Bài tập Toán lớp 11 Học kì 1 có đáp án

Đề 1 I. Trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1: Trong 1 tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong tổ tham gia đội tình nguyện của trường. Tính xác suất để 3 bạn được chọn toàn nam?

A) 2 3 B) 4 5 C) 1 5 D) 1 6

Câu 2: Tìm công bội q của một cấp số nhân

 

u  2 và u₆ 16

A) q = 1 2 B) q = 2 C) q = -1

2 D) q = -2

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là:

A) Đường thẳng đi qua S và song song với đường thẳng AD

B) Đường thẳng đi qua S và song song với đường thẳng BD C) Đường thẳng đi qua S và song song với đường thẳng AC D) Đường thẳng đi qua S và song song với đường thẳng CD Câu 4: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A) Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

B) Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn vô số điểm chung nữa C) Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

D) Nếu một đường thẳng có một điểm thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh của đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0 qua phép tịnh tiến theo ^{v 1; 1}





A) d': x 2y 2 0   B) d': x 2y 4 0   C) d': x 2y 4 0   D) d': x 2y 2 0 

Câu 6: Nghiệm của phương trình sin xcos 2x2 là:

A) x k2 , k Z

4

    

B) xk2 ,k Z C) x k2 ,k Z

2

   

D) x k ,k Z 2

   

Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A) “Phép vị tự tỉ số k 1 là phép dời hình”.

B) “Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính”

C) “Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó”

D) “Phép quay tâm I góc quay 90° biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc với nó.”

Câu 8: Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 24 thẻ được đánh số từ 1 đến 24.

Xác suất để thẻ lấy được ghi số chia hết cho 4 là : A) 7

24 B) 6

24 C) 4

24

Câu 9: Giá trị lớn nhất của hàm số 7

y 2sin x 5

12

 

   

  là:

A) -7 B) -3 C) 3 D) -5

Câu 10: Phương trình 2sin x 4sin x cos x²  4cos x 1²  tương đương với phương trình

A) cos 2x2sin 2x2 B) sin 2x2cos 2x2 C) cos2x2sin 2x 2 D) sin 2x2cos 2x 2 II. Tự luận (5 điểm)

Câu 1 (1 điểm): Giải phương trình sau: sin x 3sin x²   2 0

Câu 2 (1 điểm): Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 10 học sinh, gồm 4 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh đi làm nhiệm vụ mà số học sinh lớp B bằng số học sinh lớp C Câu 3 (1 điểm): Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

5 2

3

x 1 x

  

 

 

Câu 4 (2 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi N là trung điểm của cạnh SC. Lấy điểm M đối xứng với B qua A.

a) Chứng minh rằng: MD song song với mặt phẳng (SAC).

b) Xác định giao điểm G của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAD). Tính tỉ số GM

GN .

Đáp án I. Trắc nghiệm

Câu 1: Trong 1 tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong tổ tham gia đội tình nguyện của trường. Tính xác suất để 3 bạn được chọn toàn nam?

A) 2 3 B) 4 5 C) 1 5 D) 1 6

Giải thích:

Số phần tử của không gian mẫu: n_ C₁₀³ Gọi A: “3 bạn được chọn toàn nam”.

Khi đó, A ³6

 

n C 20 1

n C P A

n_ C 120 6

      .

Câu 2: Tìm công bội q của một cấp số nhân

 

u  2 và u₆ 16

A) q = 1 2 B) q = 2

C) q = -1 2

D) q = -2 Giải thích

Ta có: ₁ 1 _{6 1} ⁵ u , u u .q 16

2  

5 5

1q 16 q 32 q 2

 2      .

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là:

A) Đường thẳng đi qua S và song song với đường thẳng AD B) Đường thẳng đi qua S và song song với đường thẳng BD C) Đường thẳng đi qua S và song song với đường thẳng AC D) Đường thẳng đi qua S và song song với đường thẳng CD Giải thích

Vì AB //CD suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB); (SDC) là đường thẳng đi qua S và song song với đường thẳng CD.

Câu 4: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A) Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

B) Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn vô số điểm chung nữa.

C) Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

D) Nếu một đường thẳng có một điểm thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Giải thích: A, B, C đúng. D chỉ đúng khi đường thẳng nằm trong mặt phẳng thôi nhé, còn khi đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm thì sai rõ ràng rồi.

