Bài tập VD – VDC chuyên đề hàm số, hàm số bậc hai và tam thức bậc hai

BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ-HÀM SỐ BẬC HAI VÀ TAM THỨC BẬC HAI

(Dành cho học sinh muốn chinh phục điểm 8+, 9+)

 Câu 1: Tìm m để các hàm số sau đây xác định với mọi x thuộc khoảng



0;



. a) y x m  2x m 1.

b) 2 3 4

1 y x m x m

x m

    

  .

 Lời giải

a) Hàm số xác định khi ^ _ ^

 



0 1 *

2 1 0

2 x m x m

x m x m

 

 

  

 

 

  

   

 

 



+) Nếu  1  

1 thì (*) 2

m m m x m.

Khi đó tập xác định của hàm số là Dm;



.

Yêu cầu bài toán (0; ) [ ;m  ) m0 : không thỏa mãn m1.

+) Nếu 1  1

1 thì (*)

2 2

m m

m  m x 

    .

Khi đó tập xác định của hàm số là Dm;



.

Yêu cầu bài toán 1 1

(0; ) [ ; ) 0 1 :

2 2

m m

  m

       thỏa mãn điều kiệnm1.

Vậy m1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Hàm số xác định khi  3 4

2 3 4 0

1 0 2

1

x m x m

x m

x m

 

  

   

 

 

 

    

   

 



Do đó để hàm số xác định với mọi x thuộc khoảng



0;



, ta phải có



  

 

4

3 4

0 4

3 1

2 3

1 0 1

m m

m

m m

 

  

 

 

  

 

 

  

 



Vậy 4

1 m 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Câu 2: Tìm m để các hàm số sau:

a) 1

2 6

y x m

x m

    

 xác định trên



1; 0



. b) y 12x²mx m 15 xác định trên ^_{1; 3}^_.

 Lời giải

a) Hàm số xác định khi ⁰ 2 6

2 6 0 2 6

x m x m

m x m

x m x m

 

    

     

 

      

 



Do để hàm số xác định trên



1; 0



, ta phải cĩ ^ 1 ^ 1 

3 1

2 6 0 3

m m

m m m

 

   

     

 

     

 



. Vậy   3 m 1 thỏa mãn yêu cầu bài tốn.

b) Hàm số xác định khi 12x²mx m 15 0  2x²mx m 15 1.(*)

Bài tốn được chuyển về việc tìm mđể

 

* nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn ^_{1; 3}^_. Điều kiện cần: Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn 1; 3

 nên nghiệm đúng với 1, 2

x x tức là ta cĩ:

    

    

9 8

|2 17| 1 1 2 17 1

22 8

|3 23| 1 1 3 23 1 8

3

m m m

m m m m

  

   

    

  

     

  

     

  

  



Điều kiện đủ: Với _m ₈, ta cĩ :

2 2

(*) 2x 8x    7 1 1 2x 8x 7 1

 

 

2 2

2 2

2 8 8 0 ( 2) 0

2 8 6 0 4 3 0

x x x

x x x x

 

    

 

     

 

2 4 3 0 ( 1)( 3) 0

x x x x

     

1 0 3 0

1 0 1

1 3 : thỏa mãn.

3 0

3 0 3

1 0 3 0 x

x x x

x x

x x

x x

  

  

     

  

             

Vậy _m ₈ thỏa mãn yêu cầu bài tốn.

 Câu 3: Tìm m để các hàm số:

a)

2

2 1

6 2

y x

x x m

 

   xác định trên .

b) ₂ 1

3 2

y m

x x m

 

  xác định trên tồn bộ trục số.

 Lời giải

a) Hàm số xác định khi _x²_6x   _{m 2 0 (x}₃₎² _{m 11}₀

Để hàm số xác định với mọi _x (x3)² m 110 đúng với mọi _x.

11 0 11

m m

    

Vậy _m₁₁ thỏa mãn yêu cầu bài tốn.

b) Hàm số xác định khi ₂ ²

1 0 1

1 1

3 2 0 3 0

3 3

m m

x x m x m

 

  

 

   

   

   

          

   

   

 



Để hàm số xác định với mọi _x ² 1

1 1

3 0

3 3

m

x m

 

       

đúng với mọi _x.

 1 1 1

0 3 3 m m m

 



    

Vậy 1

m3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Câu 4: Tìm m để hàm số ^y



^x2



^3xm1 xác định trên tập



^1;



^?

Ⓐ. m2. Ⓑ. m2. Ⓒ. m2. Ⓓ. m2.

 Lời giải Chọn B

ĐK: ^{1 1};

3 3

m m

x  D   

    

 

.

