NGUYỄN HỒNG QUÂN** TÓM TẮT Chúng tôi chứng minh vài điều kiện đủ cho sự tồn tại đẳng thức minimax và điểm yên ngựa

(1)

VÀI ĐỊNH LÍ MINIMAX CHO HÀM ĐA TRỊ

VÕ VIẾT TRÍ^*, NGUYỄN XUÂN HẢI^**, NGUYỄN HỒNG QUÂN^**

TÓM TẮT

Chúng tôi chứng minh vài điều kiện đủ cho sự tồn tại đẳng thức minimax và điểm yên ngựa. Các kết quả được thiết lập cho các hàm đa trị vô hướng xác định trên nửa dàn tôpô.

Từ khóa: định lí minimax, điểm yên ngựa, nửa dàn , ánh xạ -KKM.

ABSTRACT

Some minimax theorems for set-valued maps

We prove several sufficient conditions for the existence of minimax equalities and saddle points. Results are established for set-valued maps defined on topological semilattices.

Keywords: minimax theorem, Saddle point, Semilattice, -KKM mapping.

1. Giới thiệu và tổng quan

Gọi X là một tập không rỗng và F:X X 2^Rlà một hàm đa trị vô hướng. Ta nói một đẳng thức minimax thỏa cho F nếu

) , ( sup

inf F x y

X x X y





= sup inf F(x,y)

X y X x





. (1)

Trong trường hợp X là một không gian tôpô compact và F là hàm liên tục thì các tập và F(x,y)

X y





là các tập compact, do đó max F(x,y)

X x





và min F(x,y)

X y





tồn tại.

Hơn nữa các ánh xạ đơn trị y max F(x,y)

X x





 và x min F(x,y)

X y





 là liên tục. Bởi

vậy, trong trường hợp này nếu đẳng thức minimax thỏa cho F thì nó được viết dưới dạng

) , ( max

min F x y

X x X

y

 



= max min F(x,y)

X y X

x

 



. (2) Một điểm (x,y)X X được gọi là điểm yên ngựa của F nếu

) , (

max F x y

X x





= F(x,y)= min F(x,y)

X y





.

* TS, Trường Đại học Thủ Dầu Một; Email: trivv@tdmu.edu.vn

(2)

Nếu F có điểm yên ngựa thì đẳng thức minimax luôn thỏa cho F, và (1) được viết ở dạng

) , ( max

inf F x y

X x X y





= sup min F(x,y)

X y X x





. (3) Một điều kiện để có đẳng thức kiểu (1) được thiết lập lần đầu trong [2], trong khi các điều kiện đủ để có đẳng thức dạng (2) đã được đưa ra gần đây bởi các tác giả ([3- 8]). Bài báo này thiết lập vài kết quả mới cho sự tồn tại điểm yên ngựa và đẳng thức minimax (1) được thỏa.

Ta nhắc lại vài khái niệm cần thiết về sau. Gọi X, Y là các không gian tôpô và X Y

G: 2 là một hàm đa trị. G được gọi là nửa liên tục dưới (lsc) tại x₀ nếu mỗi tập mở U Ythỏa G(x₀)U , tồn tại một lân cận mở V của x₀ sao cho:









x V, G(x₀) U . G gọi là nửa lên tục trên (usc) tại x₀nếu với mỗi tập mở )

(x₀ G

U  , tồn tại một lân cận mở V của x₀ sao cho U G(V). G gọi là liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu nó vừa usc vừa lsc tại x₀. Ta nói rằng G là lsc (usc, liên tục) nếu nó là lsc (usc, liên tục) tại mọi điểm của X.

Từ đây trở đi, với tập không rỗng X, ta luôn kí hiệu Xlà lớp tất cả các tập con hữu hạn của X. Tập sắp thứ tự bộ phận (X,)được gọi là nửa dàn trên (gọi tắt là nửa dàn) nếu mỗi cặp phần tử bất kì (x, y)đều có cận trên đúng sup



x,y



. (X,) gọi là nửa dàn tôpô nếu X là một không gian tôpô và ánh xạ (x,y)sup



x,y



liên tục. Nếu

X x

x₁, ₂ sao cho x₁x₂thì tập [ ,x x1 2]



yX: x1 yx2



được gọi là một khoảng thứ tự (hoặc cho gọn là khoảng). Với một tập con hữu hạn NX, tập hợp



N x

N x N

conv



  [ ,sup ] được gọi là một bao lồi của N. Tập con CX được gọi là một tập lồi nếu với mọi NC, conv_NC.

Gọi (X₁,₁) và (X₂,₂) là hai nửa dàn tôpô. Trên X₁X₂ ta trang bị tôpô tích và đưa vào X₁X₂ quan hệ thứ tự bộ phận như sau: với (x₁,x₂)X₁X₂ và

2 1 2 1, )

(y y X X ta xác định (x₁,x₂)(y₁,y₂) nếu và chỉ nếu x₁₁ y₁ và x₂ ₂ y₂. Khi đó (X₁X₂,) là nửa dàn tôpô với sup



(x₁,x₂),(y₁,y₂)



(sup



x₁,y₁



,sup



x₂,y₂



). Ta gọi nửa dàn này là nửa dàn tích.

Với X là một nửa dàn tôpô, D X và G:X 2^X là một ánh xạ đa trị, Gđược gọi là một ánh xạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn ND, ta có

).

(x G N

conv

N x





 

Định lí sau đây sẽ được dùng để chứng minh các kết quả chính của bài báo. Định lí này được thiết lập trong [1].

(3)

Định lí 1.1. Giả sử X là nửa dàn tôpô có các khoảng liên thông đường và X X

G: 2 là ánh xạ đa trị thỏa các điều kiện sau (i) G có các ảnh đóng;

(ii) G là ánh xạ KKM;

(iii) tồn tại N₀X và một tập con compact K của X sao cho G(x) K.

X x







Khi đó 



) (x G

X

x



^.

2. Các định lí minimax

Định lí 2.1. Giả sử X là nửa dàn tôpô có các khoảng liên thông đường, Rvà X R

X

F:  2 là một hàm đa trị thỏa các điều kiện sau a) với mỗi NX và yconv_N, 

 sup ( , )

min F x y

N

x ;

b) với mỗi xX, tập



yX:supF(x,y)



là đóng;

c) tồn tại N₀X và một tập con compact K của X sao cho yX \K,



 sup ( , ) max

0

y x F

N

x .

Khi đó tồn tại yX sao cho 



) , ( sup F x y

X

x



. Do đó, nếu với bất kì

: sup inf ( , )

x X y X

F F x y

 _

 

 

 

, các điều kiện a)-c) được thỏa thì inf sup F(x,y)

X x X

y

 



=

) , ( inf

sup F x y

X y X x





.

Chứng minh. Định nghĩa hàm đa trị G:X 2^X, được xác định bởi



 



 :sup ( , ) )

(x y X F x y

G cho mọi xX.

Bởi giả thiết b), G có các ảnh đóng, nghĩa là điều kiện (i) của Định lí 1.1 được thỏa. Giả thiết c) có nghĩa rằng với mọi yX \K,tồn tại xN sao cho

 ) , (

supF x y . Điều này kéo theo rằng nếu với y nào đó thỏa supF(x,y)cho mọi N

x , thì y phải thuộc K. Do đó



:sup ( , )



. )

(

0 0

K y

x F X y x

G

N x N

x













^

Vậy điều kiện (iii) của Định lí 1.1 thỏa cho G. Ta chứng minh Glà một ánh xạ



 KKM. Lấy bất kì tập con hữu hạnNX và bất kì yconv_N. Giả thiết a) kéo theo sự tồn tại xNsao cho supF(x,y), nghĩa là



y' X:supF(x,y')



G(x).

y    Do đó conv N G(x).

N x





  Vậy, Gthỏa tất cả các điều kiện của Định lí 1.1. Theo Định lí 1.1 ta có

(4)



:sup ( , )



. )

(    





X x X

x

y x F X y x

G 

Suy ra tồn tại yX sao cho: supF(x,y) với mọi xX. Do đó













X x y x F y

x F

X x

), , ( sup sup ) , (

sup



^.

Chú ý rằng bất đẳng thức sau luôn thỏa )

, ( sup

inf F x y

F

X x X y





  _



F y x F

X y X x

) , ( inf

sup

 

^.

Do đó, nếu với bất kì  F_, các điều kiện a)-c) được thỏa thì )

, ( sup

inf F x y

X x X

y

 



 sup ( , ).



y x F

X x



Cho  F_ ta có ) , ( sup

inf F x y

X x X y





^ sup inf F(x,y)

X y X x





. Các bất thức trên kéo theo inf sup F(x,y)

X x X y





= sup inf F(x,y)

X y X x





. Chứng

minh hoàn thành.

Gọi X là nửa dàn tôpô và F:X X 2^Rlà một hàm đa trị. Ta nói F là tựa lõm nếu với mọi yX, NX và xconv_N, tồn tại x'N sao cho

 

F x y R y

x

F( ', ) ( , ) . Sau đây là vài điều kiện đủ để các giả thiết của Định lí 2.1 được thỏa.

Mệnh đề 2.1. Nếu với mỗi xX, F(x,) là lsc thì giả thiết b) của Định lí 2.1 được thỏa.

1) Giả thiết a) của Định lí 2.1 được thỏa nếu với mỗi yX, supF(y,y) và tập Uy :=



xX:supF(x,y)^



là lồi. Trong trường hợp F là tựa lõm thì U_ylà



 lồi.

Chứng minh.

1) Lấy bất kì lưới

 

y_ trong V_x 



yX :supF(x,y)



hội tụ đến y₀. Ta phải chứng tỏ rằng supF(x,y₀) . Với bất kì  0, tồn tại t₀F(x,y₀)sao cho





 ₀

0) , (

supF x y t . Khi F(x,) là lsc, tồn tại lưới

 

t sao cho t_F(x,y_) và t0

t_ . Ta có t_ supF(x,y_) cho mọi  . Vì (,] là đóng, ta có t₀ . Khi đó





  



 ₀

0) , (

supF x y t . Vì  là tùy ý, ta có supF(x,y₀).

2) Giả sử trái lại, a) của Định lí 2.1 không thỏa. Thế thì tồn tại NX và N

conv

y _ sao cho supF(x,y) với mọi xN. Suy ra N U_y. Vì U_y là lồi,

(5)

ta có yconv_N U_y, nghĩa là supF(y,y). Điều này mâu thuẫn với giả thiết

 ) , (

supF y y .

Trong trường hợp của hàm đơn trị, ta có hệ quả sau.

Hệ quả 2.1. Giả sử X là nửa dàn tôpô có các khoảng liên thông đường, Rvà R

X X

f :   là một hàm (đơn trị ) thỏa các điều kiện sau

a) với mỗi NX và yconv_N, tồn tại xNvới f(x,y) ; b) với mỗi xX, tập



yX: f(x,y)



là đóng;

c) tồn tại N₀X và một tập con compact K của X sao cho yX \K, tồn tạixN₀ sao cho f(x,y).

Khi đó yX sao cho f(x,y)với mọi xX. Hệ quả là, nếu với bất kì )

, ( inf

sup f x y

X X y x 

  , các điều kiện a)-c) được thỏa thì infsup f(x,y)

X X x

y  = supinf f(x,y)

X X y x 

. Tiếp theo ta chứng minh một kết quả cho sự tồn tại điểm yên ngựa.

Định lí 2.2. Giả sử X là nửa dàn tôpô có các khoảng liên thông đường và X R

X

F:  2 là một hàm đa trị thỏa các điều kiện sau

a) với mỗi X X và (x,y)conv_, tồn tại (a,b) với )

, ( inf ) , (

supF a y  F x b ;

b) với bất kì (a,b)XX, tập



(x,y)XX:supF(a,y)infF(x,b)



là đóng;

c) tồn tại ₀XX và một tập con compact K của XX sao cho ,

\ )

,

(x y XX K

 tồn tại (a,b)₀ với supF(a,y)inf F(x,b).

Khi đó Fcó điểm yên ngựa, và do đó ta có inf max F(x,y)

X x X y





= )

, ( min

sup F x y

X y X x





. Chứng minh.

Định nghĩa hàm đa trị G:XX 2^X^^X , được xác định bởi



( , ) :sup ( , ) inf ( , )



) ,

(ab x y X X F a y F xb

G     cho mọi (a,b)XX.

Lấy bất kì XX và (x,y)conv_, bởi giả thiết a) tồn tại (a,b) sao cho supF(a,y)inf F(x,b). Điều này có nghĩa rằng



( ', ') :sup ( , ') inf ( ', )



( , ).

) ,

(x y  x y XX F a y  F x b G ab

Do đó



( ', ') :sup ( , ') inf ( ', )



( , ).

) , ( )

, (

b a G b

x F y

a F X

X y x conv

b a b

a











    

(6)

Giả thiết b) nói rằng G có các ảnh đóng. Giả thiết c) tương đương với tồn tại









₀ X X và một tập con compact K của XX sao cho



( , ) :sup ( , ) inf ( , )



\

) 0

, (

b x F y

a F X

X y x K

X X

b a



















⁽ ^, ⁾ ^:^sup ⁽ ^, ⁾ ^inf ⁽ ^, ⁾



^]

\ [

) 0 , (

b x F y

a F X

X y x X X

b a



















( , ) :sup ( , ) inf ( , )



\

) 0

, (

b x F y

a F X

X y x X

X

b a

















).

, (

\

) 0 , (

b a G X

X

b a











Do đó ( , ) .

) 0

, (

K b a G

b a









Vậy , theo Định lí 1.1, tồn tại (x,y)XXsao cho



( , ) :sup ( , ) inf ( , )



) , ( )

, (

) , ( )

, (

b x F y

a F X

X y x b

a G y

x

X X b a X

X b a





















^,

Nghĩa là supF(a,y)infF(x,b) cho mọi (a,b)XX . Với (a,b)(x,y) ta cósupF(x,y)infF(x,y). Do đó ta phải có supF(x,y)F(x,y)inf F(x,y). Bây giờ cho b y ta có: supF(a,y)infF(x,y)F(x,y)với mọi aX. Suy ra

) , ( ) , (

max F a y F x y

X a







.Tương tự, lấy axta cũng suy ra min F(x,b) F(x,y)

X b







^.

Vậy (x,y) là điểm yên ngựa.

Mệnh đề sau cho một điều kiện đủ để giả thiết b) của Định lí 2.2 thỏa.

Mệnh đề 2.2. Giả sử X là nửa dàn tôpô compact, F(a,) và F(,b) là lsc cho mỗi X

X b a, ) 

( , thế thì tập V(a,b)



(x,y)XX:supF(a,y)inf F(x,b)



là đóng.

Chứng minh.

Lấy bất kì lưới



(x_,y_)



trong V(a,b) hội tụ đến (x₀,y₀). Lấy bất kì tF(a,y) và hF(x,b). Khi đó tồn tại các lưới t_F(a,y_) và h_F(x_,b)sao cho t_ t và

h

h_  . Bởi vì supF(a,y_)infF(x_,b) cho mọi , ta có t h cho mọi . Do đó h

t . Vì t,hlà tùy ý, ta có supF(a,y)infF(x,b).

Hệ quả sau phát biểu cho hàm đơn trị, chứng minh của nó được suy trực tiếp từ Định lí 2.2.

(7)

Hệ quả 2.2.

Giả sử X là nửa dàn tôpô có các khoảng liên thông đường và f :XX R là một hàm (đơn trị ) thỏa các điều kiện sau

a) với mỗi XX và (x,y)conv_, tồn tại (a,b) với f(a,y) f(x,b); b) với bất kì (a,b)XX, tập



(x,y)XX: f(a,y) f(x,b)



là đóng;

c) tồn tại ₀XX và một tập con compact K của XX sao cho ,

\ )

,

(x y XX K

 tồn tại (a,b)₀ với f(a,y) f(x,b). Khi đó f có điểm yên ngựa, và do đó ta có infmaxf(x,y)

X x X

y  = supminf(x,y)

Y X y x 

.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Horvath, C. D., & Llinares J. V. (1996), “Maximal elements and fixed points for binary relations on topological ordered space”, J. Math. Econom., 25, 291-306.

2. Khanh P.Q, & Quan N.H, “Topologically-based characterizations of the existence of solutions of optimization-related problems”, Math. Nachr., DOI 10.1002/mana.201400323

3. Li, S.J., Chen G.Y., & Lee G.M., (2000), “Minimax Theorems for Set-Valued Mappings”, Journal of optimization theory and applications, Vol. 106, No. 1, 183–

200.

4. Li Z.F., & Wang S.Y., (1998), “A type of minimax inequality for vector-valued mappings”, J. Math. Anal.Appl., 227, 68–80.

5. Luc D.T., & Vargas C., (1992), “A saddle point theorem for set-valued maps”, Nonlinear Anal., 18, 1–7.

6. Yang, M.G., Xu J.P., Huang, N.J., & Yu, S.J., (2010), “Minimax theorems for vector-valued mappings in abstract convex spaces”, Taiwanese J.Math., 14(2), 719–

732.

7. Zhang Y., Li S.J., & Zhu S.K., (2012), “Mininax problems for set-valued mappings”, Numer. Funct. Anal. Optim., 33(2), 239–253.

8. Zhang Y., & Li S.J., “Minimax theorems for scalar set-valued mappings with nonconvex domains and applications”, J. Glob. Optim., DOI 10.1007/s10898-012- 9992-2.

(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 09-5-2016; ngày phản biện đánh giá: 30-5-2016;

ngày chấp nhận đăng: 13-6-2016)