ĐÁP ÁN TOÁN CHO KỸ SƯ
(ngày thi 11/6/2018)
Câu hỏi
Nội dung Điểm
Câu1 1,5đ
Tên các cách giải hệ phương trình tuyến tính: Phương pháp Gauss (Gauss- Jordan), phương pháp Cramer (sử dụng định thức), phương pháp ma trận đảo, phương pháp cộng-trừ đại số kết hợp phương pháp thế, ngồi ra cịn cĩ thể sử dụng máy tính (casio hoặc PC/Latop cĩ cài đặt các phần mềm phù hợp như excel, matlab, maple,…).
1 1
4 2
3 1
1 2 1
m m
m ;
D Dx 2 ( 1)
1 4
3
3 3
1 2 1
m m m
m
m
y
D ( 1)( 1)
1 3
2 3 1
1 1
1
m m m
m
m ; Dz m
m
1 3
4 2
3 3 1
1 2 1
-Trường hợp m1: D0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất
1 1 2
D z D
D m y D
D m x D
z y x
- Trường hợp m1: DDx Dy Dz 0
2 2
4 2
3 3
1 2
z y x
z y x
z y x
α
α z
y
α x
2 3
, (hệ có vô số nghiệm và có 1 ẩn tự do)
Kết luận
m1: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
1 1 2 z
m y
m x
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
m1: Hệ phương trình có vô số nghiệm
α z
y
α x
2 3
α (1 ẩn tự
do)
Câu 2 1,5đ Cách 1
Phương trình được viết lại
k kr t
r (' )
, với (đơn vị $1000)
10 ) 6 (
60 ) 0 ( r r
Nghiệm tổng quát phương trình )
(t
r = =
kdt
ke kdtdt Ce ekt
kektdtC= = (đơn vị $1000)
kt ekt C
e 1Cekt
Cách 2
Phương trình được viết lại S k r
dr
với (đơn vị $1000)
10 ) 6 (
60 ) 0 ( r r
Tích phân hai vế
kdt C
S r
dy ln
lnrS ktlnC rS ektlnC
rS Cekt r SCekt Hay r(t)= 1Cekt (đơn vị $1000)
0.5đ
0.25đ 0.25đ
0.5đ
0.25đ 0.25đ
10 ) 6 (
60 ) 0 ( r
r
6 10 1
60
1C k
C
e
3133854778 .
0 59) ln( 9 6
1 59
k
C
Vậy r(t)= 159e0.3133854778t (đơn vị $1000)
hay r(t)= 100059000e0.3133854778t (đơn vị $1)
0.25đ
0.25đ
Câu 3 1.5đ Đặt XL
x,Y L
y ; biến đổi Laplace hai vế ta được:
5 8
7
L L
L L
L L
L
y x
e y
x y
2t
Y s s X
Y s sX
) 5 8 (
2 7 1
7 1
2 )
7 )(
1 )(
2 (
9
5 1)( 7) 2 1 7
)(
2 (
70
2 43
s G s
F s
E s
s s Y s
s D s
C s
B s A s
s s s
s X s
Biến đổi ngược hai vế ta được:
y L1[Y]
7] 1 1
1 2
[ 1
7] 1
1 2
1 [ 1
1 1
Gs Fs
Es
s D Cs
Bs As y
x L
x L1[X] L
t t
t
t t
t
Ge Fe Ee
y
De Ce
Be A x
7 2
7 2
Tìm A,B,C,D dựa vào
7 1
2 )
7 )(
1 )(
2 (
70
2 43
s D s
C s
B s A s
s s s
s s
) 5 7 0 )(
1 0 )(
2 0 (
70 0 43
02
A ,
) 27 )(
1 2 )(
2 (
70 ) 2 ( 43 ) 2 ( 2
B ,
) 7 1 )(
2 1 )(
1 (
70 ) 1 ( 43 ) 1 ( 2
C
) 1 7 )(
2 7 )(
7 (
70 ) 7 ( 43 ) 7 ( 2
D
Tìm E,F,G dựa vào
7 1
2 )
7 )(
1 )(
2 (
9 5
s G s
F s
E s
s s
s
5 1 ) 7 2 )(
1 2 (
9 ) 2 (
5
E ,
) 7 1 )(
2 1 (
9 ) 1 ( 5
F
) 1 7 )(
2 7 (
9 ) 7 ( 5
G
0.5đ 0.25đ
0.25đ 0.25đ 0.25đ
Câu 4 1,5đ Đặt Y Y(s) = L
y(t)
. Biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tínhchất tuyến tính và tính chất đạo hàm hàm gốc ta được:
sY y
Y = ysy Y
s2 (0) '(0)9 (0) 8 L
6et cos2t
0.5đY(s29s8)
4 1
1 6
2
s
s s
s 0.25đ
Y
) 4 )(
8 ( ) 1 (
) 1 ( ) 4 ( ) 4 )(
1 ( 6
2 2
2 2
2
s s s
s
s s s
s s
s =
) 4 )(
8 ( ) 1 (
24 29 6
8
2 2
2 3
s s s s
s s
s 0.25đ
Phân tích thành phân thức đơn giản
Y ( 1) ( 8)( 4) 24 29 6
8
2 2
2 3
s s s s
s s
s
4 2 8
) 1 (
) 1 (
2
2
s
F Es s
D s
C s
B s
A 0.25đ
Biếi đổi Laplace ngược hai vế và áp dụng tính chất tuyến tính ta được
) (t
y L1[Y] = ]
4 2 4
8 1 )
1 (
1 1
1
[ 1 2 2 2
1
F s s
E s Ds
C s Bs
As L
y(t) ABet Ctet De8t Ecos2tFsin2t 0
] [
lim 8
t t
t
t Be Cte De
) (t
y AEcos2tFsin2t
nên sau khoảng thời gian t đủ lớn
) 2 sin 2
cos
( 2 2 2 2
2
2 t
F E t F F
E F E E
A
Đặt sin 2 2 ,cos 2 2
F E α F F
E α E
) 2 sin(
) 2 sin cos 2 cos (sin )
(t A E2 F2 α t α t A E2 F2 t α
y
Vậy sau khoảng thời gian t đủ lớn thì nghiệm phương trình vi phân, , xấp xỉ dao động điều hịa theo thời gian t cĩ biên độ dao động
) (t y
F2
E2
quanh điểm cân bằng cĩ tọa độ
4
3
A
yo .
