Đề thi học kỳ 2 Toán 9 năm 2020 - 2021 phòng GD&ĐT Cầu Giấy - Hà Nội - THCS.TOANMATH.com

(1)

(2)

ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN CẦU GIẤY PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II LỚP 9 NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: TOÁN Thời gian làm bài 120 phút

Câu I (2,0 điểm). Cho biểu thức: 2 A 2

 x

 và 4

2 4

x x

B x  x

  với x0 và x4 1) Tính giá trị biểu thức A khi x9.

2) Chứng minh:

2 B x

 x

 . 3) Tìm x để 3

2 A B x

  x

 .

Câu II (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Trong kì thi tuyển sinh vào 10, hai trường A và B có tất cả 750 học sinh dự thi. Trong số học sinh trường A dự thi có 80% học sinh trúng tuyển, còn trong số học sinh trường B dự thi có 70% học sinh trúng tuyển. Biết tổng số học sinh trúng tuyển của cả hai trường là 560 học sinh. Tính số học sinh dự thi mỗi trường?

Câu III (2,0 điểm).

1. Giải hệ phương trình sau

2 1 4

1 3 1 5

x y y

   

 

    

 

.

2. Cho Parabol

 

^{P y x}^: ^ ² và đường thẳng

 

^{d y}^: ^²



^m^¹



^{x m}^ ²^²^{m m}⁽ là tham số) a) Tìm tọa độ giao điểm của Parabol

 

^P và đường thẳng

 

^d ^khi^m^^2;

b) Tìm m để đường thẳng

 

^d và Parabol

 

^P cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x₁; ₂ đối nhau.

Câu IV (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm M thuộc nửa đường tròn đó (M khác A, B). Trên dây BM lấy điểm N (N khác B và M), tia AN cắt nửa đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P.

Tia AM và tia BP cắt nhau tại Q.

1) Chứng minh : Bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh : MAB và MNQ đồng dạng.

3) Chứng minh MO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ. 4) Dựng hình bình hành ANBC. Chứng minh QB QC .sinQPM.

Câu V (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ² ² 1

2 2 3 2 2 2021

P x xy y x x

     x   ---HẾT---

(3)

HƯỚNG DẪN Câu I (2,0 điểm). Cho biểu thức: 2

A 2

 x

 và 4

2 4

x x

B x  x

  với x0 và x4. 1) Tính giá trị biểu thức A khi x9.

2) Chứng minh:

2 B x

 x

 . 3) Tìm x để 3

2 A B x

  x

 .

Hướng dẫn 1) Ta có : 2

A 2

 x

 ĐKXĐ: x0 và x4

Thay x9 (thỏa mãn) vào biểu thức A ta có: 2 2 2 9 2 3 2

A  

  Kết luận: Với x9 thì giá trị biểu thức A là 2

2) Ta có: 4

2 4

x x

B x  x

  ĐKXĐ: x0 và x4



⁴

 

2 2 2

x x

B x  x x

  

 

  

2 4

2 2

x x x

B x x

  

 

 

  

2

2 2 2

x x x

B x x x

  

   Kết luận:

2 B x

 x

 với x0 và x4

3) 3 2 3

2 2 2 2

x x x

A B  x  x  x  x

    ĐKXĐ: x0 và x4

2 3

2 0 x x x

 

 



¹



³ ²



2 0

x x

x

  

 



1 0 1 1 ( / )

3 2 0 3 2

x x x t m

x x x

      

 

      

 

 

Kết luận: Với x1thì thỏa mãn đề bài.

Câu II (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Trong kì thi tuyển sinh vào 10, hai trường A và B có tất cả 750 học sinh dự thi. Trong số học sinh trường A dự thi có 80% học sinh trúng tuyển, còn trong số học sinh trường B dự thi có 70% học sinh trúng tuyển. Biết tổng số học sinh trúng tuyển của cả hai trường là 560 học sinh. Tính số học sinh dự thi mỗi trường?

Hướng dẫn

Gọi số học sinh dự tuyển của trường A là x (đơn vị: học sinh), (x; y^*, x;y< 560) số học sinh dự tuyển của trường B là y (đơn vị: học sinh)

(4)

x + y = 750 (1) Số học sinh trúng tuyển của trường A là 80%.x = 4

5x (học sinh) Số học sinh trúng tuyển của trường B là 70%.y = 7

10y (học sinh)

Vì tổng số học sinh trúng tuyển của cả hai trường là 560 học sinh nên ta có phương trình 4x 7 y 560

5 10

8x 7y 5600 (2)

 

  

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

x y 750 8x 7y 5600

7x 7y 5250 8x 7y 5600 x y 750 x 350

  

  



 

   

  

   y 400

x 350

 

   (thỏa mãn điều kiện của ẩn) Vậy số học sinh dự thi của trường A là 350 học sinh

Số học sinh dự thi của trường B là 400 học sinh.

Câu III (2,0 điểm).

1. Giải hệ phương trình sau

2 1 4

1 3 1 5

x y y

   

 

    

 

.

2. Cho Parabol

 

^{P y x}^: ^ ² và đường thẳng

 

^{d y}^: ^²



^m^¹



^{x m}^ ²^²^{m m}⁽ là tham số) a) Tìm tọa độ giao điểm của Parabol

 

^P và đường thẳng

 

^d ^khi^m^^2;

b) Tìm m để đường thẳng

 

^d và Parabol

 

^P cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x₁; ₂ đối nhau.

