• Không có kết quả nào được tìm thấy

Đề Thi Học Sinh Giỏi Tỉnh Toán 9 Năm 2020 – 2021 Sở GD&ĐT Đắk Lắk

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Đề Thi Học Sinh Giỏi Tỉnh Toán 9 Năm 2020 – 2021 Sở GD&ĐT Đắk Lắk"

Copied!
5
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

GV: Nguyễn Dương Hải GV: Nguyễn Dương Hải – TTTHHCCSSS NNggguuyynn CChhhíí TThhaannhhBMT BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) ttrrraaannngg11

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 – 2021

MÔN: TOÁN LỚP 9 – THCS

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 30/3/2021

Bài 1: (4 điểm)

1) Cho biểu thức 9 2 5 1

2 1 2

x x

A

x x x x

. với x0x4

Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A nhận giá trị nguyên

2) Cho phương trình x2

2m3

xm0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho x12x229

Bài 2: (4 điểm)

1) Cho parabol

 

P :yx2 và đường thẳng

 

d :y x b . Tìm b để đường thẳng

 

d

cắt parabol

 

P tại hai điểm phân biệt A B, sao cho 13

OI 2 (với I là trung điểm của

AB).

2) Giải phương trình

x21

 

x1



x3

15 2

x1

2

Bài 3: (4 điểm)

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương

x y;

thỏa mãn: x23xy2y2 6 0 2) Cho x y z, , là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

xy

5

yz

5

zx

5 chia hết cho 5

xy



yz



zx

Bài 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của ABC cắt nhau tại H.

1) Chứng minh AF AB AE AC

2) Chứng minh DH là tia phân giác của EDF

3) Giả sử ACB600. Chứng minh 2EFBF 3CF .

Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có BAD60 ,0 BCD1200 tia phân giác của BAD cắt BD tại E. Tia phân giác của BCD cắt BD tại F. Chứng minh rằng:

1 1 1 1 3 1

AB BCCD DA AECF

Bài 6: (2 điểm) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x2y1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

2 2

1 1 3

4 P x y

x y xy

--- Hết ---

(2)

Bài 1: (4 điểm)

1)

     

  

9 2 5 2 1 1

9 2 5 1

2 1 2 1 2

x x x x

x x

A

x x x x x x

     

 

  

 

1 2 2

9 2 10 1 2

2 2 1 2

1 2 1 2 1 2

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

 

 

Do đó A nhận giá trị nguyên với x nguyên khi x 2 Ư

  

2   1; 2

1; 3; 0; 4

 

1; 9; 0;16

x x

  (TMĐK)

2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

 

2 2

 

2

0 2m 3 4m 0 4m 8m 9 0 4m 1 8 0

       luôn đúng với mọi m

Theo Vi ét, ta có: 1 2

1 2

2 3

x x m

x x m

Khi đó 12 22

1 2

2 1 2

 

2

 

0

9 2 9 2 3 2 9 2 5 0 5

2 m

x x x x x x m m m m

m

 

Bài 2: (4 điểm)

1)Phương trình hoành độ giao điểm của

 

d

 

P x2  x b x2  x b 0

 

*

Đường thẳng

 

d cắt parabol

 

P tại hai điểm phân biệt A B,

 

* có hai nghiệm phân

biệt 0 1 4 0 1

b b 4

      

Theo Vi ét, ta có: A B 1

A B

x x x x b

 

Vì I là trung điểm AB, nên có:

 

2

2 2

1

2 2

2 1 2

2 2 2 2

A B

I

A B A B

A B A B

I

x x x

x x x x

y y x x b

y

Do đó

2 2

2 2 1 1 2 13

2 2 2

I I

OI x y   b

 

 

    

 

2

2 3

2 2 1 13

6 0 3 2 0

2

2 2

b l

b b

b b b b

b n

 

    

Vậy b2

2)

x21

 

x1



x3

15 2

x1

2x44x356x256x120

x4 10x3 6x2

 

6x3 60x2 36x

 

2x2 20x 12

0

     

2 2 2 2

10 6 6 10 6 2 10 6 0

x x x x x x x x

x2 10x 6



x2 6x 2

0

2

1 2

2

3 4

5 19; 5 19

10 6 0

6 2 0 3 11; 3 11

x x

x x

x x x x

   

 

 

       

(3)

GV: Nguyễn Dương Hải GV: Nguyễn Dương Hải – TTTHHCCSSS NNggguuyynn CChhhíí TThhaannhhBMT BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) ttrrraaannngg33

Bài 3: (4 điểm)

1) x23xy2y2 6 0x23yx2y2 6 0

 

*

Ta có   x

3y

24 2

y26

y224.

 

* có nghiệm nguyên dương y224k2

kN

y k



y k

24

. Vì yZ,kN 0 y k yk

Mặt khác

  

   

24 2 y k y k

y k y k y

yk y; k cùng chẵn, nên có các trường hợp sau:

TH1: 2 7

12 y k y k y

2 21 104 0

8



13

0 8

13

x x x x x

x

 

TH2: 4 5

6 y k y k y

2 15 56 0

7



8

0 7

8

x x x x x

x

 

Vậy các cặp số nguyên dương

x y;

cần tìm là:

8; 7 , 13; 7 7;5 , 8;5

     

2)Đặt xya y,  z b      z x a b

ab

.

xy

5

yz

5

zx

5a5b5

ab

5 a5b5

a55a b4 10a b3 210a b2 35ab4b5

3 2 2 3

   

2 2

     

2 2

5ab a 2a b 2ab b 5ab a b a ab b 5 x y y z z x a ab b

   

x y z, , đôi một khác nhau, nên

xy



yz



zx

0

Vậy

xy

5

yz

5

zx

5 chia hết cho 5

xy



yz



zx

Bài 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của ABC cắt nhau tại H.

1) Chứng minh AF AB AE AC

Xét ABE và ACF:

900

 

AEB AFC gt ; BAE (góc chung).

Vậy ABE ACF (g.g)

AB AE .

AF AB AE AC

AC AF (đpcm)

2) Chứng minh DH là tia phân giác của EDF Tứ giác BDHF có:

900

 

  1800

BDH BFH gt BDH BFH

Vậy tứ giác BDHF nội tiếp HDFHBF a

 

Tứ giác CDHE có:

900

 

  1800

CDH CEH gt CDHCEH

Vậy tứ giác CDHE nội tiếp HDEHCE b

 

Lại có ABE ACF HBFHCE c

 

Từ a), b), c) HDFHDE. Vậy DH là tia phân giác của EDF 3) Giả sử ACB600. Chứng minh 2EFBF 3CF.

Tứ giác AEHF có: AEH AFH 900

 

gt  AEHAFH1800

Vậy tứ giác AEHF nội tiếp EFCEAD (góc nội tiếp cùng chắn cung HE) Xét EFC và EAD: EFCEAD cmt

 

; ECFEDA (tứ giác CDHE nội tiếp).

H

F E

D A

O

B C

(4)

Vậy EFC EAD (g.g) 

 

d

CF AD

Xét AEH và ADC: AEH ADC900

 

gt ; EAH (góc chung).

Vậy AEH ADC (g.g)  AE HE

 

e

AD CD

Mặt khác AEH: AEH 900

 

gt ,AHEACB600 (tứ giác CDHE nội tiếp) Vậy AEH là nửa tam giác đều cạnh AH  AH 2HE f

 

Xét BFC và HDC: BFCHDC900

 

gt ; BCF (góc chung).

Vậy BFC HDC (g.g)  BF HD

 

g

CF CD

Lại có ACD: ADC 900

 

gt AD tanACD tan 600 3

 

h

CD

Từ d), e), f), g), h) ta có: 2EF BF AH HD AD 3 2 3

EF BF CF

CF CF CD CD CD (đpcm) Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có

60 ,0 1200

BAD BCD tia phân giác của BAD cắt BD tại E. Tia phân giác của BCD cắt BD tại F. Chứng minh rằng:

1 1 1 1 3 1

ABBCCDDA AECF

Ta có

ABD ABE ADE

S S S

1 1 1

sin sin sin

2AB DA BAD 2 AB AE BAE 2DA AE DAE

 

0 0 0 3 1

sin 60 sin 30 sin 30

2 2

AB DA AB AE DA AE AB DA AB DA AE

3 1 1

 

AB DA 1

AE AB DA AB DA

Tương tự 1 sin 1 sin 1 sin

2 2 2

BCD BCF DCF

S S S BC CD BCD BC CF BCF CD CF DCF

 

0 0 0 3 3

sin120 sin 60 sin 60

2 2

BC CD BC CF CD CF BC CD BC CD CF

1 1 1

 

BC CD 2

CF BC CD BC CD

Từ 1), 2) suy ra 1 1 1 1 3 1

AB BCCDDA AECF (đpcm).

Bài 6: (2 điểm) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x2y1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

1 1 3x y

P

E F

D O

B

A

C

(5)

GV: Nguyễn Dương Hải GV: Nguyễn Dương Hải – TTTHHCCSSS NNggguuyynn CChhhíí TThhaannhhBMT BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) ttrrraaannngg55

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 3 1 1 1 1 1

3 3 16 45

4 4 4 4 4

P x y xy xy xy

x y xy x y xy x y xy xy

Lại có

 

2

 

2 2 2 2

1 1 4 4

4 0 2 1

4 4 4 4 2

x y

x y xy x y xy x y

 

; 3 1 16 3 2 1 16 3 2 2 12

4 xy 4 xy

xy xy

     

; 1 2 2 2 0 1 45 45

8 8

x y xy xy xy

   

Do đó 4 12 45 83

8 8

P 

Dấu “=” xảy ra khi 2 2

0, 0 2 1 1 4 4 2 1 1

4 4 16

x y

x y x

x y xy

xy y xy

 

. Vậy

 

1

83 2

1 8

4 x Min P

y

 

 

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.. ĐỀ

Chứng minh tam giác AEM vuông cân và đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.. Chứng minh DO BO

a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA. Chứng minh rằng E, H, K thẳng hàng. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên EF. c) Chứng minh rằng KD

b) Chứng minh BH AD. Chứng minh rằng đường thẳng IM luôn đi qua một điểm cố định..  Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.. Theo nguyên tắc Đirichlet suy ra có ít

Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh của đa giác đã cho là các đỉnh của một tam giác cân mà các đỉnh đó được tô cùng một màu... Chứng minh rằng MA

Chứng minh JR vuông góc với QD. a) Chứng minh mọi cách thực hiện đều phải dừng lại sau một số hữu hạn bước... Mặt khác số

Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng 2... - Đối với Câu IV (Hình học): Không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai

Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc