4.Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn?

(1)

tam giác ABC vuông tại A 2.Tam giác ABC vuông tại A

 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn có BC là đường kính,tâm là trung điểm của BC

A,B,C thuộc đường tròn có BC là đường kính, tâm là trung điểm của BC

3.TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì (MA,MB là 2 tiếp tuyến )

*Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm :MA=MB

*Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến :^AMO^ ^^BMO^

*Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác tạo bởi hai bán kính đi qua 2 tiếp điểm :^AOM^ ^^BOM^

15.CHỨNG MINH :MN là đường trung trực đoạn AB ta có 2 cách Cách 1: chứng minh MN vuông góc tại trung điểm của đoạn AB Cách 2:Ta có MA=MB

NA=NB

MN là đường trung trực của đoạn AB

4.Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn?

“Nếu đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc bán kính tại tiếp điểm”

ĐỂ CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG xy LÀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN .CÓ 3 CÁCH

Cách 1: Chứng minh xyOA và OB=R Cách 2:Chứng minh xyOA và B(O)

Cách 3: Nếu góc BAx có số đo bằng góc BCA thì Ax là tiếp tuyến của đường tròn.

O C A B

M

A B

O B O

A R

dM A N

B

(2)

Đường kính vuông góc dây

Đường kính đi qua điểm chính giữa của cung

Đường kính đi qua trung điểm của dây

2

16.GÓC Ở TÂM

*Có đỉnh ở tâm

*2 cạnh cắt đường tròn

*bằng số đo cung chắn ^COD^ ^^{sd CD}^

17.LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY: Hai cung bằng nhau thì hai dây bằng nhau và ngược lại AB CD^  ^  AB CD

Tóm lại

18.GÓC NỘI TIẾP

*có đỉnh nằm trên đường tròn.2 cạnh cắt đường tròn

 

, / /

AB CDlà dây cung O

A CD AB CD

B

 

 



Đường kính đi qua điểm chính giữa của 1 cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

Xét (o)có

BC là đường kính có ^CN ^CM

 

 IN=IM

Đường kính đi qua trung điểm của 1 dây không đi qua tâm thì đi qua diểm chính giữa của cung căng dây ấy

Xét (o)có

BC là đường kính có ÎN^ÎM ÎN^ ^ÎM^

D O

R C A B

O

C D

A O B

C D

I

(3)

*bằng nửa số đo cung chắn

1 CAD^  2sd CD^

*bằng nửa số đo góc ở tâm 1

CAD^  2COD^ *Các góc nội tiếp chắn 1cung hoặc nhiều cung bằng nhau thì bằng nhau

1 2sd

MBN MAN MCN

^ ^ ^



^ ^

MN

^

*Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông :ta có ^BAC^ ^⁹⁰⁰(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

19.GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG

*đỉnh nằm trên đường tròn ,1 cạnh là tiếp tuyến,cạnh còn lại chưa dây cung

*bằng nửa số đo cung chắn

1 BAx^  2sd AB^

*Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn 1 cung

A O

C D

M N

A O

C D

A O

C D

B C

O C A B

O A

B y x

O

A

B y x

C

(4)

4

1 2 1 2 BCA BAx SdAB CBA CAy SdAC

 

 

20.CÓ ĐỈNH NẰM TRONG ĐƯỜNG TRÒN.

2 sd BC sd AD BMC

 

 



21.TỨ GIÁC NỘI TIẾP

*Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn.

-Nếu ABCD nội tiếp (O) thì tổng 2 góc đối diện =180:^{A C} ^{B D} ¹⁸⁰⁰

   

    -Góc ngòai bằng góc trong đối diện:

- 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa 2 điểm còn lại dưới 1 góc bằng nhau:

*22.DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP Cách 1:Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰

Cách 2:Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa 2 điểm còn lại dưới 1 góc bằng nhau

Cách 3:Tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện .

O A

D B C E

Xét tứ giác ABCD có

A C

^

 

^

180

⁰

 ABCD nội tiếp (O)( Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

Xét tứ giác ABCD có

A C

^

 

^

90

⁰

 ABCD nội tiếp (O)( Tứ giác có2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh dưới 1 góc)

Xét tứ giác MNPQ có M

^

 P

^

 MNPQ nội tiếp (O)( Tứ giác góc ngoài bằng góc trong đối diện)

2 sd BC sd ED BAC

 

  

A O

D B

C

A O

D B

C

M

Q P

N

x

o

(5)

Cách 4:Tứ giác có 1 điểm cách đều 1 điểm cho trước.

23.Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm đường trung trực của các cạnh của tam giác.

Xét tứ giác ABCD có OA=OC=OD=OB(1/2BD)

 ABCD nội tiếp (O)( Tứ giác có 1 điểm cách đều 1 điểm cho trước)

A O

D B

C

(6)

I B

A

C F

E

D

O

O' A

B

O O'

A

O O' A

O O'

K A

x y B

C F E

D

6

Vịtrítương đối của hai đường tròn

a. Hai đường tròn cắt nhau.

Hai đường tròn có 2 điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nhau.

Hai điểm chung đó (A;B) gọi là hai giao điểm.

Đoạn AB gọi là dây chung.

 OO’ là đường trung trực của của đoạn thẳng AB hoặc OO’ là trục đối xứng của hai đường tròn.

 A và B đối xứng với nhau qua OO’  OO’ là đường trung trực của đoạn ABOO’AB

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau là hai đường tròn chỉ có một điểm chung Tiếp xúc ngoài.

Tiếp xúc trong

c) Hai đường tròn không giao nhau là hai đường tròn không có điểm chung.

Đựng nhau.

ở ngoài nhau.

23.Đường tròn nội tiếp tam giác Vì I thuộc phân giác của các góc , B, C của tam giác ABC nên ta có ID = IE = IF  D, E, F nằm cùng trên một đường tròn (I, ID)

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác đó

*Đường tròn bàng tiếp tam giác.

K thuộc tia phân giác của góc xBC  KF = KD (1) K thuộc tia phân giác của góc yCB  KD = KE (2) Từ (1), (2)  KD = KE = KF

 Ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đường tròn (K; KD)

Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của 2 đường phân giác

ngoài của tam giác .Một tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp

(7)

O O' A

B

R r

1. Hệ thức giữa đoạn nối tâm và bán kính (18’) a) Hai đường tròn cắt nhau.

Xét OAO’ có

OA - O’A < OO’ < AO + O’A (Bất đẳng thức tam giác) hay R - r < OO’ < R + r

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau.

- Tiếp điểm và hai tâm cùng nằm trên một đường thẳng.

- Nếu (O) và (O’) tiếp xúc ngoài  A  OO’(A nằm giữa OO’) ta có OO’ = OA + OA’ = R + r

Nếu (O) và (O’) tiếp xúc trong

 O’ nằm giữa O và A

 OO’ = OA - O’A = R - r

c) Hai đường tròn không giao nhau.

+ Hai đường tròn ở ngoài ngoài nhau OO’ = OA + AB + BO’

OO’ = R + r + AB

 OO’ > R + r + Đựng nhau.

OO’ = OA - O’A = OA - (O’B + AB)

= OA - O’B - AB = (R - r) - AB

 OO’ < R - r

ĐƯỜNG TRÒN ,CUNG TRÒN

DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN ,HÌNH QUẠT TRÒN 1)công thức tính độ dài đường tròn

(8)

8

2 C R







2)công thức tính độ dài cung tròn

0

180

Rn ^_

 





3)Diện tích hình tròn S R2



 



4)Diện tích hình quạt tròn

2 0 q 360 S R n



 



5)Diện tích hình viên phân

( )

( ; ) q AOB AOB

vp AB AB

S  S  S

1. Tính diện tích viên phân của (O,R) được giới hạn bởi cung AB và dây AB nếu a)

sđ AB

^¿ ₌₉₀⁰

sđ AOB

^¿

= sd AB

^¿

= 90

⁰

Diện tích hình viên phân phải tìm là:

SVP=ShqAOB-SAOB

=……….

b)

sđ AB

^¿ ₌₆₀⁰

Vẽ OH vuông góc AB.

