Trọn bộ các công thức toán 12 đại số ôn thi THPT Quốc gia

MỤC LỤC

PHẦN I. HÀM SỐ ... 4

1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ... 4

1.1. Định nghĩa ... 4

1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm ... 4

1.3. Bảng công thức tính đạo hàm... 5

1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức ... 5

1.5. Đạo hàm cấp 2 ... 5

2. CỰC TRỊ HÀM SỐ ... 7

2.1. Định nghĩa ... 7

2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị ... 8

2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị ... 8

2.4. Quy tắc tìm cực trị ... 8

3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ ... 9

3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y ax³ bx² cx d. ... 9

3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương ^{y ax4 bx2 c a,}



^{ 0}



... 12

4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ... 14

4.1. Định nghĩa. ... 14

4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN ... 14

5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ... 15

5.1. Đường tiệm cận ngang ... 15

5.2. Đường tiệm cận đứng ... 15

6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ... 15

6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức... 15

6.2. Một số phép biến đổi đồ thị ... 17

7. TIẾP TUYẾN ... 19

7.1. Tiếp tuyến ... 19

7.2. Điều kiện tiếp xúc ... 20

8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ ... 20

9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG ... 20

9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong... 20

9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên ... 21

9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng ... 21

9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách ... 22

PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT ... 24

1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA ... 24

1.1. Khái niệm lũy thừa ... 24

1.2. Phương trình xⁿ b. ... 24

1.3. Một số tính chất của căn bậc n... 25

1.4. Hàm số lũy thừa ... 25

1.5. Khảo sát hàm số mũ ^yax,



^a0,a1



. ... 26

2. LOGARIT ... 27

2.1. Khái niệm Logarit ... 27

2.2. Bảng tóm tắt công thức Mũ-logarit thường gặp ... 27

3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. ... 28

3.1. Bất phương trình mũ cơ bản ... 28

3.2. Bất phương trình logarit cơ bản ... 28

4. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG ... 29

4.1. Lãi đơn ... 29

4.2. Lãi kép ... 29

4.3. Tiền gửi hàng tháng ... 30

4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng ... 30

4.5. Vay vốn trả góp ... 30

4.6. Bài toán tăng lương ... 31

4.7. Bài toán tăng trưởng dân số ... 31

4.8. Lãi kép liên tục ... 31

PHẦN III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ... 32

1. NGUYÊN HÀM ... 32

1.1. Định nghĩa ... 32

1.2. Tính chất của nguyên hàm ... 32

1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm ... 32

1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp... 32

1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng ... 33

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM ... 34

2.1. Phương pháp đổi biến ... 34

2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần ... 35

3. TÍCH PHÂN ... 36

3.1. Công thức tính tích phân ... 36

3.2. Tính chất của tích phân ... 36

4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ... 37

4.1. Phương pháp đổi biến ... 37

4.2. Phương pháp tích phân từng phần ... 38

5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN ... 38

5.1. Tích phân hàm hữu tỉ ... 38

5.3. Tích phân hàm lượng giác ... 43

6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ... 46

6.1. Diện tích hình phẳng ... 46

6.2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay ... 46

PHẦN IV. SỐ PHỨC ... 48

1. SỐ PHỨC ... 48

1.1. Khái niệm số phức ... 48

1.2. Hai số phức bằng nhau ... 48

1.3. Biểu diễn hình học số phức ... 48

1.4. Số phức liên hợp ... 48

1.5. Môđun của số phức ... 48

2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC ... 49

2.1. Phép cộng và phép trừ số phức ... 49

2.2. Phép nhân số phức ... 49

2.3. Chia hai số phức ... 49

3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC ... 49

4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC ... 50

4.1. Căn bậc hai của số thực âm ... 50

4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực ... 50

5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC... 50

PHẦN I. HÀM SỐ

1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1. Định nghĩa

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số ^{y  f x}

 

xác định trên K ta có:

 Hàm số ^{y  f x}

 

được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:

   

x x₁, ₂K x, ₁ x₂  f x₁  f x₂

 Hàm số ^{y  f x}

 

được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K

* Nhận xét:

 Hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên K

 

^

 

    

 f x f x

x x K x x x x

2 1

1 2 1 2

2 1

     

0 , , . Khi đó đồ thị

của hàm số đi lên từ trái sang phải.