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh của đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0 qua phép tịnh tiến theo ^{v 1; 1}





A) d': x 2y 2 0   B) d': x 2y 4 0   C) d': x 2y 4 0   D) d': x 2y 2 0  Giải thích:

Phép tịnh tiến theo v : d d ' song song hoặc trùng với dd' : x2y m 0  Lấy A

 

   

A ' A '

x 1 1 2

A ' 2;0

y 1 1 0

  

 

    



Vì A' d ' nên 2 2.0 m 0      m 2 d': x2y 2 0  . Câu 6: Nghiệm của phương trình sin x cos 2x 2 là:

A) x k2 , k Z

4

    

B) xk2 ,k Z C) x k2 ,k Z

2

   

D) x k ,k Z

2

   

Giải thích





sin xcos 2x 2 sin x 1 2sin x 2 2sin x sin x 3 02

   

 

sin x 1

x k2 , k Z

3 2

sin x ktm 2

  

     

  



Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A) “Phép vị tự tỉ số k 1 là phép dời hình”.

B) “Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính”

C) “Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó”

D) “Phép quay tâm I góc quay 90° biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc với nó.”

Giải thích

“Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó” là mệnh đề sai. Vì hai đường thẳng có thể trùng nhau.

Câu 8: Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 24 thẻ được đánh số từ 1 đến 24.

Xác suất để thẻ lấy được ghi số chia hết cho 4 là : A) 7

24 B) 6

24

C) 4 24 D) 10 24 Giải thích

Lấy ngẫu nhiên 1 thẻ trong 24 thẻ có 24 cách suy ra ⁿ ^{ 24}. Trong các số từ 1 đến 24 có số 4;8;12;16; 20; 24 chia hết cho 4.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố là ^{n X}

 

 

 

n X 6 1

P n  24  4

 .

Câu 9: Giá trị lớn nhất của hàm số 7

y 2sin x 5

12

 

    là:

A) -7 B) -3 C) 3 D) -5 Giải thích

Vì 7 7

sin x 1 2.sin x 5 2 5 3

12 12

 

          

   

    . Vậy y_max  3

Câu 10: Phương trình 2sin x 4sin x cos x²  4cos x 1²  tương đương với phương trình

A) cos 2x2sin 2x2

B) sin 2x2cos 2x2 C) cos 2x2sin 2x 2 D) sin 2x2cos 2x 2 Giải thích

2 2

2sin x 4sin x cos x 4cos x 1

2 2 2

2sin x 2cos x 2.(2sin x.cos x) 2cos x 1 0

     



 



2 sin x cos x 2sin 2x 2cos x 1 0

     

cos2x 2sin 2x 2 0

   

cos 2x 2sin 2x 2

   

II. Tự luận Bài 1:

sin x 3sin x2   2 0

Đặt ^{sin xt, t }





t2 2t t 2 0

    

   

t t 2 t 2 0

    



 

   

t 2 0 t 1 0

  

   

 

t 1

t 1 t 2 ktm

 

   

sin x 1 x k2 ,k Z

2

       .

Bài 2:

Số cách chọn 5 học sinh, trong đó: 1 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B, 2 học sinh lớp C là: C .C .C¹₄ ²₃ ²₃ 36 (cách)

Số cách chọn 5 học sinh, trong đó: 3 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B, 1 học sinh lớp C là: C .C .C³₄ ¹₃ ¹₃ 36 (cách)

Vậy có tất cả số cách chọn 5 học sinh đi làm nhiệm vụ mà số học sinh lớp B bằng số học sinh lớp C là: 36 + 36 = 72 (cách).

Bài 3:

Ta có: ² 3 ⁵





x 1 x x

x

     

 

 

   

5 i 2 i 3 5 i 5 i 2i 15 3i 5 i 5i 15

5 5 5

i 0 i 0 i 0

C x . x^{ } C .x ^{ } C x ^

  









Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với i thỏa mãn: 5i 15   0 i 3

 Số hạng không chứa x trong khai triển là: C³₅ 10. Bài 4:

a) Do ABCD là hình bình hành nên ABDC, mà M đối xứng với B qua A

AB MA DC MA ACDM

     là hình bình hành MD / /AC

Vì ^AC





 

b) Gọi E là giao điểm của AD và MC. Do ACDM là hình bình hành nên E là trung điểm của MC

Trong (SMC) gọi G là giao điểm của SE và MN G MN G SE

 

  

Mà ^SE









Tam giác SMC có: SE, MN là trung tuyến, SEMN G G là trọng tâm tam giác SMC MG 2

GN 1 2

   .

Đề 2 I. Trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1: Khẳng định nào dưới đây sai?

A) Hàm số ycos x là hàm số chẵn.

B) Hàm số ycot xlà hàm số lẻ.

C) Hàm số y sin x là hàm số chẵn.

D) Hàm số ytan x là hàm số lẻ.

Câu 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn An, Bình, Châu, Dung và Đức đứng thành một hàng ngang?

A) 25 B) 20 C) 120 D) 24

Câu 3: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Giao điểm của (SAC) và BD là

A) Điểm O B) Điểm S C) Điểm A

D) Điểm C

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin x² 4sin x5 là A) -20

B) – 8 C) 0 D) -9

Câu 5: Dãy số nào sau đây là một cấp số nhân?

