Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục - Cao Thanh Phúc - TOANMATH.com

(1)

https://www .f acebook.com/cao thanhphuct eacher MỤC LỤC

Chương

4 GIỚI HẠN T

RANG

2

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ . . . 2

1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số . . . 2

1.1.1. Định nghĩa . . . 2

1.1.2. Một vài giới hạn đặc biệt . . . 2

1.2. Định lý về giới hạn hữu hạn. . . 2

1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. . . 3

1.4. Giới hạn vô cực. . . 3

1.4.1. Định nghĩa . . . 3

1.4.3. Định lí . . . 3

1.5. Bài tập . . . 3

BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM. . . 8

2.1. Định nghĩa . . . 8

2.2. Định lí . . . 8

2.3. Bài tập . . . 8

BÀI 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ . . . 18

3.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. . . 18

3.2. Giới hạn vô cực của hàm số. . . 18

3.2.1. Giới hạn vô cực . . . 18

3.3. Bài tập . . . 18

BÀI 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ. . . 31

4.1. Định nghĩa . . . 31

4.2. Định lí . . . 31

4.3. Bài tập . . . 31

BÀI 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . 39

5.1. Hàm số liên tục tại một điểm . . . 39

5.2. Hàm số liên tục trên một khoảng . . . 39

5.3. Một số định lí cơ bản . . . 40

5.4. Bài tập . . . 40

ÔN TẬP CHƯƠNG . . . 45

(2)

2

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

Chûúng 4 GIỚI HẠN

B

ÀI

1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1.1. Định nghĩa

Định nghĩa 4.1.1. Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim

n→+∞un= 0 hayun→0khin →+∞.

Định nghĩa 4.1.2. Ta nói dãy số (v_n) có giới hạn là a (hay v_n dần tới a) khi n → +∞, nếu

n→+∞lim (v_n−a) = 0.

Kí hiệu: lim

n→+∞v_n=ahayv_n →akhin →+∞.

1.1.2. Một vài giới hạn đặc biệt

1 lim

n→+∞

1

n = 0; lim

n→+∞

1

n^k = 0vớik nguyên dương;

2 lim

n→+∞qⁿ = 0nếu|q|<1;

3 Nếuu_n =c(clà hằng số) thì lim

n→+∞u_n = lim

n→+∞c=c.

Chú ý.Từ nay về sau thay cho lim

n→+∞u_n=ata viết tắt làlimu_n=a.

1.2. Định lý về giới hạn hữu hạn

Định lý 4.1.2.

1 Nếulimu_n=avàlimv_n=bthì lim (un+vn) = a+b.

lim (u_n−v_n) =a−b.

lim (un·vn) =a·b.

lim Åu_n

v_n ã

= a

b (nếub̸= 0).

2 Nếu

(limu_n =a u_n≥0,∀n thì

(lim√

u_n =√ a a≥0.

(3)

https://www .f acebook.com/cao thanhphuct eacher 1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn(un)có công bội q, với|q|<1được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức

S =u₁ +u₂+u₃+. . .+u_n+. . .= u₁

1−q |q|<1 .

1.4. Giới hạn vô cực

1.4.1. Định nghĩa Định nghĩa 4.1.3.

Ta nói dãy số (u_n)có giới hạn là +∞khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào trở đi.

Kí hiệu:limu_n = +∞hayu_n→+∞khin →+∞.

Dãy số(u_n)có giới hạn là −∞khin→+∞, nếulim (−u_n) = +∞.

Kí hiệu:limun =−∞hayun → −∞khin→+∞.

Nhận xét: limu_n = +∞ ⇔lim(−u_n) = −∞.

1.4.2. Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận các kết quả sau

1 limn^k= +∞vớik nguyên dương;

2 limqⁿ = +∞nếuq >1.

1.4.3. Định lí Định lý 4.1.3.

1 Nếulimu_n=avàlimv_n=±∞thìlimu_n v_n = 0.

2 Nếulimu_n=a >0vàlimv_n = 0vàv_n>0thìlim un

v_n = +∞.

3 Nếulimu_n= +∞vàlimv_n =a >0thìlimu_n·v_n = +∞.

1.5. Bài tập

Dạng 1.1. Tính giới hạn limP(n)

Q(n) vớiP(n), Q(n) là các đa thức Rút lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu, rồi sử dụng các công thức sau:

(4)

Bài 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 4

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

lim c

n^k = 0,(k ∈N^∗, c ∈R) (limu_n= +∞

limv_n =a >0 ⇒lim (u_n·v_n) = +∞

(limu_n= +∞

limv_n =a <0 ⇒lim (u_n·v_n) = −∞

limn^k= +∞(k ∈N^∗) (limu_n=−∞

limv_n =a <0 ⇒lim (un·vn) = +∞

(limu_n=−∞

limv_n =a >0 ⇒lim (u_n·v_n) = −∞

Vñ duå 1.Tính giới hạn lim4n²−n−1

2n²+ 3 Baâi têåp 1. Tính giới hạnlimn²−n−1 2n²+ 3n

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phûúng phaáp giaãi nhanh

Nếu bậc tửP(n)bằng bậc mẫuQ(n)thìlim P(n)

Q(n) bằng hệ số bậc cao nhất của tử chia cho hệ số bậc cao nhất của mẫu.

Vñ duå 2.Tính giới hạnlimn²−n+ 3

n³+ 2n Baâi têåp 2.Tính giới hạnlim n−n+ 3 n²+ 2n+ 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(5)

https://www .f acebook.com/cao thanhphuct eacher

Phûúng phaáp giaãi nhanh Nếu bậc tửP(n)nhỏ hơn bậc mẫuQ(n)thì limP(n)

Q(n) = 0.

Vñ duå 3.Tính giới hạnlim2n³−11n+ 1

n²−2 Baâi têåp 3.Tính giới hạnlim−n²−11n+ 1 n−2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phûúng phaáp giaãi nhanh

Nếu bậc tửP (n)lớn hơn bậc mẫuQ(n)thìlim P(n)

Q(n) =±∞.

Để biết là +∞hay −∞ta dựa vào dấu của giới hạn trong tích theo quy tắc “cùng dấu thì tích dương, trái dấu thì tích âm ”.

Về trắc nghiệm, đó chính làtíchcủa hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.

Dạng 1.2. Tính giới hạn limP(n)

Q(n) vớiP(n), Q(n) là các hàm mũ aⁿ Áp dụnglimqⁿ = 0với|q|<1.

Sử dụng công thức mũ, rồi chia cả tử và mẫu choaⁿvới|a|là cơ số lớn nhất.

Công thức cần nhớ

a^m+n =a^m·aⁿ a^m−n = a^m

aⁿ

Vñ duå 4.Tính giới hạnlim1−3ⁿ⁺² 2ⁿ+ 3ⁿ

Baâi têåp 4. Tính giới hạn lim 2−5ⁿ⁻²

3ⁿ+ 2·5ⁿ

Bài làm

(6)

Bài 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 6

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ta chia cho aⁿ với|a|là cơ số lớn nhất vì sau khi chia luôn tạo ra cơ số có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1để áp dụng công thứclimqⁿ= 0với|q|<1

Dạng 1.3. Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức Rút lũy thừa bậc cao hoặc liên hợp và sử dụnglimn^k=∞.

Chú ý.Dấu hiệu nhận dạng liên hợp (dạng∞ ·0) là sau khi rútn có mũ cao trong căn và nhóm thừa số, xuất hiện số0.

Vñ duå 5.Tính giới hạn limÄ

n²+ 3n+ 5ä

Baâi têåp 5.Tính giới hạn limÄ

5n−n²+ 1ä

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phûúng phaáp giaãi nhanh

Cho u_ncó dạng đa thức (bậc lớn hơn0) củan.

Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất củan là một số dương thìlimu_n= +∞.

Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất củan là một số âm thìlimun=−∞.

(7)

https://www .f acebook.com/cao thanhphuct eacher

Vñ duå 6.Tính giới hạn limÄ√

n²−2n+ 3 +nä

Baâi têåp 6. Tính giới hạn limÄ√

2n²−n+ 2−2nä

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 7.Tính giới hạn

limÄ√

9n²+ 3n−4−3nä

Baâi têåp 7. Tính giới hạn limÄ√

4n²+ 2n−4−2nä

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chú ý.Liên hợp là hình thức trục căn dựa vào hằng đẳng thức







(a−b) (a+b) =a² −b² (a±b)Ä

a²±ab+b²ä

=a³±b³

√a−√

b= a−b

√a+√ b

√a−b= a−b²

√a+b

√3

a−√³

b= a−b

√3

a²+√³

ab+√³ b²

√3

a+√³

b = a+b

√3

a²−√³

ab+√³ b²

√3

a−b = a−b³

√3

a²+√³

ab+b²

√3

a+b= a+b³

√3

a²−√³

ab+b² Vñ duå 8.Tính giới hạn

limÄ√₃

n+ 2−√³ nä

Baâi têåp 8. Tính giới hạn limÄ√₃

2n+ 3−√³ 2nä

(8)

Bài 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B

ÀI

2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 2.1. Định nghĩa

Định nghĩa 4.2.1. Cho khoảngK chứa điểmx₀ và hàm sốy=f(x)xác định trênK hoặc trên K\ {x₀}.

Ta nói hàm sốy=f(x)có giới hạn là sốLkhixdần tớix₀nếu với dãy số(x_n)bất kì,x_n∈K\{x₀} vàx_n →x₀, ta cóf(x_n)→L.

Kí hiệu: lim

x→x0

f(x) =Lhayf(x)→Lkhix→x₀.

Nhận xét: lim

x→x₀x=x₀;lim

x→x₀c=cvớiclà hằng số.

2.2. Định lí

Định lý 4.2.1.

1 Giả sử lim

x→x0

f(x) = Lvà lim

x→x0

g(x) =M. Khi đó:

x→xlim0

f(x) +g(x)

=L+M;

x→xlim₀

f(x)−g(x)

=L−M;

x→xlim0

f(x)·g(x)

=L·M;

x→xlim0

f(x) g(x) = L

M (nếuM ̸= 0);

2 Nếuf(x)≥0và lim

x→x0

f(x) =LthìL≥0và lim

x→x0

pf(x) = √ L.

2.3. Bài tập

Dạng 2.1. Hàm số có giới hạn hữu hạn

Vñ duå 1.Tính lim

x→2 3x²+ 7x+ 11

Baâi têåp 1. lim

x→3 x²+ 2x+ 10

Bài làm

. . . . Vñ duå 2.Tính lim

x→√ 3

|x−4| Baâi têåp 2.Tính lim

x→√ 3

|x−2|

(9)

https://www .f acebook.com/cao thanhphuct eacher

Bài làm

x→−1

x²−3

x³ + 2 Baâi têåp 3.Tính lim

x→−2

x²−1 x³+ 2

Bài làm

x→−1

√3x²+ 2−x

x−1 Baâi têåp 4. Tính lim

x→−2

√3x²+ 1−x x−2

Bài làm

. . . . . . . .

. . . . . . . . Dạng 2.2. Hàm số có giới hạn hữu hạn vô định 0

0 Tính lim

x→x₀

f(x)

g(x) khi lim

x→x₀f(x) = lim

x→x₀g(x) = 0.

Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử và giản ước.

Nếuf(x)hayg(x)có chứa căn thức thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước.

Liên hợp của biểu thức

√a−blà√ a+b

√a−√ blà√

a+√ b

√3

a−b là√³

a²+√³

ab+b²

√3

a+blà √³

a²−√³

ab+b²

Cần nhớ: f(x) =ax²+bx+c=a(x−x1) (x−x2)vớix1,x2 là hai nghiệm của phương trình.

Rút nhân tử chung Vñ duå 5.Tính lim

x→1

x²−1

x−1 Baâi têåp 5.Tính lim

x→−2

x²−4 x+ 2

Bài làm

. . . . . . . .

(10)

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

. . . . . . . .

. . . . . . . . Vñ duå 6.Tính lim

x→−1

x²−3x−4

x+ 1 Baâi têåp 6. Tínhlim

x→3

x²−2x−3 x−3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 7.Tínhlim

x→1

x²+ 3x−4

3x²−x−2 Baâi têåp 7. Tính lim

x→−1

x²+ 3x+ 2 2x²+ 3x+ 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 8.Tínhlim

x→2

x²−4

x²−3x+ 2 Baâi têåp 8. Tính lim

x→−1

x²−1 x²+ 3x+ 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 9.Tínhlim

x→5

x² −5x

x²−25 Baâi têåp 9.Tính lim

x→2

x²−2x

−2x²+ 6x−4

(11)

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 10.Tính lim

x→−1

2x²+ 3x+ 1

x³−2x−1 Baâi têåp 10.Tính lim

x→1

x²+ 2x−3 x³−3x+ 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 11.Tínhlim

x→1

x³−3x+ 2

x⁴−4x+ 3 Baâi têåp 11. Tính lim

x→−2

2x²+x−6 x³+ 8

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 12.Tính lim

x→3

2x³−5x²−2x−3

4x³−13x²+ 4x−3 Baâi têåp 12.Tính lim

x→−1

2x³+ 5x²+ 4x+ 1 x³+x²−x−1

Bài làm

. . . .

(12)

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 13.Tính lim

x→1

Å 2

x²−1− 1 x−1

ã

Baâi têåp 13.Tính lim

x→1

Å 1

1−x− 3 1−x³

ã

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 14.Tính

x→2lim

Å 1

x²−3x−2 + 1 x²−5x−6

ã Baâi têåp 14.Tính lim

x→1

Å 1

x²+x−2 − 1 x³−1

ã

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nhân lượng liên hợp loại 1

(13)

x→6

3−√ x+ 3

x−6 Baâi têåp 15. Tínhlim

x→3

2−√ x+ 1 x−3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 16.Tính lim

x→0

√ 4x

9 +x−3 Baâi têåp 16.Tính lim

x→0

√ 2x

4 +x−2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 17.Tính lim

x→−1

√4 +x+x²−2

x+ 1 Baâi têåp 17.Tính lim

x→3

√2x²−3x−x 2x−6

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . .

(14)

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

. . . . . . . .

. . . . . . . . Vñ duå 18.Tínhlim

x→2

√x+ 2−2

x²−4 Baâi têåp 18. Tính lim

x→2

2−√ 3x−2 x²−4

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 19.Tính lim

x→9

√x−3

9x−x² Baâi têåp 19.Tính lim

x→2

√x+ 2−2 2x²+x−10

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 20.lim

x→1

√7−2x+x−2

x²−1 Baâi têåp 20. lim

x→1

2x+ 5−√

2x² +x+ 8 x²+ 3x+ 2

(15)

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 21.Tính lim

x→2

√3

4x−2

x→3

√3

x²−1−2 x−3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nhân lượng liên hợp loại 2

Vñ duå 22.Tínhlim

x→1

√3x+ 1−√ x+ 3

√x+ 8−3 Baâi têåp 22.Tính lim

x→1

√x+ 3−2

√4x+ 5−√ 3x+ 6

Bài làm

. . . .

