Giải Toán 10 Bài 2: Phương trình đường tròn | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 10

(1)

Bài 2: Phương trình đường tròn

Hoạt động 1 trang 82 Toán lớp 10 Hình học: Cho hai điểm A(3; –4) và B(–3; 4).

Viết phương trình đường tròn (C) nhận AB làm đường kính.

Lời giải:

+) Gọi I là đường tròn nhận AB là đường kính Suy ra I là trung điểm của AB

Suy ra I (0; 0)

+) Ta có: ^AB⁼

(

^{− −}^{3 3}

) (

² ⁺ ⁴⁺⁴

)

² ⁼¹⁰

R AB 5

 = 2 =

Vậy phương trình đường tròn (C) nhận AB là đường kính là: x² + y² = 25.

Hoạt động 2 trang 82 Toán lớp 10 Hình học: Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn:

2x² + y² – 8x + 2y – 1 = 0;

x² + y² + 2x – 4y – 4 = 0;

x² + y² – 2x – 6y + 20 = 0;

x² + y² + 6x + 2y + 10 = 0.

Lời giải:

+) Xét (C1): 2x² + y² – 8x + 2y – 1 = 0 có hệ số của x², y² khác nhau nên (C1) không là phương trình đường tròn.

+) Xét (C2): x² + y² + 2x – 4y – 4 = 0 có a = –1, b = 2, c = –4 Suy ra a² + b² – c = 9 > 0

Vậy (C2) là phương trình đường tròn.

+) Xét (C3): x² + y² – 2x – 6y + 20 = 0 có a = 1; b = 3; c = 20 Suy ra a² + b² – c = –10 < 0

(2)

Vậy phương trình trên không là phương trình đường tròn.

+) Xét (C4): x² + y² + 6x + 2y + 10 = 0 có a = –3; b = –1; c = 10 Suy ra a² + b² – c = 0

Vậy phương trình trên không là phương trình đường tròn.

Bài tập

Bài 1 trang 83 Toán lớp 10 Hình học: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a) x² + y² – 2x – 2y – 2 = 0;

b) 16x² + 16y² + 16x – 8y – 11 = 0;

c) x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: −2a = −2 suy ra a = 1 −2b = −2 suy ra b = 1

Suy ra tâm của đường tròn là: I(1; 1).

Lại có: R² = a² + b² – c = 1² + 1² − (−2) = 4

R 4 2

 = =

b) 16x² + 16y² + 16x − 8y – 11 = 0

2 2 1 11

x y x y 0

2 16

 + + − − =

Ta có: –2a = 1 1

a 2

 = − ;

1 1

2b b

2 4

− = −  =

Suy ra I ^{1 1}; 2 4

− 

 

 .

(3)

R² = a² + b² – c

2 2

1 1 11

2 4 16 1

−     

=  +  − − =

      R 1 1

 = = . c)

+) Ta có:

−2a = −4 suy ra a = 2

−2b = 6 suy ra b = −3 Suy ra I(2;−3).

+) R² = a² + b² – c = 2² + (−3)² − (−3) = 16 R 16 4

 = = .

Bài 2 trang 83 Toán lớp 10 Hình học: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(–2; 3) và đi qua M(2; –3) ;

b) (C) có tâm I(–1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng x – 2y + 7 = 0;

c) (C) có đường kính AB với A = (1; 1) và B = (7; 5).

Lời giải:

a) (C) có tâm I và đi qua M nên bán kính R = IM.

( ( ) )

²

⁽ ⁾

² ² ²

IM= 2− −2 + − −3 3 = 4 +6 = 52 Suy ra R² = IM² = 52.

Vậy phương trình đường tròn (C): (x + 2)² + (y − 3)² = 52.

b) Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d Suy ra d(I; d) = R

Ta có: R = d(I; d) =

( )

²

2

1 2.2 7 2 1 2 5

− − + + − =

(4)

Phương trình đường tròn cần tìm là:

(x + 1)² + (y − 2)² = 2 2

5

 

 

  Hay (x + 1)² + (y − 2)² = 4

5. c)

+) Tâm I là trung điểm của AB, có tọa độ:

I

( )

I

x 1 7 4

2 I 4;3

y 1 5 3

2

 = + =

 

 +

 = =



+) Ta có: ^AB⁼

(

^{7 1}⁻

) (

² ⁺ ^{5 1}⁻

)

² ⁼ ⁶² ⁺⁴² ⁼^{2 13}

Suy ra AB

R 13

= 2 =

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (x − 4)² + (y − 3)² = 13.

Bài 3 trang 84 Toán lớp 10 Hình học: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm

a) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3);

b) M(–2; 4), N(5; 5), P(6; –2).

Lời giải:

a)

+) Gọi phương trình đường tròn có dạng: (C1): x² + y² − 2ax – 2by + c = 0 +) Ta có:

A(1; 2)  (C) nên:

1² + 2² – 2a − 4b + c = 0 tương đương với 2a + 4b – c = 5.

(5)

B(5; 2)  (C) nên:

5² + 2² – 10a − 4b + c = 0 tương đương với 10a + 4b – c = 29.

C(1;−3)  (C) nên:

1² + (−3)² – 2a + 6b + c = 0 tương đương với 2a − 6b – c = 10.