A) 2; 4; 6; 8…

B) 2; 4; 8; 16…

C) 1; 2; 3; 4…

D) 1; 3; 5; 7;…

Câu 6: Một hộp có 5 viên bi đen, 4 viên bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất 2 bi được chọn cùng màu là

A) 4 9. B) 1 9. C) 5 9. D) 1 4.

Câu 7: Tam giác đều ABC có bao nhiêu trục đối xứng?

A) 2 B) 1 C) 0

D) 3

Câu 8: Dãy số

 

n 1 n

u 2

, n 1.

u _ 2u 3

 

    

 Số hạng thứ 3 của dãy là

A) u₃ 6.

B) u₃ 3.

C) u₃ 1.

D) u₃ 1.

Câu 9: Số nghiệm của phương trình 2sin x2cos x  2 thuộc đoạn 0;

2

 

 

  là A) 2

B) 0 C) 3 D) 1

Câu 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A) Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

B) Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.

C) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

D) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

Câu 11: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A) Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.

B) Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.

C) Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

D) Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Câu 12: Trong khai triển





B) -11520 C) 45 D) 256

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Thiết diện của (P) và hình chóp là hình gì?

A) Hình bình hành.

B) Tam giác cân.

C) Tam giác vuông.

D) Tam giác đều.

Câu 14: Phương trình cos x 3 sin x2 tương đương với phương trình nào?

A) cos x 1 3

 

 

 

B) sin x 1 3

 

 

 

C) cos x 1 3

 

 

 

D) sin x 1 3

 

 

 

Câu 15: Ảnh của điểm ^{M 3;2}

 

A)





B)





C)

 

D)





Câu 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho vectơ ^v





 

M 3;2 . Tìm tọa độ ảnh M của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v . A) ^{M 5;3}

 

B) ^{M 1; 1 }

 

C) ^{M 1;1}  D) ^{M }





Câu 17: Cho cấp số cộng

 

A) d = 10 B) d = 2 C) d ^{5 13}.

 3

D) 5

d .

 3

Câu 18: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Khi đó số các số tự nhiên gồm 4 chữ số, đôi một khác nhau được thành lập từ các chữ số đó là

A) 35 B) 840

C) 360 D) 720

Câu 19: Giải phương trình tan 4x 3 3

  

 

 

A) x k , k

3 3

 

  

B) x k , k 3

   

C) x k ,k 2

   

D) x k , k 4

  

Câu 20: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa.

Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán.

A) 2 7. B) 1

21. C) 37 42. D) 5

42.

II. Tự luận (5 điểm)

Bài 1: Giải phương trình sau:

3tan x 3 cot x 3 30

Bài 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3.

Bài 3: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN)

Đáp án I. Trắc nghiệm

Câu 1: Khẳng định nào dưới đây sai?

A) Hàm số ycos x là hàm số chẵn.

B) Hàm số ycot xlà hàm số lẻ.

C) Hàm số y sin x là hàm số chẵn.

D) Hàm số ytan x là hàm số lẻ.

Giải thích:

Xét hàm số y sin x ta có x    x và ^sin

 

Câu 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn An, Bình, Châu, Dung và Đức đứng thành một hàng ngang?

A) 25

B) 20 C) 120 D) 24 Giải thích:

Số cách sắp xếp năm bạn thành một hàng ngang là các hoán vị của năm phần tử có 5! 120 cách.

Câu 3: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Giao điểm của (SAC) và BD là

A) Điểm O B) Điểm S C) Điểm A D) Điểm C Giải thích:

Trong mặt phẳng (ABCD), ta có: BDAC O.

Mà ^AC









Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin x² 4sin x5 là A) -20

B) – 8 C) 0 D) -9 Giải thích :

 

ysin x2 4sin x 5  sinx2 9 Ta có

 

1 sin x 1, x 3 sin x 2 1, x 9 sin x 2 1, x

               

 

0 sin x 2 9 8, x 0 y 8, x

           

Ta có y 8 sinx 1 x k2 ,k

2

        

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm sốysin x² 4sin x5 là 8 Câu 5: Dãy số nào sau đây là một cấp số nhân?

A) 2; 4; 6; 8…

B) 2; 4; 8; 16…

C) 1; 2; 3; 4…

D) 1; 3; 5; 7;…

Giải thích:

Ta có ^{2 3 4}

1 2 3

u u u

... 2.

u  u  u   Vậy dãy số 2, 4, 8, 16,... là một cấp số nhân với u₁2 và công bội q = 2

Câu 6: Một hộp có 5 viên bi đen, 4 viên bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất 2 bi được chọn cùng màu là

A) 4 9.

B) 1 9. C) 5 9. D) 1 4.

Giải thích:

Tổng số bi trong hộp là 9. Chọn ngẫu nhiên 2 bi trong số 9 bi. Nên  C₉² 36.

Gọi A: “Hai bi cùng màu”.