(16)

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hằng số vắng

Vñ duå 23.Tínhlim

x→0

√x+ 9 +√

x+ 16−7

x Baâi têåp 23. Tínhlim

x→1

√2x+ 2 +√

5x+ 4−5 x−1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 2.3. Hàm số có giới hạn vô cực vô định 0

0 Tính lim

x→x₀

f(x)

g(x) khi lim

x→x₀f(x) =Lvà lim

x→x₀g(x) = 0.

NếuLvàg(x)cùng dấu thì lim

x→x0

f(x)

g(x) = +∞

NếuLvàg(x)trái dấu thì lim

x→x0

f(x)

g(x) =−∞

(17)

x→1

3x−1

(x−1)² Baâi têåp 24. Tínhlim

x→2

3x−1 (x−2)²

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 25.Tính lim

x→2

x−5

(x−2)² Baâi têåp 25.Tính lim

x→3

3x−10 (x−3)²

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 26.Tính lim

x→−3

2x²+ 5x−3

(x+ 3)³ Baâi têåp 26. Tính lim

x→−3

x²−x−2 (x−2)³

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . .

(18)

Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 18

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

. . . . . . . .

B

ÀI

3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 3.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 4.3.1.

1 Cho hàm sốy =f(x)xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm sốy =f(x)có giới hạn là sốLkhix→+∞nếu với dãy số(x_n)bất kì,x_n > a vàxn→+∞, ta cóf(xn)→L.

Kí hiệu: lim

x→+∞f(x) =L.

2 Cho hàm sốy = f(x) xác định trên(−∞;a). Ta nói hàm sốy = f(x)có giới hạn là số L khi x→ −∞nếu với dãy số(x_n)bất kì,x_n< avàx_n → −∞, ta cóf(x_n)→L.

Kí hiệu: lim

x→−∞f(x) =L.

Chú ý.Vớic, klà hằng số vàk nguyên dương, ta luôn có:

x→±∞lim c=c; lim

x→±∞

c x^k = 0

3.2. Giới hạn vô cực của hàm số

3.2.1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4.3.2. Cho hàm sốy =f(x)xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là −∞khi x → +∞nếu với dãy số (x_n)bất kì, x_n > a và x_n →+∞, ta cóf(x_n)→ −∞.

Kí hiệu: lim

x→+∞f(x) =−∞.

Nhận xét:

x→+∞lim f(x) = +∞ ⇔ lim

x→+∞ −f(x)

=−∞

3.2.2. Một vài giới hạn đặc biệt

1 lim

x→+∞x^k = +∞vớik nguyên dương.

2 lim

x→−∞x^k =







+∞nếuk chẵn

− ∞nếuk lẻ.

3.3. Bài tập

(19)

Dạng 3.1. Hàm số có giới hạn vô cực Đối với lim

x→∞f(x) vớif(x) là đa thức ta rút bậc cao nhất củax và áp dụng công thức khi x→ ∞.

Đối với lim

x→∞

pf(x) vớif(x)là đa thức ta rút bậc cao nhất của x ra ngoài dấu căn và áp dụng công thức khix→ ∞.

x→+∞ −x³−6x² + 9x+ 1

Baâi têåp 1. Tính lim

x→+∞ x³+ 5x²+ 8x+ 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . Vñ duå 2.Tính lim

x→−∞ x³−3x²+ 2

x→−∞ −x³ + 3x²−1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 3.Tính lim

x→+∞ x⁴−2x²+ 1

x→+∞ −x⁴+ 2x²+ 3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 4.Tính √

2− Baâi têåp 4. Tính √

2−

(20)

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 5.Tính lim

x→−∞

√x²−2x+ 5 Baâi têåp 5.Tính lim

x→+∞

√x²−2x+ 5

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 6.Tính

x→−∞lim Ä√

x²−x−√

4x²+ 1ä

Baâi têåp 6. Tính

x→+∞lim Ä√

x²−x−√

4x²+ 1ä

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(21)

Phûúng phaáp giaãi nhanh

Giới hạn của hàm đa thức tại+∞phụ thuộc vàohệ sốcủa lũy thừa bậc cao nhất.

Giới hạn của hàm đa thức tại−∞phụ thuộc vàobậc và hệ sốcủa lũy thừa bậc cao nhất.

Dạng 3.2. Hàm số có giới hạn vô định ∞

∞ Tính lim

x→∞

f(x)

g(x) khi lim

x→∞f(x) =∞và lim

x→∞g(x) = ∞

Chia tử và mẫu cho xⁿ với n là số mũ cao nhất của biến số x trongmẫu thức hoặc phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử xⁿrồi giản ước.

Nếuf(x)hayg(x)có chứa biến xtrong dấu căn thức, thì đưa x^k ra ngoài dấu căn (vớik là số mũ bậc cao nhất củaxtrong dấu căn), trước khi chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất củax.

Bậc tử bằng bậc mẫu Vñ duå 7.Tính lim

x→−∞

3x−1

2x+ 1 Baâi têåp 7. Tính lim

x→+∞

3x−1 4x+ 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 8.Tính lim

x→+∞

3x²−5x+ 1

x²−2 Baâi têåp 8. Tính lim

x→−∞

2x²−5x+ 1

−x²−2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . .

(22)

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

. . . . . . . .

