• Không có kết quả nào được tìm thấy

Đề Thi Học Sinh Giỏi Tỉnh Toán 9 Năm 2020 – 2021 Sở GD&ĐT Phú Yên

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Đề Thi Học Sinh Giỏi Tỉnh Toán 9 Năm 2020 – 2021 Sở GD&ĐT Phú Yên"

Copied!
5
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 30/3/2021

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ---

Câu 1.(5,00 điểm)

a) Chứng minh rằng: 35 2 13 35 2 13 1  .

b) Biết đa thức x44x36px24qx r chia hết cho đa thức x33x29x3. Tính giá trị biểu thức

p q r

.

Câu 2.( 3,50 điểm) Giải hệ phương trình:

5 5

2 2

2 10 4.

xy

x y xy x y xy

xy

  

  



    



Câu 3.(2,50 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x25y213.

Câu 4.(3,00 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau ở D. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của DA với (O) và DA với BC; H là giao điểm của OD với BC.

a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA.

b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt (O) tại K (khác A). Chứng minh rằng E, H, K thẳng hàng.

Câu 5.(3,00 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 3

P x y với 1 1 1 12 1 12

0, 0, x y

xy x y x xy y

 

       

 

Câu 6.( 3,00 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, (I) là đường tròn nội tiếp. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với BC, CA, AB. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên EF.

a) Chứng minh rằng FKB EKC  .

b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của HB, HC với EF.

Chứng minh đẳng thức: EK.FP = FK .EQ.

c) Chứng minh rằng KD là phân giác của HKI. ---Hết---

Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………;Số báo danh:………...…

Chữ kí giám thị 1:……….………..;Chữ kí giám thị 2:………..………...

2. Đáp án và thang điểm ĐỀ CHÍNH THỨC

(2)

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

1 5,00 đ

a) Chứng minh rằng: A35 2 13 35 2 13 1  . 2,50 đ Ta thấy: A310 9

35 2 13 35 2 13

10 9 A 1,00 đ

A 1

 

A2 A 10

0

     . 0,50 đ

2

2 1 39

10 0

2 4

A  A A    nên suy ra A   1 0 A 1. 1,00 đ b) Biết đa thức x44x36px24qx r chia hết cho đa thức

3 3 2 9 3

x  x  x . Tính giá trị biểu thức Q

p q r

. 2,50 đ

Giả sử x44x36px24qx r

x a x

 

33x29x3

0,50 đ

x4

a3

x3

3a9

x2

9a3

x3 .a 0,50 đ

Đồng nhất các hệ số cùng bậc hai vế, ta được:

4 3 1

6 3 9 2

4 9 3 3

3 3.

a a

p a p

q a q

r a r

  

 

    

 

    

 

   

 

1,00 đ

Suy ra

p q r

15. 0,50 đ

2 Giải hệ phương trình:

5 5

2 2

2 10 4.

xy

x y xy x y xy

xy

  

  



    



3,50 đ

Điều kiện

xy0, 2x y xy  0

.

0,25 đ

Đặt

u xy v , 2x y xy u v 

, 0

 , hệ phương trình đã cho trở thành

5 5 (1)

2

10 4 (2).

u v v u

  



  



0,50 đ

Từ

(2) v 4 10

   u

hay

v 4u 10 u

 

. Thay vào (1) ta được

0,50 đ

 

2

5 5 2 10 25 0 5 0 5 2.

2 4 10

u u u u u u v

 u            

 1,00 đ

Ta được hệ phương trình:

5 5

2 2 2 7

xy xy

x y xy x y

 

 

      

 

0,50 đ

 

2

1

7 2 5 2 7 5 0 5

7 2 5

7 2 2

2 x

x x x x y

y x

y x x

y

 

 

  

    

 

       

 

.

0,50 đ
(3)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  

1;5 , 5;2

2

 

 

 

.

0,25 đ

3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x25y2 13 (*) 2,50 đ

Ta có: (*) 2(x2 1) 5(3y2). 0,50 đ

Do (2,5) 1 nên

x21 5

 và

3y2

2. 0,50 đ Đặt x2 1 5 ,3k y2 2l, ta có: 10k 10l k l k l

,

. 0,50 đ

Do đó:

2 2

1

5 1 0 5 1.

3 2 0 3

2 x k k

y l l k l

 

   

    

 

  

  



0,50 đ

Vậy x 2,y 1.

Phương trình có các nghiệm nguyên: (-2 ;-1), (-2 ;1), (2 ;-1) và (2 ;1). 0,50 đ

4 3,00 đ

a) Chứng minh

∆OAH ∆ODA

1,00 đ

Theo tính chất tiếp tuyến thì BC OD. K

H E F

D O

C A

B

0,25 đ Áp dụng HTL vào tam giác vuông

OCD, với CH là đường cao ta có:

2 .

OC OH OD  OA2 OH OD. OA OD

OH OA

 

0,50 đ

∆OAH ∆ODA

. 0,25 đ

b) Chứng minh rằng E, H, K thẳng hàng 2,00 đ

Từ câu a) ta có ∆OAH ∆ODA

   OHA OAD OEA

   (1)

OAEH nội tiếp

   EHD EAO OAD

   (2).

Từ (1) và (2)  EHD OHA (3).

1,00 đ

Dễ thấy

∆ABH=∆KCH (c.g.c)

HA = HK hay AKH cân tại H (4).

Vì OHBC, AK//BC 

OH

AK (5).

Từ (4) và (5) suy ra OH là phân giác AHK hay OHA OHK  (6).

0,50 đ Kết hợp (3) và (6) suy ra OHK EHD;

Suy raEHO OHK    EHO EHD 1800, hay 3 điểm E, H, K thẳng hàng. 0,50 đ 5 Tìm GTLN của biểu thức:P x 3y3 với 1 1 1 1 12 12

0, 0, x y

xy x y x xy y

 

       

  3,00 đ

Giả thiết: 1 1 1 12 1 12 2 2

x y x xy y xy x y x xy y

         

 

  (do x0,y0). 0,50 đ

Do đó: P x 3y3

x y x

 

2xy y 2

x y

2. 0,50 đ

Để ý rằng x y x  2xy y 2

x y

23xy

 

2

4 xy x y

 0,50 đ

(4)

Suy ra

 

2 3

 

2

   

4 0

x y  x y 4 x y  x y  x y   0,50 đ Hay 0    x y 4 0

x y

216. 0,50 đ Vậy Max P = 16. Dấu đẳng thức xảy ra khi x y 2. 0,50 đ

6 3,00 đ

a) Chứng minh  FKB EKC

K P

N

Q M

H B C

A

I

D E F

1,00 đ Gọi M, N theo thứ tự là hình

chiếu của B, C lên EF.

Khi đó:

    BFM  AFE AEF CEN

 BFM CEN BM BF BD CN CE CD

   

0,50 đ

Mặt khác, BM//DK//CN nên theo định lí Thales ta có:

BD MK BM MK

CD  NK  CN  NK  BMK CNK(c.g.c) FKB EKC  . 0,50 đ

b) Chứng minh đẳng thức: EK.FP = FK .EQ. 1,00 đ

Dễ chứng minh được BFP CEQ FBP ECQ    ,  (cùng phụ BAC).

Do đó BFP CEQ (g.g) FB FP(1) EC EQ

   0,50 đ

Theo a)  FKB EKC . Kết hợp với  BFK CEK BFK CEK (g.g);

suy ra FB FK (2)

EC  EK  0,25 đ

Từ (1) và (2) suy ra FP FK . . EK FP FK EQ

EQ  EK   (đpcm). 0,25 đ

c) Chứng minh KD là phân giác của HKI1,00 đ

Theo b): FP FK FP FK KP EQ EK EQ EK KQ

    

 EK FK EK FK EF(3)

QK PK QK PK QP

    

 0,25 đ

Hơn nữa, do IE//HP, IF//HQ, IE=IF nên IEF   HPQ IFE HQP  .

Do đó IEF HQP (g.g). 0,25 đ

Ta có IEF HQP  IE EF(4)

HQ QP  0,25 đ

Từ (3) và (4) ta có EK IE

QK  HQ IKE HKQ

(c.g.c)

IKE HKQ 

Suy ra

IKD900IKE900HKQ HKD 

, hay KD là phân giác

IKH

.

0,25 đ

(5)

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

Chứng minh rằng IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE.. Gọi K là trung điểm BC suy ra K là tâm đường tròn ngoại tiếp

Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật. c) Chứng minh rằng tam giác MEF đồng dạng với tam giác MO O .. Lời giải 1) Giải các phương trình và hệ phương

Gọi M là trung điểm của cạnh BC, (ω) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh rằng ba điểm N, H, M thẳng hàng. Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp. Đặt

Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. a) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA. b) Gọi I là

Cho tam giác ABC lấy điểm D thay đổinằm trên cạnh BC (D không trùng với B và C). a) Chứng minh rằng tứ giác ABPC nội tiếp. b) Chứng minh rằng hai tam giác DEF và PCB

Chứng minh rằng đường thẳng qua A, vuông góc với M N thì đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp K của tam giác BHC.. Cách giải quen thuộc của bài này là dùng

Câu 3. H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD. Chứng minh rằng:. a) Tứ giác ABEH, DCEH

Rút gọn biểu thức Q. c) Chứng minh rằng khi k thay đổi, các đường thẳng d 3 luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó. c) Chứng minh E là tâm đường tròn nội