Để 2 bi cùng màu thì được 2 bi đen hoặc 2 bi trắng. A C²₅ C²₄ 16.

Xác suất: _A A 4

P .

  9



Câu 7: Tam giác đều ABC có bao nhiêu trục đối xứng?

A) 2 B) 1 C) 0 D) 3

Giải thích :

Tam giác đều ABC có 3 trục đối xứng là ba đường cao của tam giác.

Câu 8: Dãy số

 

n 1 n

u 2

, n 1.

u _ 2u 3

 

    

 Số hạng thứ 3 của dãy là

A) u₃ 6.

B) u₃ 3.

C) u₃ 1.

D) u₃ 1.

Giải thích:

Ta có dãy

 

n 1 n

u 2

, n 1.

u _ 2u 3

 

    



Suy ra u₂ 2.u₁ 3 2.2 3 1  u₃ 2.u₂  3 2.1 3  1 Vậy u₃  1.

(Công thức tổng quát u_n  3 2^{n 1} , n 1  ).

Câu 9: Số nghiệm của phương trình 2sin x2cos x  2 thuộc đoạn 0;

2

 

 

  là A) 2

B) 0 C) 3 D) 1 Giải thích

Ta có: 2sin x2cos x 2 sin x cos x 2

   2

2 sin x 2

4 2

 

   

 

sin x 1

4 2

 

   

sin x sin

4 6

 

 

   

x k2 x 5 k2

4 6 12

13 ;k

x k2 x k2

4 6 12

  

        

 

  

  

          

 



Vì 5

x 0; x

2 12

 

 

  

Câu 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A) Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

B) Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.

C) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

D) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

Giải thích:

Chọn D

Câu 11: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A) Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.

B) Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.

C) Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

D) Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Giải thích

Hai mặt phẳng không cắt nhau thì có thể trùng nhau nên phương án A sai.

Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì có thể song song với nhau nên B sai.

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó nên D sai.

Câu 12: Trong khai triển





B) -11520 C) 45 D) 256 Giải thích

Ta có

 

   

 

k 0 k 0

2x 1 C . 2x ^ . 1 C .2 ^ . 1 .x ^ .

 

 





Xét x , tức là 10 k⁸    8 k 2.

Vậy hệ số của số hạng chứa x là ⁸ C .210^{2 10 2}.

 

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Thiết diện của (P) và hình chóp là hình gì?

A) Hình bình hành.

B) Tam giác cân.

C) Tam giác vuông.

D) Tam giác đều.

Giải thích:

Do SBD đều nên ta có: MNMQNQ. Thiết diện của (P) và hình chóp là tam giác đều MNQ.

Câu 14: Phương trình cos x 3 sin x2 tương đương với phương trình nào?

A) cos x 1 3

 

 

 

B) sin x 1 3

 

 

 

C) cos x 1 3

 

 

 

D) sin x 1 3

 

 

 

Giải thích:

Ta có cos x 3 sin x2

1 3

cos x sin x 1

2 2

  

cos .cos x sin .sin x 1

3 3

 

  

cos x 1 3

 

   

 

Câu 15: Ảnh của điểm ^{M 3;2}

 

A)





B)





C)

 

D)





Giải thích

Gọi ^MQ_{O;90}

 





Câu 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho vectơ ^v





 

M 3;2 . Tìm tọa độ ảnh M của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v . A) ^{M 5;3}

 

B) ^{M 1; 1 }

 

C) ^{M 1;1}  D) ^{M }





Giải thích:

v

 

x 3 2 x 1

T M M MM v

y 2 1 y 1

   

 

 

        

Câu 17: Cho cấp số cộng

 

A) d = 10

B) d = 2

C) d ^{5 13}.

 3

D) 5

d .

 3 Giải thích:

Ta có

 



 



Do u₁ 3và u₆ 13, suy ra u₆ u₁5d13 3 5d   d 2.

Vậy công sai d2.

Câu 18: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Khi đó số các số tự nhiên gồm 4 chữ số, đôi một khác nhau được thành lập từ các chữ số đó là

A) 35 B) 840 C) 360 D) 720 Giải thích:

Số có bốn chữ số có dạng: abcd ,





Chọn a có 6 cách. Chọn bcd có A³₆ cách.

Vậy có 6.A³₆ 720 số.

Câu 19: Giải phương trình tan 4x 3 3

  

 

 

A) x k , k

3 3

 

  

B) x k , k 3

   

C) x k ,k 2

   

D) x k , k 4

  

Giải thích:

tan 4x 3

3

  

 

 

tan 4x tan

3 3

 

 

   

4x k

3 3

     4x k

   x k

4

  với k 

Câu 20: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa.

Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán.

A) 2 7. B) 1

21.

C) 37 42. D) 5

42.

Giải thích:

Chọn 3 cuốn tùy ý từ 9 cuốn có n( ) C³₉ cách.

