KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ

TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH

TỔ TOÁN

KHỐI 12

CHỦ ĐỀ

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ

HÀM SỐ ( tiếp theo)

TIẾT 2

1. ĐỊNH NGHĨA

Tương giao đồ thị

• Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đồ thị (𝐶₁) và

𝑦 = 𝑔(𝑥) có đồ thị (𝐶₂).

• Phương trình hoành độ giao điểm của (𝐶₁) và (𝐶₂) là 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

• Số giao điểm của (𝐶₁) và (𝐶₂) bằng với số nghiệm của phương

trình 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 1 .

• Nghiệm 𝑥

của phương trình 1 chính là hoành độ 𝑥

của giao điểm.

• Để tính tung độ 𝑦

của giao điểm, ta thay hoành độ 𝑥

vào 𝑦 = 𝑓 𝑥 hoặc 𝑦 = 𝑔 𝑥 .

• Điểm 𝑀 𝑥

; 𝑦

là giao

điểm của (𝐶

) và (𝐶

).

2. CHÚ Ý : Nếu bài toán tương giao đồ thị có chứa tham số m

• Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng 𝐹 𝑥, 𝑚 = 0(phương trình ẩn x tham số m)

• Cô lập m đưa phương trình về dạng 𝑚 = 𝑓 𝑥 .

• Lập BBT cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 .

• Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m.

CHỦ ĐỀ: SỰ TƯƠNG GIAO

Đồ thị của hàm số

𝑦 = −𝑥³ + 3𝑥² + 2𝑥 − 1 và đồ thị hàm số

𝑦 = 3𝑥² − 2𝑥 − 1 có tất cả bao nhiêu điểm chung?

Ⓐ. 0. Ⓑ. 2.

Ⓒ. 3. Ⓓ. 1.

Lời giải

 −𝑥³ + 3𝑥² + 2𝑥 − 1 = 3𝑥² − 2𝑥 − 1

⇔ −𝑥³ + 4𝑥 = 0 ⇔ ቎

𝑥 = 0 𝑥 = 2 𝑥 = −2

.

Chọn C

y=m VD2: Cho đồ thị của hàm số y = x

-3x

+2 như hình vẽ bên.

Tìm m để phương trình x

-3x

+2 = m có ba nghiệm phân biệt

Ta có số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đường thẳng (d) y = m

và đồ thị hàm số (C) y = x

-3x

+2

Dựa vào đồ thị ta có (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi -2 < m < 2

Giải

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Vậy -2 < m < 2 là các giá trị cần tìm

(C)

● ● ●

Tập hợp các giá trị thực của 𝑚 để 𝑥³ − 3𝑥 − 4𝑚 = 0 có ba nghiệm phân biệt là A. − ¹

2;¹

2 . B. −∞;¹

2 . C. −¹

2; +∞ . D. (−2; 2).

Lời giải

• Tập xác định 𝐷 = ℝ.

• Ta có 𝑥³ − 3𝑥 − 4𝑚 = 0 ⇔ 4𝑚 = 𝑥³ − 3𝑥

• Đặt ℎ 𝑥 = 𝑥³ − 3𝑥.

• ℎ′ 𝑥 = 3𝑥² − 3.

• ℎ′ 𝑥 = 0 ⇒ ቈ 𝑥 = 1 𝑥 = −1.

• Bảng biến thiên

• Dựa vào BBT, phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi

−2 < 4𝑚 < 2 ⇔ ⁻¹

2 < 𝑚 < ¹

2.

• Chọn A

VÍ DỤ 4

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 có bảng biến thiên như sau. Tìm tất cả các giá trị của tham số 𝑚 để phương trình 𝑓 𝑥 = 𝑚 có ba nghiệm phân biệt.

Ⓐ.𝑚 < −2.

Ⓑ.−2 < 𝑚 < 4.

Ⓒ.−2 ≤ 𝑚 ≤ 4.

Ⓓ. 𝑚 > 4.

Lời giải

• Dựa vào bảng biến thiên của hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥

• Suy ra đường thẳng 𝑦 = 𝑚 cắt đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 tại ba điểm phân biệt khi −2 < 𝑚 < 4.