 Hàm số ^{f x}

 

nghịch biến trên K

 

^

 

    

 f x f x

x x K x x x x

2 1

1 2 1 2

2 1

     

0 , , . Khi đó đồ

thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

 Nếu ^{f x}

 

^{0, x }

 

^{a b;  hàm số f x}

 

đồng biến trên khoảng

 

^{a b; .}

 Nếu ^{f x}

 

^{0,  x}



^{a b;}



^{ hàm số f x}

 

nghịch biến trên khoảng

 

^{a b; .}

 Nếu ^{f x}

 

^{0, x }

 

^{a b;  hàm số f x}

 

không đổi trên khoảng

 

^{a b; .}

 Nếu ^{f x}

 

đồng biến trên khoảng

 

^{a b;  f x}

 

^{ 0, x }

 

^{a b; .}

 Nếu ^{f x}

 

nghịch biến trên khoảng

 

^{a b;  f x}

 

^{ 0, x}

 

^{a b; .}

 Nếu thay đổi khoảng

 

^{a b;} bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số^{f x}

 

liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm: Cho ^{u u x}

 

^{;v v x C}

 

^; : là hằng số .

 Tổng, hiệu:



^{u v}



^{ uv.}

 Tích:

 

^{u v.  u v. v u. }



^{C u.}



^{ C u. . }

   

x x₁, ₂K x, ₁ x₂  f x₁  f x₂

 Thương: ^ ^^{   }



^



^ ^^{   }

   

u u v v u C C u

v v² v u u²

. . .

, 0

 Đạo hàm hàm hợp: Nếu y ^ f u

 

,u ^u x

 

^yx^{ }y uu^{ }. x. 1.3. Bảng công thức tính đạo hàm

Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp

 

^{C   0} (C là hằng số).

 

^{x  .x1}

 

^{x  .x1}

 

  

  

x x² x

1 1

( 0)

 

^{x  } ₂¹_x



^{x 0}



 

^{u .u1.u}

 

  

  

 

 

u u

u u²

1 0

 

^{u  } ₂^u_u



^{u 0}





^sinx



^{ cosx}



^sinu



^{ u.cosu}



^cosx



^{  sinx}



^cosu



^{  u.sinu}



^x



^ 2_x

tan 1

cos



tan^u



^{  u}2^_u

cos



^x



^{  } 2_x

cot 1

sin



cot^u



^{   u}2^_u

sin

 

^{ex  ex}

 

^{eu u e. u}

 

^{ax  ax.lna}

 

^{au  u a. . lnu a}



^lnx



^{ } _x¹



^lnu



^{  u}_u^



^log



¹

a x ln

x a





^{loga u}



^{ } _u.ln^u_a

1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức



 

   

  

   

ax b ad bc cx d cx d ²

.



 

c b c

f e f

a b a

x x

d e d

ax bx c

dx ex f dx ex f

2 2

2 2 2

           

    2      

    .

 

   

  

 

   

1.5. Đạo hàm cấp 2 1.5.1. Định nghĩa

   

f x  f x  1.5.2. Ý nghĩa cơ học

Gia tốc tức thời của chuyển động ^{s  f t}

 

tại thời điểm t₀ là: ^{a t}

 

0 ^{ f t}

 

0 . 1.5.3. Đạo hàm cấp cao

 ⁿ

 

^{ }_ ^n

 

^_^



^{ }



f x f ¹ x , n ,n 2 .

* Một số chú ý:

 Nếu hàm số ^{f x}

 

^{và g x}

 

cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số

 

^

 

f x g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu ^{f x}

 

^{g x}

 

^.

 Nếu hàm số^{f x}

 

^{và g x}

 

là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số ^{f x g x}

   

^. cũng đồng biến (nghịch biến) trên K.Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số ^{f x g x}

   

^, không là các hàm số dương trên K.

 Cho hàm số ^{u u x}

 

, xác định với ^x

 

^{a b; và u x}

   

^{ c d; . Hàm số f u x}_

 

^_ ^cũng

xác định với ^x

 

^{a b; .}

Ta có nhận xét sau:

 Giả sử hàm số ^{u u x}

 

đồng biến với ^x

 

^{a b;} . Khi đó, hàm số ^{f u x}_

 

^_ đồng biến với ^x

 

^{a b;  f u}

 

đồng biến với u



c d;



.

 Giả sử hàm số ^{u u x}

 

nghịch biến với ^x



^{a b;}



. Khi đó, hàm số ^{f u x}_

 

^_ ^nghịch

biến với ^x



^{a b;}



^{ f u}

 

nghịch biến với ^u

 

^{c d; .}

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

 Nếu ^{f x'}

 

^0 với mọi xK và ^{f x'}

 

^{ 0} chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f đồng biến trên K.

 Nếu ^{f x'}

 

^0 với mọi xK và ^{f x'}

 

^{ 0} chỉ tại một số hữu hạn điểm xK thì hàm số f nghịch biến trên K.

Chú ý:

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ ax b d

y x

cx d c

 

     

  

thì dấu "" khi xét dấu đạo hàm y không xảy ra.

Giả sử ^{y  f x}

 

^{ax3 bx2 cx d f x}

 

^{ 3ax2 2bx c .}

Hàm số đồng biến trên  Hàm số nghịch biến trên 

 

a

f x x a

b c

0 0

0; 0 .

0 0

 

 



      

 

 





 

a

f x x a

b c

0 0

0; 0 .

0 0

 

 



      

 

 





Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a b c  0thì^{f x}

 

^d

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng l ta giải như sau:

Bước 1: Tính ^{y f x m}



^;



^{ax2 bx c.}

Bước 2: Hàm số đơn điệu trên



^{x x}1; 2



^y 0 có 2 nghiệm phân biệt

a

0 0

 

  

 

^*

Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l x₁ x₂ l

   



^x1^x2



² 4^{x x}1 2 ^l2 S²4P l ²

 

^{* *} Bước 4: Giải

 

^* và giao với

 

^{* *} để suy ra giá trị m cần tìm.

2. CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1. Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x₀K. Ta nói:

 x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng



^{a b;}



^{chứa x}0 sao cho



^{a b;}



^{Kvà f x}

 

^{ f x}

 

0 ,^{ x}

   

^{a b}; \ ^x0 . Khi đó f x

 

0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm sốf .

 x₀ là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

 

^{a b; chứa x}0 sao cho



a b;



Kvà ^{f x}

 

^{ f x}

 

0 ,^{ x}

   

^{a b}; \ ^x0 . Khi đó ^{f x}

 

0 được gọi là giá trị cực đại của hàm sốf .

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

 Nếu x₀ là điểm cực trị của hàm số thì điểm



^{x f x0;}

 

⁰



được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

* Nhận xét:

 Giá trị cực đại (cực tiểu) ^{f x}

 

0 nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập D; ^{f x}

 

0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng

 

^{a b;} nào đó chứa x₀hay nói cách khác khi x₀ điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa x₀ sao cho ^{f x}

 

0 là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng

 

^{a b; .}

 Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tậpK. Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.

2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1:

Giả sử hàm số ^{y  f x}

 

đạt cực trị tại điểm x₀. Khi đó, nếu ^{y  f x}

 

có đạo hàm tại điểm x₀ thì ^{f x}

 

0 ^ 0.

Chú ý:

 Đạo hàm ^{f x}

 

có thể bằng 0 tại điểm x₀ nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.

 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2:

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x₀. Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x₀ thì

 

0

' 0

f x  .

 Nếu ^{f x}

 

^{ 0} trên khoảng



^x0 ^{h x}; 0



và^{f x}

 

^0 trên khoảng



^{x x}0; 0 ^h



thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số ^{f x}

 

^.

 Nếu ^{f x}

 

^0 trên khoảng



^x0 ^{h x}; 0



và ^{f x}

 

^0 trên khoảng



x x0; 0h



thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số ^{f x}

 

^.

2.4. Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1:

 

f x .

 Bước 2: Tìm các điểm x_i



^{i 1;2;...}



mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.

 Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu ^{f x}

 

^{. Nếu f x}

 

đổi dấu khi đi qua x_i thì hàm số đạt cực trị tại x_i.

Định lí 3:

Giả sử ^{y  f x}

 

có đạo hàm cấp 2 trong khoảng



^x0 ^{h x}; 0 ^h



với h  0. Khi đó:

 Nếu ^{f x}

 

0 ^0, ^{f x}

 

0 ^ 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x₀.

 Nếu f x

 

0 0,^{f x}

 

0 ^ 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x₀. Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm ^{f x}

 

^.

 Bước 2: Tìm các nghiệm x_i



^{i 1;2;...}



của phương trình ^{f x}

 

^{ 0.}

 Bước 3: Tính ^{f x}

 

^{và tính} f x

 

i .

 Nếu f x^

 

i ^0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x_i.

 Nếu f x^

 

i ^ 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm .x_i

3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y ax³ bx² cx d.

3.1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Bài toán tổng quát:

Cho hàm số ^{y  f x m}



^;



^{ax3 bx2 cx d .} Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x x₁, ₂ thỏa mãn điều kiện K cho trước?

Phương pháp:

 Bước 1:

 Tập xác định: D  .

 Đạo hàm: y  3ax² 2bx c Ax² Bx C

 Bước 2:

Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)

 y  0 có hai nghiệm phân biệt vàyđổi dấu qua 2 nghiệm đó  phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt

^y

A a a

m D

B² AC b² ac b² ac ¹

3 0 0

4 4 12 0 3 0 .



    

 

   

       

 

 

 Bước 3:

Gọi x x₁, ₂ là hai nghiệm của phương trình y  0.

Khi đó:

B b

x x

A a

C c

x x A a

1 2

1 2

2 3 .

. 3

     





  



 Bước 4:

Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P. Từ đó giải ra tìm được mD₂.

 Bước 5:

Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m D₁ D₂.

* Chú ý: Hàm số bậc ba: ^{y ax3 bx2 cx d a}



^{0 .}



Ta có: y' 3ax² 2bx c.

Điều kiện Kết luận

b² 3ac 0 Hàm số không có cực trị.

b²3ac 0 Hàm số có hai điểm cực trị.

 Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.

 Hàm số có 2 cực trị trái dấu

 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu AC. 3ac 0 ac 0.

    

 Hàm số có hai cực trị cùng dấu

 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

y

P x x C

1 2 A 0

. 0

 

 

  



 Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương

 phương trình y  0 có hai nghiệm dương phân biệt

y

S x x B C A P x x

A

1 2

1 2

0

0

. 0



 





     



   



 Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

 phương trình y  0 có hai nghiệm âm phân biệt

y

S x x B C A P x x

A

'

1 2

1 2

0

0

. 0

 





     



   



 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn:

x x

x x x x

1 2

1 2

1 2







 

 

 

 Hai cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn x₁  x₂



^x1 



^x2 



0 ^{x x}1. 2 



^x1 ^x2



² 0

        

 Hai cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn x₁ x₂ 



^x



^x



^{x x}



^{x x}



x x x x

2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

0 . 0

2 2

   

 

        

 

  

   

 

 

 Hai cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn  x₁ x₂



^x



^x



^{x x}



^{x x}



x x x x

2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

0 . 0

2 2

   

 

        

 

   

   

 

 

 Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi có 1 nghiệm làx b

a 3

  , có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là x d

a

 3 .

