100 Câu Trắc Nghiệm Thể Tích Khối Đa Diện Và Tròn Xoay Vận Dụng Cao Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1. Cho hình chóp .S ABCDcó đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy



^ABCD



và góc giữa SC với mặt phẳng



^SAB



_{bằng 30. Gọi M} là điểm di động trên cạnh CD và ^H là hình chiếu vuông góc của S lên đường thẳng ^BM . Khi điểm ^M di động trên cạnh CDthì thể tích chóp .S ABHlớn nhất là

A.

3 2

6 V  a

. B.

3 2

12 V a

. C.

3 2

15 V a

. D.

3 2

8 V a

. Lời giải

Chọn B

Lấy điểm N BC sao cho ^{BN CM x, 0 x a}. Gọi H  ANBM Xét ABN và BCM ta có:BN CM , ABN BCM  90 và AB BC

ABN BCM

    (c.g.c) BAN CBM 

Mà BAN BNA   90 nên CBM BNA   90 BHN  90 hay ^{AH BM}

Ta có: ^{BM AH BM}



^SAH



^{SH BM}

BM SA

 

   

 



 Hình chiếu vuông góc của S lên ^BM là ^H.

Do BHN đồng dạng với BCM nên

BH BN

BC  BM BH ₂x ₂

a x a

 



2 2

BH ax

x a

 



Tam giác ^ABH vuông tại ^H nên

2 2 4 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

a x a a

AH AB BH a

x a x a x a

     

  

2 3

2 2

2 2 2 2

1 1

. . . .

2 2 2

ABH

a ax a x

S AH BH

x a x a x a

   

  

3 4 3

. 2 2

1 1 2 2

. . 2. . .

3 3 2 12 12

S ABH ABH

a x a a

V SA S a

x a a

    



Câu 2.Cho hình chóp tam giác .S ABCcó các góc ASB BSC CSA   60 và độ dài các cạnh 1

SA , SB2, SC3. thể tích của khối chóp .S ABC là A.

3 2 V  2

. B.

3 V  2

. C.

2 V  2

. D.

6 V  2

. Lời giải

Chọn C.

A B

C S

C' B'

Gọi ^B, C lần lượt là điểm trên SB, SC sao cho SA SB SC  1.

Suy ra .S AB C  là tứ diện đều có ^.

2

S AB C 12 V _{ } 

.

Lại có

, .

. 2.3

S ABC S AB C

V SB SC

V _{ } SB SC 

  ^{. .} 2

6 2

S ABC S AB C

V V _{ }

  

.

Câu 3. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh ^AB1, BC2. Gọi ^I, J lần lượt là trung điểm của hai cạnh BC và ^AD . Khi quay hình chữ nhật đó xung quanh IJ ta được một hình trụ tròn xoay. thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ tròn xoay đó là.

A. V . B. V 4 . C. V 2 . D. ^{V 3}

 . Lời giải

Chọn A.

. 2

. .1

T d 4

V s h BC  .

Câu 4: Cho hình chóp đều .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi ^E, ^F lần lượt là trung điểm của các cạnh ^{SB SC,} . Biết mặt phẳng ^(AEF) vuông góc với mặt phẳng ^(SBC). Tính thể tích khối chóp .S ABC.

A.

3 5

24 . a

B.

3 5

8 . a

C.

3 3

24 . a

D.

3 6

12 . a Lời giải

Chọn A

N F

E

O M

A C

B S

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do .S ABC là hình chóp đều nên

 

SO ABC .

Gọi ^M , N lần lượt là trung điểm của BC và ^EF .

Ta có S, ^M , N thẳng hàng và SM BC tại ^M , SM EF tại N . Ta có

   

   

AEF SBC EF

SM SBC SM AEF MN AN

SM EF

  

    

   ANM vuông tại N .

Từ đó suy ra ANM∽SOM

AN AM NM SO SM OM

  

. .

NM SM AM OM

  .

Mà ta có N là trung điểm của SM (vì ^E, ^F lần lượt là trung điểm của SB, SC) 1

NM 2SM

 

;

ABC đều cạnh a và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

3 2 AM a

 

; 3

6 OM a

.

Vậy

2

1 2 3 3

2 2 . 6 4

a a a

SM  

2 SM a

 

.

Ta có

2 2

2 2 15

2 12 6

a a a SO SM OM   

;

2 3

ABC 4 S  a

.

2 3

.

1 1 15 3 5

. . . .

3 3 6 4 24

S ABC ABC

a a a

V  SO S  

.

Câu 5.Cho hình chóp đều .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi ^E, ^F lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SB, SC sao cho

SE SF

SB SC k



^{0 k 1}



. Biết mặt phẳng ^(AEF) vuông góc với mặt phẳng ^(SBC). Tính thể tích khối chóp .S ABC.