Chọn được 3 cuốn đều là toán có n(A)C³₄ cách.

Xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán là

 

9

n C 1

P A (A) .

( )

n  C 21

  

II. Tự luận Bài 1:

3tan x 3 cot x 3 30 (1) Điều kiện xác định: cosx 0;sin x 0 

(1) 3

3tan x 3 3 0

tan x

    

 

3tan x2 3 3 tan x 3 0

    

tan x 1 tan x 3

3

 

  



x k , k

4

x k , k

6

    

 

    



(thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình (1) là:

x k

4

   và x k , k 6

   

Bài 2:

Gọi số cần tìm là abcd .

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 , 5, 8 ta có:

Số số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau là

Chọn ^d





Chọn ^a



  

Hai vị trí còn lại có: A²₄ cách.

Vậy có 3.4.A²₄ 144 số.

Số số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và không có chữ số 3 là Chọn ^d ^1;5 có 2 cách.

Chọn ^a0;1; 2;5;8 \ d; 0   có 3 cách.

Hai vị trí còn lại có: A₃² cách.

Vậy có 2.3.A²₃ 36 số.

Suy ra số số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và có chữ số 3 là 144 36 108  số.

Bài 3:

a) Tìm (SAD) ∩ (SBC) Gọi E = AD ∩ BC. Ta có:

 

 

E AD E SAD

E BC E SBC

  



  



Do đó E ∈ (SAD) ∩ (SBC).

mà S ∈ (SAD) ∩ (SBC).

⇒ SE = (SAD) ∩ (SBC).

b) Tìm SD ∩ (AMN)

+ Tìm giao tuyến của (SAD) và (AMN) : Trong mp (SBE), gọi F = MN ∩ SE : F ∈ SE ⊂ (SAD) ⇒ F ∈ (SAD)

F ∈ MN ⊂ (AMN) ⇒ F ∈ (AMN)

⇒ F ∈ (SAD) ∩ (AMN)

⇒ AF = (SAD) ∩ (AMN).

+ Trong mp (SAD), gọi AF ∩ SD = P

⇒ P = SD ∩ (AMN).

c) Tìm thiết diện hình chóp với mp(AMN):

(AMN) ∩ (SAB) = AM;

(AMN) ∩ (SBC) = MN;

(AMN) ∩ (SCD) = NP

(AMN) ∩ (SAD) = PA.

⇒ Thiết diện cần tìm là tứ giác AMNP.

Đề 3 I. Trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1: Trong các giá trị sau, giá trị nào là nghiệm của phương trình : 3 cot x

  3 A. x k , k

6

   

B. x k , k 3

   

C. x k , k

3

    

D. x k , k

6

    

Câu 2: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hình tứ diện đều là hình có 4 cạnh bằng nhau.

B. Hình chóp tam giác là hình có 3 đỉnh, 3 cạnh và 3 mặt.

C. Hình chóp tam giác là hình tứ diện.

D. Hình chóp tứ giác là hình có 4 mặt là tứ giác.

Câu 3: Số hạng thứ k + 1 trong khai triển









B. C a b .^{k 1 n}_n^{ k} C. C^{k 1 n k}_n^a ^ b .ⁿ D. C a^{k 1 n k}_n^{ } b^{k 1} .

Câu 4: Cho cấp số nhân

 

A. 12.

B. 8.

C. 54.

D. 18.

Câu 5: Tập xác định của hàm số 1 y sin x cos x

 là

A. D \ k2 ,k

4

 

    

 

B. D \ k , k

2

 

    

 

C. ^{D \ k}

 

D. D \ k , k

4

 

    

 

Câu 6: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Phép dời hình biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

B. Phép dời hình là phép đồng nhất.

C. Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

D. Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Câu 7: Cho ^A





A. 120 B. 56 C. 1560 D. 6720.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD . Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) là đường thẳng:

A. SB B. AC C. SC D. SA

Câu 9: Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của phép dời hình?

A. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k lần đoạn thẳng ban đầu





B. Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến tia thành tia.

C. Biến đường tròn thành đường tròn bằng nó.

D. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của ba điểm đó.

Câu 10: Một hộp chứa 30 quả cầu gồm 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp đó.

Tính xác suất sao cho quả được chọn là quả màu xanh hoặc ghi số lẻ A. 2

3. B. 7 8. C. 5 6. D. 3 4.

Câu 11: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Hàm số y sin 2x là hàm số chẵn

B. Hàm số y sin 2x tuần hoàn với chu kì T  C. Hàm số y sin 2x tuần hoàn với chu kì T 2

D. Đồ thị hàm số y sin 2x nhận trục Oy là trục đối xứng Câu 12: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

B. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.

C. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.

D. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

Câu 13: Cho cấp số cộng có số hạng thứ 3 và số hạng thứ 7 lần lượt là 6 và – 2.