3.1.2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng

Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:

Cho 2 điểm A x y



A; A



, B x y



B; B



và đường thẳng :ax by c 0.

Nếu



axA byA c ax



B byB c



 0 thì hai điểm A B, nằm về hai phía so với đường thẳng .

Nếu



axA byA c ax



B byB c



0 thì hai điểm A B, nằm cùng phía so với đường thẳng .

Một số trường hợp đặc biệt:

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy hàm số có 2 cực trị cùng dấu

phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy  hàm số có 2 cực trị trái dấu

 phương trình y 0 có hai nghiệm trái dấu

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox  phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và y_CĐ.y_CT 0 Đặc biệt:

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox

 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và ^{C T}

CT C

y yC

y y

. 0

0

 



 



Đ Đ

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox  phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và ^{C T}

CT C

y yC

y y

. 0

0

 



 



Đ Đ

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và y_C .y_CT  0

Đ

(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

phương trình hoành độ giao điểm ^{f x}

 

^{ 0} có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm)

3.1.3. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

 

^{c b bc}

g x x d

a a

2 2 2

3 9 9

 

    

 

hoặc

 

^{   . .}

18 g x y y y

a ^{hoặc g x}

 

^{y y y}₃^{ }_y^._

3.1.4. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là

e e

AB a

4 16 3

 với b ac

e a

2 3

9

 

3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương ^{y ax4 bx2 c a,}



^{ 0}



3.2.1. Một số kết quả cần nhớ

 Hàm số có một cực trị ab 0.

 Hàm số có ba cực trị ab 0.

 Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu a b

0 0

 

   .

 Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại a b

0 0

 

   .

 Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại a b

0 0

 

   .

 Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại a b

0 0

 

   . 3.2.2. Một số công thức tính nhanh

Giả sử hàm số y ax⁴ bx² c có 3cực trị: A c B b C b

a a a a

(0; ), ; , ;

2 4 2 4

     

       

   

   

tạo thành tam giác ABCthỏa mãn dữ kiện: ab  0

Đặt: BAC 

Tổng quát:

b a

2 3

cot 2 8

 



Dữ kiện Công thức

thỏa mãn ab 0;c 0 Tam giác ABCvuông cân tại A b³  8a

Tam giác ABCđều b³  24a

Tam giác ABCcó diện tích S_ABC S₀ 32 ( )a S³ ₀ ² b⁵ 0 Tam giác ABCcó diện tích max S( )₀ b

S a

5

0  32 3

Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r_ABC r₀

r b

a b

a

2 3

4 1 1

8

  

   

 

 

Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại

tiếp R_ABC R b a

R a b

3 8

8

 

Tam giác ABCcó độ dài cạnhBC m₀ am²₀ 2b 0

Tam giác ABCcó độ dài AB AC n₀ 16a n^{2 2}₀ b⁴ 8ab  0 Tam giác ABCcó cực trị B C, Ox b²  4ac

Tam giác ABCcó 3 góc nhọn b a b(8  ³)0 Tam giác ABCcó trọng tâm O b² 6ac

Tam giác ABCcó trực tâm O b³ 8a4ac 0 Tam giác ABCcùng điểm O tạo thành hình

thoi b² 2ac

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội

tiếp b³ 8a4abc  0

Tam giác ABCcó O là tâm đường tròn ngoại

tiếp b³ 8a8abc  0

Tam giác ABCcó cạnh BC kAB kAC b k³. ² 8 (a k² 4) 0 Trục hoành chia tam giác ABCthành

hai phần có diện tích bằng nhau b²  4 2ac Tam giác ABCcó điểm cực trị cách đều trục

hoành b²  8ac

x y

O

A

B C

Đồ thị hàm số

 

^{C :y ax4 bx2 c} cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng

b² 100ac

 9 Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 

^{C :y ax4 bx2 c} và trục hoành có diện tích phần trên và phần dưới bằng nhau.

b² 36ac

 5 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là:

x y c y c

b a b a

2 2 2 2

4 4 0

     

        

   

4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 4.1. Định nghĩa.

