5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng ax+ <b 0 (hay ax+ > axb 0; + £b 0,ax+ ³b 0) trong đó a và b là hai số đã cho và a¹ 0
Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia thì ta phải đối dấu hạng tử đó.
Ví dụ: ax+ > Ûb c ax> -
( )
b +c Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0 ta phải:
- Giữ nguyên chiều của bất phương trình nếu số đó dương - Đổi chiếu của bất phương trình nếu số đó âm
Ví dụ: a b> Û ac bc. > .
với c>0 và a b> Û ac bc. < .
với c<0 III. BÀI TẬP
Bài 1:Hãy xét xem các bất phương trình sau có là bất phương trình bậc nhất một ẩn hay không?
a) 0x 8 0; b) x 6 0; c)
1 0;
3x
d)
2
5 4 0.
x
e) 3x 3 0; f)
5 0;
4 2 x
g)
1 2 0;
x
h)
7 2 3 0.
x
Bài 2: Chứng minh các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số m:
a) (m23)x 1 0; b)
m2 m 4
x 2m3Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
a) 2x 8 0; b) 9 3 x0; c)
5 1 1;
3x
d)
3 5 2
2 1 3
x x
x Bài 4: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
a)
2 17
3 2 2
x x
x
b)
2 1 4 3 1 4
3 4 6 12
x x x x
Bài 5: Giải các bất phương trình
a)x23x 1 2(x 1) x(3x) b)(x1)2x2 (x1)2
x2
2c) (x21)(x 6) (x2)3
Bài 6: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
a)
1 7 3 2 1 3 2
2 15 3 5
x- - x+ £ x+ + - x
b)
( )
2 5 3
2 1 2 3 4 1
3 4 6 5
x x
x+ x + - x+
- > -
- - - -
c)
4 2 1 5
3 3 4
x x
- x -
- + £
d)
4 5 3 2
5 3 2
x+ - x- ³ x+ - x-
e)
( )
2 2 3
5 3 3 1 5
5 4 2
x - + x- <x x+ -
f)
( )
2 1 3
5 2 2 5
3 2 3 4
x x
x- - x - x> - - x
- - - -
g)
2 1 1
2 3
2 5
x+ x+ > x-
h)
5 3
6 3 6
x x x
x- - > -
Bất phương trình dạng đặc biệt
x a x c x e x g
b d f h
Phương pháp giải:
- Nếu a b c d e f g h k. Ta cộng mỗi phân thức thêm 1.
- Nếu a b c d e f g h k.Ta cộng mỗi phân thức thêm -1.
- Sau đó quy đồng từng phân thức, chuyển vế nhóm nhân tử chung đưa về dạng
x k
1 1 1 1 0.b d f h
Chú ý 1: Cần xét xem
1 1 1 1
b d f h
là số âm hay dương để đưa ra đánh giá về dấu của
x k
.Chú ý 2: Có thể mở rộng số phân thức nhiều hơn và tùy bài toán ta sẽ cộng hoặc trừ đi hằng số thích hợp.
Bài 7: Giải các bất phương trình sau:
a)
2 5 3 6
6 3 5 2
x x x x
b)
2 1 2 1 2 3
1007 1008 2017 2015 x x x x
. Bài 8: Giải các bất phương trình ẩn x sau:
a)
2004 2005 2006 2007
2005 2006 2007 2008
x+ x+ x+ x+
+ < +
b)
2 4 3 5
2002 2000 2001 1999 x- +x- <x- +x-
c)
, (a, b, c >0) x ab x bc x ac
a b c a b b c a c
- - -
+ + > + +
+ + +
Bài 9: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
a)
1 2
1 1
6 2
x x
` b)
2 1
1 1 2 4
3
x x x
Bài 10: Cho biểu thức 2 2
1 2 5 1 2
1 1 1 : 1
x x
A x x x x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A b) Tìm x để A >0
Bài 11: Một người có số tiền không quá 70000 đồng gồm 15 tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá: loại 2000 đồng và loại 5000 đồng. Hỏi người đó có bao nhiêu tờ giấy bạc loại 5000 đồng?
Bài 12: Một người đi bộ một quãng đường dài 18 km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5 km/h, về sau đi với vận tốc 4 km/h. Xác định độ dài đoạn đường mà người đó đã đi với vận tốc 5 km/h.
Tự luyện.