A.

3 3 2

24 3 3

a k

k



 . B.

3 3 2

8 3 3

a k

k



 . C.

3 3 2

24 5 5

a k

k



 . D.

3 3 2

12 3 3

a k

k



 . Lời giải

Chọn A

Câu 6. Cho hình chóp đều .S ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi ^E, ^F lần lượt là trung điểm của các cạnh ^{SB SC,} . Biết mặt phẳng ^(ADFE) vuông góc với mặt phẳng ^(SBC). Tính thể tích khối chóp .S ABCD.

A.

3 2

6 a

. B.

3 2

2 a

. C.

3 2

12 a

. D.

3 2

18 a

. Lời giải

Chọn A

I

N

M F

E

O

B

D C

A

S

Ta có INM∽SOM MN SM. OM IM.

2 2

1

2 2

SM a

 

SM a

  .

2 2 2 2 2

2 2

a a SO SM OM  a  

.

3 2 .

1 1 2 2

. . . .

3 3 2 6

S ABCD ABCD

a a

V  SO S  a 

.

Câu 7: Cho hình chóp đều .S ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi ^E, ^F lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SB, SC sao cho

SE SF

SB  SC k



^{0 k 1}



. Biết mặt phẳng (ADFE) vuông góc với mặt phẳng ^(SBC). Tính thể tích khối chóp .S ABCD.

A.

3 2

6 . 1

a k

k . B.

3 2 1

6 .

a k

k



. C.

3 2

18 . 1

a k

k . D.

3 2 1

18 .

a k

k

 .

Câu 8:Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi ^M , N , ^P, ^Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Biết thể tích khối chóp ^{S MNPQ.} là V , khi đó thể tích của khối chóp .S ABCD là:

A.

27 4 V

. B.

9 2

2 V

  

  . C.

9 4 V

. D.

81 8 V

. Lời giải

Chọn A.

F E

J P Q

H

N

K M

O I

D

S

A

B C

Ta có

 

 

 



^,,



²³

d S MNPQ SM SI d S ABCD  

.

Mặt khác gọi S S ^ABCD ta có

1 1 1 4 2. 8

DEJ BDA

S S





  ¹

DEJ 16

S_ S

 

.

Tương tự ta có

1 4

JAI DAB

S S





 ¹

JAI 8 S_

 

.

Suy ra

1 1 1

1 4. 2.

16 8 2

SHKIJ     S S.

Mà

2 2 4

3 9

MNPQ HKIJ

S S

     ^{SMNPQ 2}₉^SABCD.

Suy ra .

   

1 , .

S ABCD 3

V  d S ABCD S ^{1 3.}



^,

  

^{.9 27}

3 2d S MNPQ 2S 4 V

 

.

Câu 9:Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy



^ABCD



, góc giữa hai mặt phẳng



^SBD



_và



^ABCD



_{bằng 60. Gọi M , N} lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối chóp .S ADMN.

A.

3 6

16 V  a

. B.

3 6

24 V  a 

C.

3 3 6 16 V  a 

D.

3 6

8 V  a 

Lời giải Chọn A.

O M N

A D

B C

S

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có SOA là góc giữa hai mặt phẳng



^SBD



_và



^ABCD



_{nên SOA  60 . Khi đó} ^{tan 60 } _AO^SA

.tan 60 2 . 3

SA AO 2 a

    6

2

 a .

Ta có

. .

. . 1

4

S AMN S ABC

V SA SM SN V SA SB SC 

và

. .

. . 1

2

S AND S ACD

V SA SN SD V  SA SC SD 

.

Do đó ^{. .}

1 1 1

2 . 4 2

S ADMN S ABCD

V  V   

  ^.

3. 8V^{S ABCD}

 3 1 6 ^{2 3} 6

. . .

8 3 2 16

a a

 a 

.

Câu 10:Cho hình chóp .S ABCD có đáy ^ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, 2

SA a . Gọi ^B, ^D là hình chiếu của ^A lần lượt lên SB, ^SD. Mặt phẳng



^{AB D }



cắt ^SC tại C. thể tích khối chóp ^{S AB C D  } là:

A.

2 3 3 9 V  a

. B.

2 3 2 3 V  a

. C.

3 2

9 V a

. D.

2 3 3 3 V  a

. Lời giải

Chọn C.

C' D'

O A D

B C

S

B'

Ta có:

2 .

1. . 2

S ABCD 3

V  a a ³ 2

3

a

.

Vì ^B, ^D là hình chiếu của ^A lần lượt lên SB, ^SDnên ta có ^SC



^{AB D }



_.

