GV: Nguyễn Dương Hải GV: Nguyễn Dương Hải ––– TTTHHCCSSS NNggguuyyễễnn CChhhíí TThhaannhh––BMT BMT ––– Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) ttrrraaannngg11
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 – 2021
MÔN: TOÁN LỚP 9 – THCS
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 30/3/2021
Bài 1: (4 điểm)
1) Cho biểu thức 9 2 5 1
2 1 2
x x
A
x x x x
. với x0 và x4
Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A nhận giá trị nguyên
2) Cho phương trình x2
2m3
xm0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho x12x229Bài 2: (4 điểm)
1) Cho parabol
P :yx2 và đường thẳng
d :y x b . Tìm b để đường thẳng
dcắt parabol
P tại hai điểm phân biệt A B, sao cho 13OI 2 (với I là trung điểm của
AB).
2) Giải phương trình
x21
x1
x3
15 2
x1
2Bài 3: (4 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương
x y;
thỏa mãn: x23xy2y2 6 0 2) Cho x y z, , là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
xy
5
yz
5
zx
5 chia hết cho 5
xy
yz
zx
Bài 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh AF AB AE AC
2) Chứng minh DH là tia phân giác của EDF
3) Giả sử ACB600. Chứng minh 2EFBF 3CF .
Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có BAD60 ,0 BCD1200 tia phân giác của BAD cắt BD tại E. Tia phân giác của BCD cắt BD tại F. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 3 1
AB BCCD DA AECF
Bài 6: (2 điểm) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x2y1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
2 2
1 1 3
4 P x y
x y xy
--- Hết ---
Bài 1: (4 điểm)
1)
9 2 5 2 1 1
9 2 5 1
2 1 2 1 2
x x x x
x x
A
x x x x x x
1 2 2
9 2 10 1 2
2 2 1 2
1 2 1 2 1 2
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
Do đó A nhận giá trị nguyên với x nguyên khi x 2 Ư
2 1; 2
1; 3; 0; 4
1; 9; 0;16
x x
(TMĐK)
2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt
2 2
20 2m 3 4m 0 4m 8m 9 0 4m 1 8 0
luôn đúng với mọi m
Theo Vi ét, ta có: 1 2
1 2
2 3
x x m
x x m
Khi đó 12 22
1 2
2 1 2
2
0
9 2 9 2 3 2 9 2 5 0 5
2 m
x x x x x x m m m m
m
Bài 2: (4 điểm)
1)Phương trình hoành độ giao điểm của
d và
P là x2 x b x2 x b 0
*Đường thẳng
d cắt parabol
P tại hai điểm phân biệt A B,
* có hai nghiệm phânbiệt 0 1 4 0 1
b b 4
Theo Vi ét, ta có: A B 1
A B
x x x x b
Vì I là trung điểm AB, nên có:
22 2
1
2 2
2 1 2
2 2 2 2
A B
I
A B A B
A B A B
I
x x x
x x x x
y y x x b
y
Do đó
2 2
2 2 1 1 2 13
2 2 2
I I
OI x y b
2
2 3
2 2 1 13
6 0 3 2 0
2
2 2
b l
b b
b b b b
b n
Vậy b2
2)
x21
x1
x3
15 2
x1
2x44x356x256x120
x4 10x3 6x2
6x3 60x2 36x
2x2 20x 12
0
2 2 2 2
10 6 6 10 6 2 10 6 0
x x x x x x x x
x2 10x 6
x2 6x 2
0
2
1 2
2
3 4
5 19; 5 19
10 6 0
6 2 0 3 11; 3 11
x x
x x
x x x x
GV: Nguyễn Dương Hải GV: Nguyễn Dương Hải ––– TTTHHCCSSS NNggguuyyễễnn CChhhíí TThhaannhh––BMT BMT ––– Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) ttrrraaannngg33
Bài 3: (4 điểm)
1) x23xy2y2 6 0x23yx2y2 6 0
*Ta có x
3y
24 2
y26
y224.
