theo quy tắc hình hộp ta có
# » AC0 = # »
AB+# »
AD+# » AA0.
# » AB+# »
BC0+# »
CD+# »
D0A= #»0 đúng vì
(# »
AB=−# »
# » CD
BC0=−# » D0A
⇒ # » AB+# »
BC0+ # »
CD+ # » D0A= #»
0.
# » AB+# »
AA0=AD# »+# » DD0 sai, vì
(# » AB+ # »
AA0 = # » AB0
# »
AD+# »
DD0= # » AD0 mà # »
AB0 6= # »
AD0⇒ # » AB+# »
AA0 6= # »
AD+ # » DD0.
A A0
D0
D C
B C0
B0
O
# »
AB+# »
BC+# »
CC0 = # » AD0+# »
D0O+# » OC0 đúng vì
(# »
AB+# »
BC+# » CC0 = # »
AC+# »
CC0= # » AC0
# »
AD0+# » D0O+# »
OC0 =AO# »+# »
OC0 = # » AC0
⇒ # »
AB+# »
BC+# »
CC0 = # » AD0+# »
D0O+# » OC0.
Chọn đáp án C
Câu 13. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. # »
BC+# »
BA= # »
B1C1+# »
B1A1. B. # »
AD+ # »
D1C1+# » D1A1 = # »
DC.
C. # »
BC+# »
BA+ # »
BB1 = # »
BD1. D. # »
BA+# »
DD1+# » BD1 = # »
BC.
-Lời giải.
Dựa vào các phương án, ta thấy rằng:
# »
BC+ # »
BA= # »
B1C1+# » B1A1 đúng, vì
(BC# »=B# »1C1
# »
BA= # »
B1A1 suy ra # »
BC+ # »
BA= # »
B1C1+# » B1A1.
# »
AD+# »
D1C1+# » D1A1 = # »
DC đúng, vì # »
AD+# »
D1C1+# » D1A1 = # »
AD+# »
DC+# »
DA
= # »
AC+# »
DA= # »
DC.
A A1
D1
D C
B C1
B1
# »
BC+ # »
BA+# »
BB1 = # »
BD1 đúng, vì # » BD1 = # »
BC+# »
BA+# »
BB1 (quy tắc hình hộp).
# »
BA+# »
DD1+ # » BD1= # »
BC sai, vì # »
BA+# »
DD1+# » BD1 = # »
BA+# »
BB1+# »
BD1 = # »
BA1+# » BD16= # »
BC.
Chọn đáp án D
Câu 14. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. # »
B1M = # »
B1B+# »
B1A1+ # »
B1C1. B. # »
C1M = # »
C1C+# » C1D1+1
2
# » C1B1. C. C# »1M =C# »1C+1
2
# » C1D1+1
2
# »
C1B1. D. BB# »1+B# »1A1+B# »1C1 = 2B# »1D.
-Lời giải.
Dựa vào các phương án, ta thấy rằng:
# »
B1M = # »
B1B+# »
B1A1+# » B1C1 sai vì # »
B1M = # »
B1B+# »
BM = # » BB1+1
2 Ä# »
BA+# »
BDä
= # » BB1+1
2
Ä# »
B1A1+# » B1D1
ä
=BB# »1+1 2
ÄB# »1A1+B# »1A1+B# »1C1ä
= # »
BB1+# » B1A1+1
2
# » B1C1.
A
A1
D1 D
M
C
B
C1
B1
# »
C1M = # »
C1C+# » C1D1+1
2
# » C1B1 đúng vì # »
C1M = # »
C1C+# »
CM = # » C1C+1
2 Ä# »
CA+# »
CDä
= # » C1C+1
2
Ä# »
C1A1+ # » C1D1
ä
=C# »1C+1 2
ÄC# »1B1+C# »1D1+C# »1D1ä
=C# »1C+C# »1D1+1 2
# » C1B1.
# »
C1M = # » C1C+1
2
# » C1D1+ 1
2
# »
C1B1 sai, vì # »
C1M = # »
C1C+ # » C1D1+1
2
# » C1B1.
# »
BB1+# »
B1A1+# »
B1C1= 2# »
B1D sai, vì # »
BB1+ # »
B1A1+# »
B1C1= # » BA1+# »
BC = # »
BA1+# »
A1D1= # » BD1.