Gọi Clà hình chiếu của ^A lên SC suy ra ^SCACmà ^AC



^{AB D }



^{ A} _nên

 

AC AB D 

hay ^CSC



^{AB D }



_.

Tam giác ^{S AC} vuông cân tại ^A nên ^C là trung điểm của ^SC.

Trong tam giác vuông ^{S AB} ta có

2 2

SB SA SB SB

 2 ²₂ 3

a

 a ²

 3 .

. .

SAB C D SAB C SAC D

S ABCD S ABCD

V V V

V V

      

 1

2

SB SC SD SC SB SC SD SC

   

 

   

SB SC SB SC

 

 2 1

3 2.

 1

3 .

Vậy

3 2

SAB C D 9 V _{  } a

.

Câu 11:Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại ^M , N , ^P, Q. Gọi ^M, N, ^P, ^Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của ^M , N, ^P, ^Q lên mặt phẳng



^ABCD



. Tính tỉ số

SM

SA để thể tích khối đa diện MNPQ M N P Q^.     đạt giá trị lớn nhất.

A.

2

3. B.

1

2. C.

1

3. D.

3 4. Lời giải

Chọn A.

N'

M' Q'

Q N P

A

B C

D S

H M

P'

Đặt

SM k SA 

với ^k

 

^0;1 _.

Xét tam giác SAB có MN AB// nên

MN SM AB  SA k

. MN k AB

 

Xét tam giác SAD có ^{MQ AD//} nên

MQ SM

AD  SA k MQ k AD .

Kẻ đường cao SH của hình chóp. Xét tam giác SAH có:

//

MM SH nên

MM AM SH SA

  SA SM 1 SM 1 SA SA k

      ^MM 



^{1 k SH}



^. .

Ta có VMNPQ M N P Q^. _{   } MN MQ MM^{. .}  ^{ AB AD SH k. . . . 12}



^k



_.

Mà ^.

1 . .

S ABCD 3

V  SH AB AD VMNPQ M N P Q. _{   } 3.VS ABCD. . . 1k²



k



. thể tích khối chóp không đổi nên VMNPQ M N P Q^. _{   }

đạt giá trị lớn nhất khi ^{k2. 1}



^k



lớn nhất.

Ta có 2

 

2 1

 

. . 1 2 2 ³

. 1

2 2 3

k k k k k k

k k         ^2.



¹



⁴

k k 27

  

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: ^{2 1}



^k



^{k  k 2}₃.

Vậy

2 3 SM

SA  .

Câu 12:Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều. Đường cao SH với chân đường cao nằm trong ABC và ^{2SH BC;}



^SBC



_{tạo với}



^ABC



_{một góc 60}⁰. Biết có một điểm O thuộc SH sao cho ^d



^0,AB



^d



^0,AC



^{d O SBC}



^,

  

^1. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp đã cho.

A.

256 81



. B.

125 162



. C.

500 81



. D.

343 48

 . Lời giải

Chọn D.

Gọi ^{E F,} lần lượt là chân đường cao hạ từ O xuống ^{AB AC;} .

 

OE AB

AB SEO AB HE SH AB

 

  

 

Tương tự HF AC; HOE HOF HE HF  AH là tia phân giác của góc BAC AH BC D là trung điểm của BC.

Kẻ ^{OK SDOKd O SBC}



^,

  

^1 _{, Đặt} AB BC CA  2aSH a .cot 600

3 HD a  a

, AD a 3 3 HD nên ABC đều nên .S ABC là chóp tam giác đều.

Xét tam giác SOK có ^{sin 300 2} SO OK 

.

Do ^DEF đều và ^{OH }



^DEF



_{nên EO FO DO   1 OK K D}

 DSO vuông tại D ^{2 . 2}



²



³

3 2

DH HS HO a a a a

      

2 2 2

3 21

3 3 ;

2 4

AB AH SH SA SH AH

        

2 7 343

2 4 48

mc mc

R SA V

SH 

    

.

Câu 13:Xét khối tứ diện ABCDcó cạnh ^{AB2CD2 18} và các cạnh khác bằng 5. Biết thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất có dạng ^ax ; , ;( , ) 1

m 4

V  x y x y N ^ x y 

. Khi đó x, y thỏa mãn bất đẳng thức nào dưới đây

A. x y ²xy4550. B. ^{xy2x y 2550}.

C. x²xy y ² 5240. D. x² y 19602. Lời giải

Chọn A

Gọi M là trung điểm CD, và K là trung điểm AB

Ta có: BM CD và SM CD. Kẻ SH BM, tại ^HBM . Khi đó ^{SH (BCD)} Đặt AB b 0 và CD a 0

2 2 1 2

2 100 BM  BC MC  a

;

1 2

2 100 SM BM  a

1 1 2

. 100

2 4

SBCD  BM CD a a

2 2 1 2 2 1 82

100 ( ) 100 18

2 2 2

MK  BM BK   a b   

1 1 82 82

. .

