SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAI CHÂU
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2020 – 2021 . MÔN TOÁN 9
Câu 1. (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức 26 19 2 3
2 3 1 3
x x x x x
A x x x x
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A Câu 2. (3,0 điểm)
a) Cho nlà số tự nhiên, chứng minh rằng
5 4 7 3 5 2
120 12 24 12 5
n n n n n
là số tự nhiên b) Giải phương trình nghiệm nguyên 2x2 5xy2y2 7x8y1
Câu 3. (6,0 điểm)
a) Cho đa thức bậc ba f x
với hệ số của x3là một số nguyên dương và biết
5
3 2020f f . Chứng minh rằng f
7 f
1 là hợp sốb) Giải hệ phương trình :
2 2
3 3 2
4 3 4
12 8 6 9
x y x
x x y x
Câu 4. (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng OAR,vẽ đường tròn
O R;
. Trên đường tròn
O R;
lấy điểm Hbất kỳ sao cho AH R qua H, vẽ đường thẳng atiếp xúc với đường tròn
O R;
.Trên đường thẳng alấy B C, sao cho H nằm giữa B C, và AB ACR.VẽHM vuông góc với OB M
OB
,vẽ HN OC N
OC
a) Chứng minh OM OB. ON OC. và MNluôn đi qua một điểm cố định b) Chứng minh OB OC. 2R2
c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMNkhi H thay đổi Câu 5. (2,0 điểm) Cho a b c, , dương thỏa mãn 6a3b2c abc
Tìm giá trị lớn nhất của
2 2 2
1 2 3
1 4 9
B
a b c
Bài 1.
26 19 2 3 0
) 2 3 1 3 1
26 19 2 3 3 1
1 3
26 19 2 6 4 3
1 3
16 1
16 16 16
1 3 1 3 3
x x x x x x
a A x x x x x
x x x x x x x
x x
x x x x x x x
x x
x x
x x x x x
x x x x x
Vậy với x0,x1thì 16 3 A x
x
b) Với x0;x1. Ta có : A x 163 x 3 25 3
x 3
25 3 6x x x
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương 25
3; 3
x x
. Ta có : 2 25 6 4
A
Dấu " " xảy ra x 3 25 3
x 3
2 25 x 3 5 x 4(tmdk) x
Vậy Min A 4 x 4
Bài 2.
a) Cho nlà số tự nhiên,chứng minh rằng
5 4 7 3 5 2
120 12 24 12 5
n n n n n
là số tự nhiên Ta có:
5 4 7 3 5 2 5 10 4 35 3 50 2 24
120 12 24 12 5 120
n n n n n n n n n n
Ta có :n5 10n4 35n3 50n224nn n
4 10n3 35n2 50n24
1
2
3
4 120
n n n n n
⋮ (tích của 5 số tự nhiên liên tiếp) Vậy
5 4 7 3 5 2
120 12 24 12 5
n n n n n
là số tự nhiên
b) Giải phương trình nghiệm nguyên 2x2 5xy2y2 7x8y 1
Ta có: 2x2 5xy 2y2 7x8y 1 2x2 4xy4x xy2y2 2y3x6y 6 7
2 2 2 2 2 3 2 2 7
2 2 2 3 7
x x y y x y x y
x y x y
7 17
2 2 1 3 2 2 1 3
1: ( ) 2 : ( )
2 3 7 2 2 3 7 4
3 3
1
2 2 7 3 2 2 7 3
3: ( ) 4 : ( )
2 3 1 4 2 3 1 14
3
x x
x y x y
Th ktm Th ktm
x y x y
y y
x y x x y x
Th tm Th ktm
x y y x y
y
Vậy phương trình có nghiệm nguyên
x y;
3; 4
Bài 3.
a) Gọi f x
ax3 bx2cxd a
ℤ
Ta có: f
5 f
3 2020a.53b.52 c.5 d a.33 b.32 c.3 d 2020125a 25b 5c d 27a 9b 3c d 2020 98a 16b 2c 2020
Do đó :
7
1 .73 .72 .7 .13 .12 .1 342 48 6f f a b c d a b c d a b c
2 2
2 2
3 3 2 3 3
2 1 4 1
4 3 4
) 12 8 6 9 2 1 8 2
x y
x y x
b
x x y x x y
*Nếu
2 3
0 1 4 1
2 0 1 8 2
x y y
y
, nên hệ có nghiệm
2 1 2 x y
*Nếu x2thì 1
y 2, chia theo vế (2) cho (1) ta được :
3 2
2
1 8 1 2 4 1
2 2 2 2 3
1 4 1 2 1 2
y y y
x x x y
y y y
Từ (1) và (3)
2
2 2 2
2
1 4 1
2 1 4 4 1 4
1 2 1 2 1 2
y y y y y
y y y
2 4 3 2
2
2
2 2
2
4 1
8 1 0 32 32 12 0
1 2 1 2
4 0
4 8 8 3 0
8 8 3 0
y y y y y
y y
y y y y
y y
)4y2 0 y 0
. Thế vào (3) x 3( )tm )8y2 8y 3 0
có ' 42 8.3 8 0nên phương trình vô nghiệm Vậy nghiệm của hệ phương trình
;
3;0 ; 2;1x y 2
Bài 4.
a) OHBvuông tại H, đường cao HM OH2 OM OB.
1OHCvuông tại H, đường cao HN OH2 ON OC.
2Từ (1) và (2) OM OB. ON OC.
Ta có: 2 . 2 . OA OC,
OH ON OC OA ON OC AOC
ON OA
chung
( . . )
OAN OCA c g c OAN
∽ cân tại N (do OCAcân tại A) NA NO N
thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA
3Chứng minh tương tự: 2 . OA OB
OA OM OB OAM OBA
OM OA
∽
OAM cân tại MMA MOM thuộc đường trung trực của đoạn OA
4Từ (3) và (4)MN là đường trung trực của đoạn thẳng OA
b) Ta có ON OI
ONM OHM ONI OHM
OH OM
∽
2
. . . . 2 2
2 2
R R
ON OM OH OI R OB OC R
OM OC
I M
N C
A O
H
B
2 OB OH Lại có OMN ∽OCBtheo tỉ số
1 1 1 1
. . .
2 OMN 4 OBC 4 2 8
ON R
k S S OH BC BC
OB
Mà OB OC. 2R2
R2HC2
R2 HB2
OH2 HC2
OH2HB2
OC OB2. 2 4R4Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được :
2 2
2 2
22
. . 2
2 .8 4
OMN
R HC R HB R HB R HC BC R
R R
S R
Vậy diện tích OMN có giá trị lớn nhất là
2
4
R HBHC R A H Bài 5.
Từ 6a3b2c abc, ta có : 6 3 2 2 3 1 3 1 2
. . . 1
a b c
abc abc abc b c a c a b
Đặt 1 2 3
; ;
x y z
a b c
. Khi đó xy yz zx1
2 2 2 2 2 2
1 2 3
1 4 9 1 1 1
x y z
B
a b c x y z
Nhận thấy:
2 2
1 1 2
x x x x x
x y x z x y z x
x x xy yz zx
Tương tự :
2 2
1 1
2 ; 2
1 1
y y y z z z
x y y z z y x z
y z
1 3
2 2
x y y z z x B x y y z z x
Dấu " " xảy ra khi 1 1
3, 2 3; 3 3
3 3
x y z x y z a b c