Để hàm số xác định trên



^1;



^thì



^1;



^{1; 1 1 1 3 2}

3 3

m m

m m

 

 

         

  .

 Câu 5: Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2 3 3 1 5

x m x

y x m x m

  

 

    xác định

trên khoảng



^0;1



^là

Ⓐ. ^{m }



^{3; 0}

  

^{ 0;1 . Ⓑ. 1;3}

m  2

  .

Ⓒ. ^{m }



^{3; 0}



^{. Ⓓ.}



^{4; 0}



^1;3

m  2

    

 .

 Lời giải Chọn D

Điều kiện xác định của hàm số là:

2 3 0 2 3

0

5 0 5

x m x m

x m x m

x m x m

    

 

 

   

 

      

 

.

TH1. 2m 3 m 5 m 8 tập xác định của hàm số là: D  m8 loại.

TH2. 2m 3 m 5 m 8 TXĐ của hàm số là: ^D



^{2m3;m5 \}

  

^{m .}

Để hàm số xác định trên khoảng



^0;1



^thì



^0;1



^D.

3

2 3 0 2 4 0

5 1 4 3

0 0 1 2

1 1

m m m

m m

m m m

m m

 

  

    

 

  

      

  

    

 

 

   

 

.

Suy ra



^{4; 0}



^1;3

m  2

    

 .

 Câu 6: Cho hàm số

 

2 2

1

2 1 2

y x

x m x m m

 

    . Tập các giá trị của m để hàm số xác định trên



^0;1



^{là T  }



^;a



^



^{b c;}



^



^d;



^{. Tính Pa  b c d.}

Ⓐ. P 2. Ⓑ. P 1. Ⓒ. P2. Ⓓ. P1.

 Lời giải Chọn A

Hàm số xác định khi ^{2 2}



¹



^{2 2 0}

2 x m

x m x m m

x m

 

      

 



. Do đó tập xác định của hàm số là ^D\



^m2;m



^.

Vậy để hàm số xác định trên



^0;1



điều kiện là:

 

2 0 2

; 2 0;1 1 1

0 1 2 1 0

m m

m m m m

m m m

   

 

 

     

 

       

 

.

 Câu 7: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y ^{x m 2} x m

 

  xác định trên



^{1; 2}



.

Ⓐ. 1 2 m m

  

 



. Ⓑ. 1

2 m m

  

 



. Ⓒ. 1

2 m m

  

 



. Ⓓ.  1 m2.

 Lời giải Chọn B

Hàm số xác định khi xm0 xm.

Do đó hàm số xác định trên



^{1; 2}

 

^{1; 2}



¹

2 m m

m

  

      .

 Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm sốy xm 1 2xm xác định với  x 0 .

Ⓐ. m1. Ⓑ. m0. Ⓒ. m0. Ⓓ. m1.

 Lời giải Chọn B

Điều kiện

1 0 1

2 0

2 x m x m

x m x m

 

   

 

 

  

 

.

Hàm số xác định với

1 0

0 0

2 0 m

x m m

  

    

 



.

 Câu 9: Tập hợp tất cả giá trị của tham số m để hàm số y x2m1 xác định với mọi

 

^1;3

x là:

Ⓐ.

 

^{2 . Ⓑ.}

 

^{1 . Ⓒ. (; 2]. Ⓓ. (;1].}

 Lời giải

Chọn D

Hàm số xác định khi x2m 1 0 x2m1.

Hàm số xác định với mọi ^x

 

^{1;3 thì 2m  1 1 m1.}

 Câu 10: Tập xác định của hàm số y  x 2 x  1 5x²2 4x² có dạng a b; . Tính ab.

Ⓐ. 3. Ⓑ. 1. Ⓒ. 0. Ⓓ. 3.

 Lời giải Chọn A

Ta có ^{y }



^{x  1 1}



^{2 }



^{4x2 1}



^{2  x   1 1 4x2 1.}

Do đó hàm số đã cho xác định 1₂ 0 1 1

1 2 .

2 2 2

4 0

x x a

x x b

x

  

      

  

          

Do đó a b 3. Chọn A

 Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 1

2 5

y x m

    x

 có tập xác định



^0;5



D .

Ⓐ. m0. Ⓑ. m2. Ⓒ. m 2. Ⓓ. m2.

 Lời giải Chọn D

Điều kiện xác định của hàm số đã cho là 2 0

5 0

x m x

  



 



2 5 x m x

 

 

  Hàm số có tập xác định ^D



^0;5



^{m  2 0 m2.}

 Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

2

1

3 2

y m

x x m

 

  có tập xác định D.