Cho hàm số ^{y  f x}

 

xác định trên tập .D

 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ^{y  f x}

 

^{trên D nếu: f x}_{x D f x}^{M x D}_M

0 0

( ) ,

, ( )

   



  



. Kí hiệu: max ( )

M x D f x



 .

 Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ^{y  f x}

 

^{trên D nếu: f x}_{x D f x}^{m x D}_m

0 0

( ) ,

, ( )

   



  



. Kí hiệu:

m min ( )x D f x



 .

4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN

4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

 Bước 1: Tính ^{f x}

 

và tìm các điểm x x₁, ,...,₂ x_n D mà tại đó ^{f x}

 

^{ 0} hoặc hàm số không có đạo hàm.

 Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

 Bước 1:

 Hàm số đã cho ^{y  f x}

 

xác định và liên tục trên đoạn a b; . 

 Tìm các điểm x x₁, ,...,₂ x_n trên khoảng

 

^{a b; , tại đó f x}

 

^{ 0 hoặc f x}

 

không xác định.

 Bước 2: Tính f a f x

     

, ₁ ,f x₂ ,...,f x

   

n ,f b .

 Bước 3: Khi đó:

 max f xa b

 

max f x

    

₁ f x₂ f x

     

n f a f b



, , ,..., , , .

 

 



 _{ }

             

 

 _n

min f xa b min f x₁ f x₂ f x f a f b

, , ,..., , , .

4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

 Bước 1: Tính đạo hàm f x( ).

 Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x_i ( ; )a b của phương trình f x( ) 0 và tất cả các điểm

i ( ; )a b

  làm cho f x( ) không xác định.

 Bước 3. Tính

A x alim ( )f x



 ,

B x blim ( )f x



 , f x( )_i , f( )_i .

 Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận

M a b f x

( ; )

max ( )

 ,

m a b f x

( ; )

min ( )

 .

Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Chú ý:

 Nếu ^{y  f x}

 

đồng biến trên a b;  thì

   

   

a b

a b

f x f a f x f b

;

;

min max

 

 

 

 

 



 



.

 Nếu ^{y  f x}

 

nghịch biến trên a b; 

  thì

 

 

 

 

 

 

 



 



a b

a b

f x f b f x f a

;

;

min ( ) max ( ) .

 Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 5.1. Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số y  f x( ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng



^a;

 

^{, ;b}



hoặc



^{ ;}



). Đường thẳng y y₀ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

xlim ( )f x y₀, lim ( )x f x y₀

   

5.2. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng x x₀ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

 

 

   

x x f x x x f x

0 0

lim ( ) , lim ( ) ,

0 0

lim ( ) , lim ( )

x x_ f x x x_ f x

 

   

Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng ^{y  ax b}_{cx d}^{ c}



^{ 0; ad bc 0}



luôn có tiệm cận ngang là a

y c và tiệm cận đứng  d x c.

6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức

6.1.1. Hàm số bậc ba ^{y ax3 bx2 cx d a}



^{ 0}



TRƯỜNG HỢP a 0 a0

Phương trình y^/ 0 có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình y^/  0 có nghiệm kép

Phương trình y^/ 0 vô nghiệm

6.1.2. Hàm số trùng phương ^{y ax4 bx2 c a}



^{ 0}



TRƯỜNG HỢP a 0 a0

Phương trình y^/ 0 có

3 nghiệm phân biệt (ab<0)

x y

1

O 1

x y

1

O 1

x y

1

O 1

x y

1

O 1

x y

1

O 1

x y

1 O ¹

x y

O 1

1

x y

1 O

1

Phương trình y^/  0 có

1 nghiệm.

