SBT Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 9

Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 21 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 40^o rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 40^o.

Lời giải:

Vẽ tam giác ABC vuông tại A, có: B=40^o, AB = c, AC = b, BC = a Ta có các tỉ số lượng giác của góc B=40^o là:

AC o b

sin B sin 40

BC a

=  =

AB o c

cosB cos40

BC a

=  =

AC o b

tan B tan 40

AB c

=  =

AB o c

cot B cot 40

AC b

=  =

Bài 22 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: ^{AC sin B}

AB =sin C. Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A Ta có:

sin B AC AC sin B.BC

= BC  =

sin C AB AB sin C.BC

= BC =

AC sin B.BC sin B AB sin C.BC sin C

 = = (điều cần phải chứng minh)

Bài 23 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, B=30^o , BC = 8cm. Hãy tính cạnh AB (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba), biết rằng

cos30o 0,866. Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A

B=30o

BC = 8cm Ta có:

AB o

cos B AB cos B.BC cos30 .8 0,866.8 6,928

= BC = =   (cm)

Bài 24 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, B=  (h.9). Biết tan ⁵

 =12, hãy tính a) Cạnh AC

b) Cạnh BC

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC vuông tại A AB = 6cm, B= 

Ta có:

AC 5

tan B AC tan B.AB tan .6 .6 2,5

AB 12

=  = =  = = (cm)

b)

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2 2 2

BC =AB +AC =6 +(2,5) =42,25 BC 42, 25 6,5

 = = (cm)

Bài 25 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Tìm giá trị x (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) trong mỗi tam giác vuông với kích thước được chỉ ra trên hình 10, biết rằng: tan 47^o 1,072; cos38^o 0,788.

Lời giải:

a)

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Xét tam giác ABC vuông tại A Ta có:

o

AC AC 63 63

tan B AB 58,769

AB tan B tan 47 1,072

=  = =  

x 58,769

 

b)

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Xét tam giác ABC vuông tại A Ta có:

o

AC AC AC 16

cos C BC 20,305

BC cos C cos38 0,788

=  = =  

x 20,305

 

Bài 26 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, trong đó AB = 6cm, AC = 8cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A AB = 6cm, AC = 8cm

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2 2 2

BC =AB +AC =6 +8 =100

BC 100 10

 = = (cm)

Ta có các tỉ số lượng giác của góc B.

AC 8 4

sin B

BC 10 5

= = =

AB 6 3

cos B

BC 10 5

= = =

AC 8 4 tan B

AB 6 3

= = = AB 6 3 cot B

AC 8 4

= = =

Có A=90^o  + =B C 90^o

Do đó, góc B và góc C là hai góc phụ nhau nên ta có:

cos C sin B 4

= = 5

sin C cos B 3

= =5

cot C tan B 4

= = 3

tan C cot B 3

= = 4

Bài 27 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Tính sinB, sinC trong mỗi trường hợp sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằng:

a) AB = 13; BH = 5 b) BH = 3; CH = 4 Lời giải:

a)

Xét tam giác ABH vuông tại H (do AH là đường cao của tam giác ABC) Ta có:

BH 5

cosB 0,3846

AB 13

= = 

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

AB =BH +AH AH =AB −BH =13 −5 =144

AH 144 12

 = =

Ta lại có: sin B ^{AH 12} 0,9231 AB 13

= = 

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

o o

A=90  + =B C 90

Do đó, góc B và góc C phụ nhau sin C=cos B0,3846 b)

Ta có: BC = BH + HC = 3 + 4 = 7

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

AB2 =BH.BC=3.7=21AB= 21

AC2 =CH.BC=4.7=28AC= 28=2 7

Ta lại có:

AC 2 7

sin B 0,7559

BC 7

= = 

AB 21

sin C 0,6547

BC 7

= = 

Bài 28 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45^o: sin 75^o, cos53^o, sin 47 20'^o ,

tan 62o, cot 82 45'^o . Lời giải:

Ta có: 90^o −75^o =15^o, do đó góc 75^o và góc 15^o phụ nhau nên sin 75^o =cos15^o Ta có: 90^o −53^o =37^o, do đó góc 53^o và góc 37^o phụ nhau nên cos53^o =sin 37^o Ta có: 90^o −47 20'^o =42 40'^o , do đó góc 47 20'^o và góc 42 40'^o phụ nhau nên

o o

sin 47 20'=cos42 40'

Ta có: 90^o −62^o =28^o, do đó góc 62^o và góc 28^o phụ nhau nên tan 62^o =cot 28^o Ta có: 90^o −82 45'^o =7 15'^o , do đó góc 82 45'^o và góc 7 15'^o phụ nhau nên

o o

cot 82 45'=tan 7 15'