Chọn B

Đường thẳng 𝑦 = 𝑥 − 1 cắt đồ thị hàm số 𝑦 = ^2𝑥−1

𝑥+1 tại cácđiểm có tọa độ là:

Ⓐ. 0; −1 , 2; 1 . Ⓑ. 0; 2 .

Ⓒ. 1; 2 . Ⓓ. −1; 0 , 2; 1 .

 Lời giải

• 𝑥 − 1 = ^2𝑥−1

𝑥+1 𝑥 ≠ −1 .

•⇔ 𝑥² − 2𝑥 = 0

•⇔ ቈ𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = −1 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 1 .

•Vậy toạ độ giao điểm là 0; −1 và 2; 1

• Chọn A.

VÍ DỤ 6

Gọi 𝑀, 𝑁 là các giao điểm của hai đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 − 2 và 𝑦 = ^7𝑥−14

𝑥+2 . Gọi 𝐼 là trung điểm của đoạn thẳng 𝑀𝑁. Tìm hoành độ điểm 𝐼.

Ⓐ. 7. Ⓑ. 3. Ⓒ. ⁻⁷

2 . Ⓓ. ⁷

2.

Lời giải

• 𝑥 − 2 = ^7𝑥−14

𝑥+2 ⇔ 𝑥² − 7𝑥 + 10 = 0 ( 𝑥 ≠ −2)

• ⇔ ቈ𝑥 = 5

𝑥 = 2 ⇒ 𝑀 2; 0 ; 𝑁 5; 3 .

• Do 𝐼 là trung điểm của đoạn thẳng 𝑀𝑁 nên

• Ta có 𝑥_𝐼 = ^{𝑥𝑀+𝑥𝑁}

2 = ²⁺⁵

2 = ⁷

2.

• Chọn D.

Cho hàm số 𝑦 = 𝑥⁴ + 4𝑥² có đồ thị 𝐶 . Tìm số giao điểm của đồ thị 𝐶 và trục hoành.

Ⓐ. 3. Ⓑ.2. Ⓒ. 1. Ⓓ. 0.

Lời giải

• Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 𝐶 là

• 𝑥⁴ + 4𝑥² = 0 ⇔ 𝑥 = 0

• Vậy đồ thị 𝐶 cắt trục hoành tại một điểm.

• Chọn C

Tìm tham số 𝑚 để đường thẳng 𝑦 = 2𝑥 + 1 cắt đồ thị 𝑦 =

𝑥−1

tại hai điểm phân biệt là

A. ൝ 𝑚 ≥

2

𝑚 ≠ −1 . B. 𝑚 ≥

2

. C. 𝑚 >

2

. D. ൝ 𝑚 >

2

𝑚 ≠ −1 . Lời giải

• Phương trình hoành độ giao điểm là:

𝑥−1

= 2𝑥 + 1.

⇔ ቊ 𝑥 ≠ 1

𝑥 + 𝑚 = 2𝑥 + 1 𝑥 − 1 ⇔

ቊ 𝑥 ≠ 1

𝑔 𝑥 = 2𝑥

− 2𝑥 − 𝑚 − 1 = 0 ∗

• Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình ∗ có hai nghiệm phân biệt khác 1

ቊ 𝑔(1) ≠ 0

𝛥 > 0 ⇔ ቊ 𝑚 ≠ −1

8𝑚 + 12 > 0 ⇔ ൝ 𝑚 ≠ −1 𝑚 > −

2

.

• Chọn D

VÍ DỤ 8

Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑥

− 3𝑥

− 5 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A. 0 B. 1. C. −5. D. 5

Lời giải

• Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑥

− 3𝑥

− 5 cắt trục tung tại điểm 𝑀 0; −5 .

• Chọn C

BÀI TẬP CỦNG CỐ SỐ 1

Biết đường thẳng 𝑦 = −2𝑥 + 2 cắt đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥

+ 𝑥 + 2 tại một điểm duy nhất, kí hiệu 𝑥

; 𝑦

. Tìm 𝑦

.

A. 𝑦

= 4. B. 𝑦

= 0. C. 𝑦

= 2. D. 𝑦

= −1.

Lời giải

• Xét phương trình hoành độ giao điểm:

𝑥

+ 𝑥 + 2 = −2𝑥 + 2 ⇔ 𝑥

+ 3𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0.

