UBND TỈNH LAI CHÂU
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 9/4/2017
Câu 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức: P =
( )
( )
2
2
2 4 8 32 : 1 2
2 8 2
1 3
+ +
− + −
+ + − − +
x x x
x x x x
x
a) Rút gọn P;
b) Tính giá trị của P với x= −9 4 5;
c) Tìm các giá trị chính phương của x để P có giá trị nguyên.
Câu 2: (4,0 điểm)
2.1. Chứng minh với mọi n là số tự nhiên chẵn thì 20n + 16n - 3n - 1 323 2.2. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0 Câu 3: (4,0 điểm)
3.1. Cho phương trình: x2 - (m + 5)x + 3m + 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
3.2. Giải hệ phương trình sau: 2 22 6 22
1 5
+ =
+ =
y xy x x y x Câu 4: (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O). Qua điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N là hai tiếp điểm) và cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm giữa A và C). Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: A, M, O, I, N thuộc một đường tròn;
b) Chứng minh: IA là tia phân giác của MIN;
c) Vẽ dây CD song song MN, H là giao điểm của BD và MN. Chứng minh: HM = HN.
Câu 5: (2,0 điểm) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 12 + 12 + 12 + 1 + 1 + 1 x y z xy yz xz ---Hết---
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ THI SỐ 1
(Đề thi có 01 trang)
UBND TỈNH LAI CHÂU
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: /4/2017
Người ra đề: Chung HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Ý Đáp án Thang
điểm
Câu 1 (4 điểm)
a
ĐKXĐ của P là : x > 0 và x
≠ 4
0,25Đặt: A = ( 4 4) 4 8 32
2 1 3 2 (2 )(4 2 )
x x x x
x x x x x x
+ + − + +
+ + + − − + +
( 4 4 )(2 ) 4( 2 4) 8 32
(2 )( 2 4)
x x x x x x x x
x x x
+ + − − + + + +
= − + +
0,5
3 2 3
2( ) 8 8 4( ) 4 4 8 16 8 32
(2 )( 2 4)
x x x x x x x x x
x x x
+ + − − − − − − + +
= − + +
0,25
3 2 3
2( ) 8 16 ( ) (2 ) 8( 2)
(2 )( 2 4) (2 )( 2 4)
x x x x x x
x x x x x x
− − + + − + + +
= =
− + + − + +
0,25 (2 ) 8 ( )3
(2 )(4 2 ) 2
x x
x x x x
+ −
= = +
− + + 0,25
Vậy: P =
(2 )2
(2 ) : 2
x x
x x x
+ = +
+ (x > 0 và
x ≠ 4
) 0,5b
Thay x = −9 4 5 vào P ta được : P =
(2 5 2)2 5 5( 5 2) 5 5 10 5 2 5 2 5 4
+ − −
= = = −
− − −
0,5
c
Ta có: P =
(2 x)2
x
+ 4 4 x x 4 4 x
x x
+ +
= = + + 0,5
P ∈ Z ⇔ 4
x ∈ Z và x Z∈ 0,25
⇔ x∈Ư (4)
⇔ x ∈ ± ± ± { 1, 2, 4 }
và x Z∈ 0,25⇔ x = 1 hoặc x = 16 thì P có giá trị nguyên. 0,5 Ta thấy 323 = 17.19 mà (17; 19) = 1 ta chứng minh
Xét B =20 16 3 1n + n − n − 17 và B 19 0,5 HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI SỐ 1
(Gồm: 05 trang)
Câu 2 (4 điểm)
2.1
ta có B = (20n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M = 17M 17 16n - 1 = (16 + 1)N = 17N 17 ( n chẵn)
⇒ B 17 (1)
0,5
ta có: B = (20n - 1) + (16n - 3n) có 20n - 1 = (20 - 1)P = 19P 19
có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q 19 ( n chẵn)
⇒ B 19 (2)
0,5
Từ (1) và (2) ⇒ B 323 0,5
2.2
2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0
⇔(2x + y + 1)(x + y + 1) = -1 0,5
⇒ 2x + y + 1 và x + y + 1 là các ước của -1 0,25 TH1:
−
= + +
= + +
1 1
1 1 2
y x
y
x 2
4 x y
=
⇒ = −
0,5
TH2:
= + +
−
= + +
1 1
1 1 2
y x
y
x x = -2
y = 2
⇒
0,5
Kết luận (x,y) ∈{(2; - 4), (-2; 2)} 0,25
(4điểm) 3
3.1
Phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh của
tam giác ⇒ Phương trình phải có hai nghiệm dương 0,25
2 2
( 5) 4(3 6) 0 ( 1) 0
5 0 5 2
3 6 0 2
+ − + ≥ − ≥
⇔ + > ⇔ > − ⇔ > −
+ > > −
m m m
m m m
m m
0,75 - Vì x1, x2 là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh
huyền bằng 5 nên: x12 +x22 =25⇔(x x1+ 2) 22 − x x1 2 =25 0,25
- Áp dụng định lí Vi-et ta được: 0,5
(m + 5)2 - 2(3m + 6) = 25 ⇔ m2 + 4m - 12 = 0
⇔m = -6(loại); m = 2(thỏa mãn). Vậy m = 2. 0,25
3.2
- Nếu x = 0 0
1 0
=
⇒ =
y (vô lí)
0,25 - Vậy x 0≠ , khi đó chia hai vế của từng phương trình của
hệ với x2 ta được:
2 2
2 2 2
. .1 1 6 6
1 5 1 2. .1 5
+ = + =
⇔
+ = + − =
y y y y
x x x x
y y y
x x x
0,25
Đặt:
1 1 .
= +
=
S y
x
P y
x
(ĐK: S2 ≥ 4P) khi đó: .2 6
2 5
=
− =
S P
S P 0,25
⇔ .3 6 . 6 2
5 12 0 ( 3)( 3 4) 0
= =
⇔
− − = − + + =
S P S P
S S S S S 0,25
TH1: . 6 3
3 0 2
= =
− = ⇔ =
S P S
S P
⇒ 1
x và y là nghiệm của phương trình: X2 - 3X + 2 = 0
0,25
1 2
X 1, X 2
⇔ = = 1,1 , 12
2
= =
⇒ = =
x y
x y 0,25
TH2: 2.P 6
S 3 4 0
=
+ + =
S
S (Vô nghiệm) 0,25
Vậy (x, y) ∈ {(1; 2), (1
2; 1)}. 0,25
(6điểm) 6
Vẽ hình đúng, khoa học
0,5
a
- Vì AMO ANO 90 = = 0(tính chất tiếp tuyến)
0 AMO ANO 180
⇒ + = ⇒AMON nội tiếp đường tròn
đường kính AO (1)
0,5 - Vì I là trung điểm của BC ⇒ OI⊥ BC ⇒OIA 90 = 0
0 AMO AIO 180
⇒ + = ⇒AMOI nội tiếp đường tròn
đường kính AO (2)
0,5 - Từ (1) và (2) ⇒ A, M, O, I, N thuộc đường tròn đường
kính AO 0,5
b
- Vì AMOI nội tiếp ⇒AIM AOM = (cùng chắn cung AM) 0,5 - AOM AON = (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) 0,5 - Vì AOIN nội tiếp ⇒AON AIN = (cùng chắn cung AN) 0,5
AIM AIN
⇒ = hay IA là tia phân giác của MIN 0,5 c - Vì MN//CD ⇒MBD NBC = mà BMH BCN = (cùng 0,5
H I
O
D
C B
N M
A
chắn BN)⇒∆BHM # ∆BNC(g.g) ⇒ HB NB
HM NC= (3) - Vì MN//CD ⇒ NBH CBM= mà BNH BCM = (cùng chắn BM ⇒∆BNH #∆BCM(g.g) ⇒ HB MB
HN MC= (4) 0,5 - Vì ∆ABN #∆ANC (g.g) NB AB
NC AN
⇒ = 0,25
- Vì ∆ABM #∆AMC (g.g) MB AB MC AM
⇒ = 0,25
mà AM = AN(t/c hai tiếp tiến cắt nhau) ⇒ NB MB
NC MC= (5) 0,25 - Từ (3), (4), (5) ⇒ HB HB
HM HN= ⇒ HM = HN 0,25
Câu 5 (2 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức: 1 1 1+ + 9 A B C A + B + C≥
(với A, B, C > 0) 0,25
Với x, y, z > 0 ta có: 1 + +1 1 9 xy yz zx xy + yz + zx≥
⇒ 2 12 2 + 9 x + y + z xy + yz + zx
Q≥ 0,25
2 2 2
1 1 1 7
( + + )+
x + y + z xy + yz + zx xy + yz + zx xy + yz + zx Q≥
2 2 2 9 + 7
x + y + z +2xy + 2yz + 2zx xy + yz + zx
≥ 0,5
= 9 2+ 7 9 2+ 21 2 30
(x + y + z) xy + yz + zx (x + y + z) (x + y + z)≥ ≥ (Do 3(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z)2 và x + y + z = 1)
0,5
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi và x = y = z =1 3 Vậy Qmin = 30⇔ = = =1
x y z 3
0,5
Lưu ý:
- Điểm bài thi là tổng điểm của các câu thành phần. Thang điểm toàn bài là 20 điểm, không được làm tròn (điểm lẻ từng ý trong một câu nhỏ nhất là 0,25).
- Thí sinh làm bài bằng cách khác, lập luận chặt chẽ, logic, ra kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.
---Hết---