Bài 29 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Xét quan hệ giữa hai góc trong mỗi biểu thức rồi tính:

a)

o o

sin 32 cos58

b) tan 76^o −cot14^o Lời giải:

a)

Ta có: 32^o +58^o =90^o, do đó góc 32^o và góc 58^o phụ nhau nên sin 32^o =cos58^o

o o

o o

sin 32 sin 32 cos58 sin 32 1

 = =

b)

Ta có: 76^o +14^o =90^o, do đó góc 76^o và góc 14 phụ nhau nên ^o tan 76^o =cot14^o

o o o o

tan 76 cot14 tan 76 tan 76 0

 − = − =

Bài 30 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Đường cao MQ của tam giác vuông MNP chia cạnh huyền NP thành hai đoạn NQ = 3, PQ = 6. Hãy so sánh cotN và cotP. Tỉ số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?

Lời giải:

Xét tam giác MNP vuông tại M có đường cao MQ NP = NQ + QP = 3 + 6 = 9

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

MP2 =QP.NP=6.9=54MP= 54 =3 6 MN2 =NQ.NP=3.9=27MN= 27 =3 3 Ta có:

MN 3 3 1

cot N

MP 3 6 2

= = =

MP 3 6

cot P 2

MN 3 3

= = =

cot P cot N

  và cot P 2

1 2 cot N

2

= =

Vậy cotP = 2cotN.

Bài 31 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cạnh góc vuông kề với góc 60^o của một tam giác vuông bằng 3. Sử dụng bảng lượng giác của các góc đặc biệt, hãy tìm cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A Có B=60^o, AB = 3

Theo bảng lượng giác của các góc đặc biệt có: cos60^{o 1}

= 2 , ^o 3 sin 60

= 2 Ta có:

AB o AB 1 3

cos B cos 60 BC 3.2 6

BC BC 2 BC

=  =  =  = =

AC o AC 3 AC 6 3

sin B sin 60 AC 5,1962

BC BC 2 6 2

=  =  =  = =

Bài 32 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 1: Đường cao BD của tam giác nhọn ABC bằng 6; đoạn thẳng AD bằng 5.

a) Tính diện tích tam giác ABD

b) Tính AC, dùng các thông tin dưới đây nếu cần:

sin C 3

= 5, cos C ⁴

= 5, tan C ³

= 4 Lời giải:

a)

Xét tam giác ABD vuông tại D do BD là đường cao của tam giác ABC Ta có diện tích của tam giác ABD là: S ¹.BD.AD ¹.6.5 15

2 2

= = =

b)

Xét tam giác BCD vuông tại D do BD là đường cao của tam giác ABC Ta có:

BD BD 6

tan C CD 8

CD tan C 3 4

=  = = =

AC = AD + CD = 5 + 8 = 13

Bài 33 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho cos =0,8. Hãy tìm sin, tan, cot (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).

Lời giải:

Theo tính chất của các tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

2 2 2 2 2

sin  +cos  = 1 sin  = −1 cos  = −1 (0,8) = −1 0,64=0,36

Vì là góc nhọn nên sin > 0 sin = 0,36 =0,6

sin 0,6 3

tan 0,75

cos 0,8 4

  =  = = =

 ; cos 0,8 4

cot 1,3333

sin 0,6 3

 =  = = 



Bài 34 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy tìm sin, cos (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư) nếu biết

a) tan ¹

 =3 b) cot ³

 = 4 Lời giải:

a)

Do tan ¹

 =3 nên ta coi góc  là góc nhọn thuộc tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 1 và 3 (như hình vẽ)

Xét tam giác ABC vuông tại A Có: AB = 1, AC = 3, C=  Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2 2 2

BC =AB +AC = +1 3 =10

BC 10

 =

Ta có các tỉ số lượng giác:

AB 1

sin sin C 0,3162

BC 10

 = = = 

AC 3

cos cos C 0,9487

BC 10

 = = = 

b)

Do cot ³

 = 4 nên ta coi góc  là góc nhọn thuộc tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 4 và 3 (như hình vẽ)

Xét tam giác ABC vuông tại A Có: AB = 3, AC = 4, B=  Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2 2 2

BC =AB +AC =4 +3 =25

BC 25 5

 = =

Ta có các tỉ số lượng giác:

AB 3

cos cosB 0,6

BC 5

 = = = = AC 4

sin sin B 0,8

BC 5

 = = = =