• Vậy 𝑥

= 0 ⇒ 𝑦

= 2.

• Chọn C

Cho hàm số 𝑓 𝑥 có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình 2𝑓 𝑥 + 1 = 0 là

A. 2. B. 0. C. 4. D. 3.

Lời giải

• Phương trình 2𝑓 𝑥 + 1 = 0 ⇔ 𝑓 𝑥 = − ¹

2.

• Số nghiệm của phương trình 2𝑓 𝑥 + 1 = 0 chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 và đường thẳng 𝑦 = −¹

2.

• Dựa bảng biến thiên suy ra phương trình 2𝑓 𝑥 + 1 = 0 có 4 nghiệm thực.

• Chọn C

BÀI TẬP CỦNG CỐ SỐ 3

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đồ thị như hình bên. Số nghiệm của phương trình 3𝑓(𝑥) − 5 = 0 là

A. 4. B. 5. C. 2. D. 3.

Lời giải

• Ta có 3𝑓(𝑥) − 5 = 0 ⇔ 𝑓(𝑥) =

3

.

• Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng 𝑦 =

3

cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.

Do đó phương trình 3𝑓(𝑥) − 5 = 0 có 4 nghiệm.

• Chọn A

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 2𝑓 𝑥 − 5 = 0 là

A. 4. B. 2. C. 1.

D. 𝟑.

Lời giải

• Ta có 2𝑓 𝑥 − 5 = 0 ⇔ 𝑓 𝑥 = ⁵

2.

• Từ bảng biến thiên ta có đường thẳng 𝑦 = ⁵

2 cắt 𝑦 = 𝑓 𝑥 tại 4 điểm phân biệt nên phương trình 2𝑓 𝑥 − 5 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

• Chọn A

BÀI TẬP CỦNG CỐ SỐ 5

Cho đồ thị của hàm số𝑦 = 𝑥³ − 3𝑥² + 1 như hình vẽ

Khi đó, phương trình 𝑥³ − 3𝑥² + 1 = 𝑚 (𝑚 là tham số) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi A. −3 ≤ 𝑚 ≤ 1. B. −3 < 𝑚 < 1. C. 𝑚 > 1. D. 𝑚 < −3.

Lời giải

• Ta có: đường thẳng 𝑦 = 𝑚 cắt đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥³ − 3𝑥² + 1 tại 3 đ𝑖ể𝑚 phân biệt khi và chỉ khi −3 < 𝑚 < 1.

• Vậy phương trình 𝑥³ − 3𝑥² + 1 = 𝑚(𝑚 là tham số) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi −3 <

𝑚 < 1.

•

Chọn B

Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑥

+ 4𝑥

− 5 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

A. 𝟎. B. 𝟐. C. 𝟏. D. 𝟒.

Lời giải

• Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥

+ 4𝑥

− 5 với trục hoành:

𝑥

+ 4𝑥

− 5 = 0 ⇔ ቈ 𝑥

= 1

𝑥

= −5 𝑃𝑇𝑉𝑁 ⇔ 𝑥 = ±1.

• Phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt nên đồ thị của hàm số

𝑦 = 𝑥

+ 4𝑥

− 5 cắt trục hoành tại 2 điểm.

•

Chọn B

BÀI TẬP CỦNG CỐ SỐ 7

Cho hàm số 𝑓 𝑥 có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình 𝑓 𝑥 + 2 = 0 là

A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.

Lời giải

• Ta có: 𝑓 𝑥 + 2 = 0 ⇔ 𝑓 𝑥 = −2

• Số nghiệm của phương trình 𝑓 𝑥 + 2 = 0 là số giao điểm của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 và đường thẳng 𝑦 = −2. Từ bảng biến thiên ta có số nghiệm là 2.

• Chọn A

Cho hàm số bậc ba 𝑦 = 𝑓 𝑥 có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình 𝑓 𝑥 = 1 là

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Lời giải

• Từ đồ thị hàm số ta có số nghiệm thực của phương trình 𝑓 𝑥 = 1 là 3.

•

Chọn D

BÀI TẬP CỦNG CỐ SỐ 9