2 2 2 4

SABM  MK AB b b

Mặt khác:

2 2

2. 82. 2.

1 . 4 82.

2 1 100 100

2

BCD BCD

S b b

S SH BM SH

BM a a

    

 

Ta có:

2

. 2

1 1 1 82. 82

. . . 100 .

3 3 4 100 12

A BCD BCD

V S SH a a b ab

   a 

 Theo Cô-si ta có:

2 2

2 9 a b ab  

Suy ra : ^.

3 82

A BCD 4

V 

. Dấu bằng xảy ra khi a b 3 Vậy ^ax

3 82

m 4 V 

. Suy ra ^x3;y82

Câu 14:Cho lăng trụ đứngABC A B C.   có cạnh^{BC2 ,a} góc giữa hai mặt phẳng



^ABC



_và



^{A BC}



_{bằng 60}. Biết diện tích của tam giácA BC bằng^2a2. Tính thể tíchV của khối lăng trụABC A B C.   

A. ^{V 3a3}. B. V a³ 3. C.

2 3

3 V  a

. D.

3 3

3 V a

. Lời giải

Chọn B.

KẻAI BC (I BC )A I BC .

Ta có

1 .

A BC 2

S_{ }  A I BC ₂

2a  A I 2a.

Do đóAA A I .sin 60 a 3, AI A I .cos 60 a.

Vậy

3 .

1.2 . . 3 3

ABC A B C 2

V _{  } a a a a

.

Câu 15: Cho lăng trụ đềuABC A B C.   có cạnh đáy ^a4, biết diện tích của tam giác A BC

bằng 8 . Tính thể tíchV của khối lăng trụABC A B C.   .

A. V 4 3. B. V 8 3. C. V 2 3. D. V 10 3. Lời giải

Chọn B.

Gọi ^I là trung điểm BC. Tam giác ABCcân nên

1 . 4

ABC 2

S  A I BC 

4 A I

  .

Khi đó ^{AA AI2A I 2 2}. VậyV_{ABC A B C}^. _{  }  AA S. _ABC 8 3.

Câu 16:Cho lăng trụ ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu của^Alên



^ABC



trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60. thể tích khối lăng trụ bằng

A.

3 3

4 V  a

. B.

3 3

8 V a

. C. V 2a³ 3. D. V 4a³ 3 . Lời giải

ChọnC.

Gọi^I là trung điểm^BC, nên

2 2

3 3

AG AM  a

.tan 60 2 A G AG a

    .

VậyV_{ABC A B C}^. _{  } A G S . _ABC 2a³ 3

Câu 17: Cho hình chóp .S ABCDcó đáy là hình vuông cạnh a, SAvuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA a . Điểm ^M thuộc cạnh SAsao cho ^{, 0 1.}

SM k k SA   

Khi đó giá trị của k để mặt phẳng ^(BMC) chia khối chóp .S ABCDthành hai phần có thể tích bằng nhau là:

A.

1 5

k  2

. B.

1 5

k  2

. C.

1 5

k  4

. D.

1 2

k  2 . Lời giải

Chọn A.

Phân tích: Bài toán trên chính là bài toán về tỉ số thể tích, vì vậy trước hết phải xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi ^(BMC).

Do ^(BMC) chứa BC song song với ^AD nên ^(BMC) cắt ^(SAD) theo giao tuyến song song ^AD.

Để tính V^{S BCNM.} nếu xác định đường cao thì phức tạp vì vậy sẽ chia thành hai khối và sử dụng bài toán tỉ số thể tích.

Kẻ ^{MN/ /AD N SD; } khi đó thiết diện của hình chóp .S ABCD với ^(BMC)là hình thang BCNM . Suy ra ^(BMC) chia khối chóp thành hai khối đa diện SBCNM và

DABCNM .

Đặt V¹V^{S BCNM.} ; V² V^DABCNM ; V V ^{S ABCD.} .

Để V¹ V² thì ¹ 1 V  2V

.

Ta có

. 2 SNMC

SADC

V SN SM

V  SD SA k ^{1 2}_.

SNMC 2

V k V

 

.

Ta có

SMCB SABC

V SM

V  SA k ¹ _.

SMCB 2

V k V

 

.

Vậy

2 1

1( ).

V  2 k k V .

Khi đó ¹ 1

V 2V ₂

1 k k

  

1 5

2

1 5

2 k

k

  

 



   

 .