+) Ta có hệ:

2a 4b c 6 10a 4b c 29

2a 6b c 10 + − =

 + − =

 − − =



Giải hệ ta được:

a 3 b 0,5 c 1

 =

 = −

 = −



Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (C1): x² + y² − 6x + y – 1 = 0.

b)

+) Gọi phương trình đường tròn có dạng: (C2): x² + y² − 2ax – 2by + c = 0 +) Ta có:

M(−2; 4)  (C) nên:

(−2)² + 4² + 4a − 8b + c = 0 tương đương với 4a − 8b + c = −20 N(5; 5)  (C) nên:

5² + 5² – 10a − 10b + c = 0 tương đương với 10a + 10b – c = 50 P(6; −2)  (C) nên:

6² + (−2)² – 12a + 4b + c = 0 tương đương với 12a − 4b – c = 40 Ta có hệ phương trình:

b 4

10a 10b – c 50 12a 4 – 0

a 8b c 20 a 2 b 1

c 0

c 4 2

− + 

+ = − =

 

  =

 

 = −



=

− = 

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (C2): x² + y² − 4x – 2y – 20 = 0.

(6)

Bài 4 trang 84 Toán lớp 10 Hình học: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox, Oy và đi qua điểm M(2; 1).

Lời giải:

+) Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm I(a; b) và bán kính bằng R.

(C) tiếp xúc với Ox suy ra R = d(I; Ox) = |b|

(C) tiếp xúc với Oy suy ra R = d(I; Oy) = |a|

Suy ra |a| = |b|

Suy ra a = b hoặc a = –b.

Mà (C) đi qua M(2; 1) thuộc góc phần tư thứ nhất nên đường tròn nằm hoàn toàn ở góc phần tư thứ nhất hay a = b > 0.

Do đó R = |a| = |b| = a, phương trình đường tròn cần tìm có dạng:

(x − a)² + (y − a)² = a².

(7)

+) M(2; 1) thuộc đường tròn nên ta có:

(2 − a)² + (1 − a)² = a²

a² − 6a + 5 = 0

Suy ra a = 1 hoặc a = 5 (TM)

+) Từ đây ta được hai đường tròn thỏa mãn điều kiện Với a = 1 suy ra (x − 1)² + (y − 1)² = 1 (C1).

Với a = 5 suy ra (x − 5)² + (y − 5)² = 25 (C2).

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn đề bài.

Bài 5 trang 84 Toán lớp 10 Hình học: Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục toạ độ và có tâm ở trên đường thẳng 4x – 2y – 8 = 0.

Lời giải:

+) Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm I(a; b) và bán kính bằng R.

+) Ta có:

(C) tiếp xúc với Ox suy ra R = d(I; Ox) = |b|

(C) tiếp xúc với Oy suy ra R = d(I; Oy) = |a|

Suy ra |a| = |b|

Suy ra a = b hoặc a = –b.

+) TH1: I(a; a):

I  d tương đương với 4a – 2a – 8 = 0 suy ra a = 4.

Đường tròn cần tìm có tâm I(4; 4) và bán kính R = 4 có phương trình là:

(x − 4)² + (y − 4)² = 4² tương đương với (x − 4)² + (y − 4)² = 16.

+) TH2: I(a; −a)

I  d tương đương với 4a + 2a – 8 = 0 suy ra 4 3. Ta được đường tròn có phương trình là:

(8)

2 2 2

4 4 4

x y

3 3 2

 −  + +  = 

     

     

2 2

4 4 16

x y

3 3 9

   

 −  + +  =

    .

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn đề bài:

(C1): (x − 4)² + (y − 4)² = 16;

(C2):

2 2

4 4 16

x y

3 3 9

 −  + +  =

   

    .

Bài 6 trang 84 Toán lớp 10 Hình học: Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² – 4x + 8y – 5 = 0.

a) Tìm toạ độ tâm và bán kính của (C);

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(–1;0);

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: a = 2, b = −4, c = −5

Đường tròn có tâm I(2; −4), bán kính ^R ⁼ ²² ^{+ −}

( ) ( )

⁴ ² ^{− − =}⁵ ⁵

b) Thay tọa độ A(−1; 0) vào vế trái, ta có : (−1 − 2)² + (0 + 4)² = 3² + 4² = 25

Vậy A(−1; 0) là điểm thuộc đường tròn.

Tiếp tuyến với (C) tại A nhận ^IA^{= −}

(

^3;4

)

làm VTPT.

Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại A là:

−3(x + 1) + 4(y − 0) = 0 hay 3x − 4y + 3 = 0.

c) Đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 có VTPT n =

(

3; 4− 

)

ud =

( )

4;3 là VTCP của d.

(9)

Tiếp tuyến d′ vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 nên VTPT n '=ud =

( )

4;3 .

Phương trình d′ có dạng là: 4x + 3y + c = 0.

d′ tiếp xúc (C)

( ) ( )

2 2

4.2 3 4 c

d I;d ' R 5 c 4 25

4 3

 = = + − =  − =

+ .

c 4 25 c 29

c 4 25 c 21

− = =

 

 − = −  = −

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

4x + 3y + 29 = 0 và 4x + 3y – 21 = 0.