Hướng dẫn 1. Điều kiện: x y y;  1

Đặt 1 a; y 1 b x y   

 (điều kiện a0;b0)

Khi đó hệ phương trình đã cho có dạng 2 4 6 3 12 7 7 1( )

3 5 3 5 4 2 2 ( )

a b a b a a tm

a b a b b a b tm

     

   

  

            

   

Với

1 1

1 1 3 1 4 ( )

2 1 4 3 3( )

1 2

a x y x y x x tm

b y y y tm

y

 

     

     

         

      

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 4 3. x y

 

  2. Xét phương trình hoành độ điểm chung

     

2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 0 1

x  m x m  mx  m x m  m a) Với m2 phương trình (1) có dạng

   

2 2 2 0

2 2 1 2 2.2 0 2 0 2 0 .

2

x x x x x x x

x

 

         

   

(5)

- Với ^x^{  }⁰ ^y ⁰² ^{ }⁰ ^A

 

^0;0

- Với ^x^{  }² ^y ²²^{ }⁴ ^B

 

^2;4

Vậy khi m2 thì

 

^P ^cắt

 

^d tại hai điểm phân biệt ^A

   

^{0;0 ;}^B ^2;4

b) Tính ^{ }^' ^b^'²^^ac^{ }^



^m^¹



^²^



^m²^²^m



^^m²^²^m^{ }¹ ^m²^²^m^{ }^{1 0}

Do  ' 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x x₁; ₂với mọi m.

Suy ra đường thẳng

 

^d luôn cắt Parabol

 

^P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x₁; ₂ với mọi m. Khi đó theo hệ thức Viet ta có ¹ ² ₂

1 2

2 2

2 x x m x x m m

  

  



Để đường thẳng

 

^d cắt Parabol

 

^P tại hai điểm phân biệt có hoành độ đối nhau

1 2 0 2 2 0 1( )

x x m m tm

       

Vậy m1 thì đường thẳng

 

^d luôn cắt Parabol

 

^P tại hai điểm phân biệt có hoành độ đối nhau.

Câu IV (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm M thuộc nửa đường tròn đó (M khác A, B). Trên dây BM lấy điểm N (N khác B và M), tia AN cắt nửa đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P.

Tia AM và tia BP cắt nhau tại Q.

1) Chứng minh : Bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh : MAB và MNQ đồng dạng.

3) Chứng minh MO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ. 4) Dựng hình bình hành ANBC. Chứng minh QB QC .sinQPM.

Hướng dẫn

1) Xét nửa đường tròn



^{O R}^;



^{ta có:}

AMB = 90 ⁰ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) C

I Q

N

A O B

P M

(6)

 = 90 ⁰

BMQ hay NMQ = 90 ⁰

APD = 90 ⁰ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

APQ = 90 ⁰

 hay NPQ = 90 ⁰ Xét tứ giác MNPQ ta có:

 = 90 ; ⁰  90⁰ NMQ NPQ

  + = 90 +90 =180 ⁰ ⁰ ⁰ NMQ NPQ



Mà  NMQ NPQ ; là hai góc ở vị trí đối nhau Suy ra, tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn

Vậy, 4 điểm M N P Q, , , cùng thuộc một đường tròn.

2) Xét tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn ta có:

 =

MQN NPM ( góc nội tiếp cùng chắn cung MN) Hay MQN APM =

Mà  APM ABM= (Góc nội tiếp cùng chắn cung AM trong

 

^O ⁾

 MQN ABM

 

Xét tam giác MAB và MNQ ta có:

 ABM NMQ90^o

 

 

MQN  ABM cmt

 

^.

MAB MNQ g g

  

3) Gọi I là trung điểm của QN

Xét MNQ vuông tại M 1

NI IQ 2QN

  

Suy ra, I là tâm đường tròn ngoại tiếp MNQ Xét

 

^O ^{ta có:}

OM OB R   MOB cân tại OOMB OBM^{ } Xét

 

Î ^{ta có:}^MI ^ÎN^{ }^MIN^{cân tại}Î^ÎMN^{ }^ÎNM

  

 

  ^o =

=

= 90

IMO IMN NMO IMN MBO IMN MBA INM MQN

 



 

Hay MI MO

Vây, MO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tại M . 4) Vì tứ giác ANBC là hình bình hành nên

/ /

AN BC mà AN BQ CBBQ hay CBQ 90^o / /

AC BN mà BN  AQ AC AQ hay CAQ90^o Xét tứ giác AQBC ta có :

  90ô 90ô 180ô CBQ CAQ    Mà CBQ CAQ ; ở hai vị trí đối nhau

Suy ra, tứ giác AQBC nội tiếp một đường tròn QCB QAB 

  (góc nội tiếp cùng chắn cung QB) Mà QAB MNQ QPM   

(7)

QPM QCB

 

Xét tam giác QCB vuông tại Bta có:

sinQCB QB

QC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

 

.sin .

QB QC QCB QC SinQPM

   (đpcm)

Câu V (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2x² 2xy y² 3x 1 2 x 2 2021

     x   Hướng dẫn

ĐKXĐ: x2 Ta có:

2 2

2 2 2

2 2

2 2 3 1 2 2 2021

2 4 4 1 2 2 2017

( ) ( 2) 1 3 2 2 2017

4 4

P x xy y x x

x

x xy y x x x x

x

x x

x y x x

x

       

          

          Do (x y )²0, (x2)²0, 2 x 2 0, x2.

Suy ra 1 3 1 3.2

2017 2 . 2017 2019,5.

4 4 4 4

x x x

P  x   x   Dấu " " xảy ra khi x y 2.

---HẾT---