Do 0 k 1 nên

1 5

k  2

. Vậy chọn đáp án A.

Câu 18: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và 2

SA a. Gọi ^B, ^D lần lượt là hình chiếu vuông góc của ^A trên các cạnh SB, SD. Mặt phẳng



^{AB D }



_{cắt SC tại C}. Tính thể tích của khối chóp .S AB C D  .

A.

3

3 a

. B.

16 3

45 a

. C.

3

2 a

. D.

3 2

4 a

. Lời giải.

Chọn B.

Cách 1:

2

2 .

. SD SD SA

SD SD SA

SD SD

     ²_{2 2} ² ₂ 4

5

SD SA SA

SD SD SA AD

    

 .

Tương tự:

2 2

2 2 2

2 3

SC SA SA

SC SC SA AC

  

 .

. 2 . 2. . .

S AB C D S AD C S ADC

SD SC

V V V

SD SC

    

 

  SD SC. _{S ABDC.}

SD SCV

 

 .

2 3 .

4 2 1 16

. . .2 .

5 3 3 45

S AB C D

V _{  } a a a

  

.

Cách 2: Hoặc có thể áp dụng cách tính nhanh:

.

. 4

S A B C D S ABCD

V x y z t

V xyzt

       

2 x y

xyzt

 

2 z t

xyzt

 

với

SA x SA 

 ,

SB y SB 

 ,

SC z SC 

 ,

SD t SD 

 . Câu 19:Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì thể tích bằng nhau.

B. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì thể tích bằng nhau.

C. thể tích của hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau là bằng nhau.

D. thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao.

Câu 20:Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng ¹ chiều cao bằng ². Xét hình đa diện lồi ^H có các đỉnh là trung điểm của tất cả các cạnh hình chóp đó. Tính thể tích của^H.

A.

9

2. B. ⁴. C. 2 3. D.

5 12. Lời giải.

Chọn D.

Gọi ^{M N P Q, , ,} lần lượt là trung điểm của SA SB SC SD^{, , ,} . Gọi ^{E F I J, , ,} lần lượt là trung điểm của AB BC CD AD^{, , ,} .Gọi V là thể tích của ^H.

Khi đó:

. , 4. .

S ABCD S MNPQ N EBF

V V V  V

2 2

1 2 1 1 1 1 1

.2.1 .1. 4. .1. .

3 3 2 3 2 2

   

         5

12

Câu 21:Một hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và chiều cao bằng 4. Tính thể tích của hình chóp đó.

A. 4 B.

4 3

3 C. 2 3 D. 2

Lời giải.

Chọn B.

Câu 22:Cho khối đa diện ^H được tạo thành bằng cách từ khối lập phương có cạnh bằng 3, ta bỏ đi khối lập phương cạnh bằng 1 như hình vẽ. Gọi S là khối cầu có thể tích lớn nhất chứa trong ^H và tiếp xúc với các mặt phẳng ( ' ' ' '),(A B C D BCC B' ') và ^{(DCC D' ')}. Tính bán kính của S.

A.

2 3

3



. B. 3 3. C.

2 3

3 . D. 2

Lời giải Chọn B

Giải theo tự luận Ta có CH 2 3

Gỉa sử khối cầuScó tâm I là tâm, bán kính ^R.

I’,M, P lần lượt là hình chiếu của I lên( ' ' ' '),(A B C D BCC B' ') và ^{(DCC D' ')}.

Vì S là khối cầu chứa trong ^H và tiếp xúc với các mặt phẳng ( ' ' ' '),(A B C D BCC B' ') và ^{(DCC D' ')} nên MNPI M C P I. ' ' ' ' là hình lập phương cạnh ^R ( ^R là bán kính khối cầu S) và I C H '

Ta có 'C H 2 3, 'C I R 3

Vậy khối cầu có thể tích lớn nhất khi khối cầu đi qua H tức ^{IH R}

Vậy

' '

2 3 3

3 3

C H IH C I R R R

 

  

   Vậy chọn B

Câu 23:Cho tứ diện ABCD và các điểm ^M , N, ^P lần lượt thuộc các cạnh BC, ^BD, AC sao cho BC4BM, AC3AP, BD2BN . Tính tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện

ABCD được phân chia bởi ^mp



^MNP



_.

A.

7

13. B.

7

15. C.

8

15. D.

8 13. Lời giải

Chọn A.