Sq

:diện tích hình quạt

:số vô tỉ R:bán kính

n:số đo độ cung tròn AB S: diện tích hình tròn

:số vô tỉ R:bán kính

:độ dài cung tròn

:số vô tỉ R:bán kính

n:số đo độ cung tròn

C:độ dài đường tròn

:số vô tỉ R:bán kính

B A o n

⁰

l

B o n A

0

R

(9)

Ta cú AOB cõn tại O cú OH đường cao cũng là phõn giỏc trung tuyến…

: 2

AOH^ BOH^ AOB^ =60⁰:2=30⁰

SinAOH^ =

. . 300

2 2.

AH R

AH OA Sin AOH R Sin OA

AB AH R

    

 

COSAOH^ =

0 3

.COS .COS30

2

OH R

OH OA AOH R

OA

    

AOB

^¿

=Sđ AB

^¿

=60

⁰

.

SVP=ShqAOB-SAOB

=

2 0 1

360 2 .

R n OH AB

 

=………..

1. Công thức tính diện tích hình thang =

1

2

(CD + AB).AH

2.Công thức tính diện tích hình bình hành S = ah

3.Diện tích hình thoi

S = 12 d1.d2

Định lí Talet (thừa nhận không chứng minh): SGK.

GT Δ ABC ,B

^'

C

^'

// BC (B

^'

∈ AB ,C

^'

∈ AC ) KL

_AB^'

AB=AC^' AC

;

AB^'

BB^' =AC^' C^'C

;

BB^'

AB =C^'C AC

*Định lí Talet đảo (thừa nhận không c/m)

A

(10)

10

ABC có

B’ AB , C’AC GT

AB^'

AB=AC^' AC

KL B C // BC ’ ’

. Hệ quả của định lí Ta let ABC , B’C’ // BC GT (B’ AB , C’AC) KL

AB ' AB =AC '

AC =B ' C ' BC

hình hộp chữ nhật

A B

D C

D'

A' B'

C'

thể tích hình hộp chữ nhật Hình hộp chữ nhật có các kích thớc là a, b, c (cùng đơn vị độ dài) thì thể tích của hình hộp chữ nhật là: V = abc=CC’.CD.BC

hình lăng trụ đứng

* Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích của các mặt bên Ta có công thức : S

xq

= 2ph (p là nửa chu vi đáy, h là chiều cao)

* Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích 2

đáy

S

tp

= S

xq

+ 2S

đ

thể tích của hìn lăng trụ đứng V = S.h (S : điện tích đáy; h : chiều cao)

Diện tích xung quanh hình chóp đều S

xq

= P.d (P : nửa chu vi đáy; d : trung đoạn)

S

tp

= S

xq

+ S

đ

- Đờng cao vẽ từ đỉnh S của mỗi mặt bên của hình chóp đều đợc gọi là trung đoạn (SH)của hình chóp đó

B

C’

A B’

B C

B’ C’

C

S

(11)

HT

HTC HTV

HBH

HCN

H.Thoi

HV

TG

Các cạnh đối //

1v

1v 3v

2 góc kề 1 đáy = Có 2chéo =

1v

*Các cạnh đối //

*Các cạnh đối =

*2 cạnh đối //,=

*Các góc đối =

*2chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

*Có 2 đường chéo vuông góc.

*2cạnh kề bằng nhau

*1đường chéo là đường phân giác của 1 góc.

4 cạnh bằng nhau

*Có 2 đường chéo vuông góc.

*2cạnh kề bằng nhau

*1đường chéo là đường phân giác của 1 góc.

*1v

*2chéo =

Dạng đủ: ax

²

+bx +c = 0(a0)

 =b

²

– 4ac

* Khi  < 0 :PT vô nghiệm.

* Nếu  = 0 :PT có nghiệm kép

¹ ²

2 x x b

= = - a

* Nếu  > 0 PT có hai nghiệm phân biệt:

1 2 , 2 2

b b

x x

a a

 

   

 

H

(12)

12

ax

²

+bx +c = 0(

^b=

b' 2

)

 =b’

²

– ac

* Khi  < 0 :PT vô nghiệm.