Ⓐ. 1 ¹ m 3

   . Ⓑ. m 1. Ⓒ. ¹

m3. Ⓓ. ¹

m3.

 Lời giải Chọn C

Hàm số

2

1

3 2

y m

x x m

 

  có tập xác định D

2

1 0 1 1 1 1

' 0 1 3 0 1 3

3 2 0,

3

m m m m

m m m

x x m x

  

        

 

     

    

    

  

   .

 Câu 13: Tìm điều kiện của m để hàm số y x² x m có tập xác định D

Ⓐ. ¹

m4. Ⓑ. 1

m 4. Ⓒ. 1

 4

m . Ⓓ. 1

m4.

 Lời giải

Hàm số y x² x m có tập xác định D.

2 0,

x x m x

      ⁰



^{do 1}



0, 1 4

a Ñ a

m

  

 

    



1 m 4

  .

Vậy 1

m 4 thỏa yêu cầu bài.

 Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham sốmđể hàm số 9

2 1

y x

x m

 

  xác định trên đoạn



^{3;5 .}



Ⓐ. m1 hoặc m2. Ⓑ. m3 hoặc m0.

Ⓒ. m4 hoặc m1. Ⓓ. m2 hoặc m1.

 Lời giải Chọn D

Điều kiện xác định của hàm số là x2m  1 0 x2m1 Yêu cầu bài toán ^{2 1}



^3;5



^{2 1 3 1}

2 1 5 2

m m

m m m

  

 

        .

 Câu 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thuộc tập xác định của hàm số 



 2

3 y x

x x

 2x1?

Ⓐ. 3 Ⓑ. 1 Ⓒ. 2 Ⓓ. 4

 Lời giải Chọn C

Tập xác định:

  

  



  2 1 0

3 0

0 x

x x



  





 

 



1 2 3 0 x x x



  



 

1 3

2 0

x x

.

Do x nguyên nên ^x

 

^{1; 2 .}

 Câu 16: Cho hàm số

 

^{2 3}

2 1 f x x

x

 

  có tập xác định là D₁ và hàm số

 

^{2 2}

5

x m x

g x x

 

  có tập xác định là D₂. Tìm điều kiện của tham số m để D₂ D₁.

Ⓐ. m2. Ⓑ. m2. Ⓒ. m2. Ⓓ. m2.

 Lời giải Chọn A

Xét

 

^{2 3}

2 1 f x x

x

 

 

ĐKXĐ: 1

   

2 1 3

2 1 0 2 1 x x ;1 3;

x x      D

            

Xét

 

^{2 2}

5

x m x

g x x

 

 

Ta thấy x  5 0với  x .

ĐKXĐ: 2 0 ₂ ;

2 2

m m

m x x D  

       

 

Để D₂ D₁ thì 1 2 2

m m . Vậy với m2 thì D₂ D₁.

 Câu 17: Tìm m để hàm số

 

2 2 3 2

3 5

x m x

y x m x m

  

 

    xác định trên khoảng



^0;1



^.

Ⓐ. 3 1;2 m  

  . Ⓑ. ^{m }



^{3; 0}



^.

Ⓒ. ^{m }



^{3; 0}

  

^{ 0;1 . Ⓓ.}



^4;0



^1;3

m  2

    .

 Lời giải Chọn D

*Gọi Dlà tập xác định của hàm số

 

2 2 3 2

3 5

x m x

y x m x m

  

 

    .

*xD 0

2 3 0

5 0 x m

x m x m

  



 

   







2 3

5 m x m x x m

 



 

  





 .

*Hàm số 2 3 3 1

5

x m x

y x m x m

  

 

    xác định trên khoảng



^0;1







^0;1



^D

 

2 3 0

5 1 0;1 m m m

  

  

 

3 2 4 1

0 m m m m



 



  

 



 





^4;0



^1;3

m  2

     .

 Câu 18: Cho hàm số

 

^{2 1 4 2}

2

f x  x m   m x xác định với mọi ^x



^{0; 2}



^khi



^;





m a b . Giá trị của tổng a b bằng

Ⓐ. 2. Ⓑ. 3. Ⓒ. 4. Ⓓ. 5.

 Lời giải Chọn A

Hàm số ( ) 2 1 4 2

2

f x  x m   mx xác định khi: 1 2 8 4

x m

x m

  

  



Hàm số xác định trên [0; 2] nên 1 2 0 2 8 4 ^{1 3}

2 2

m m m

         1 3

2 2; m  

   ^ab2

 Câu 19: Tìm m để hàm số 1

2 3 2

2 4 8

y x m x

x m

     

  xác định trên khoảng



^{ ; 2}



^.

Ⓐ. ^{m }



^{2; 4}



^{. Ⓑ. m }



^2;3



^{. Ⓒ. m }



^2;3



^{. Ⓓ. m }



^2;3



^.

 Lời giải Chọn D

Tập xác định của hàm số là tập hợp các giá trị của x thỏa mãn điều kiện:

2 3 2 0

2 4 8 0

x m x m

   



  



3 2

2 4 2 x m

x m

 

 

 

  



.

Để hàm số xác định trên khoảng



^{ ; 2}



^{cần có:}

3 2

2 2

4 2 2

m m

 

  



   



2 3 m m

  

   ^{m }



^2;3



^.

 Câu 20: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để tập xác định của hàm số

2 7 1 2

y 2 m x

x m

   

 chứa đoạn



^1;1



^?

Ⓐ. 0 Ⓑ. 1 Ⓒ. 2 Ⓓ. Vô số

 Lời giải Chọn A

Hàm số xác định khi và chỉ khi:

2 0 2

7 1

7 1 2 0

2 x m x m

m x x m

 

 

 

  

   

 

.

Để tập xác định của hàm số chứa đoạn



^1;1



thì ta phải có

7 1

1 / 7

2 1 1

1 / 2

2 1 2

1 / 2

2 1

m m

m m m

m m

 

  

 

    

  

   

  



.

Vậy không có giá trị nguyên âm nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Câu 21: Cho hàm số y x 1 m2x với m 2. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để tập xác định của hàm số có độ dài bằng 1?

Ⓐ. 1 Ⓑ. 2 Ⓒ. 3 Ⓓ. 4

 Lời giải Chọn A

Điều kiện xác định của hàm số:

1 0 1

2 0 1 2

2

x x m

m x

m x x

  

   

    

 

  

 

(do m 2 nên 1 2

m  ).

Vậy 1;

2 D  m

  . Độ dài của D bằng 1 khi và chỉ khi

 

^{1 1 0}

2

m   m . Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Câu 22: Với giá trị nào của m thì hàm số y  x²



m1



x2 nghịch biến trên

 

1; 2 .

 Lời giải Tập xác định D

Ta có ²



1



2 ^{1 2} 2 ^{1 2}

2 2

m m

y  x m x   x      

Ta phân chia tập xác định  thành hai khoảng 1

; 2

 m 

 

 

 

  và 1 2 ;

m 

 

 

 

 .

Trên khoảng 1

; 2

 m 

 

 

 

  thì hàm số đồng biến, trên khoảng 1 2 ;

m 

 

 

 

  nghịch biến.

Do đó điều kiện để hàm số nghịch biến trên

 

1; 2 là

 

^{1; 2 1;}

2

m 

  hay

1 1 3

2

m  m . Cách 2.

Với mọi _x1_x2, ta có

       

 

2 2

1 1 2 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

x m x x m x 1

f x f x

x x m

x x x x

          

          

 

Để hàm số nghịch biến trên

 

1; 2 khi và chỉ khi 



x₁x₂



  m 1 0, x x₁, ₂

 

1; 2  m 3 .

 Câu 23: Tìm tập giá trị của hàm số y 4x² .

 Lời giải

Điều kiện xác định: 4x² 0  2 x2. Tập xác định: ^{D }



^{2; 2}



^.

x D

  ta có x²0 4 x² 4 4x² 2. Mặt khác: 4x² 0. Nên 0 4x² 2, x D. Vậy tập giá trị của hàm số ^{T }



^{0; 2}



^.

 Câu 24: Tìm tập giá trị của hàm số

2

1

4 5

y

x x



  .

 Lời giải

Điều kiện xác định: ^{x24x 5 0}



^x2



^{2 1 0, đúng  x }. Tập xác định: D. Ta có ^{x24x 5}



^x2



^{2 1 1}



^x2



^{2  1 1 0}

 

²

1 1

2 1

x

 

  .

Mặt khác:

 

²

1 0

2 1

x



 

. Nên

 

²

0 1 1

2 1

x

 

 

,  x D. Vậy tập giá trị của hàm số ^{T }



^0;1



^.

 Câu 25: Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai con tàu cùng khởi hành, một tàu chạy về hướng nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu kia chạy về vị trí hiện tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/giờ. Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách của hai tàu là nhỏ nhất?

Ⓐ. sau ⁷

17 giờ xuất phát Ⓑ. sau ⁵

17 giờ xuất phát

Ⓒ. sau ⁹

17 giờ xuất phát Ⓓ. sau ⁸

17 giờ xuất phát

 Lời giải

Gọi d là khoảng cách của hai tàu sau khi xuất phát t (giờ), t0.