Chọn đáp án B
Câu 15. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng a. Gọi Glà trọng tâm của tam giác AB0C.
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. # »
AC0= 3# »
AG. B. # »
AC0 = 4# »
AG. C. # »
BD0 = 4# »
BG. D. # »
BD0 = 3# » BG.
-Lời giải.
Cách 1. GọiI là tâm của hình vuông ABCD
⇒I là trung điểm củaBD.
Ta có4BIGv4D0B0G
⇒ BG
D0G = BI D0B0 = 1
2 ⇒ BG BD0 = 1
3 ⇒ # »
BD0 = 3# » BG.
Cách 2. Theo quy tắc hình hộp, ta có # »
BA+ # »
BC+# »
BB0 = # » BD0. DoGlà trọng tâm của tam giác AB0C
nên # »
BA+# »
BC+# »
BB0 = 3# »
BG⇔ # »
BD0 = 3# » BG.
A
A0
B0
C
C0 I
B
G D
D0
Chọn đáp án D
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt # »
SA = #»a, # » SB = #»
b, # » SC = #»c,
# » SD= #»
d. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. #»a+ #»c = #»
b +#»
d. B. #»a +#»
b + #»c +#»
d = #»0. C. #»a+ #»
d = #»
b +#»c. D. #»a +#»
b = #»c +#»
d. -Lời giải.
GọiO là tâm hình bình hànhABCD.
VìO là trung điểm của AC nên # »
SA+# »
SC= 2# »
SO ⇔2# »
SO = #»a +#»c. (1) VàO là trung điểm củaBD
nên # » SB+# »
SD= 2# »
SO⇔2# »
SO = #»
b +#»
d. (2)
Từ(1)và (2), suy ra #»a +#»c = #»
b +#»
d.
S
B C
O A D
Chọn đáp án A
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn
# » GS+# »
GA+ # »
GB+ # »
GC+# »
GD= #»
0. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. G,S,O không thẳng hàng. B. # »
GS = 4# » OG.
C. # »
GS = 5# »
OG. D. # »
GS = 3# » OG.
-Lời giải.
GọiO là tâm hình bình hànhABCD suy ra
# »
OA+OB# »+OC# »+OD# »= #»0. Ta có # »
GS+# »
GA+ # »
GB+ # »
GC+# »
GD
=# »
GS+ 4# »
GO+# »
OA+ # »
OB+# »
OC+ # »
OD= #»
0.
⇔ # »
GS+ 4# »
GO= #»0 ⇔ # »
GS = 4# » OG.
⇒ ba điểmG,S,O thẳng hàng.
S
B C
O A G D
Chọn đáp án B
Câu 18. Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn # »
GA+ # »
GB + # »
GC+ # »
GD = #»
0 (G là trọng tâm của tứ diện). GọiG0 là giao điểm củaGA và mặt phẳng(BCD). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. # »
GA=−2# »
G0G. B. # »
GA= 4# »
G0G. C. # »
GA= 3# »
G0G. D. # »
GA= 2# » G0G.
-Lời giải.
Vì G0 là giao điểm của đường thẳng AG với mặt phẳng (BCD) suy ra G0 là trọng tâm của tam giác BCD.
⇒ # »
G0B+# »
G0C+# » G0D= #»0. Theo bài ra, ta có
# »
GA+# »
GB+ # »
GC+# »
GD
= # »
GA+ 3# »
GG0+ # »
G0B+# »
G0C+ # » G0D
| {z }
#»0
= #»
0
⇒ # »
GA+ 3# » GG0 = #»
0 ⇒ # »
GA= 3# » G0G.