Tìm số hạng thứ 5.

A. u₅ 4.

B. u₅  2.

C. u₅ 0.

D. u₅ 2.

Câu 14: Trong mp Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x  y 1 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến ^v





A. 2x y 0 B. 2x  y 4 0 C. 2x  y 6 0 D. 2x  y 4 0

Câu 15: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Điểm E là trung điểm đoạn AD, điểm F đối xứng với D qua B. Tính diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (EFC)

A.

11a2

24 .

B.

a2 35 8 . C.

11a2

8 .

D.

a2 35 24 .

Câu 16: Giải phương trình 3 sin 2x2sin x² 3

A. x k

3

  

B. 5

x k

6

  

C. 2

x k

3

  

D. x k

6

  

Câu 17: Cho dãy số

 

n 1 n

u 99

u _ u 2n 1, n 1

 

    

 . Hỏi số -861 là số hạng

thứ mấy?

A. 42.

B. 35.

C. 21.

D. 31.

Câu 18: Một hộp có 5 viên bi đen, 4 viên bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất 2 bi được chọn cùng màu là

A. 4 9. B. 1 9. C. 5 9.

D. 1 4.

Câu 19: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa.

Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán.

A) 2 7. B) 1

21. C) 37 42. D) 5

42.

Câu 20: Phương trình 2sin x 5sin x cos x cos x²   ²  2 tương đương với phương trình nào sau đây

A. 3cos 2x5sin 2x5 B. 3cos 2x5sin 2x 5 C. 3cos 2x5sin 2x 5 D. 3cos 2x5sin 2x5 II. Tự luận (5 điểm) Bài 1 (2 điểm):

a) Giải phương trình sau:

2cos²x – 5cosx + 2 = 0

b) Một đoàn sinh viên gồm 40 người, trong đó có 25 nam, 15 nữ. Cần chọn ra 3 người để tham gia tổ chức sự kiện trường, biết rằng 3 người được chọn có cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài 2 (3 điểm): Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại điểm O và ON cắt SC tại P.

a. Xác định giao điểm H của MN và mặt phẳng (SAC) b. Xác định giao điểm T của DN và mặt phẳng (SAC) c. Chứng minh A, H, T, P thẳng hàng.

Đáp án:

Câu 1: Trong các giá trị sau, giá trị nào là nghiệm của phương trình : 3 cot x

  3 A. x k , k

6

   

B. x k , k 3

   

C. x k , k

3

    

D. x k , k

6

    

Giải thích:

Ta có 3

cot x

  3 cot x cot

3

  

x k 3

     với k 

Câu 2: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hình tứ diện đều là hình có 4 cạnh bằng nhau.

B. Hình chóp tam giác là hình có 3 đỉnh, 3 cạnh và 3 mặt.

C. Hình chóp tam giác là hình tứ diện.

D. Hình chóp tứ giác là hình có 4 mặt là tứ giác.

Giải thích:

A sai vì hình vuông phải tứ diện đều, B sai vì chóp tam giác có 4 mặt, 6 cạnh và 4 đỉnh, D sai vì nó là tam giác.

Câu 3: Số hạng thứ k + 1 trong khai triển









A. C a^k_n ^{n k} b .^k B. C a b .^{k 1 n}_n^{ k} C. C^{k 1 n k}_n^a ^ b .ⁿ D. C a^{k 1 n k}_n^{ } b^{k 1} . Giải thích:





Số hạng thứ k + 1 ứng với i = k là:

k n k k

C an ^ .b

Câu 4: Cho cấp số nhân

 

A. 12.

B. 8.

C. 54.

D. 18.

Giải thích:

Số hạng thứ ba của cấp số nhân là u₃ u .q₁ ² 18.

Câu 5: Tập xác định của hàm số 1 y sin x cos x

 là

A. D \ k2 ,k

4

 

    

 

B. D \ k , k

2

 

    

 

C. ^{D \ k}

 

D. D \ k , k

4

 

    

 

Giải thích:

Điều kiện: sin x cos x 0 tan x 1 x k ;k 4

        

Tập xác định của hàm số là D \ k ;k 4

 

    

 

Câu 6: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Phép dời hình biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

B. Phép dời hình là phép đồng nhất.

C. Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

D. Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Giải thích:

Phép đồng nhất là trường hợp đặc biệt của phép dời hình.

Câu 7: Cho ^A0;1; 2;3; 4;5;6;7. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5.

A. 120 B. 56 C. 1560 D. 6720.

Giải thích

Gọi abcde số cần tìm.

+ e = 0 chọn abcd có A₇⁴ cách.

+ e 5 chọn abcd có 6.A³₆ cách (ta đã bỏ đi trường hợp số 0 đứng đầu) Vậy có: A⁴₇ 6.A³₆ 1560 số cần tìm.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD . Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) là đường thẳng:

A. SB B. AC C. SC

D. SA Giải thích:

Vì S và A đều thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) nên giao tuyến là SA.