6.1.3. Hàm số nhất biến ax b



0, 0



y c ad bc

cx d

    



  

D ad bc 0 D ad bc  0

6.2. Một số phép biến đổi đồ thị 6.2.1. Dạng 1

Từ đồ thị

 

^{C :y  f x}

 

suy ra đồ thị

 

^{C :y  f x}

 

^.

Ta có:

 

f x khi x

   

y f x

f x khi x 0 0

 

  

 



và ^{y  f x}

 

là hàm chẵn nên đồ thị

 

^C nhận Oy làm trục đối xứng.

* Cách vẽ

 

^{C từ}

 

^{C :}

 Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị

 

^{C :y  f x}

 

^.

 Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của

 

^C , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

Ví dụ: Từ đồ thị

 

^{C :y  f x}

 

^{x3 3x}

suy ra đồ thị

 

^{C :y  x3 3x .}

Biến đổi

 

^{C :}

 Bỏ phần đồ thị của

 

^C bên trái Oy, giữ nguyên

 

^{C bên phải Oy.}

 Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

x y

1 O

1 x

y

O 1

1

x y

O

-2 2

-1 1

 

^{C :y  x3 3x}

 

^{C :y x3 3x}

6.2.2. Dạng 2

Từ đồ thị

 

^{C :y  f x}

 

suy ra đồ thị

 

^{C :y  f x}

 

^.

Ta có:

     

   

 

  

 



f x khi f x y f x

f x khi f x 0 0

* Cách vẽ

 

^{C từ}

 

^{C :}

 Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):^{y  f x}

 

^.

 Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Ví dụ: Từ đồ thị

 

^{C :y f x}

 

^x33x

suy ra đồ thị y  x³ 3x . Biến đổi

 

^{C :}

 Bỏ phần đồ thị của

 

^{C dưới}

,

Ox giữ nguyên

 

^C phía trên .

Ox

 Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Chú ý với dạng: ^{y  f x}

 

ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị ^{y  f x}

 

^{và y  f x}

 

Ví dụ: Từ đồ thị

 

^{C :y  f x}

 

^{x3 3x}

suy ra đồ thị y  x³ 3x . Biến đổi

 

^C để được đồ thị

 

^{C :y  x3 3x .}

Biến đổi

 

^{C :y  x3 3x} ta được đồ thị

 

^{C :y  x3 3x .}

6.2.3. Dạng 3

Từ đồ thị

 

^{C :y u x v x}

   

^. suy ra đồ thị

 

^{C :y  u x v x}

   

^{. .}

x y

O

-2

-1 1

x y

O

-2 2

-1 1

x y

2

-1 O 1

x y

2

-1 O 1

 

C :yx³3x

 

^{C :y  x3 3x}

 

^{C :y  x3 3x}

Ta có:

           

       

u x v x f x khi u x y u x v x

u x v x f x khi u x

. 0

. . 0

  

  

  



* Cách vẽ

 

^{C từ}

 

^{C :}

 Giữ nguyên phần đồ thị trên miền ^{u x}

 

^0 của đồ thị

 

^{C :y  f x}

 

^.

 Bỏ phần đồ thị trên miền ^{u x}

 

^0của

 

^C , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Ví dụ

a) Từ đồ thị

 

^{C :y  f x}

 

^{2x3 3x2 1}

suy ra đồ thị

 

^{C :y  x 1 2}



^{x2 x 1}



b) Từ đồ thị

 

^{C :y  f x}

 

^ _x^x_1 ^suy

ra đồ thị

 

^{ }

 C y x

: x

1

 

^

   

^

     

 



f x khi x

y x x x

f x khi x

2 1

1 2 1

1

Đồ thị (C’):

 Giữ nguyên (C) với x1.

 Bỏ (C) với x 1. Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C): giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT…

 

 

  

 

  

   

 

x khi x

x x

y x x khi x

x

1 1; .

1 ;1

1 Đồ thị (C’):

 Bỏ phần đồ thị của

 

^{C với}

x 1, giữ nguyên

 

^{C với}

1.

x

 Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Nhận xét: Đối với hàm phâ