1.
TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
CHUYÊN ĐỀ TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
.Ta đã biết cách tính diện tích tam giác theo một công thức rất quen thuộc là 1 2 ,
S ah trong đó a là độ dài một cạnh của tam giác, h là chiều cao ứng với cạnh đó.
.Bây giờ ta vận dụng các tỉ số lượng giác, các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để xây dựng thêm các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác.
B. BÀI TẬP MINH HỌA
Ví dụ 1. Chứng minh rằng diện tích một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
Giải
Gọi là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC. Vẽ đường cao CH. Xét ACH vuông tại H có CH AC.sin
Diện tích ABC là 1 . .
S 2AB CH Do dó 1 . .sin . S 2AB AC Lưu ý: Nếu 90 ,0 ta có ngay 1
2 .
S AB AC Như vậy sin 900 1, điều này sẽ học ở các lớp trên.
Ví dụ 2. Tứ giác ABCD có AC m BD n, , góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng . Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này được tính theo công thức
1 sin . S 2mn Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử BOC. Vẽ AH BD CK, .BD
Ta có AH OAsin ; sin
CK OC và OA OC AC.
2.
TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Diện tích tứ giác ABCD là:
1 1
. .
2 2
1 1
( ) (OAsin sin )
2 2
1 1 1
sin ( ) . sin sin
2 2 2
ABD CBD
S S S BD AH BD CK
BD AH CK BD OC
BD OA OC AC BD mn
Lưu ý:
• Nếu ACBD ta có ngay 1 . 1 2AC BD 2m S n
• Phương pháp tính diện tích của tứ giác trong ví dụ này là chia tứ giác thành hai tam giác không có điểm trong chung, rồi tính diện tích của từng tam giác.
Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Tính diện tích tam giác ABC biết a4 2cm b, 5 cm c, 7 cm.
Giải
Theo định lí côsin ta có: a2 b2c22 cos .bc A Do đó
4 2 2 52722.5.7.cosASuy ra cos 3 sin 1 cos2 1 9 4
5 25 5
A A A
Vậy diện tích tam giác ABC là: S 12bcsinA12.5.7.45 14
cm2Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tìm cosA rồi suy ra sin .A Ta cũng có thể vận dụng định lí côsin để tìm cosB rồi suy ra sinB (hoặc tìm cosC rồi suy ra sin )C
Ví dụ 4. Tứ giác ABCD có AC BD 12 .cm Góc nhọn giữa hai đường chéo là 45 . Tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó.
Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Giả sử AOD45 .
Diện tích tứ giác ABCD là:
1 1 2 2
. .sin 45 . . . .
2 2 2 4
S AC BD AC BD AC BD
Theo bất đẳng thức Cô‐si, ta có:
2
. 2
AC BD AC BD
3.
TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Do đó S 42 AC BD2 2 42.629 2
cm2 Vậy maxS9 2cm2 khi AC BD 6 .cmVí dụ 5. Cho tam giác ABC A, 60 . Vẽ đường phân giác AD.
Chứng minh rằng: 1 1 3 AB AC AD Giải
Ta có
1 . .sin 300 1 . .1
2 2 2
SABD AB AD AB AD
1 1 1
. . sin 30 . . .
2 2 2
SACD AC AD AC AD 1 . .sin 60 1 . . 3
2 2 2
SABC AB AC AB AC
Mặt khác SABD SACDSABC nên 1 . .1 1 . .1 1 . . 3 2 AB AD 2 2 AC AD 2 2AB AC 2 Do đó AD AB AC
AB AC. 3Suy ra AB AC 3 hay 1 1 3. AB.AC AD AB AC AD
Nhận xét: Phưong pháp giải trong ví dụ này dựa trên quan hệ tổng diện tích các tam giác ABD và tam giác ACD bằng diện tích tam giác ABC.
Ví dụ 6. Tam giác ABC có mỗi cạnh đều nhỏ hơn 4cm. Chứng minh rằng tam giác này có diện tích nhỏ hơn 7cm2
Giải
Giả sử A B C , khi đó A 60 và 3 sinA 2 Diện tích tam giác ABC là:
21 1 3
. .sin .4.4. 4 3 6,92... 7 .
2 2 2
S AB AC A cm
Nhận xét: Do vai trò các góc A, B, C của tam giác ABC là như nhau nên ta có thể giả sử
,
A B C từ đó suy ra A 60 , dẫn tới 3 sinA 2
4.
TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
• Tính diện tích
Bài 1. Chứng minh rằng diện tích cùa hình bình hành bằng diện tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD AC a, và BAC
0 45 .
Chứng minh rằng diện tích của hình chữ nhật ABCD là 1 2sin 2 S 2a
Bài 3. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A và C, trên tia Oy lấy điểm B và D sao cho
, .
OA m OB n
OC OD Chứng minh rằng AOB .
COD
S m n S
Bài 4. Tam giác nhọn ABC có BC a CA b AB c , , . Gọi diện tích tam giác ABC là S. Chứng minh rằng
2 2 2
4cot . b c a
S A
Áp dụng với a39, 40, 41b c và A 45 . Tính S.
Bài 5. Cho góc xOy có số đo bằng 45 . Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA OB 8 .cm Tính diện tích lớn nhất của tam giác AOB.
Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M,N, P sao cho 1 ,
AM 4AB 1 , 1 .
3 2
BN BC CP CA Chứng minh rằng diện tích tam giác MNP nhỏ hơn 1 3 diện tích tam giác ABC.
Bài 7. Cho đoạn thẳng AB5 .cm Lấy điểm O nằm giữa A và B sao cho OA2 .cm Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Một góc vuông đỉnh O có hai cạnh cắt các tia Ax, By lần lượt tại D và E. Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác DOE.
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng DC và BC.
a) Chứng minh rằng KAH ABC,từ đó suy ra KH AC.sin ;B
b) Cho AB a BC b , và B 60 . Tính diện tích AHK và tứ giác AKCH.
• Chứng minh các hệ thức
Bài 9. Cho tam giác ABC AB AC A( ), 60 . Đường phân giác ngoài tại đỉnh A cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh rằng: 1 1 1
AB AC AN
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC
. Các đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác cắt đường thẳng BC tại M và N. Chứng minh rằng:a) 1 1 2
AM AN AB b) 1 1 2 AM AN AC
5.
TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 11. Cho tam giác ABC A, 90 .0 Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh rằng:
1 1 2cos2 AB AC AD
Bài 12. Cho góc xOy có số đo bằng 30 . Trên tia phân giác của góc đó lấy điểm A sao choOA a . Qua A vẽ một đường thẳng cắt Ox và Oy theo thứ tự tại B và C.
Tính giá trị của tổng 1 1 OB OC
Bài 13. Cho hình bình hành ABCD, góc nhọn giữa hai đường chéo bằng góc nhọn của hình bình hành. Chứng minh rằng độ dài hai đường chéo tỉ lệ với độ dài hai cạnh kề của hình bình hành.
• Tính số đo góc. Tính độ dài
Bài 14. Tam giác nhọn ABC có AB4, 6cm BC; 5,5 cm và có diện tích là 9, 69cm2. Tính số đo góc B (làm tròn đến độ).
Bài 15. Cho hình bình hành ABCD B, 90 . Biết AB4cm BC, 3cm và diện tích của hình bình hành là 6 3cm2. Tính số đo các góc của hình bình hành.
Bài 16. Cho tam giác ABC có diện tích S50cm2, 90 .A Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho ADE nhọn, có diện tích là 1 1
2 .
S S Chứng minh rằng
10 tan DE 2 cm
Bài 17. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết AB4, 7cm AC, 5,3 cm và A 72 . Tính độ dài AD (làm tròn đến hàng phần mười).
Bài 18. Cho tam giác ABC AB, 6 cm AC, 12 cm A, 120 . Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD.
Bài 19. Cho tam giác ABC AB, 5 cm BC, 7 cm CA, 8 cm. Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD.
Bài 20. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết 1 1 1
AB AC AD, tính số đo góc BAC.
HƯỚNG DẪN Bài 1. Xét hình bình hành ABCD D, 90 .
Vẽ đường cao AH.
Xét tam giác ADH vuông tại H, ta có:
.sin AH AD
6.
TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Diện tích hình bình hành ABCD là:
. . .sin .
S CD AH CD AD Vậy S AD DC. .sin .
Bài 2. Xét ABC vuông tại B có
cos cos ; sin sin
ABAC a BC AC a Diện tích hình chữ nhật ABCD là:
. cos . sin 2sin cos S AB BC a a a
2 2
1 1
.2sin cos sin 2
2a 2a
Bài 3. Tacó 1 . sin ; .1 sin .
2 2
AOB COD
S OA OB S OC OD
Do đó
1 . sin
2 . .
1 . sin
2
AOB COD
OA OB
S OA OB
S OC OD OC OD m n
Bài 4. Vì ABC nhọn nên theo định lí côsin ta có a2 b2c22 cosbc A
2 2 2
cos 2
b c a
A bc
Ta có
2 2 2 2 2 2
cot cos
sin 2 sin 4
A b c a b c a
A A bc A S
(vì 1
sin )
2
S bc A
Do đó
2 2 2
4cot b c a
S A
.
Áp dụng: Với a39, 40, 41b c và A 45 ta có:
2 2 2
0
40 41 39 4 cot 45 440
S (đvdt)
Bài 5. Ta đặt diện tích tam giác AOB là S.
Ta có 1 1
. sin . sin 45
2 2
S OA OB O OA OB
1 2 2
. . .
2OA OB 2 4 OA OB
Nhưng
2 2
. 8 16
2 2
OA OB
OA OB
7.
TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Do đó S 42.16 4 2
cm2 khi OA OB 4cmVậy maxS4 2cm2
Bài 6. Tacó 1 3
4 4 ;
AM ABBM AB
1 2
3 3 ;
1 1 .
2 2
BN BC CN BC
CP CA AP CA
Ta đặt SAMP S S1; ; BMN S S2 CNP S3 và SABC S Khi đó:
1
1 1 1 1 1 1 1
. sin . . .sin . . .sin
2 2 4 2 8 2 8
S AM AP A AB AC A AB AC A S
2
1 1 3 1 1 1 1
. sin . . .sin . . .sin
2 2 4 3 4 2 4
S BM BN B AB BC B BA BC B S
3
1 1 2 1 1 1 1
. sin . . . .sin . . .sin
2 2 3 2 3 2 3
S CN CP C CB CA C CB CA C S
Vậy 1 2 3 1 1 1 17 .
8 4 3 24
S S S S S Do đó 17 7
24 24
SMNP S S S
7 8 1
24 24 3 .
SMNP S S S
Cách giải khác: (không dùng tỉ số lượng giác) (h.5.10) Vẽ đoạn thẳng AN. Xét các tam giác NMB và NAB có 3
BM 4 AB và chung chiều cao vẽ từ 4
đỉnh N nên 2
3 . 1
4 NAB S S
Xét các tam giác ABN và ABC có 1
BN 3BC nên 1
2ABN 3
S S
Từ (1) và (2) suy ra 2 3 1 1 4 3. 4 S S S
Chứng minh tương tự ta được 3 1 ; 1 1
3 8
S S S S
8.
TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Do đó 1 1 1 7 8 1
8 4 3 24 24 3
SMNP S S S S S Bài 7. Ta có AOD BEO (cùng phụ với BOE). Ta đặt AOD thì BEO
Xét AOD vuông tại O, ta có: 2
cos cos OD OA
Xét BEO vuông tại B, ta có: 3
sin sin OE OB
Diện tích tam giác DOE là:
1 . 1. 2 . 3 6
*2 2 cos sin 2sin cos
S OD OE
Áp dụng bất đẳng thức x2y22xy ta được:
2 2
sin cos 2sin cos hay 12sinc so Thay vào (*) ta đươc: 6 6
2sin cos 1 S (dấu “=” xảy ra khi sin cos 45) Vậy minS 6cm2 khi 45
Nhận xét: Việc đặt AOD giúp ta tính được các cạnh góc vuông của DOE, từ đó tính được diện tích của tam giác này theo các tỉ số lượng giác của góc . Do đó việc tìm minS đưa về tìm
sin
max cos đơn giản hơn.
Bài 8. a) Ta có AB CD/ / mà AH CD nên AH AB.
• ADH và ABK có: H K 90 ;
D B (hai góc đối của hình bình hành).
Do đó ADH∽ABK(g.g).
Suy ra AD AH AB AK Do đó AK AH AH
AB AD BC (vì AD BC )
• KAH và ABC có KAH B (cùng phụ với BAK);
. AK AH AB BC
Do đó KAH ∽ABC (c.g.c).
9.
TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Suy ra KH AK AC AB
Xét ABK vuông tại K có sinB AK
AB Vậy KH sin
AC B hay KH AC.sinB
b) Diện tích tam giác ABC là 1 . .sin 1 .sin 60 3
2 2 4
S AB BC B ab ab (đvdt).
Vì SKAH∽SABC nên 2
sin
2 34
KAH ABC
S AK
S AB B
Suy ra 3 3 3 3 3
4 4 4 16
KAH ABC
ab ab
S S (đvdt)
Ta có 3
sin 60
ABCD 2
S ab ab (dvdt)
1 1
. .sin 60 . . cos 60 .sin 60
2 2
SABK BA BK BA BA
1 . . .1 3 2 3
2 2 2 8
a a a
(đvdt)
1 1
. .sin 60 . . cos 60 .sin 60
2 2
SADH DA DH DA DA
2 2
1 . .1 3 3
2 2 2 8
b b
(đvdt)
Mặt khác SAKCH SABCD SABK SADH
Nên AKCH 2 3 28 3 283 83
4 2 2
ab a b
S ab a b (đvdt)
Bài 9. Ta có NAx NAB
180060 : 2 600
01 . .sin 60 2
1 . .sin 60 2
1 . .sin 60 2
ANC
ANB
ABC
S AN AC
S AN AB S AB AC
Vì SANCSANB SABC
10.
TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
nên 1 1 1
. .sin 60 . .sin 60 . .sin 60 2AN AC 2AN AB 2 AB AC Do đó AN AC AB
AB AC.Suy ra 1
. AC AB
AB AC AN
hay 1 1 1
AB AC AN
5.10. a) AM, AN là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên AM AN.
1 0 1
. .sin 45 .
2 .
2
2
ABM 2
S AB AM AB AM ;
1 . .sin 450 1 .
2 .
2
2
ABN 2
S AB AN AB AN ;
1 .
AMN 2
S AM AN (vì AMN vuông tại A).
Mặt khác, SABM SABN SAMN nên:
1 1 1
. . .
2 2 2
2 2
. .
2 2
AB AM AB AN AM AN
Do đó
. 2 . .AB AM AN 2 AM AN 1
. 2
. 2
AM AN AM A N AB
hay 1 + 1 2
AM AN AB ;
b) Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AN, AC là 45 .
Ta có 1 1 2
. .sin 45 . . ;
2 2 2
SANC AC AN AC AN
1 1 2
. .sin 45 . . ;
2 2 2
SAMC AC AM AC AM
1 .
AMN 2
S AM AN (vì AMN vuông tại A).
Mặt khác, SANCSAMC SAMN nên 1 2 1 2 1
. . . .
2AC AN 2 2AC AM 2 2AM AN
Do đó
. 2 . 2
AC AN AM AM AN
Suy ra 1
. 2 .
2
AN AM
AM AN AC hay 1 1 2
AM AN- AC
11.
TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 11.
• Trường hợp góc A nhọn
Ra đặt A Ta có 1
. .sin
2 2
SABD AB AD
1 . .sin ; 1 . .sin
2 2 2
ACD ABC
S AC AD S AB AC Mặt khác, SABDSACDSABC nên
1 . .sin 1 . .sin 1 . .sin
2AB AD 2 2AC AD 2 2AB AC Suy ra . .sin . .sin . .2.sin cos
2 2 2 2
AB AD AC AD AB AC
(vì sin 2sin cos )
2 2
Do đó
. .2.cosAD AB AC AB AC 2
Suy ra
2.cos 2 .
AB AC
AB AC AD
dẫn tới
2.cos
1 1 2
AB AC AD
• Trường hợp góc A tù
Ta đặt BAC thì BAx180 . Khi đó BAx là góc nhọn.
Ta có SABDSACD SABC
Do đó 1 . .sin 1 . .sin 1 . .sin 180
2 AB AD 2 2 AC AD 2 2AB AC
1 180 180 1
. .2.sin cos . .2.sin 90 cos 90
2 2 2 2 2 2
1 . .2.cos sin
2 2 2
AB AC AB AC
AB AC
Suy ra
. .2.cosAD AB AC AB AC 2
Do đó
2.cos 2 .
AB AC
AB AC AD
hay
2.cos
1 1 2
AB AC AD
12.
TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Nhận xét: Nếu A 90 thì ta chứng minh được 1 1 2
AB AC AD, vẫn phù hợp với kết luận của bài toán.
Bài 12.
Ta có 1 0
. .sin15
AOB 2
S OA OB 1 . .sin150
AOC 2
S OA OC 1 0
. .sin 30
BOC 2
S OB OC Mặt khác, SAOBSAOC SBOC
nên 1 1 1
. .sin15 . .sin15 . .2sin15 cos15 2OA OB 2OA OC 2OB OC Do đó OA OB OC
2OB OC. cos15 .Suy ra 2 cos15 .
OB OC
OB OC OA
hay 1 1 2
6 2
6 2.4 2
OB OC a a
Bài 13. Gọi O là giao điểm hai đường chéo.
Ta đặt OC OA x OD OB , , y AD m CD n , . Giả sử AOD ADC 90 .
Xét OCD có AOD là góc ngoài nên
2 C1 OD
D A Mặt khác
2 C1 A C .
D D Suy ra
1 1
C D
Ta có
1 1
1 . sin ; 1 . sin
2 2
ADO DCO
S m y D S n x C Mặt khác SADO SDCO nên m y n x. . .
Do đó 2
2
x m x m
y n y n hay AC AD
BD DC Bài 14. Ta có 1
. sin S 2AB BC B 2 2.9, 69 0
sin sin 50
. 4, 6.5,5 B S
AB BC
13.
TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Vậy B 50 .
Bài 15. Ta có SAB AC. .sinB
6 3 3
sin sin 60
. 4.3 2
S
B AB BC
Vậy B 60 D 60 ; 120 .A C Bài 16. Ta đặt ADx AE, . y
Khi đó diện tích ADE là 1 1 . sin ; S 2 x y
2 1
1 25
S 2S cm Ta có DE2x2y22 cosxy
Mặt khác x2y22xy (dấu “=” xảy ra khi x y).
Do đó DE2 2xy2 cosxy 2xy
1 cos
1
100.2sin22 sin 1 cos 4 1 cos 2 100 tan
sin sin 2sin cos 2
2 2
xy S
Vậy tan tan
2 2
100 10
DE
Bài 17. Ta có
2 cos
1 A 2
AB AC AD
(bài 5.11)
Do đó
0 0
1 1 2cos 36 10 2cos36
4,7 5,3 AD 4,7.5,3 AD Suy ra 4, 7.5,3.2.cos 360
10 4, 0
AD cm
Bài 18. Ta có
2 cos
1 A 2
AB AC AD
14.
TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Do đó 1 1 2cos 600 1 1 4
6 12 4 AD cm
AD AD
Bài 19. Vì cạnh CA là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất trong .
ABC
Ta thấy AC2AB2BC2 (vì 825272) nên góc B là góc nhọn, do dó ABC là tam giác nhọn.
Theo định lí côsin ta có:
2 2 2 2 cos 72 52 82 2.5.8cos BC AB AC bc A A
Do đó 1 0
cos 60
A 2 A Ta có:
1 A 2 cos 300
AB AC AD
2. 3
1 1 2 13 3 40 3
5 8 40 AD 13 cm
AD AD
Bài 20. Ta đặt BAC. Ta có
2 cos
1 1 2
AB AC AD
Mặt khác 1 1 1 AB AC AD
Suy ra
2 cos2 1 . AD AD
Do đó 1 0
2 cos 1 cos cos 60
2 2 2
Do đó cos 600 1200 2
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Toán Học Sơ Đồ‐‐‐‐‐‐‐‐‐