. . . . . . . . Vñ duå 9.Tính lim

x→+∞

x³+ 3x+ 1

2−6x²−6x³ Baâi têåp 9.Tính lim

x→−∞

x³+ 2x+ 1 2x³ + 3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 10.Tính lim

x→+∞

2x⁴+ 7x³−15

x⁴ + 1 Baâi têåp 10.Tính lim

x→−∞

2x⁴+ 7x³−15 x⁴+ 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 11.Tính lim

x→+∞

(x−1)²(7x+ 2)²

(2x+ 1)⁴ Baâi têåp 11. Tính lim

x→−∞

(x−1)²(7x+ 2)² (2x+ 1)⁴

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . .

(23)

. . . . . . . .

. . . . . . . . Vñ duå 12.Tính lim

x→+∞

√4x²+ 1

3x−1 Baâi têåp 12.Tính lim

x→−∞

√4x²+ 1 3x−1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 13.Tính lim

x→+∞

√x²−3x+ 2x

x→−∞

√x²−3x+ 2x 3x−1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Giới hạn của hàm phân thức lim

x→∞

f(x)

g(x) nếubậc tử bằng bậc mẫuthì

x→∞lim f(x)

g(x) = Hệ số bậc cao nhất của tử Hệ số bậc cao nhất của mẫu

(24)

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu Vñ duå 14.Tính lim

x→+∞

3x+ 2

2x² +x+ 1 Baâi têåp 14.Tính lim

x→−∞

x+ 2 x²+ 2x+ 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 15.Tính lim

x→+∞

x²+ 2x+ 1

x³+ 3x²+x Baâi têåp 15. Tính lim

x→−∞

x²+ 3x x³ + 2x+ 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 16.Tính lim

x→+∞

2x³+ 2x+ 1

x⁴+ 3x²+x Baâi têåp 16.Tính lim

x→−∞

x³+ 3x x⁴+ 2x+ 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(25)

Phûúng phaáp giaãi nhanh Giới hạn của hàm phân thức lim

x→∞

f(x)

g(x) nếubậc tử nhỏ hơn bậc mẫuthì

x→∞lim f(x) g(x) = 0 Bậc tử lớn hơn bậc mẫu

x→+∞

x³−2x² −2

3x²−x−1 Baâi têåp 17.Tính lim

x→−∞

x³−2x²−2 3x²−x−1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 18.Tính lim

x→+∞

x⁴−3x²+ 1

−x³+ 2x−2 Baâi têåp 18. Tính lim

x→−∞

x⁴−3x²+ 1

−x³+ 2x−2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 19.Tính lim

x→+∞

x⁴−3x²+ 1

−x³+ 2x−2 Baâi têåp 19.Tính lim

x→−∞

x⁴−3x²+ 1

−x³+ 2x−2

Bài làm

(26)

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 20.Tính lim

x→−∞

3x²−x+ 3

x−4 Baâi têåp 20. Tính lim

x→−∞

2x³−2x+ 3 5−x

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 21.Tính lim

x→+∞

(2x−3)²(4x+ 7)³

(3x−4)²(5x²−1) Baâi têåp 21.Tính lim

x→−∞

(2x−3)²(4x+ 7)³ (3x−4)²(5x²−1)

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(27)

Phûúng phaáp giaãi nhanh Giới hạn của hàm phân thức lim

x→∞

f(x)

g(x) nếubậc tử lớn hơn bậc mẫuthì

x→∞lim f(x) g(x) =∞

Dạng 3.3. Hàm số có giới hạn vô định∞ − ∞ Tính lim

x→∞

f(x)−g(x)

khi lim

x→∞=∞và lim

x→∞=∞

Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức (nếu chưa nhiều phân thức).

x→−∞

Ä√x²+x−xä

x→+∞

Ä√x²+x−xä

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 23.Tính lim

x→+∞

Ä√x²−3x+ 2−xä

x→−∞

Ä√x²−3x+ 2−xä

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 24.Tính lim Ä√

x²−2x+ 4−xä

Baâi têåp 24. Tính lim Ä√

x²−2x+ 4−xä

(28)

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 25.Tính lim

x→+∞

Ä√x+ 2−√ x−2ä

x→−∞

Ä√x+ 2−√ x−2ä

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 26.Tính

x→+∞lim Ä√

x²−4x+ 3−√

x²−3x+ 2ä

x→−∞lim Ä√

x² −4x+ 3−√

x²−3x+ 2ä

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(29)

Vñ duå 27.Tính

x→+∞lim

Ä2x−1−√

4x²−4x−3ä

x→−∞lim

Ä2x−1−√

4x²−4x−3ä

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 28.Tính

x→+∞lim

Ä3x+ 2−√

9x²+ 12x−3ä

x→−∞lim

Ä3x+ 2−√

9x²+ 12x−3ä

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 29.Tính lim

x→+∞

Ä√₃

x³+x²−xä

x→−∞

Ä√₃

x³+x²−xä

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . .

(30)

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

. . . . . . . .