A
G B
G0 M
D
C
Chọn đáp án C
Câu 19. Cho tứ diệnABCD. GọiM,N lần lượt là trung điểm củaAB,CD vàGlà trung điểm củaM N. Khẳng định nào dưới đây làsai?
A. # »
M A+# »
M B+# »
M C+# »
M D= 4# »
M G. B. # »
GA+# »
GB+ # »
GC= # »
GD.
C. # »
GA+# »
GB+# »
GC+# »
GD = #»
0. D. # »
GM +# »
GN = #»
0. -Lời giải.
VìM,N lần lượt là trung điểm của AB,CD nên
(# »
GA+# »
GB= 2# »
# » GM
GC+GD# »= 2GN .# » MàG là trung điểm củaM N nên # »
GM+# »
GN = #»0 ⇔ # »
GA+# »
GB+# »
GC+# »
GD= #»0. Khi đó # »
M A+# »
M B+# »
M C+# » M D
= 4# »
M G+Ä# »
GA+# »
GB+ # »
GC+# »
GDä
= 4# » M G.
A
G B
M
D
C
N
Chọn đáp án B
Câu 20. Cho hình hộpABCD.A1B1C1D1. Tìm giá trị thực củakthỏa mãn đẳng thức véc-tơAB# »+B# »1C1+
# »
DD1 =k# » AC1.
A. k= 4. B. k= 1. C. k= 0. D. k= 2.
-Lời giải.
Ta có # »
AB+# »
B1C1+# » DD1 = # »
AB+# »
BC+# » CC1
= # »
AC+# » CC1
= # »
AC1 ⇒k= 1.
A A1 D1
D C
B C1
B1
Chọn đáp án B
Câu 21. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Tìm giá trị thực củakthỏa mãn đẳng thức véc-tơ AC# »+# » BA0+ kÄ# »
DB+# » C0Dä
= #»
0.
A. k= 0. B. k= 1. C. k= 4. D. k= 2.
-Lời giải.
Ta có # » AC+# »
BA0 = # »
AC+# »
CD0 = # » AD0 và # »
DB+# » C0D= # »
DB−# »
DC0 = # »
C0B = # » D0A.
Suy ra # » AC+# »
BA0+kÄ# »
DB+# » C0Dä
= # »
AD0+k# » D0A= #»
0
⇔(k−1)# » D0A= #»
0 ⇔k= 1.
A A0 D0
D C
B C0
B0
Chọn đáp án B
Câu 22. GọiM,N lần lượt là trung điểm của các cạnhAC vàBDcủa tứ diệnABCD. GọiI là trung điểm của đoạnM N. Tìm giá trị thực củakthỏa mãn đẳng thức véc-tơ # »
IA+ (2k−1)# » IB+k# »
IC+# » ID= #»0.
A. k= 2. B. k= 4. C. k= 1. D. k= 0.
-Lời giải.
VìM,N lần lượt là trung điểm của AC,BD nên
(# » IA+# »
IC = 2# »
# » IM IB+# »
ID= 2# » IN. Mặt khác # »
IM +# »
IN= #»
0 (I là trung điểm của M N).
Suy ra # » IA+ # »
IB+# » IC+# »
ID= #»0. Ta có # »
IA+ (2k−1)# »
IB+k# » IC+ # »
ID
= # » IA+# »
IB+# » IC+# »
ID
| {z }
#»0
+(2k−2)# »
IB+ (k−1)# » IC = #»0. Suy ra(k−1)Ä
2# » IB+# »
ICä
= #»
0. Mà2# »
IB+# »
IC 6= #»0 nênk−1 = 0⇔k= 1.
A
I
B C
M
D N
Chọn đáp án C
Câu 23. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạnM N vàP là một điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị thực củakthỏa mãn đẳng thức véc-tơ # »
P I =kÄ# » P A+# »
P B+# » P C +# »
P Dä . A. k= 4. B. k= 1
2. C. k= 1
4. D. k= 2.
-Lời giải.