(Địnhlý Menelaus Cho tam giác ABC đườngthảng

 

^d _{cắtcáccạnh}AB BC CA, , lầnlượtại , ,

M N Pta có ^{. . 1} MA PB NC MB PC NA 

)

Gọi^{I MNDC K, ADPI.}

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giácBCD và 3 điểm^{M N I, ,} ta có

. . 1 .1.1 1 3

3

IC ND MB IC IC

ID NB MC   ID   ID 

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giácACDvà 3 điểm^{P K I, ,} ta có

1 2

. . 1 . .3 1

2 3

KD PA IC KD KD

KA PC ID  KA   KA 

2 3 2 1

. . . .1

3 4 4 2

1 1

(3)

2 4

VCPMN CP CM CN VCABN CA CB CN

VCPMN VCABN VABCD

   

  

1 3 1

. . . .1

3 5 5

4 4 4 1 2

(4)

5 5 5 2 5

APKN ACDN

NCPKD

NCPKD ACDN ABCD ABCD

ACDN

V AP AK AN V AC AD AN

V V V V V

V

  

     

   

^{3 , 4 13}

CMPKDN CPMN NCPKD 20 ABCD

V V V V

   

7 13

ABMNKP CMNDK

V

 V 

Câu 24:Cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt phẳng ( ) qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc ⁶⁰⁰ tính tỷ số thể tích của hai phần khối nón chia bởi mặt phẳng ^{( )} ?

A.

2

 . B. ²



^{ 1 1}



_{. C. 3}²_{ . D.} ^3_6^4_.

Lời giải

Chọn D.

Không mất tính tổng quát ta giả sử ^R1.

Khi cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt phẳng ^{( )} qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc ⁶⁰⁰ thì ta được thiết diện là một đường parabol có đỉnh là gốc ^O

 

^0;0 và đỉnh còn lại là ^A

 

^1;1 , do đó thiết diện sẽ có diện tích là

4 S 3

. Xét mặt phẳng đi qua cạnh đáy của thiết diện vuông góc với hình tròn đáy của hình nón cắt hình nón làm đôi.

Gọi đa diện chứa mặt thiết diện đó là

 

^H _{. Gọi}

 

^K là đa diện chứa đỉnh O của hình nón được sinh bởi khi cắt thiết diện Parabol với đa diện

 

^H _.

Khi đó khoảng cách từ O đến mặt thiết diện là

3 h 2

.

Suy ra thể tích của đa diện

 

^K _là ^{VK 1}_{3 2 3}^{. 3 4.  2 3}_{9 .}

Mặt khác thể tích của nửa khối nón là

1 1 3

. 3

2 3 6

  .

Do đó thể tích của đa diện nhỏ tạo bởi thiết diện và khối nón là



^{3 4}



³

3 2 3

6 9 18

V   

  

.

Vậy tỉ số thể tích của hai phần khối nón chia bởi mặt phẳng

 

^ _là



^{3 4}



³

3 4

18 3 6 3

 

 



 

.

Câu 25: Khối chóp .S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA SB SC a   , cạnh SD thay đổi. thể tích lớn nhất của khối chóp .S ABCD là:

A.

3

8 . a

B.

3

4 . a

C.

3 3

8 . a

D.

3

2 . a

Lời giải.

Chọn. B.

O A

B C

D S

Đặt SD x .

Do đáyABCD là hình thoi nên V_{S ABCD}^. 2V_{S BCD}^. 2V_{C SBD}^. . Ta có SAC BAC SO BO  SBD vuông tại S.

2 2

BD a x

  

2 2

2

4 a x

OA OC a 

   

.

Và do ^{CO BD CO}



^SBD



CO SO

 

 

 

 ^{. .}

2 2. .1 .

S ABCD C SBD 3 SBD

V V CO S

  

2 2

.

2 3 1

. .

3 2 2

S ABCD

a x

V  ax

  ^₆^{a x2}



^3a2x2



^ ₆^{a x. 23}₂^{a2x2  a}₄³

dầu bằng xảy ra khi

6 2 xa

.

Câu 26:Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là ^{20 cm}. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng ^10cm (hình H1). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên (hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?

A. ^{0,87 cm}. B. ^10cm. C. ^{1,07 cm}. D. ^1,35cm. Lời giải

Chọn A.

+ Gọi ^R là bán kính đáy của phễu.

+ thể tích của lượng nước đổ vào phễu là 1 2

.10. .

3 2

V     R

  (1).

+ Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên thì lượng nước tạo thành khối nón cụt có chiều cao là h và bán kính đáy nhỏ trên là ^r. Ta có

20 1

20 20

r h h

r R

R

  

     .

+ thể tích khối nón cụt cũng là thể tích lượng nước được tính theo công thức sau:



^{2 2}



^{2 1 1 2 1}

3 3 20 20

h hR h h

V  R  r Rr         (2).

