Đề Thi HSG Lớp 10 Môn Toán Có Đáp Án Tỉnh Vĩnh Phúc Năm 2016

(1)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN 10 - THPT

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (1,5 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau có tập xác định là ¡ .

2

2015 2016

( 1) 2( 1) 4

y x

m x m x

 

   

Câu 2 (2,5 điểm).

a) Giải bất phương trình x  2 2 2x 5 x1.

b) Giải phương trình ^x⁴^²^x³^ ²



^x²^^x



^^x^.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho phương trình x³(2m1)x²(m2)x m  2 0, trong đó m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x x x¹, ,² ³ thỏa mãn x¹²x²²x³² 17.

Câu 4 (3,0 điểm).

a) Cho hình vuông ABCD M, là trung điểm của CD._{Tìm điểm}K trên đường thẳng BD sao cho K không trùng với D và đường thẳng AK vuông góc với đường thẳng KM.

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD_có^A



^^5;1



_{, điểm}_C_nằm

trên đường thẳng d x: 2y 3 0. Gọi giao điểm của đường tròn tâm B bán kính BD_với đường thẳng CD là (E ED). Hình chiếu vuông góc của D trên đường thẳng BE là điểm



^{4; 2 .}



N  Tìm tọa độ các điểm , , .B C D

c) Cho tam giác ABC không vuông với độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh ,B C lần lượt là ,h h^b ^c, độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A_là^m^a_{. Tính}cosA_{, biết}hb ^8,hc ^6,ma ^5.

Câu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

3 3 2 2

2 2

2 4 5 0

2 4 13 7 0

x y x y

ìï - + + + =

ïíï + + - + =

ïî

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hai số thực dương ,a b thỏa mãn a<b và

1 ab 3

b a

 

 . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức



¹ ²

 

¹ ²



( ) .

a b

P a a b

 

 

ĐỀ CHÍNH THỨC

(2)

---Hết---

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 10 - THPT

I. LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

II. ĐÁP ÁN:

Câu Nội dung trình bày Điểm

1 (1,5 điểm)

Hàm số có tập xác định ^¡ khi và chỉ khi

( ) ( 1) 2 2( 1) 4 0, .

f x = m- x + m- x+ > x" Î ¡ 0,25 Với m=1, ta có ( )f x = >4 0, x" Î ¡ . Do đó m=1 thỏa mãn. 0,25

Với m¹ 1, ²

( ) 0, 1

( 1) 4( 1) 0

f x x m

m m

ì >

> " Î ¡ Û íïïïïî - - - < 0,5

1

( 1)( 5) 0

m

m m

ì >

Û íïïïïî - - < 0,25

1 m 5.

Û < < Vậy 1£ m<5. 0,25

2 a (1,5 điểm) Điều kiện xác định:

5.

x³ 2 0,25

Bất phương trình tương đương: x- 2+ x+ ³1 2x- 5 2.+ 0,25 2x 1 2 (x 2)(x 1) 2x 1 4 2x 5.

Û - + - + ³ - + - 0,25

2 9 18 0

x x

Û - + ³

6. 3 x x é ³ê

Û ê £ë 0,5

Vậy nghiệm của bất phương trình là x³ 6 hoặc

5 3.

2£ £x 0,25

b (1,0 điểm)

Điều kiện xác định: x1 hoặc x0.

PT đã cho tương đương



^x²^^x



² ^ ²



^x²^^x

 

^ ^x²^^x



^. ^0,25

(Đáp án có 04 trang)

(3)

PT

2

( 1)[ 2 2 ] 0 1

2 2 0 (1)

x x mx m x

x mx m

 

            0,25

Yêu cầu bài toán tương đương: Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x x¹, ² khác ¹ thỏa mãn x¹²+ =x²² 16.

Phương trình (1) có hai nghiệm x x¹, ² phân biệt khác ¹ khi

' 0 2 2 0 1

(*)

1 2 2 0 1 2

m m m

m m m m

      

 

 

         

  

0,25

Theo định lí Viet ta có

1 2

2 2

x x m

x x m

 

  

 . Khi đó x¹²x²² 16(x¹x²)²2x x^{1 2} 16.

Do đó 4m²- 2(2- m) 16.=

0,25

2 Û m= hoặc

5 m 2

. Kết hợp với điều kiện (*) ta được m=2,

5.

m 2 0,25

4 (3,0 điểm) a (1,0 điểm)

K

M C

B A

D

Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD. Đặt DA u DC v    ; 

thì u  v a

và ^{u v}^{ }^. ^^0.

Giả sử DKxDB x ( 0)

thì ^DK^^^{x u v}



^{ }^



^. ^0,25

Suy ra   AK DK DA (x1)u xv  và

1 . MK DK DM xux2v

 

    

0,25

Ta có ^{AK MK}^. ^{ }⁰



⁽^x^¹⁾^{u xv xu}^



^ ^^^x^¹₂^^v^^{ }⁰ ^{x x}⁽ ^¹⁾^a²^^{x x}^ ^¹₂^^a² ^⁰

     

0,25

2 3 3

2 0

2 4

x x x

    

. Vậy, điểm ^K nằm trên ^BD thỏa mãn

3 .

DK=4DB uuur uuur

0,25 b (1,0 điểm)

(4)

I N

C E A

D

B

Gọi I AC BD , do ^^BND^⁹⁰⁰ nên^{IA IB}^ ^ÎC^ÎD^ÎN, suy ra ^ÂNC^^{90 .}⁰ 0,25 CN có véc tơ pháp tuyến ûuurÂN⁼

(

^{9; 3}^-

)

nên phương trình CN: 3x y- - 14=0.

Tọa độ C thỏa mãn hệ

3 14 0

2 3 0

x y x y

  

   

 , suy ra ^C

 

^{5;1 .}

0,25

Do ^BD⁼^BE và BC^DE nên C là trung điểm DE, suy ra CI BE|| . Do đó D đối xứng

với N qua AC. 0,25

Phương trình AC y:  1 0, từ đó suy ra ^D



^{4; 4 .}



_Do^I

 

^0;1 _nên^B



^{ }^{4; 2 .}



Vậy ^B



^{ }^{4; 2 ,}

   

^C ^{5;1 ,}^D ^{4;4 .}



^0,25

c (1,0 điểm)

F E

K M

N

B

A

C

Vẽ đường cao BM và CN của tam giác ABC (MAC N, AB). Gọi K là trung điểm của BC, qua K kẻ đường thẳng song song với CN và BM cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Khi đó E là trung điểm BN và F là trung điểm CM.

0,25 Bốn điểm , , ,A E K F nằm trên đường tròn đường kính AK5, theo định lý sin trong tam

giác EKF ta được EF  AK.sinEKF 5sinA.

0,25 Áp dụng định lý cosin trong tam giác EKF ta được :



2 2 2 2 . .cos 32 42 2.3.4.cos

EF KE KF  KE KF EKF    A 0,25

(5)

Cộng tương ứng hai vế của (1) và (2) ta được

3 3 2 4 3 6 2 13 12

x + x + x=y - y + y- Û (x+1)³+ + = -(x 1) (y 2)³+ -(y 2). 0,25

2 2

(x 1 y 2) (éx 1) (x 1)(y 2) (y 2) 1ù 0

Û + - + êë + + + - + - + =úû Û y= +x 3. 0,25

Thế y= +x 3 vào (2) ta được:

2

3 177

3 3 14 0 6

3 177

6 x

x x

x

é - + ê =ê + - = Û êêê =êë - -

0,25

Vậy hệ có nghiệm

(

^{x y}^;

)

_là:

3 177 15 177 3 177 15 177

; ; ; .

6 6 6 6

æ- + + öæ÷ - - - ö÷

ç ÷ç ÷

ç ÷÷ç ÷÷

ç ç

è øè ø 0,25

6 (1,0 điểm).

Ta có ³



^{b a}^



^{ }¹ ^ab_{(1), mà}₁__ab_₂ _ab_{, suy ra}

 

²

3 2

3 b a b a ab

a b

    

Đặt t b

 a

ta được

1 2 1

3 3

t t b a a

t b

        .

0,25

Ta có



¹ ²

 

¹ ²



⁽ ⁾²



¹



² 4( 1)²

( ) ( ) 3 ( )

a b b a ab ab

P a a b a a b a a b

     

  

   (theo (1)) 0,25

Mặt khác

4( 1)2 4.4 16 16 16

1 4.

3 ( ) 3 ( ) 3( ) 3 1 3 1

3

ab ab b

a a b a a b a b a

b

     

        

0,25

Do đó ^P^⁴. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 ; 3

a 3 b

. Vậy ^min^P^⁴. 0,25 ---Hết---