Bài 13: Giải các bất phương trình sau:
a) 2 7x (3 2 ) (5 6 )x x b) (x2)2 2 (x x 2) 4
c)
2 3 2
3 5
x x
d)
1 1
1 8
4 3
x x
e)
2 15 1
9 5 3
x x x
f)
1 4 5
99 96 95 3 x x x
g) 2x25x 7 0
KQ: a) S={x | x<0} b) x>0 hoặc x< - 2 c)S={ |x x< - 1} d) S ={ |x x£ - 115}
e) S={ |x x£ 6} f) S ={ |x x³ - 100}
g) Vậy bất phương trình vô nghiệm.
Bài 14: Tìm giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình sau
2 3 2 3 2
5 3 2
x x x và
3 2 3 5
2 5 6
x x x
KQ: x0
Bài 15: Cho biểu thức
2
2 2
1 3 1
3 3 : 27 3 3
B x
x x x x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn B b) Tìm x để B < - 1
KQ:
(3 x)
B x
- +
=
, b) x>0 IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1 : Giải bất phương trình : x- 3 5 < ta được t ập nghiệm là ?
A. S
x x| 5
B. S
x x| 8
C. S
x x| 5
D. S
x x| 8
Câu 2 : 3x>7
A.
3 x 7
B.
3 x 7
C.
7 x 3
D.
7 x 3 Câu 3 : - 2x< 4
A. x£ 2 B. x³ 2 C. x£ - 2 D. x³ - 2
Câu 4 : Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào ?
0 3
(
A. 2 – 6 0x < B. 2 – 6 0x > C. 2 – 6 0x £ D. 2 x - 6 0³
Câu 5: 3. x < - 6 Û - 4x>8 A. Đúng B. Sai Câu 6 : x+75 7< Û x- 1 2< A. Đúng B. Sai Câu 7: Ghép mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được kết quả đúng ?
A B
a) S
x x| 2
Là tập nghiệm của BPT 1) 2x+ 4 0<b) S={ |x x<1} Là tập nghiệm của BPT 2) - 3x+ ³3 0 c) S = S
x|x 2
Là tập nghiệm của BPT 3) 3 – 3 0x <4) 6 – 3x£ 0 Câu 8 : Điền vào chỗ ….để được kết quả đúng ?
5x+ >3 2x+ Û6 5x- ¼ > - ¼ Û6 3x>¼ Û 3x :¼ >¼ Û x>¼L
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ III. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1:a) Không, vì hệ số của ẩn x là 0
b) Có c) Có.
d) Không, vì x2 là ẩn bậc hai chữ không phải bậc một.
e) Không, vì ẩn x nằm trong dấu giá trị tuyệt đối.
f) Không, vì dấu "=" thể hiện đó là phương trình.
h) Không, vì ẩn x nằm ở mẫu số.
h) Có.
Bài 2: ta chỉ ra hệ số a¹ 0
a)
2 3 0
m + > "mÎ ¡
b)
(
m2 m 4)
éêæçm 12ö÷÷2 154ùú 0 m- + + = - êêëçççè + ÷÷ø + úúû< " Î
¡ Bài 3: a) 2x 8 0 2x 8 x 4.
b) 9 3 x 0 3x 9 x 3. c)
1 1
5 1 4 12
3x 3x x
.
d)
3 5 2 5
1 5
2 3 6 6
x x x
x x
.
Bài 4: a)
2 17
3 2 2
x x
x 2
2
6 6.2 3
17
6 6
x x x
2 4 6 12 3 51
x x x 4 16 3 51
x x 4x 3x 51 16 7x 35 x 5.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S
x x| 5
và được biểu diễn trên trục số như sau:b)
2 1 4 3 1 4
3 4 6 12
x x x x 4 2
1
3 4
2 3
1
4
12 12
x x x x
8 4 3 12 6 2 4
x x x x 5x16 5 x6 5x5x 6 160x 10 x Vậy bất phương trình vô nghiệm và được biểu diễn trên trục số như sau:
Bài 5: a)x2- 3x+ >1 2(x- 1)- x(3- x)Û x2- 3x+ >1 2x- 2 3- x x+ 2 2 3 3
x x 2
Û - > - Û <
. Tập nghiệm của BPT là
| 3 Sx x2
b)(x- 1)2+x2£ (x+1)2+
(
x+2)
2 Û 2x2- 2x+ £1 2x2+6x+5Û - 8x£ 4Û x³ - 12Tập nghiệm của BPT là
| 1
S x x 2
c) (x2+1)(x- 6) (£ x- 2)3Û x3- 6x2+ -x 6£ x3- 6x2+12x- 8 11 2 2
x x 11
Û - £ - Û ³
Tập nghiệm của BPT là
| 2
Sx x11
Bài 6:
a)
1 7 3 2 1 3 2
2 15 3 5
x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
15. 1 2. 7 3 10. 2 1 6. 3 2
30 30 30 30
x- x+ x+ - x
Û - £ +
15x 15 14x 6 20x 10 18 12x
Û - - - £ + + -
21 8 28 7 49 7
x x x x
Û - £ + Û ³ - Û ³ - . Vậy S
x x 7 .
b)
2 5 3
2 1 2 3 4 1
3 4 6 5
x x
x x x
( )
2 5 3
2 1 2 3 4 1
3 4 6 5
x x
x x - - x
- - + +
Û + > +
( ) ( 2 ) ( ) ( )
20. 2 1 15. 2 3 10 . 5 3 12. 4 1
60 60
x x x x x
- - + + - - + +
Û >
2 2
40 20 30 45 50 30 48 12
60 60
x x x x x
- - + + - + + +
Û >
2 2 13
30 40 25 30 2 12 38 13
x x x x x x 38
Û - + > - + Û - > - Û <
. Vậy
13 S x x38
c)
4 2 3 1 5
3 4
x- - x+ £ - x 4. 4
(
2)
12.(
3)
3. 1 5( )
12 12
x- + - +x - x
Û £
16x 8 12x 36 3 15x
Û - - + £ -
4 28 3 15 19 25 25
x x x x -19
Û + £ - Û £ - Û £
Vậy
25 S x x 19
d)
4 5 3 2
5 3 2
x+ - x- ³ x+ - x- 6.
(
4)
30.(
5)
10.(
3)
15.(
2)
30 30
x+ - x+ x+ - x-
Û ³
6x 24 30x 150 10x 30 15x 30
Û + - - ³ + - +
24 126 5 60 19 186 186
x x x x -19
Û - - ³ - + Û - ³ Û £
. Vậy
186 S x x19
e)
( )
2 2 3
5 3 3 1 5
5 4 2
x - + x- <x x+ -
(
2) ( ) ( )
4. 5 3 5 3 1 10 . 2 3 5.20
20 20
x - + x- x x+ -
Û <
2 2
20 12 15 5 20 30 100
20 20
x - + x- x + x-
Û <
2 2
20x 15x 17 20x 30x 100
Û + - < + -
15 83 15 83 83
x x x 15
Û - < - Û > Û >
Vậy
83 S x x15
f)
( )
2 1 3
5 2 2 5
3 2 3 4
x x
x- - x - x> - - x
- - - -
2 2
5 2 2 3 5
3 2 3 4
x x x x x x
- + - - +
Û + > +
( ) ( 2 ) ( 2)
4 5 2 6 2 4 3 3.5
12 12
x x x x x x
- + + - - + +
Û >
2 2
20x 8 12x 6x 4x 12x 15x
Û - + + - > - + +
26 8 11 37 8 37 8 8
x x x x x 37
Û - + > Û - > - Û < Û <
. Vậy
8 S x x37
g)
2 1 1
2 3
2 5
x+ x+ > x- 10.2 5 2
(
1)
3 .10 210 10
x+ x+ x -
Û >
20x 10x 5 30x 2
Û + + > -
0x 7
( vô lý) x . Vậy S .
h)
5 3
6 3 6
x x x
x- - > -
6 5 18 2 18 0 18
6 6
x- x- x x- x x x
Û > Û - > Û < -
x . Vậy S . Bài 7:
a) Cộng thêm 1 mỗi phân thức, ta có:
8 8 8 8
6 3 5 2
x x x x
Từ đó tìm được x 8. b) BPT tương đương:
2 4 2 2 2 1 2 3
2014 2016 2017 2015 x x x x
Cộng thêm - 1 mỗi phân thức, ta được:
1 1 1 1
(2 2018) 0
2014 2016 2017 2015 x . Từ đó tìm được x<1009 .