Câu 9: Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của phép dời hình?

A. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k lần đoạn thẳng ban đầu





B. Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến tia thành tia.

C. Biến đường tròn thành đường tròn bằng nó.

D. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của ba điểm đó.

Giải thích:

Phép dời hình biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng đoạn thẳng ban đầu





Câu 10: Một hộp chứa 30 quả cầu gồm 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp đó.

Tính xác suất sao cho quả được chọn là quả màu xanh hoặc ghi số lẻ A. 2

3. B. 7 8. C. 5 6.

D. 3 4.

Giải thích :

Số cách lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp: C¹₃₀ 30 (cách)

Có 5 cách chọn được quả cầu ghi số lẻ màu đỏ và có 20 cách để chọn được quả cầu màu xanh (trong chọn cầu màu xanh đã bao gồm màu xanh ghi số lẻ)

Vậy xác suất cần tìm: P ^{5 20 5}.

30 6

  

Câu 11: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Hàm số y sin 2x là hàm số chẵn

B. Hàm số y sin 2x tuần hoàn với chu kì T  C. Hàm số y sin 2x tuần hoàn với chu kì T 2

D. Đồ thị hàm số y sin 2x nhận trục Oy là trục đối xứng Giải thích:

Chu kì tuần hoàn của hàm số ^{ysin 2x}

 

2 2

   

Câu 12: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

B. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.

C. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.

D. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

Giải thích :

+ Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau  A đúng.

+ Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa (có thể là có giao tuyến chung hoặc trùng nhau)  B đúng.

+ Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại  C đúng.

+ Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau  D sai. (chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau).

Câu 13: Cho cấp số cộng có số hạng thứ 3 và số hạng thứ 7 lần lượt là 6 và – 2.

Tìm số hạng thứ 5.

A. u₅ 4.

B. u₅  2.

C. u₅ 0.

D. u₅ 2.

Giải thích:

Ta có: ^{3 1 1}

7 1

u 6 u 2d 6 u 10

u 2 u 6d 2 d 2.

   

  

 

         



Do đó u5 u14d 10 4.

 

Câu 14: Trong mp Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x  y 1 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến ^v





A. 2x y 0 B. 2x  y 4 0 C. 2x  y 6 0 D. 2x  y 4 0 Giải thích:

Gọi ^{M x; y}

 

     

v

x x 1 x x 1

T M M x ; y M x 1; y 3

y y 3 y y 3

   

 

    

          

   

M d 2 x 1 y   3 1 0 2x  y 4 0. Vậy 2x  y 4 0.

Câu 15: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Điểm E là trung điểm đoạn AD, điểm F đối xứng với D qua B. Tính diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (EFC)

A.

11a2

24 .

B.

a2 35 8 . C.

11a2

8 .

D.

a2 35 24 . Giải thích

Gọi M là giao điểm của AB và EF

Nên thiết diện của của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (EFC) là tam giác MEC.

Ta có E, B lần lượt là trung điểm của AD, DF trong tam giác ADF

Nên M là trọng tâm tam giác

ME 1EF 3 ADF

1 a

MB AB

3 3

 



 

 



2

 

2 2 a 2 a 13

EF ED FD 2ED.FD.cos EDF 2a 2 .2a.cos60 a

4 2 2

      

ME 13a

  6 EC a 3,

 2

2

2 2 a 2 a 7

MC MB BC 2MB.BC.cos MBC a 2. .a.cos60 a

3 3 3

          

Ta có

   

2 2 2

13 7 3

6 3 2 91 3 65

cos EMC sin EMC

26 26

13 7 2. .

6 3

     

 

     

     

   

Vậy diện tích tam giác MEC là

 

1 1 a 13 a 7 3 65 35

S .ME.MC.sin EMC . . . a .

2 2 6 3 26 24

  

Câu 16: Giải phương trình 3 sin 2x2sin x² 3

A. x k

3

  

B. 5

x k

6

  

C. 2

x k

3

  

D. x k

6

  

Giải thích:

Ta có: 3 sin 2x2sin x² 3 3 sin 2x 2sin x 12 2

   

3 sin 2x cos 2x 2

  

3 1

sin 2x cos 2x 1

2 2

  

sin 2x cos cos 2x sin 1

6 6

 

  

sin 2x 1

6

 

   

 

2x k2

6 2

     

2x k2

2 6

     

x k ;k

3

    

Câu 17: Cho dãy số

 

n 1 n

u 99

u _ u 2n 1, n 1

 

    

 . Hỏi số -861 là số hạng

thứ mấy?

A. 42.

B. 35.

C. 21.

D. 31.

Giải thích:

Theo trên: ¹

n 1 n

u 99

u _ u 2n 1, n 1

 

    

 Ta có: u₁ 99

2 1

u u 2.1 1

3 2

u u 2.2 1

4 3

u u 2.3 1

5 4

u u 2.4 1

……….

 

n n 1

u u _ 2. n 1 1

Cộng hai vế tương ứng của các đẳng thức trên ta được:

   

un 992 1 2 3 ...     n 1  n 1

 

n n 1

99 2 n 1 100 n

2

      

Số hạng: 861 100 n  ²  n 31

Câu 18: Một hộp có 5 viên bi đen, 4 viên bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất 2 bi được chọn cùng màu là

A. 4 9.

B. 1 9. C. 5 9. D. 1 4.

Giải thích:

Tổng số bi trong hộp là 9. Chọn ngẫu nhiên 2 bi trong số 9 bi. Nên  C₉² 36.

Gọi A: “Hai bi cùng màu”.

Để 2 bi cùng màu thì được 2 bi đen hoặc 2 bi trắng. A C²₅ C²₄ 16.

Xác suất: _A A 4

P .

  9



Câu 19: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa.

Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán.

A) 2 7. B) 1

21.

C) 37 42. D) 5

42. Giải thích:

Chọn 3 cuốn tùy ý từ 9 cuốn có n( ) C³₉ cách.

Chọn được 3 cuốn đều là toán có n(A)C³₄ cách.

Xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán là

 

9

n C 1

P A (A) .

( )

n  C 21

  

Câu 20: Phương trình 2sin x 5sin x cos x cos x²   ²  2 tương đương với phương trình nào sau đây

A. 3cos 2x5sin 2x5 B. 3cos 2x5sin 2x 5 C. 3cos 2x5sin 2x 5 D. 3cos 2x5sin 2x5 Giải thích:

Ta có: 2sin x 5sin x cos x cos x²   ²  2

5 1 cos 2x

1 cos 2x sin 2x 2

2 2

      

2 2cos2x 5sin 2x 1 cos2x 4

      

3cos 2x 5sin 2x 5

  

II. Tự luận Bài 1:

a) 2cos²x – 5cosx + 2 = 0 (1) Đặt ^{cos x   t}





Khi đó (1) trở thành:

2t2   5t 2 0

2t2 4t t 2 0

    

   

2t t 2 t 2 0

    



 

   

t 2 (ktm)

t 2 0 t 2

2t 1 0 2t 1 t 1 (tm) 2

 

  

  

      

Thay t =cos x 1 cos x

  2 cos x cos

3

  

x k2 3

x k2

3

   

 

    



k

Vậy phương trình có nghiệm x k2 3

    với k

b) Số cách chọn 3 người từ đoàn sinh viên là: C³₄₀ cách.

Số cách chọn 3 người từ đoàn sinh viên nhưng không có nữ là: C³₂₅ cách Số cách chọn 3 người từ đoàn sinh viên nhưng không có nam là: C₁₅³ cách Vậy số cách chọn 3 người từ đoàn sinh viên mà có cả nam lẫn nữ là:

3 3 3

40 25 15

C C C 7125 cách.

Bài 2:

a) Tìm giao điểm H của mặt phẳng (SAC) và MN

Mặt phẳng (SMN) chứa MN

Tìm giao tuyến của (SMB) và (SAC) S là điểm chung của 2 mặt phẳng

Trên mặt phẳng (ABCD) gọi E là giao điểm của AC và BM



 



  

Trong (SBM) gọi H là giao điểm của MN và SE

 

H MN SE

H SE SE SAC

  

 

 



   

H SAC H MN SAC

    

b) Giao điểm T của DN và mặt phẳng (SAC) Mặt phẳng (SBD) chứa DN

Tìm giao tuyến của (SBD) và(SAC) S là điểm chung của (SBD) và (SAC)

Trên mặt phẳng ABCD gọi^{FACBD}



 



Trong (SBD) gọi T là giao điểm của DN và SF

   

T DN SF

T SF T SAC

SF SAC

  

   

 



 

T DN SAC

  

c) Chứng minh 4 điểm A, H, T, P thẳng hàng Gọi O là giao điểm cuat AD và BC

Ta có: A là điểm chung của (SAC) và (ANO)

   

   

H MN, MN ANO H ANO

H SE,SE SAC H SAC

   



   



Vậy H là điểm chung của (SAC) và (ANO) Ta có:

   

   

T DN, DN ANO T ANO

T SF,SF SAC T SAC

   



   



Vậy T là điểm chung của (SAC) và (ANO) Ta lại có:

   

   

P NO, NO ANO P ANO

P SC,SC SAC P SAC

   



   



Vậy P là điểm chung của (SAC) và (ANO)

Do đó A, H, T, P nằm trên giao tuyến của (SAC) và (AON) Vậy A, H, T, P thẳng hàng.

Đề 4: