• Không có kết quả nào được tìm thấy

Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Tỉnh Lai Châu 2020-2021

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2023

Chia sẻ "Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Tỉnh Lai Châu 2020-2021"

Copied!
7
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAI CHÂU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2020 – 2021 . MÔN TOÁN 9

Câu 1. (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức 26 19 2 3

2 3 1 3

x x x x x

A x x x x

  

  

   

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A Câu 2. (3,0 điểm)

a) Cho nlà số tự nhiên, chứng minh rằng

5 4 7 3 5 2

120 12 24 12 5

n n n n n

    là số tự nhiên b) Giải phương trình nghiệm nguyên 2x2 5xy2y2 7x8y1

Câu 3. (6,0 điểm)

a) Cho đa thức bậc ba f x

 

với hệ số của x3là một số nguyên dương và biết

 

5

 

3 2020

ff  . Chứng minh rằng f

 

7 f

 

1 là hợp số

b) Giải hệ phương trình :

2 2

3 3 2

4 3 4

12 8 6 9

x y x

x x y x

   



   



Câu 4. (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng OAR,vẽ đường tròn

O R;

. Trên đường tròn

O R;

lấy điểm Hbất kỳ sao cho AHR qua H, vẽ đường thẳng atiếp xúc với đường tròn

O R;

.Trên đường thẳng alấy B C, sao cho H nằm giữa B C, và ABACR.Vẽ

HM vuông góc với OB M

OB

,vẽ HN OC N

OC

a) Chứng minh OM OB. ON OC. và MNluôn đi qua một điểm cố định b) Chứng minh OB OC. 2R2

c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMNkhi H thay đổi Câu 5. (2,0 điểm) Cho a b c, , dương thỏa mãn 6a3b2cabc

Tìm giá trị lớn nhất của

2 2 2

1 2 3

1 4 9

B

a b c

  

  

(2)

Bài 1.

    

  

  

  

   

  

26 19 2 3 0

) 2 3 1 3 1

26 19 2 3 3 1

1 3

26 19 2 6 4 3

1 3

16 1

16 16 16

1 3 1 3 3

x x x x x x

a A x x x x x

x x x x x x x

x x

x x x x x x x

x x

x x

x x x x x

x x x x x

  

  

         

      

  

      

  

 

   

  

    

Vậy với x0,x1thì 16 3 A x

x

 

b) Với x0;x1. Ta có : A x 163 x 3 25 3

x 3

25 3 6

x x x

        

  

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương 25

3; 3

xx

. Ta có : 2 25 6 4

A  

Dấu " " xảy ra x 3 25 3

x 3

2 25 x 3 5 x 4(tmdk)

   x        

 Vậy Min A  4 x 4

(3)

Bài 2.

a) Cho nlà số tự nhiên,chứng minh rằng

5 4 7 3 5 2

120 12 24 12 5

n n n n n

    là số tự nhiên Ta có:

5 4 7 3 5 2 5 10 4 35 3 50 2 24

120 12 24 12 5 120

n n n n n nnnnn

    

Ta có :n5 10n4 35n3 50n224nn n

4 10n3 35n2 50n24

1



2



3



4 120

n n n n n

     ⋮ (tích của 5 số tự nhiên liên tiếp) Vậy

5 4 7 3 5 2

120 12 24 12 5

n n n n n

    là số tự nhiên

b) Giải phương trình nghiệm nguyên 2x2 5xy2y2 7x8y 1

Ta có: 2x2 5xy 2y2 7x8y  1 2x2 4xy4xxy2y2 2y3x6y 6 7

     

  

2 2 2 2 2 3 2 2 7

2 2 2 3 7

x x y y x y x y

x y x y

         

     

7 17

2 2 1 3 2 2 1 3

1: ( ) 2 : ( )

2 3 7 2 2 3 7 4

3 3

1

2 2 7 3 2 2 7 3

3: ( ) 4 : ( )

2 3 1 4 2 3 1 14

3

x x

x y x y

Th ktm Th ktm

x y x y

y y

x y x x y x

Th tm Th ktm

x y y x y

y

     

 

      

   

 

   

       

      

 

 

 

        

   

 

   

        

    



Vậy phương trình có nghiệm nguyên

x y;

 

  3; 4

Bài 3.

a) Gọi f x

 

ax3 bx2cxd a

Ta có: f

 

5 f

 

3 2020a.53b.52 c.5 d a.33 b.32 c.3 d 2020

125a 25b 5c d 27a 9b 3c d 2020 98a 16b 2c 2020

            

Do đó :

 

7

 

1 .73 .72 .7 .13 .12 .1 342 48 6

ffabc  d abc  d abc

(4)

   

   

2 2

2 2

3 3 2 3 3

2 1 4 1

4 3 4

) 12 8 6 9 2 1 8 2

x y

x y x

b

x x y x x y

   

   

 

 

   

   

 

*Nếu

2 3

0 1 4 1

2 0 1 8 2

x y y

y

  

   

   , nên hệ có nghiệm

2 1 2 x y

 



 

*Nếu x2thì 1

y  2, chia theo vế (2) cho (1) ta được :

3 2

 

2

1 8 1 2 4 1

2 2 2 2 3

1 4 1 2 1 2

y y y

x x x y

y y y

  

        

  

Từ (1) và (3)

 

2

2 2 2

2

1 4 1

2 1 4 4 1 4

1 2 1 2 1 2

y y y y y

y y y

 

            

 

 

2 4 3 2

2

2

2 2

2

4 1

8 1 0 32 32 12 0

1 2 1 2

4 0

4 8 8 3 0

8 8 3 0

y y y y y

y y

y y y y

y y

        

 

 

     

  

 )4y2 0 y 0

    . Thế vào (3) x 3( )tm )8y2 8y 3 0

    có  ' 42 8.3  8 0nên phương trình vô nghiệm Vậy nghiệm của hệ phương trình

;

  

3;0 ; 2;1

x y   2

   

 

 

(5)

Bài 4.

a) OHBvuông tại H, đường cao HM OH2 OM OB.

 

1

OHCvuông tại H, đường cao HN OH2 ON OC.

 

2

Từ (1) và (2) OM OB. ON OC.

Ta có: 2 . 2 . OA OC,

OH ON OC OA ON OC AOC

ON OA

      chung

( . . )

OAN OCA c g c OAN

  ∽   cân tại N (do OCAcân tại A) NA NO N

   thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA

 

3

Chứng minh tương tự: 2 . OA OB

OA OM OB OAM OBA

OM OA

     ∽

 OAM cân tại MMAMOM thuộc đường trung trực của đoạn OA

 

4

Từ (3) và (4)MN là đường trung trực của đoạn thẳng OA

b) Ta có ON OI

ONM OHM ONI OHM

OH OM

     ∽  

2

. . . . 2 2

2 2

R R

ON OM OH OI R OB OC R

     

OM OC

I M

N C

A O

H

B

(6)

2 OB OH Lại có OMN ∽OCBtheo tỉ số

1 1 1 1

. . .

2 OMN 4 OBC 4 2 8

ON R

k S S OH BC BC

OB     

OB OC. 2R2

R2HC2



R2 HB2

 

OH2 HC2



OH2HB2

OC OB2. 2 4R4

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được :

2 2



2 2

  

2

2

. . 2

2 .8 4

OMN

R HC R HB R HB R HC BC R

R R

S R

     

  

Vậy diện tích OMN có giá trị lớn nhất là

2

4

RHBHC   R A H Bài 5.

Từ 6a3b2cabc, ta có : 6 3 2 2 3 1 3 1 2

. . . 1

a b c

abcabcabcb ca ca b

Đặt 1 2 3

; ;

x y z

a b c

   . Khi đó xyyzzx1

2 2 2 2 2 2

1 2 3

1 4 9 1 1 1

x y z

B

a b c x y z

      

     

Nhận thấy:

  

2 2

1 1 2

x x x x x

x y x z x y z x

x x xy yz zx

 

         

     

Tương tự :

2 2

1 1

2 ; 2

1 1

y y y z z z

x y y z z y x z

y z

   

           

     

1 3

2 2

x y y z z x B x y y z z x

    

        

(7)

Dấu " " xảy ra khi 1 1

3, 2 3; 3 3

3 3

x   y z    x y z  a bc

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

Chứng minh đẳng thức... Chứng minh đẳng thức

đường tròn vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn tạo thành một góc bằng  cho trước. Trên đường tròn lấy một điểm A cố định và một điểm B di động. Từ A

Tìm tham số m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng

Gọi bán kính đường tròn là

Tìm tham số m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song.. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao

Cho 19 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng nằm trong một hình lục giác đều có cạnh bằng 1.. 1) Chia lục giác đều cạnh bằng 1 thành 6 tam giác đều có cạnh bằng

c) Xác định vị trí của các điểm I K , sao cho tam giác DIK có diện tích nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó theo a

[r]