Bài 8: a)
2004 2005 2006 2007
2005 2006 2007 2008
x+ x+ x+ x+
+ < +
2004 1 2005 1 2006 1 2007 1
2005 2006 2007 2008
x+ x+ x+ x+
Û - + - < - + -
1 1 1 1 0
2005 2006 2007 2008 x- x- x- x-
Û + - - <
1 1 1 1
( 1) 0
2005 2006 2007 2008
x æç ö÷÷
Û - çççè + - - ÷÷ø<
1 1 1 1
1 0(do 0)
2005 2006 2007 2008 x
Û - < + - - >
1.
x Û <
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x<1 .
b)
2 4 3 5
2002 2000 2001 1999 x- x- x- x-
+ < +
2 1 4 1 3 1 5 1
2002 2000 2001 1999
x- x- x- x-
Û - + - < - + -
2004 2004 2004 2004
2002 2000 2001 1999
x- x- x- x-
Û + < +
(
x 2004)
æç20021 2000 2001 19991 1 1 ö÷÷ 0 Û - çççè + - - ÷÷ø<1 1 1 1
2004 0 ( do 0) 2004
2002 2000 2001 1999
x x
Û - > + - - < Û >
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x>2004.
c)
) x ab x bc x ac , (a, b, c >0)
c a b c
a b b c a c
- + - + - > + +
+ + +
x ab x bc x ac 0
c a b
a b b c a c
- - -
Û - + - + - >
+ + +
x ab ac bc x bc ab ac x ac bc ab 0
a b b c a c
- - - -
Û + + >
+ + +
1 1 1
(x ab ac bc) 0
a b b c a c
æ ö÷
ç ÷
Û - - - ççç +è + + + + ÷÷ø>
1 1 1
0,(do a, b, c >0 0)
x ab ac bc
a b b c a c
Û - - - > Þ + + >
+ + +
x ab ac bc.
Û > + +
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x>ab ac bc+ + .
Bài 9: a)
1 2
1 1
6 2
x x
1 3
(
2)
1 1 6 1 3 6 6
6 6
x x
x x
+ -
Û - < - < Û - < + - + <
6 2x 7 6 6 7 2x 6 7
Û - < - + < Û - - < - < -
1 13
13 2 1 13 2 1
2 2
x x x
Û - < - < - Û > > Û < <
. Vậy
1 13
2 2
S x x
b)
2 1
1 1 2 4
3
x- < x- - < x+
TH:
2 1
1 1
3
x- < x- - 3
1
2 1 33 3 2 4 1
3 3
x x
x x x
TH 2:
2 1 1 2 4
3
x- - < x+ 2 1 3 3 2
(
4)
3 3
x- - x+
Û <
2x 4 6x 12 4x 16 x 4
Û - < + Û > - Û > -
Vậy - 4< < -x 1. Tập nghiệm S
x 4 x 1
Bài 10:
a) Điều kiện
1 0 1
1 0 1
x x
x x
Ta có 2 2
1 2 5 1 2
1 1 1 : 1
x x
A x x x x
2
1 2 5 2 1
1 1 (1 )( 1) :1
x x
A x x x x x
1 2(1 ) 5 2 1
(1 )(1 ) ( 1)(1 ) (1 )( 1) :(1 )(1 )
x x x x
A x x x x x x x x
1 2 2 5 (1 )(1 )
(1 )(1 ) 2 1
x x x x x
A x x x
2 (1 )(1 ) 2
(1 )(1 ) 2 1 2 1
x x
A x x x x
b) Để A>0
2 0
2x 1
2x 1 0 vì 2 0- <
1 x 2
(nhận)
Vậy 1 x2
thì A>0
Bài 11: Gọi số tờ giấy bạc loại 5000 đồng là x. ĐK : xÎ ¥*,x<15.
Theo bài ra ta có bất phương trình:
(
15 - x)
. 2000 + . 5000x £ 70000(
15 x)
. 2 .x 5 70 x 403.Û - + £ Û £
Mà xÎ ¥*,x<15Þ x là các số nguyên từ 1 đến 13.
Vậy số tờ giấy bạc loại 5000 đồng là các số nguyên từ 1 đến 13.
Bài 12: Gọi quãng đường mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h là x (km) . ĐK : 0 x 18 Theo bài ra ta có bất phương trình :
18 4
5 4
x+ - x£ Û 4x+90 5- x£ 80Û x³ 10
Mà 0< <x 18Þ 10£x<18.
Vậy quãng đường mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h là x (km) thỏa mãn 10£ <x 18.