* có nghiệm nguyên dương y224k2
kN
y k
y k
24 . Vì yZ,kN 0 y k yk
Mặt khác
24 2 y k y k
y k y k y
yk y; k cùng chẵn, nên có các trường hợp sau:
TH1: 2 7
12 y k y k y
2 21 104 0
8
13
0 813
x x x x x
x
TH2: 4 5
6 y k y k y
2 15 56 0
7
8
0 78
x x x x x
x
Vậy các cặp số nguyên dương
x y;
cần tìm là:
8; 7 , 13; 7 7;5 , 8;5
2)Đặt xya y, z b z x a b
ab
.Có
xy
5
yz
5
zx
5a5b5
ab
5 a5b5
a55a b4 10a b3 210a b2 35ab4b5
3 2 2 3
2 2
2 2
5ab a 2a b 2ab b 5ab a b a ab b 5 x y y z z x a ab b
Vì x y z, , đôi một khác nhau, nên
xy
yz
zx
0Vậy
xy
5
yz
5
zx
5 chia hết cho 5
xy
yz
zx
Bài 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh AF AB AE AC
Xét ABE và ACF:
900
AEB AFC gt ; BAE (góc chung).
Vậy ABE ACF (g.g)
AB AE .
AF AB AE AC
AC AF (đpcm)
2) Chứng minh DH là tia phân giác của EDF Tứ giác BDHF có:
900
1800BDH BFH gt BDH BFH
Vậy tứ giác BDHF nội tiếp HDFHBF a
Tứ giác CDHE có:
900
1800CDH CEH gt CDHCEH
Vậy tứ giác CDHE nội tiếp HDEHCE b
Lại có ABE ACF HBFHCE c
Từ a), b), c) HDFHDE. Vậy DH là tia phân giác của EDF 3) Giả sử ACB600. Chứng minh 2EFBF 3CF.
Tứ giác AEHF có: AEH AFH 900
gt AEHAFH1800Vậy tứ giác AEHF nội tiếp EFCEAD (góc nội tiếp cùng chắn cung HE) Xét EFC và EAD: EFCEAD cmt
; ECFEDA (tứ giác CDHE nội tiếp).H
F E
D A
O
B C
Vậy EFC EAD (g.g)
dCF AD
Xét AEH và ADC: AEH ADC900
gt ; EAH (góc chung).Vậy AEH ADC (g.g) AE HE
eAD CD
Mặt khác AEH: AEH 900
gt ,AHEACB600 (tứ giác CDHE nội tiếp) Vậy AEH là nửa tam giác đều cạnh AH AH 2HE f
Xét BFC và HDC: BFCHDC900
gt ; BCF (góc chung).Vậy BFC HDC (g.g) BF HD
gCF CD
Lại có ACD: ADC 900
gt AD tanACD tan 600 3
h CD
Từ d), e), f), g), h) ta có: 2EF BF AH HD AD 3 2 3
EF BF CF
CF CF CD CD CD (đpcm) Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có
60 ,0 1200
BAD BCD tia phân giác của BAD cắt BD tại E. Tia phân giác của BCD cắt BD tại F. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 3 1
ABBCCDDA AECF
Ta có
ABD ABE ADE
S S S
1 1 1
sin sin sin
2AB DA BAD 2 AB AE BAE 2DA AE DAE
0 0 0 3 1
sin 60 sin 30 sin 30
2 2
AB DA AB AE DA AE AB DA AB DA AE
3 1 1
AB DA 1
AE AB DA AB DA
Tương tự 1 sin 1 sin 1 sin
2 2 2
BCD BCF DCF
S S S BC CD BCD BC CF BCF CD CF DCF
0 0 0 3 3
sin120 sin 60 sin 60
2 2
BC CD BC CF CD CF BC CD BC CD CF
1 1 1
BC CD 2
CF BC CD BC CD
Từ 1), 2) suy ra 1 1 1 1 3 1
AB BCCDDA AECF (đpcm).
Bài 6: (2 điểm) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x2y1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1 1 3x y
P
E F
D O
B
A
C
GV: Nguyễn Dương Hải GV: Nguyễn Dương Hải ––– TTTHHCCSSS NNggguuyyễễnn CChhhíí TThhaannhh––BMT BMT ––– Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) ttrrraaannngg55
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 3 1 1 1 1 1
3 3 16 45
4 4 4 4 4
P x y xy xy xy
x y xy x y xy x y xy xy
Lại có
2
2 2 2 2
1 1 4 4
4 0 2 1
4 4 4 4 2
x y
x y xy x y xy x y
; 3 1 16 3 2 1 16 3 2 2 12
4 xy 4 xy
xy xy
; 1 2 2 2 0 1 45 45
8 8
x y xy xy xy
Do đó 4 12 45 83
8 8
P
Dấu “=” xảy ra khi 2 2
0, 0 2 1 1 4 4 2 1 1
4 4 16
x y
x y x
x y xy
xy y xy
. Vậy
1
83 2
1 8
4 x Min P
y