* Nếu  = 0 :PT có nghiệm kép

¹ ²

x x b

= = - a

* Nếu  > 0 PT có hai nghiệm phân biệt: 1 b , 2 b

x x

a a

 

   

 

1.Hệ thức Viet ax

²

+bx +c = 0(a0) điều kiện

^Δ≥0

1 2

1. 2

S x x b a P x x c

a

    



  



2.phương trình đặc biệt

ax

²

+bx +c = 0(a0)có a + b + c = 0 x

1

= 1; x

2

=

c a

ax

²

+bx +c = 0(a0)có a - b + c = 0 x

1

=- 1; x

2

=

c a -

Nếu viet đối xứng nhớ

A=x

12+x

22=

(

^x1+x₂

)

²⁻^2.^x1.x₂=S²−2P B=x₁−x₂⇒B²=(^x1−x₂)²^=x₁₂^+x₂₂^−2.^x1x₂=(^x1+x₂)²⁻⁴^x1x₂=S²−4P

C=

^x¹²⁻^x²²⁼⁽^x¹^−x²⁾⁽^x¹⁺^x²⁾

rồi tính x

1

-x

2

như tính B D=

x1³x2³ 



x1 x2



³3. . (x x x1 2 1 x2)S³3PS

Chứng tỏ phương trình có nghiệm Cách làm:Tính =….(…)2≥0

Kết luận:Vậy phương trình có nghiệm

Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Cách làm:Tính =….=(…)2 +số dương >0

(13)

Kết luận:Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình có nghiệm

Cách làm:Tính

Để phương trình có nghiệm thì  ≥0….giải ra m Kết luận:Vậym=…thì phương trình có nghiệm Tìm m để phương trình có 2nghiệm phân biệt Cách làm:Tính 

Để phương trình có nghiệm thì >0….giải ra m

Kết luận:Vậym=…thì phương trình có2 nghiệm phân biệt

NẾU VIET không đối xứng sử dụng đề hoặc S,P làm bài

(14)

14

(15)

diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Khi quay ABCD quanh CD cố định

^

ta đợc một hình trụ.

- DA và CB quét nên hai đáy của hình trụ là (D) và (C ) nằm trong hai mặt phẳng song song

- AB quét nên mặt xung quanh của hình trụ.

- AB là đờng sinh vuông góc với mặt phẳng đáy.

- DC là trục của hình trụ .

Diện tích xung quanh của hình trụ

^{S = 2}^xq ^^R^.h

S = S + S = 2 R.h + 2 R^TP ^xq ^d   ²

(16)

16

( R : CB=bán kính đáy ; H=CD= chiều cao hình trụ ) Thể tích hình trụ:

Công thức tính thể tích hình trụ:

V = S.h = R .h ²

( S: là diện tích đáy, h: là chiều cao )

Đ2 Hình nón - hình nón cụt

diện tích xung quanh và thể tích hình nón - hình nón cụt

Gọi bán kính đáy hình nón là r=OC, đờng sinh là l =AC Theo công thức tính độ dài cung ta có :

Độ dài cung hình quạt tròn là

ln 180



Độ dài đờng tròn đáy của hình nón là 2r . Suy ra: r =

ln 360

Diện tích xung quanh của hình nón bằng bằng diện tích hình quạt tròn khai triển nên :

2 ln

360 .360

xq

S l nl rl

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là:

Sxq rl

Diện tích toàn phần của hình nón ( tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy) là :

2

S = rl + r tp  

 Ví dụ: (Sgk - 115 )

Tính diện tích xung quanh của hình nón có chiều cao h =16cm và bán kính đờng tròn

đáy R=12cm.

Giải:

Độ dài đờng sinh của hình nón là:

2 2 162 122 400 20

l h R    

Diện tích xung quanh của hình nón là:

(17)

.12.20 240 ( 2) Sxq Rl   cm

3. Thể tích hình nón:

. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt:

Cho hình nón cụt

+) r

1

; r

2

là các bán kính đáy +) l là độ dài đờng sinh . +) h là chiều cao

+) Kí hiệu S

xq

và

V là thể tích của hình nón cụt

 

^.

Sxq  R r h

V

nón

=

1 3

V

trụ