+ Từ (1) và (2) ta có 5 2

2 1

6 3 20 20

h h  h  

       20 ^{0, 0435}

 h 

0,87

 h .

Câu 27:Cho khối hộp ABCD A B C D.     có đáy là hình chữ nhật với AB 3; AD 7. Hai mặt bên



^{ABB A }



_và



^{ADD A }



cùng tạo với đáy góc 45, cạnh bên của hình hộp bằng ¹ (hình vẽ). thể tích của khối hôp là:

A. 7 . B. 3 3 . C. 5. D. 7 7 .

Lời giải Chọn A

B' A'

C'

D'

B

A H

I D

C K

Hạ ^{A H }



^{ABCD H}



^{, }



^ABCD



^; HI AD I, AD;^{HK AB K, AB}

 

' '

A H ABCD A H AD '

A I AD IH AD

    

 



^{A I}_A^{ }_DD  ^{AD IH}_A

 

^, _ABCD^AD



_AD^^{ }

 

^ABCD

 

^{, ADD A }

 

^{ HIA} (Do HIA 90 )

Chứng minh tương tự ^

 

^ABCD

 

^{, ABB A }

 

^{ HKA}

Từ giả thiết suy ra:HIA HKA 45 HAHIHK Có ABCD là hình chữ nhật, ^{HI AD I, AD};^{HK AB K, AB} Nên^AIHK là hình vuông suy raAH HK 2A H 2

+ ^{A H }



^{ABCD H}



^{, }



^ABCD



_{AH A H AA}² _{A H} ²_HA² _{3A H} ²

1 HA 3

 

. . . 7

ABCD A B C D

V _{   } A H AB AD

   .

Câu 28:Cho hình chóp .S ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC, các mặt bên



^SAB



_,



^SBC



_,



^SCA



cùng tạo với đáy góc 60. Biết AB3, BC4,CD5, tính thể tích khối chóp .S ABC.

A. 2 3 . B. 6 3 . C. 5 3 . D. 10 3 .

Lời giải Chọn A

A C

B S

H K I

G

Hạ^{SH }



^{ABC H}



^{, }



^ABC



,

HI AB IAB;^{HK BC K BC, } ,^{HGCA G CA, }

 

SH ABC SH AB

SI AB IH AB

    

 

Có

   

,

SI AB IH AB SAB ABC AB

    ^

 

^ABC

 

^{, SAB}

 

^{ HIS} _{(Do HIS  90 )}

Chứng minh tương tự ^

 

^ABC

 

^{, SBC}

 

^{ HKS}

   



^{ABC , SAC}



^SGH

  

Từ giả thiết suy ra:HIS  SKH  SGH  60

3 3 3

SH HI HK HG

   

Mà ^H nằm trong tam giác ABCnên ^H và^HIlần lượt là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

Có ^{AB2BC2 AC2} nên tam giác ABC là tam giác vuông tại B.

 

2 4.3

3 4 5 1 S ABC

HI  AB BC CA 

    SH  3.

 

.

1 1 3.4

. . 3. 2 3

3 3 2

S ABC ABC

V SH S

   

.

Câu 29:Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCDlà hình vuông, các mặt bên



SBC



,



SAD



cùng tạo với đáy góc 60, mặt bên



^SAB



vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ ^Ađến mặt

phẳng



^SCD



_bằng 7 , tính thể tích khối chóp .²¹ S ABC. A.

3

12 . B.

3

6 . C.

3

8 . D.

3 8 . Lời giải.

Chọn A

B

A D

C S

H M

I

HạSH AB H, AB, do



^SAB

 

^{ ABCD}



_nên^{SH }



^ABCD



SH BC

 

Có ABCD là hình vuôngABBC

 

BC SAB BCSB

Có

   

,

SB BC BC AB SBC ABCD BC

    ^

 

^ABCD

 

^{, SBC}

 

^{ SBH}

(Do SAH  90 )

Chứng minh tương tự ^

 

^ABCD

 

^{, SAD}

 

^{ SAH}

Từ giả thiết suy ra:SAH  SBH  60 mà ^HAB suy ra tam giác SAB đều và ^H là trung điểm của ^AB.

Gọi ^M là trung điểm của CD HM CD

Có ^{SH }



^ABCD



^{SH CD}



^SHM

 

^SCD



  . Hạ HI SM thì ^{HI }



^SCD



^HI ₁₂³

Có ^{2 2 2}

1 1 1

HI SH HM

2 2 2

1 1 1

21 3

7 2

AB BC

  

   

   

    AB1 (Do AB BC HM 

)

 

.

1 1 3 1 3

. . .

3 3 2 2 12

S ABC ABC

V SH S

   

.