. . . . . . . . Dạng 3.4. Hàm số có giới hạn vô định0· ∞

Tính giới hạn lim

x→x0

u(x)v(x)

khi lim

x→x0

u(x) = 0và lim

x→x0

v(x) =±∞

Ta có thể biến đổi lim

x→x₀

u(x)v(x)

= lim

x→x₀

u(x) 1 v(x)

để đưa về dạng 0

0 hoặc lim

x→∞

u(x)v(x)

=

x→∞lim u(x)

1 v(x)

để đưa về dạng ∞

∞.

Tuy nhiên, trong nhiều bài tập, ta chỉ cần biến đổi đơn giản như đưa biểu thức vào trong/ra ngoài dấu căn, quy đồng mẫu thức . . . là đưa về dạng quen thuộc.

x→+∞

Ç x

… 2x+ 1 3x³+x²+ 2

å

x→+∞

Ç x

… 4x+ 1 2x³ +x²+ 2

å

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 31.Tính

x→+∞lim ñ

(2 +x)

… x−1 x⁴+x²+ 1

ô

Baâi têåp 31.Tính

n→+∞lim ñ

(3 +x)

… x−2 x⁴+x²+ 1

ô

Bài làm

. . . . . . . . . . . .

(31)

https://www .f acebook.com/cao thanhphuct eacher

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . Vñ duå 32.Tính

n→+∞lim ñ

(1−5x)

… 16x+ 1 x³−x+ 2

ô

x→−∞lim ñ

(1 +x)

… 4x−3 x³+ 5x−4

ô

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B

ÀI

4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ 4.1. Định nghĩa

Định nghĩa 4.4.1.

Cho hàm sốy =f(x)xác định trên (x₀;b).

SốL được gọi làgiới hạn bên phảicủa hàm số y =f(x)khi x →x0 nếu với dãy số (xn) bất kì,x₀ < x_n< bvàx_n →x₀, ta cóf(x_n)→L.

Kí hiệu: lim

x→x⁺₀

f(x) = L.

Cho hàm sốy =f(x)xác định trên (a;x₀).

SốLđược gọi là giới hạn bên trái của hàm sốy=f(x)khi x→x₀ nếu với dãy số(x_n)bất kì,a < xn < x0 vàxn →x0, ta cóf(xn)→L.

Kí hiệu: lim

x→x⁻₀

f(x) =L.

4.2. Định lí

Định lý 4.4.1. lim

x→x0

=Lkhi và chỉ khi lim

x→x⁺₀

= lim

x→x⁻₀

=L.

4.3. Bài tập

(32)

Bài 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ 32

Dạng 4.1. Tìm giới hạn một bên của hàm số

Khi hàm số không xác định tại x₀ thì ta áp dụng các quy tắc về giới hạn vô cực. Đó là các quy tắc áp dụng cho các dạngL· ∞; L

∞; L 0

Chú ý.

x→x⁺₀ ⇒x > x₀ ⇒x−x₀ >0 x→x⁻₀ ⇒x < x0 ⇒x−x0 <0

x→2⁻

x² −2x

3x+ 1 Baâi têåp 1. Tính lim

x→2⁺

3x−1 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 2.Tính lim

x→1⁺

2x−3

x→3⁺

2x−3 x−3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 3.Tính lim

x→2⁺

x−15

x→3⁺

x−15 x−3

Bài làm

. . . . . . . .

(33)

https://www .f acebook.com/cao thanhphuct eacher

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . Vñ duå 4.Tính lim

x→3⁻

2−x

3−x Baâi têåp 4. Tính lim

x→4⁻

2−x 4−x

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 5.Tính lim

x→2⁺

x+ 1

x→1⁺

x+ 1 2x−2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 6.Tính lim

x→4⁻

x−5

(x−4)² Baâi têåp 6. Tính lim

x→3⁻

x−5 (x−3)²

Bài làm

. . . . . . . . . . . .

(34)

. . . . . . . .

. . . . . . . . Vñ duå 7.Tính lim

x→3⁻

3x−8

(3−x)² Baâi têåp 7. Tính lim

x→4⁻

3x−8 (4−x)²

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 8.Tính lim

x→(−3)⁺

2x²+ 5x−3

(x+ 3)² Baâi têåp 8. Tính lim

x→(−3)⁻

2x²+ 5x−3 (x+ 3)²

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 9.Tính lim

x→2⁻

Å 1

x−2− 1 x²−4

ã

x→2⁺

Å 1

x−2− 1 x²−4

ã

Bài làm

. . . .

(35)

https://www .f acebook.com/cao thanhphuct eacher

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 10.Tính lim

x→2⁻

|2−x|

2x²−5x+ 2 Baâi têåp 10.Tính lim

x→2⁺

|2−x|

2x²−5x+ 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 11.Tính lim

x→3⁺

|x−3|

5x−15 Baâi têåp 11. Tính lim

x→3⁻

|x−3|

5x−15

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . .

Phûúng phaáp giaãi nhanh Dạng L

∞: Giới hạn là0.

DạngL· ∞và L

0: Giới hạn là∞.

Dạng 4.2. Giới hạn của hàm số tại một điểm

(36)

x→3

|3x−9|

x→4

|2x−8|

x−4

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 13.Tính lim

x→2

|x−2|

x→3

|x−3|

x−3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 14.Tínhlim

x→3

x² −9

x→4

x²−16 x−4

Bài làm

. . . . . . . .

(37)

https://www .f acebook.com/cao thanhphuct eacher

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 15.Tính lim

x→2

√x²−4x+ 4

x−2 Baâi têåp 15. Tínhlim

x→3

√x²−6x+ 9 x−3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 16.Tính lim

x→4

2x−5

x→5

2x−5 x−5

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(38)

Vñ duå 17.Cho hàm số f(x) =

(5x⁴−6x²−xkhix≥1 x³ −3xkhi x <1 Tínhlim

x→1f(x).

Baâi têåp 17.Cho hàm số f(x) =







x−3khix <1 1−√

7x²+ 2 khix≥1 Tính lim

x→1f(x).

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 18.Cho hàm số

f(x) =











x²−3x+ 2

x²−1 khix >1

− x

2 khix <1 Tínhlim

x→1f(x).

Baâi têåp 18. Cho hàm số f(x) =





 4−x²

x−2 khix <2 1−2xkhix >2 Tính lim

x→2f(x).

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(39)

https://www .f acebook.com/cao thanhphuct eacher

Dạng 4.3. Tìm tham sốm để hàm số có giới hạn tại một điểm cho trước

Vñ duå 19.Tìmmđể hàm số f(x) =





 x³−1

x−1 khi x <1 mx+ 2 khix≤1 có giới hạn tạix= 1.

Baâi têåp 19.Tìmmđể hàm số f(x) =





 x³ + 1

x+ 1 khix <−1

mx²−x+m² khix≥ −1 có giới hạn tại x=−1.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B

ÀI

5. HÀM SỐ LIÊN TỤC 5.1. Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa 4.5.1. Cho hàm sốy=f(x)xác định trên khoảngK vàx₀ ∈K.

Hàm sốy =f(x)được gọi là liên tục tạix₀ nếu lim

x→x0

f(x) = f(x₀)

Hàm sốy=f(x)không liên tục tạix₀ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

5.2. Hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa 4.5.2. Hàm số y = f(x)được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm sốy =f(x)được gọi là liên tục trên đoạn[a;b]nếu nó liên tục trên khoảng(a;b)và lim

x→a⁺f(x) =f(a), lim

x→b−f(x) = f(b)

Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng được định nghĩa một cách tương tự.

Nhận xét:

(40)

Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC 40

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

1

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền ”trên khoảng đó (tham khảo hình vẽ bên).

O x

a y

b

2 Hình vẽ bên cho ví dụ về đồ thị của một hàm số không liên tục trên khoảng(a;b).

O x

y

a b

5.3. Một số định lí cơ bản

Định lý 4.5.1.

1 Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thựcR.

2 Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lý 4.5.2.Giả sửy=f(x),y=g(x)là hai hàm số liên tục tại điểmx₀. Khi đó:

1 Các hàm sốy=f(x) +g(x),y =f(x)−g(x)vày=f(x)·g(x)liên tục tạix₀; 2 Hàm số f(x)

g(x) liên tục tạix₀ nếug(x₀)̸= 0.

Định lý 4.5.3.

Nếu hàm sốy =f(x)liên tục trên đoạn [a;b] vàf(a)·f(b)< 0, thì tồn tại ít nhất một điểmc∈(a;b)sao chof(c) = 0

O x

y

a

f(a) b f(b)

c

5.4. Bài tập

Dạng 5.1. Xét tính liên tục của hàm số

Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (a;b)vàx0 ∈ (a;b). Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x)tạix₀ ta làm như sau:

Tínhf(x₀);

Tính lim

x→x₀f(x).

(41)

https://www .f acebook.com/cao thanhphuct eacher

Nếu lim

x→x₀f(x) =f(x₀)thì kết luận hàm số liên tục tạix₀. Nếu lim

x→x0

f(x)không tồn tại hoặc lim

x→x0

f(x)̸=f(x₀).

Vñ duå 1.Xét tính liên tục của hàm số f(x) = √

x tạix₀ =−3.

Baâi têåp 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) = √

x+ 1 tại x₀ =−2.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 2.Xét tính liên tục của hàm số

f(x) =√ x²+ 2 tạix₀ = 2.

Baâi têåp 2.Xét tính liên tục của hàm số f(x) =√

x²+ 3 tại x₀ = 3.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . .

f(x) =







x²−3x+ 2

x−2 khix̸= 2 4x−7khix= 2 tại điểmx₀ = 2.

Baâi têåp 3.Xét tính liên tục của hàm số f(x) =







x²+ 3x+ 2

−x−1 khix̸=−1 x²+ 2xkhix=−1 tại điểm x₀ =−1.

Bài làm

. . . . . . . .

(42)

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . .

f(x) =











√x+ 3−2

x−1 khix̸= 1 1

3 khix= 1 tại điểmx₀ = 1.

Baâi têåp 4. Xét tính liên tục của hàm số











√x+ 3−2

x−1 khi x̸= 1 1

4 khi x= 1 tại điểm x₀ = 1.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 5.Xét tính liên tục của hàm số

f(x) =







x²−3x+ 3 khix≤2 1−√

2x−3

2−x khi x >2 tại điểmx₀ = 2.

Baâi têåp 5.Xét tính liên tục của hàm số











√2x+ 3−1

x+ 1 khix >−1

√3−x

2 khix≤ −1 tại x₀ =−1.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . .

(43)

. . . . . . . .

. . . . . . . . Vñ duå 6.Xét tính liên tục của hàm số

f(x) =







x²−9

√x+ 1−2 khix >3 2x+ 12khi x≤3 tại điểmx₀ = 3.







√x²−3−1

x−2 khix̸= 2 2x−2khix= 2 tại điểm x₀ = 2.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 7.Xét tính liên tục của hàm số

f(x) =







x²−3x−4

√x+ 5−3 khix >4

−4x+ 46khix≤4 tại điểmx₀ = 4.











x²+ 2x−3

x²+x−2 khi x >1

√x+ 1 + 7

3 khix≤1 tại điểm x₀ = 1.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(44)

Cao Thanh Phúc - 0789 36 39 36

Dạng 5.2. Tìm tham số để hàm số liên tục

Vñ duå 8.Tìmmđể hàm số f(x) =







x³−5x²+ 7x−3

x²−1 khix̸= 1 2m+ 1 khix= 1

tại điểmx₀ = 1.

Baâi têåp 8. Tìmm để hàm số

f(x) =











√1 +x−√ 1−x

x khi x̸= 0

−5m+4−x

x+ 2 khix= 0 tại điểm x0 = 0.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 9.Tìmm để hàm số

f(x) =







√3

6 +x−2

x−2 khi x̸= 2 2x−mkhix= 2 liên tục tại điểmx0 = 2.

Baâi têåp 9.Tìmm để hàm số f(x) =







√3

12x−4−2

x−1 khix̸= 1

√

m²x²+ 8 + 2mxkhi x= 1 liên tục tại điểm x₀ = 1.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(45)

Dạng 5.3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng

Một phương pháp chứng minh phương trifnhh f(x) = 0có nghiệm trên khoảng(a;b):

Chứng minh hàm sốy=f(x)liên tục trên đoạn[a;b].

Chứng minhf(a)·f(b)<0.

Từ đó kết luận phương trìnhf(x) = 0có ít nhất một nghiệm trên khoảng(a;b).

Vñ duå 10. Chứng minh rằng phương trình x⁵+x−1 = 0có nghiệm trên khoảng(−1; 1).

Baâi têåp 10. Chứng minh rằng phương trình x⁴ +x³ −3x² +x + 1 = 0 có nghiệm thuộc (−1; 1).

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ÔN TẬP CHƯƠNG

Baâi têåp trùæc nghiïåm

Câu 1. Tínhlim3n²+ 2n+ 5 7n² +n−8

A 3

7. ^B +∞. C −5

8. ^D 0.

Câu 2. Tínhlim −3n³+ 5n−2

A −3. B +∞. C −∞. D 3.

Câu 3. Tínhlim3ⁿ+ 4·7ⁿ 3·7ⁿ−2

A 1. B 1

3. C 4

3. D −2.

Câu 4. Tính lim

x→3

√x+ 1−2 x−3

A 0. B +∞. C 4. D 1

4. Câu 5. Tính lim

x→0 x³+ 4x²+ 10

A +∞. B 0. C 10. D 15.

Câu 6. Tính lim

x→2⁻

2x+ 1 x−2

(46)

A 2. B −∞. C +∞. D 0.

Câu 7. Tính lim

x→−1

2x² + 3x+ 1 x²−1

A 1

2. B 2. C −∞. D +∞.

Câu 8. Tính lim

x→−∞ −2x³+ 3x−4

A −∞. B +∞. C −2. D 2.

Câu 9. Tính lim

x→+∞

3x²−5x+ 1 x²−2

A −∞. B +∞. C 3. D 0.

Câu 10. Tính lim

x→−∞

5 3x+ 2

A 0. B 1. C 5

3. D +∞.

Câu 11. Tínhlim 1 n+ 2020

A 1. ^B 2. ^C 0. ^D 3.

Câu 12. Tính lim

x→+∞

x⁴+ 7 x⁴+ 1

A −1. B 1. ^C 7. ^D +∞.

Câu 13. Tínhlim 2n²+ 14

(n+ 2)⁹ n¹⁷+ 1

A −∞. B +∞. C 16. D 1.

Câu 14. Tính lim

x→3

√2x+ 3−3 x²−4x+ 3

A 1

6. ^B 0. ^C +∞. D −∞.

Câu 15. Tính lim

x→3⁻

−2x+ 1 x−3

A −∞. B 2. C 0. D +∞.

Câu 16. Tínhlim2n² + 3n+ 1 3n²−n+ 2

A 1. B +∞. C 2

3. D −∞.

Câu 17. Tínhlim 3·2ⁿ−3ⁿ 2·2ⁿ+ 3·3ⁿ

A +∞. B −1

3. ^C −∞. D 1.

Câu 18. Cho hàm sốf(x) =





 x²−4

x−2 khix̸= 2 m khix= 2.

Hàm số đã cho liên tục tạix₀ = 2 khimbằng

A 1. ^B −4. C −1. D 4.

Câu 19. Tính lim

x→−1

x³+ 2x²+ 1 2x⁵+ 1

A 1

2. ^B