Bài 6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình A. Lý thuyết
1. Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn
Trong thực tế, nhiều đại lượng biến đổi phụ thuộc lẫn nhau. Nếu kí hiệu một trong các đại lượng ấy là x thì các đại lượng khác có thể được biểu diễn dưới dạng một biểu thức của biến x.
Ví dụ 1. Gọi x (km/h) là vận tốc của một xe máy. Khi đó:
Quãng đường xe máy đi được trong 2 giờ là 2x (km).
Thời gian để xe máy đi được quãng đường 50 km là 50 x (h).
2. Giải toán bằng cách lập phương trình Các bước giải toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình:
+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết;
+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Ví dụ 2. Ông của Bình hơn Bình 58 tuổi. Nếu cộng tuổi của bố Bình và hai lần tuổi của Bình thì bằng tuổi của ông và tổng số tuổi của ba người bằng 130. Hãy tính tuổi của Bình.
Lời giải:
Gọi x (tuổi) là số tuổi của Bình ( x *).
Số tuổi của ông Bình là x + 58 (tuổi).
Vì tổng số tuổi của bố Bình và hai lần tuổi của Bình thì bằng tuổi của ông nên tuổi của bố Bình là:
(x + 58) – 2x = 58 – x.
Theo đề bài, số tuổi của ba người bằng 130. Khi đó, ta có phương trình:
x + (x + 58) + (58 – x) = 130
x + x + 58 + 58 – x = 130
x = 130 – 58 – 58
x = 14 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy Bình 14 tuổi.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Một đoàn tàu hỏa từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh. 1 giờ 48 phút sau, một tàu hỏa khác khởi hành từ Nam Định đi Thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là 5km/h. Hai đoàn tàu gặp nhau (ở ga nào đó) sau 4 giờ 48 phút kể từ khi đoàn tàu thứ nhất khởi hành. Tính vận tốc của mỗi tàu, biết rằng ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh và cách Hà Nội 87km.
Lời giải:
Gọi x (km/h) là vận tốc của đoàn tàu thứ hai. Điều kiện: x > 0.
Vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là x + 5 (km/h).
Khi gặp nhau thì đoàn tàu thứ nhất đi được 4 giờ 48 phút.
Vì đoàn tàu thứ hai đi sau 1 giờ 48 phút nên đoàn tàu thứ nhất đi được 3 giờ Thời gian đoàn tàu thứ nhất đi được khi hai tàu gặp nhau là:
4 giờ 48 phút = 24 5 giờ.
Quãng đường đoàn tàu thứ hai đi được từ lúc khởi hành đến lúc hai đoàn tàu gặp nhau là 3x (km).
Quãng đường đoàn tàu thứ nhất đi được từ lúc khởi hành đến lúc hai đoàn tàu gặp nhau là 24 (x 5)
5 + (km).
Theo đề bài, ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh và cách Hà Nội 87km. Khi đó, ta có phương trình:
24 (x 5) 3x 87
5 + = +
24x 24 3x 87
5 + = +
9x 63
5 =
x = 35 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy vận tốc của đoàn tàu thứ hai là 35km/h, vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là 35 + 5 = 40 (km/h).
Bài 2. Một hình chữ nhật có chu vi bằng 114 cm. Biết rằng, nếu giảm chiều rộng đi 5cm và tăng chiều dài thêm 8cm thì diện tích khu vườn không đổi. Tính diên tích hình chữ nhật.
Lời giải:
Nửa chu vi hình chữ nhật là: 114 : 2 = 57 (cm)
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu là: x (cm) (với 0< x < 57);
Chiều dài của hình chữ nhật lúc đầu là: 57 − x (cm).
Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là: x(57−x) = 57x − x2 (cm2)
Nếu giảm chiều rộng đi 5cm thì chiều rộng hình chữ nhật khi đó là: x − 5 (cm) Nếu tăng chiều dài thêm 8cm thì chiều hình chữ nhật khi đó là:
57 – x + 8 = 65 − x (cm)
Diện tích hình chữ nhật khi thay đổi là:
(x − 5)(65 − x) = −x2 + 70x − 325 (cm2).
Theo đề bài, diện tích của hình chữ nhật ban đầu và diện tích hình chữ nhật lúc sau không thay đổi. Khi đó, ta có phương trình:
57x − x2 = −x2 + 70x − 325
13x = 325
x = 25 (thỏa mãn điều kiện).
Chiều dài của hình chữ nhật lúc đầu là: 57 – 25 = 32 (cm).
Diện tích khu vườn hình chữ nhật là: 25 . 32 = 800 (cm2) Vậy diện tích của hình chữ nhật là 800 cm2.
Bài 3. Hai người công nhân cùng làm chung công việc trong 12 giờ thì xong. Nhưng chỉ làm việc chung trong 4 giờ, người thứ nhất đi làm công việc khác, người thứ hai làm tiếp trong 10 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc?
Lời giải:
Gọi x (giờ) là thời gian người công nhân thứ hai làm một mình hoàn thành công việc (x > 12).
Do hai người công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành công việc nên:
Trong 1 giờ, hai người công nhân làm được 1
12 (công việc);
Trong 1 giờ, người công nhân thứ nhất làm được 1 x
12− (công việc).
Trong 4 giờ, hai người công nhân làm được 4 . 1 1
12 =3 (công việc).
Trong 10 giờ, người công nhân thứ hai làm được 10x (công việc).
Theo đề bài, hai người làm chung trong 4 giờ và người thứ hai làm một mình trong 10 giờ thì xong công việc. Khi đó, ta có phương trình:
1 10x 1 3+ =
10x 1 1
= −3 10x 2
= 3 x 1
=15 (thoả mãn điều kiện).
Khi đó, trong 1 giờ, người thứ hai làm một mình thì được 1
15 (công việc).
Trong 1 giờ, người thứ hai làm một mình thì được 1 1 1
12 −15 = 60 (công việc).
Vậy nếu làm một mình, người thứ nhất hoàn thành công việc trong 60 giờ và người thứ hai hoàn thành công việc trong 15 giờ.
Bài 4. Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Nhờ cải tiến kỹ thuật, tổ đã may được mỗi ngày thêm 10 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày. Ngoài ra, còn may thêm được 20 chiếc áo nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch.
Lời giải:
Gọi x (ngày) là số ngày tổ đó hoàn thành công việc theo kế hoạch (x > 3).
Số áo mà tổ đó phải làm theo kế hoạch là: 30x (áo)
Thực tế số áo mà tổ đó sản xuất mỗi ngày là: 30 + 10 = 40 (áo)
Thực tế số ngày mà người đó đã hoàn thành công việc là: x − 4 (ngày).
Thực tế, tổ đó may được số áo là: 30x + 20 (áo).
Theo đề bài, tổ đó hoàn thành công việc trước thời hạn 3 ngày. Khi đó, ta có phương trình:
30x + 20 = 40(x − 3)
10x = 140
x = 14 (thỏa mãn điều kiện).
Số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch là: 30 . 14 = 420 (áo).
Vậy theo kế hoạch tổ đó phải may 420 áo.