Tìm A,B,C,D,E,F dựa vào đẳng thức:
) 4 )(
8 ( ) 1 (
24 29 6
8
2 2
2 3
s s s
s
s s
s
4 2 8
) 1 (
) 1 (
2 2
(*)
s
F Es s
D s
C s
B s A
4 2 8
) 1 (
1 2 2
s
F Es s
D s
C s
B s A
4 3 ) 4 0 )(
8 0 ( ) 1 0 (
24 0 29 0 6 0 8
2 2
2
3
A
) 4 ) 1 )((
8 1 )(
1 (
24 ) 1 ( 29 ) 1 ( 6 ) 1 ( 8
2 2 3
C
) 4 ) 8 ((
) 1 ) 8 )((
8 (
24 ) 8 ( 29 ) 8 ( 6 ) 8 ( 8
2 2 2 3
D
Từ đẳng thức (*) lần lượt cho s1,s2,s3 lập được hệ gồm 3 phương trình từ đó giải tìm B,E,F.
Caâu 5 2ñ Thay k 0.025và H(t)= 0.2 vào y'(t)ky(8 y)H(t), ta được
2 . 0 ) 8 ( 025 .
0
y y
dt dy
40 8
28
y y
dt
dy (1)
dt y
y dy
40 1 8
2 8
(doy(0)6nên y28y80)
(y42 2 cũng là nghiệm phương trình (1) nhưng không thỏa điều kiệny(0)6)
Tích phân hai vế
2 40 1
1 8
8 dt C
y y
dy
(yd(y4)24)8 40t C1 1
2 40 2 4
2 2 ln 4
2 4
1 t C
y
y
4 2 1
10 2 2
2 4
2 2
ln 4 t C
y
y
102 4 2 1 e 102 e4 2 1 2
2 4
2 2 e 4
2 2 4
2 2
4 t C t C
y y y
y
C t
y
y 102
2 e 2 4
2 2
4
(với Ce4 2C1 const0
) C t
y
y 102
2 e 2 4
2 2
4
(với Cconst âm hoặc dương tùy ý)
4 2 2 e 10 ( 4 2 2)
2
C y
y t (với Cconst tùy ý)
t
t
C y C
10 2
10 2
e 1
e ) 4 2 2 ( 2 2 4
(với Cconst tùy ý)
6 ) 0 (
y 2 2 2
2 2 2
C
Vậy
t t
t y
10 2
10 2
2e 2 2
2 2 1 2
e ) 2 2 4 ( 2 2 ) 4
(
( )
lim y t
t 4 2 2
e 1
e ) 4 2 2 ( 2 2 lim 4
10 2
10 2
t
t
t C
C
0.5ñ
0.25ñ
0.25ñ
0.25ñ
0.25ñ
0.5ñ
Sau khoảng thời gian t đủ lớn, lượng rừng xấp xỉ 42 2 đơn vị.
Câu 6 1,5đ a) Dựa theo mô hình trên, tốc độ tăng dân số của Thế giới năm 2018 là
0798195 .
0 ) 62 . 16 7 1 1 ( 62 . 7 02 . 0 ) 0 (
'
p (tỷ người/năm) 0,5đ
b)
Năm t Giá trị gần đúng theo phương pháp Euler
(Euler’s Method) Euler's Met0,5đpr((
Giá trị gần đúng theo phương pháp Euler cải tiến (Improved Euler’s Method)
0,5đ 2018
2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025
0 1 2 3 4 5 6 7
7.62 7.6998195 7.7797069 7.8596462 7.9396216 8.0196170 8.0996165 8.1796041
7.62 7.6998534 7.7797668 7.8597242 7.9397096 8.0197071 8.0997006 8.1796743 (các kết quả xấp xỉ kết quả này đều được cho đủ điểm)
………Hết………