Ta có: d²  AB₁²AA₁² (5BB₁)²AA₁² (5 7 ) t ²(6 )t ² 85t²70t25. Suy ra

2

2 7 180 6 85

( ) 85 70 25 85

17 17 17

d d t t t t 

         

  .

Khi đó ^{6 85}

min 17

d  . Dấu ""xảy ra  ⁷ t 17. Vậy sau ⁷

17 giờ xuất phát thì khoảng cách hai tàu nhỏ nhất là nhỏ nhất.

 Câu 26: Một của hàng buôn giày nhập một đôi với giá là USD. Cửa hàng ước tính rằng nếu đôi giày được bán với giá x USD thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua



^120x



đôi. Hỏi của hàng bán một đôi giày giá bao nhiêu thì thu được nhiều lãi nhất?

Ⓐ. 80 USD Ⓑ. 70 USD Ⓒ. 30 USD Ⓓ. 90 USD

 Lời giải Gọi y (USD) là số tiền lãi của cửa hàng bán giày.

Ta có ^y



^120x



^x40



^{ x2160x4800  }



^x80



^{21600 1600 .}

Dấu "" xảy ra x80.

Vậy cửa hàng lãi nhiều nhất khi bán đôi giày với giá 80 USⒹ.

 Câu 27: Tìm các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số ² 1 y x

x

 

 .

 Lời giải TXĐ: ^{D\ 1}

 

^.

40

Ta có ² 1 y x

x

 

 1 3

1

  x

 .

Tung độ của một điểm thuộc đồ thị hàm số là số nguyên  ³ 1 x 

 . (1)

Vì hoành độ của điểm đó là số nguyên nên (1)

1 3

1 3

1 1

1 1

x x x x

  

   



  

   



4 2 2 0 x x x x

 

  



 

 



.

Vậy các điểm thuộc đồ thị hàm số ² 1 y x

x

 

 có tọa độ nguyên là



^{4 ; 2}



A , ^B



^{2 ; 0}



^{, C}



^{2 ; 4}



^{, D}



^{0 ; 2}



^.

 Câu 28: Có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số y x x ?

Ⓐ. 0 Ⓑ. 1 Ⓒ. 2 Ⓓ. 3

 Lời giải Chọn B

Điều kiện xác định:

0 0

0

x x

x x

 

  

  



.

Đặt x x n n, . Suy ra:

2 2

4 4 1 4 1

x x n  x x  n 



^{2 x 1}



²

 

^{2n 2 1}

   



^{2 x 1 2n}



^{2 x 1 2n}



¹

     

2 1 2 1

2 1 2 1

x n

x n

   

 

  



(do 2 x 1 2n0)

4 x 0 x 0

    .

Với x0 thì y0. Vậy có duy nhất một điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số, đó là điểm có tọa độ



^{0; 0}



^.

 Câu 29: Xác định hàm số f x

 

biết



3



2 1

f x  x . b f x)



 1



x²3x3.

 Lời giải )

a Đặt _t    _{x 3 x t 3}. Ta có: f x



3



2x 1 f t

 

2



t  3



1 2t7  t . Vậy f x

 

2x7  x .

Cách 2: Ta có: ^{f x}

 

^{2x 7 f x}

 

^{  3}



³



²



^{x  3}



^{1 2x7  x .}

)

b Đặt _t    _{x 1 x t 1}. Ta có:



1



² 3 3

  

1



² 3



1



3 ² 1

f x x  x  f t  t  t      t t t . Vậy f x

 

x²   x 1 x .

Cách 2: Ta có: ^{f x}

 

^{ f x}

 

^{   1}



¹

 

^{x 1}



^23



^{x  1}



^{3 x2 x 1  x .}

 Câu 30: Xác định hàm số f x

 

biết

2 2

1 1

)

a f x x

x x

 

   

 

 

  . 1 ³ 1₃

)

b f x x

x x

 

   

 

 

  .

 Lời giải )

a Ta biến đổi biểu thức về dạng f x ¹ x^{2 1}₂ x ^{1 2} 2. 1

 

x x x

   

       

   

   

   

Từ

 

1 suy ra f x

 

x²2 với mọi x 2.

Thử lại thấy f x

 

x²2 thõa yêu cầu bài toán. Vậy f x

 

x²2. )

b Ta biến đổi biểu thức về dạng f x ¹ x^{3 1}₃ x ^{1 3} 3 x ¹ . 2

 

x x x x

     

          

     

     

     

Từ

 

2 suy ra f x

 

x³3x với mọi x2.

Thử lại thấy f x

 

x³3x thõa yêu cầu bài toán. Vậy f x

 

x³3x.

 Câu 31: Xác định hàm số f x

 

biết

) 1 3, 1.

1

a f x x x

x

  

    

 

  

 

3 1 1

) , 2, 1.

2 1

x x

b f x x

x x

   

     

 

   

 

 Lời giải )

a Đặt 1 1

, 1.

1 1

x t

t x x

x t

 

    

  Thay vào 1

1 3

f x x

x

  

  

 

  

  ta được

 

^{1 3 4 2}

1 1

t t

f t t t

 

  

  .

Suy ra

 

^{4 2}. 1 f x x

x

 



Thử lại thấy

 

^{4 2}

1 f x x

x

 

 thõa yêu cầu bài toán. Vậy

 

^{4 2}. 1 f x x

x

 

 )

b Đặt 3 1 2 1

, 2.

2 3

x t

t x x

x t

 

     

  Thay vào 3 1 1

2 1

x x

f x x

   

 

 

   

  ta được

 

2 1

1 2

3

2 1 3 4

3 1 t

t t

f t t t

t

  

  

  



. Suy ra

 

² .

3 4

f x x x

 

 Thử lại thấy

 

²

3 4

f x x x

 

 thõa yêu cầu bài toán. Vậy

 

² .

3 4

f x x x

 



 Câu 32: Xác định hàm số f x

 

biết

   

^{4 3}

) 2 12 4.

a f x f  x x  x 

   

) 1.

b f x xf   x x

   

2 4

) 1 2 .

c x f x  f x  xx

 Lời giải )

a Thay x bằng x ta được 2f

 

 x f x

   

 x ⁴12

 

x ³ 4 x⁴12x³4.

Ta có hệ:

   

   

4 3

4 3

2 12 4

2 12 4

f x f x x x

f x f x x x

     

      



     

     

4 3

4 3

4 2 2 24 8 1

2 12 4 2

f x f x x x

f x f x x x

     

 

      

 .

Cộng

 

1 và

 

2 vế theo vế ta được

 

^{4 3}

3f x 3x 12x 12 hay f x

 

x⁴4x³4.

Thử lại thấy f x

 

x⁴4x³4 thõa yêu cầu bài toán. Vậy f x

 

x⁴4x³4.

)

b Thay x bằng x ta được f

 

 x xf x

 

  x 1. Ta có hệ:

   

   

1 1 f x xf x x f x xf x x

    

     



     

     

2 2

1 1

2 f x xf x x

x f x xf x x x

    

       .

Cộng

 

1 và

 

2 vế theo vế ta được



^x21



^{f x}

 

^{  x2 2x1 hay}

 

² ₂ ^{2 1.}

1

x x

f x x

  

 

Thử lại thấy

 

² ₂ ^{2 1}

1

x x

f x x

  

  thõa yêu cầu bài toán. Vậy

 

² ₂ ^{2 1.}

1

x x

f x x

  

 

)

c Thay x bằng ₁_x ta được



1x

 

² f 1 x



f x

 

2 1



  x

 

1 x



⁴. Ta có hệ:

     

           

2 4

2 4

1 2 1

1 1 2 1 1 2

x f x f x x x

x f x f x x x

    

       

 .

Phương trình

 

1  f



1x



2xx⁴x f x²

 

. Thay vào

 

2 ta được



^1x



^2_^{2x x 4x f x2}

 

^_^{ f x}

 

^{2 1}



^{  x}

 

^{1 x}



^{4  f x}

 

^{ 1 x2.}

Thử lại thấy f x

 

 1 x² thõa yêu cầu bài toán. Vậy f x

 

 1 x².

 Câu 33: Hàm số f x

 

có tập xác định  và có đồ thị như hình vẽ

Tnh giá trị biểu thức ^f



²⁰¹⁸



^{ f}



^{ 2018}



Ⓐ. _2018. Ⓑ. ₀. Ⓒ. ₂₀₁₈. Ⓓ. ₄₀₃₆.

 Lời giải Chọn B

Dựa vào hình dáng của đồ thị ta thấy rằng hàm số đối xứng qua O(0;0) nên là hàm số lẻ.

Suy ra ^f



^x



^{ f x}

 

^{ f}



^x



^{ f x}

 

^0

Vì vậy ^f



²⁰¹⁸



^{ f}



^{ 2018}



^0.

 Câu 34: Cho hai hàm số ^{f x}

 

^{x25 và g x}

 

^{x32x21}. Tính tổng các hệ số của hàm số ^{f g x}

   

^.

Ⓐ. 18 Ⓑ. 19 Ⓒ. 20 Ⓓ. 21

 Lời giải

Cách 1: ^{f g x}

   

^



^x32x21



^{2 5 x64x54x42x34x26.}

Vậy tổng các hệ số của ^{f g x}

   

là 1 4 4 2 4 6     21.

Cách 2: Áp dụng kết quả: “Cho đa thức P x

 

a x_n ⁿa_n1x^n1...a x a1  0. Khi đó tổng các hệ số của ^{P x}

 

^{là P}

 

¹ ”, ta có tổng các hệ số của ^{f g x}

   

^{là f g}

  

¹



^{mà g}

 

^{1 4 nên}

  

¹



^{42 5 21}

f g    .

 Câu 35: Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định trên  thỏa mãn  x : ^{f x}



^1



^{x23x2.}

Tìm biểu thức ^{f x}

 

^.

Ⓐ. ^{f x}

 

^{x25x2 Ⓑ. f x}

 

^{x25x2}

Ⓒ. ^{f x}

 

^{x2 x 2 Ⓓ. f x}

 

^{x2 x 2}

 Lời giải Chọn A

Ta có ^{ x : f x}



^1



^{x23x2}



^x1



^25



^x1



^2.

Do đó ^{f x}

 

^{x25x2.}

 Câu 36: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên  và hàm số ^{g x}

 

xác định trên ^{\ 36}

 

^{. Biết}



^{2 5}



^{2 3 2}

f x x  x và



^{5 1}



7 g x x

  x

 . Tính ^{g f}

  

¹



^.

Ⓐ.

  

¹



³

g f 4

 Ⓑ.

  

¹



³

g f  4 Ⓒ.

  

¹



⁴⁷

g f  4 Ⓓ.

  

¹



⁴⁷

g f 4



 Lời giải Chọn A

Ta có 2x  5 1 x3. Vậy ^f

 

^{1 323.3 2 16  .}

Lại có 5x 1 16x3. Vậy

  

¹



^{3 3}

3 7 4

g f 

 

 .

 Câu 37: Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định trên  thỏa mãn f x ¹ x^{3 1}₃ x 0

x x

 

    

 

  . Tính

 

³

f .

Ⓐ. ^f

 

^{3 36 Ⓑ. f}

 

^{3 18 Ⓒ. f}

 

^{3 29 Ⓓ. f}

 

^{3 25}

 Lời giải Chọn B

Ta có f x ¹ x^{3 1}₃

x x

 

  

 

 

1 3 1

3

x x

x x

   

      

   . Do đó ^{f x}

 

^x33x.

Vậy ^f

 

^{3 333.3 18 .}

 Câu 38: Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định trên ^{\ 3}

 

thỏa mãn ^{3 2} 2 1 1

f x x x

x

  

   

 

   .

Tính ^f

 

^{2  f}

 

^{4 .}

Ⓐ. ^f

 

^{2  f}

 

^{4 6 Ⓑ. f}

 

^{2  f}

 

^{4 2}

Ⓒ. ^f

 

^{2  f}

 

^{4  6 Ⓓ. f}

 

^{2  f}

 

^{4  2}

 Lời giải Đáp án A

Cách 1: Đặt ^{3 2} 1

x t

x

 



2 3 8

3 2 3

t t

x x

t t

 

    

  .

Do đó ta có

 

^{3 8}

 

^{3 8}

3 3

t x

f t f x

t x

 

  

  .

Vậy ^f

 

^{2  f}

 

^{4 6.}

Cách 2:

3 2

 

2 0 2 2

1

x x f

x

     

 ;

3 2

 

4 2 2 4

1

x x f

x

     

 .

Vậy ^f

 

^{2  f}

 

^{4 6.}

 Câu 39: Cho parabol

 

P :yx²4x3 và đường thẳng d y: mx3. Tìm các giá trị của _mđể

a) d và

 

P tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9 2. b) d cắt

 

P tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x₁, x₂thỏa mãn x₁³x₂³ 8.

 Lời giải.

Phương trình hoành độ giao điểm của

 

P và d là _x²_4x _{3 mx}₃

 

2 4 0

x m x

    0

4 x

x m

 

    a) d cắt

 

P tại hai điểm phân biệt A, B khi 4 m 0 m 4.

Với x0 thì y3 suy ra A

 

0 ; 3 Oy. Với x 4 m thì ym²4m3 suy ra



^{4 ; 2 4 3}



B m m  m .

Gọi H là hình chiếu của B lên OA. Suy ra _BH _xB  _{4 m} . Theo gải thiết bài toán, ta có

9

OAB 2

S_  1 9

2OA BH. 2

  1 9

. 3 . 4

2 m 2

    _m _{4 3} 1

7 m m

  

   . Vậy m 1 hoặc m 7 thỏa yêu cầu bài toán.

b) Giả sử _x1₀ và _x2  _{4 m}. Theo gải thiết, ta có

3 3

1 2 8

x x    0



4 m



³ 8   4 m 2 m 2. Vậy m 1 hoặc m 7 thỏa yêu cầu bài toán.

Cách 2. Áp dụng cho trường hợp không tìm cụ thể x x₁, ₂. Ta có x₁³x₂³8



x₁x₂



³3x x x_{1 2}



₁x₂



8

 

*

Do _x1, _x2 là hai nghiệm của phương trình x² 



4 m x



0 nên theo định lý Viet, ta có

1 2

1 2

4 .

0

x x m

x x

   

 

 Thay vào

 

* , ta được



4m



³3 . 0 . 4



m



8 m 2. 

 Câu 40: Chứng minh rằng với mọi _m, đồ thị của mỗi hàm số sau luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và đỉnh I của đồ thị luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

a)

2

2 1

4 yx mxm  . b) yx²2mxm²1.

 Lời giải.

a) Phương trình hoành độ giao điểm của

 

P và trục hoành là

2

2 1 0

4

x mxm   .

 

1

Ta có

2

2 4.1. 1 4 0

4 m m 

       ,  m .

Do đó

 

1 luôn có hai nghiệm phân biệt m hay

 

P luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt m.

Ta có

2 2

b m

x  a suy ra _y ₁. Do đó tọa độ đỉnh ; 1 2

Im  . Vì _yI  ₁ nên đỉnh _I luôn chạy trên đường thẳng cố định _y ₁.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của

 

P và trục hoành là _x²_2mx_m² _{1 0}.

 

2 Ta có ^{  m2}



^{m2  1}



^{1 0,  m .}

Do đó

 

2 luôn có hai nghiệm phân biệt m hay

 

P luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt m.

Ta có

2

x b m

  a suy ra _y ₁. Do đó tọa độ đỉnh I m



; 1



. Vì _yI  ₁ nên đỉnh _I luôn chạy trên đường thẳng cố định _y ₁.

 Câu 41: Chứng minh rằng với mọi _m, đồ thị hàm số ymx²2



m2



x3m1 luôn đi qua hai điểm cố định.

 Lời giải.

Gọi A x y



0; 0



là điểm cố định của đồ thị hàm số y0mx²02



m2



x03m1, với mọi m m x



0²2x0 3



4x0y0 1 0, với mọi _m

2

0 0

0 0

2 3 0

4 1

x x

x y

   

  



0 0

1 3 x y

 

    hoặc ⁰

0

3 13 x y

  

  

Vậy đồ thị luôn đi qua hai điểm cố định là A₁



1; 3



hoặc A₂



3 ; 13



với mọi giá trị _m.

 Câu 42: Chứng minh rằng các parabol sau luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

a) y2x²4 2



m1



x8m²3. b) ymx²



4m1



x4m1



m0



.

 Lời giải.

a) Gọi _y_ax_b là đường thẳng mà parabol luôn tiếp xúc.

Phương trình hoành độ giao điểm 2x²4 2



m1



x8m² 3 axb

 

2 2

2x 8m 4 a x 8m 3 b 0

        .

 

1 Yêu cầu bài toán  phương trình

 

1 luôn có nghiệm kép với mọi _m

 

²



²



        

   

²

 

16 4 a m 4 a 8 3 b 0

         , với mọi _m

 

²

 

4 0

4 8 3 0

a

a b

  

 

     



4 3 a b

 

   .

Vậy parabol y2x²4 2



m1



x8m²3 luôn tiếp xúc với đường thẳng _y_4x₃. b) Gọi _y_ax_b là đường thẳng mà parabol luôn tiếp xúc.

Phương trình hoành độ giao điểm mx²



4m1



x4m 1 axb

 

2 4 1 4 1 0

mx m a x m b

        .

 

2 Yêu cầu bài toán  phương trình

 

2 luôn có nghiệm kép với mọi _m



4m 1 a



² 4m m



4 1 b



0

         , với mọi _m

   

²

 

2 2

16m 8m 1 a m 1 a 16m 4m 1 b 0

           , với mọi _m

   

²

4 2a b 1 m 1 a 0

       , với mọi _m

2 1 0

1 0

a b a