Câu 30: Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng^200m3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí xây bể là 300 nghìn đồng/m (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy vಠdiện tích xung quanh, không tính chiều dày của đáy và thành bể). Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây bể (làm tròn đến đơn vị triệu đồng).

A. 75 triệu đồng. B. 51 triệu đồng. C. 36 triệu đồng. D. 46 triệu đồng.

Lời giải Chọn B

+) Gọi chiều rộng của đáy bể là a ^{( )m} thì chiều dài của đáy là 2a ^{( )m} .

+) Do thể tích bể chứa nước là ^200m3nên chiều cao của bể là ^{2 2} 200 100 h 2

a a

 

.

+) Do đó diện tích xây dựng bể là ^{S2a22.ah2.2ah}

2 600

2a a

 

.

+ Ta có

2 600

2 S a

  a ² 300 300

2a a a

   ^{3 2} 300 300

3 2 .a . a a

 ₃

30 180

 , dấu bằng xảy ra khi a ³15, suy ra chi phí thấp nhất để xây bể là 300.000x30 180³ 51triệu đồng.

Chọn đáp án B

Nhận xét: Ta cũng có thể đánh giá Sbằng cách đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

^{2 2 600}

f a a

  a

trên khoảng



^a;



_.

Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng .

ABC A B C   có đáy ABC là tam giác vuông BA BC a  , cạnh bên AA a 2, ^M là trung điểm của BC (hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng ^AM và B C là:

A.

2 2 a

.

B.

3 3 a

.

C.

5 5 a

.

D.

7 7 a

.

Lời giải Chọn D

Cách 1

+) Gọi N là trung điểm ^BB, suy ra

 

B C  AMN . Do đó



^,

 

^,

  

d B C AM d B C AMN

 



^,



d C AMN



 



^,



d B AMN



+) Kẻ ^{BH  AM BK, NK}. Chứng minh được ^{BK }



^AMN



_{. Vậy nên}



^,



d B C AM ^{d B AMN}



^,

  

_BK

+) Tính

a 2

a

M A'

B' C'

C

A B

B' C'

A'

A

C M

K

H N

B

BH

2 2

2 2

BA BM BA BM

 



5 5

a

BK

2 2

2 2

BH BN BH BN

 



7 7

 a . Cách 2:

+) Tính được thể tích khối tứ diện .B AMN: 1

V 6BA BM BN  . +) Tính diện tích tam giác AMN là S.

+) ^{d B C AM}



^{ ,}



^{d B AMN}



^,

  

^3_S^V _.

Nhận xét: Học sinh dễ nhầm lẫn trong việc dựng ^BK nên điều chỉnh lại phương án nhiễu như sau:

+) Nhầm lẫn 1: BK MN , khi đó phương án nhiễu là 2 3 a

, khoanh B

+) Nhầm lẫn 2: BK AN , khi đó phương án nhiễu là 6 3 a

, khoanh. C.

Câu 32: Cho hình trụ

 

^T _có

 

^C _và (C ) là hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập phương.Biết rằng trong tam giác cong tạo bởi đường tròn

 

^C và hình vuông ngoại tiếp của

 

^C có một hình chữ nhật kích thước a2a (như hình vẽ dưới đây).Tính thể tích V của khối trụ

 

^T _{theo a.}

A.

100 3

3

a

. B. ²⁵⁰^a3. C.

250 3

3

a

. D. ¹⁰⁰^a3. Lời giải:

Chọn B.

M

O A

C D

B N H

K

Gọi M và N lần lượt là trung điểm CD và AB

Dễ thấy ACMN và BDMNlà hình vuông cạnh bằng ^a.

Do đó MAC 45^o.Tương tự OAC 45^onên ba điểm ^{A M O, ,} thẳng hàng.

Kéo dài CD cắt OH tại K Đặt AH OH OD x  

Do ^{OD2 OK2DK2} mà DKBH  x 2a,HK AC a

→x² (x2 )a ² (x a)².Giải phương trình được x5a (loại nghiệm ^{x a} ) Vậy V_tru ^{. .}r h² .5 .(2.5) 250²  .

Câu 33: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3a, AD a , tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD.

A. ^S ⁵^a2. B. ^S ¹⁰^a2. C. ^S ⁴^a2. D. ^S ²^a2. Lời giải:

Chọn A.

A

B C

D S

G I

M O

Theo bài ra ta có GT  AB a 3, ^{d 2}

R  AC ^{2 2}

2 AB AD

 a,

3

b 3 R  AB 3. 3

3

a a

 

.

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:

 

²

2 2 3

4

R a a  a 5 2

 a .

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD là:

2

5 2

4. . 5

2

S 