Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2016 - 2017 sở GD&ĐT Lai Châu - THCS.TOANMATH.com

Tải về (0)

Văn bản

(1)

UBND TỈNH LAI CHÂU

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 9/4/2017

Câu 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức: P =

( )

( )

2

2

2 4 8 32 : 1 2

2 8 2

1 3

 + +   

 − +   − 

 + + − −   + 

 

 

x x x

x x x x

x

a) Rút gọn P;

b) Tính giá trị của P với x= −9 4 5;

c) Tìm các giá trị chính phương của x để P có giá trị nguyên.

Câu 2: (4,0 điểm)

2.1. Chứng minh với mọi n là số tự nhiên chẵn thì 20n + 16n - 3n - 1  323 2.2. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0 Câu 3: (4,0 điểm)

3.1. Cho phương trình: x2 - (m + 5)x + 3m + 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.

3.2. Giải hệ phương trình sau: 2 22 6 22

1 5

 + =



+ =



y xy x x y x Câu 4: (6,0 điểm)

Cho đường tròn (O). Qua điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N là hai tiếp điểm) và cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm giữa A và C). Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh: A, M, O, I, N thuộc một đường tròn;

b) Chứng minh: IA là tia phân giác của MIN;

c) Vẽ dây CD song song MN, H là giao điểm của BD và MN. Chứng minh: HM = HN.

Câu 5: (2,0 điểm) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 12 + 12 + 12 + 1 + 1 + 1 x y z xy yz xz ---Hết---

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ THI SỐ 1

(Đề thi có 01 trang)

(2)

UBND TỈNH LAI CHÂU

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017

Môn: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: /4/2017

Người ra đề: Chung HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Ý Đáp án Thang

điểm

Câu 1 (4 điểm)

a

ĐKXĐ của P là : x > 0 và x

≠ 4

0,25

Đặt: A = ( 4 4) 4 8 32

2 1 3 2 (2 )(4 2 )

x x x x

x x x x x x

+ + − + +

+ + + − − + +

( 4 4 )(2 ) 4( 2 4) 8 32

(2 )( 2 4)

x x x x x x x x

x x x

+ + − − + + + +

= − + +

0,5

3 2 3

2( ) 8 8 4( ) 4 4 8 16 8 32

(2 )( 2 4)

x x x x x x x x x

x x x

+ + + +

= + +

0,25

3 2 3

2( ) 8 16 ( ) (2 ) 8( 2)

(2 )( 2 4) (2 )( 2 4)

x x x x x x

x x x x x x

− − + + − + + +

= =

− + + − + +

0,25 (2 ) 8 ( )3

(2 )(4 2 ) 2

x x

x x x x

 

+  − 

= = +

− + + 0,25

Vậy: P =

(2 )2

(2 ) : 2

x x

x x x

+ = +

+ (x > 0 và

x ≠ 4

) 0,5

b

Thay x = −9 4 5 vào P ta được : P =

(2 5 2)2 5 5( 5 2) 5 5 10 5 2 5 2 5 4

+ − −

= = = −

− − −

0,5

c

Ta có: P =

(2 x)2

x

+ 4 4 x x 4 4 x

x x

+ +

= = + + 0,5

P ∈ Z ⇔ 4

x Z và x Z∈ 0,25

x∈Ư (4)

x ∈ ± ± ± { 1, 2, 4 }

x Z∈ 0,25

⇔ x = 1 hoặc x = 16 thì P có giá trị nguyên. 0,5 Ta thấy 323 = 17.19 mà (17; 19) = 1 ta chứng minh

Xét B =20 16 3 1n + nn −  17 và B  19 0,5 HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI SỐ 1

(Gồm: 05 trang)

(3)

Câu 2 (4 điểm)

2.1

ta có B = (20n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M = 17M  17 16n - 1 = (16 + 1)N = 17N  17 ( n chẵn)

⇒ B  17 (1)

0,5

ta có: B = (20n - 1) + (16n - 3n) có 20n - 1 = (20 - 1)P = 19P  19

có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q  19 ( n chẵn)

⇒ B  19 (2)

0,5

Từ (1) và (2) ⇒ B  323 0,5

2.2

2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0

(2x + y + 1)(x + y + 1) = -1 0,5

2x + y + 1 và x + y + 1 là các ước của -1 0,25 TH1:



= + +

= + +

1 1

1 1 2

y x

y

x 2

4 x y

 =

⇒  = −

0,5

TH2:



= + +

= + +

1 1

1 1 2

y x

y

x x = -2

y = 2

⇒ 

0,5

Kết luận (x,y) ∈{(2; - 4), (-2; 2)} 0,25

(4điểm) 3

3.1

Phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh của

tam giác ⇒ Phương trình phải có hai nghiệm dương 0,25

2 2

( 5) 4(3 6) 0 ( 1) 0

5 0 5 2

3 6 0 2

 + − + ≥  − ≥

 

⇔ + > ⇔ > − ⇔ > −

 + >  > −

 

m m m

m m m

m m

0,75 - Vì x1, x2 là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh

huyền bằng 5 nên: x12 +x22 =25⇔(x x1+ 2) 22x x1 2 =25 0,25

- Áp dụng định lí Vi-et ta được: 0,5

(m + 5)2 - 2(3m + 6) = 25 ⇔ m2 + 4m - 12 = 0

m = -6(loại); m = 2(thỏa mãn). Vậy m = 2. 0,25

3.2

- Nếu x = 0 0

1 0

 =

⇒  =

y (vô lí)

0,25 - Vậy x 0≠ , khi đó chia hai vế của từng phương trình của

hệ với x2 ta được:

2 2

2 2 2

. .1 1 6 6

1 5 1 2. .1 5

  

 + =   + =

  

 ⇔

 

 

 + =  +  − =

 

  

y y y y

x x x x

y y y

x x x

0,25

(4)

Đặt:

1 1 .

 = +



 =

S y

x

P y

x

(ĐK: S2 ≥ 4P) khi đó: .2 6

2 5

 =

 − =

S P

S P 0,25

.3 6 . 6 2

5 12 0 ( 3)( 3 4) 0

= =

 

 ⇔

− − = − + + =

 

S P S P

S S S S S 0,25

TH1: . 6 3

3 0 2

= =

 

 − = ⇔ =

 

S P S

S P

⇒ 1

x và y là nghiệm của phương trình: X2 - 3X + 2 = 0

0,25

1 2

X 1, X 2

⇔ = = 1,1 , 12

2

= =



⇒ = =

x y

x y 0,25

TH2: 2.P 6

S 3 4 0

 =

 + + =

S

S (Vô nghiệm) 0,25

Vậy (x, y) ∈ {(1; 2), (1

2; 1)}. 0,25

(6điểm) 6

Vẽ hình đúng, khoa học

0,5

a

- Vì AMO ANO 90 = = 0(tính chất tiếp tuyến)

  0 AMO ANO 180

⇒ + = ⇒AMON nội tiếp đường tròn

đường kính AO (1)

0,5 - Vì I là trung điểm của BC ⇒ OI⊥ BC ⇒OIA 90 = 0

  0 AMO AIO 180

⇒ + = ⇒AMOI nội tiếp đường tròn

đường kính AO (2)

0,5 - Từ (1) và (2) ⇒ A, M, O, I, N thuộc đường tròn đường

kính AO 0,5

b

- Vì AMOI nội tiếp ⇒AIM AOM = (cùng chắn cung AM) 0,5 - AOM AON = (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) 0,5 - Vì AOIN nội tiếp ⇒AON AIN = (cùng chắn cung AN) 0,5

AIM AIN 

⇒ = hay IA là tia phân giác của MIN 0,5 c - Vì MN//CD ⇒MBD NBC = mà BMH BCN = (cùng 0,5

H I

O

D

C B

N M

A

(5)

chắn BN)⇒∆BHM # ∆BNC(g.g) ⇒ HB NB

HM NC= (3) - Vì MN//CD ⇒  NBH CBM= mà BNH BCM = (cùng chắn BM ⇒∆BNH #∆BCM(g.g) ⇒ HB MB

HN MC= (4) 0,5 - Vì ∆ABN #∆ANC (g.g) NB AB

NC AN

⇒ = 0,25

- Vì ∆ABM #∆AMC (g.g) MB AB MC AM

⇒ = 0,25

mà AM = AN(t/c hai tiếp tiến cắt nhau) ⇒ NB MB

NC MC= (5) 0,25 - Từ (3), (4), (5) ⇒ HB HB

HM HN= ⇒ HM = HN 0,25

Câu 5 (2 điểm)

Áp dụng bất đẳng thức: 1 1 1+ + 9 A B C A + B + C

(với A, B, C > 0) 0,25

Với x, y, z > 0 ta có: 1 + +1 1 9 xy yz zx xy + yz + zx≥

2 12 2 + 9 x + y + z xy + yz + zx

Q≥ 0,25

2 2 2

1 1 1 7

( + + )+

x + y + z xy + yz + zx xy + yz + zx xy + yz + zx Q

2 2 2 9 + 7

x + y + z +2xy + 2yz + 2zx xy + yz + zx

≥ 0,5

= 9 2+ 7 9 2+ 21 2 30

(x + y + z) xy + yz + zx (x + y + z) (x + y + z)≥ ≥ (Do 3(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z)2 và x + y + z = 1)

0,5

Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi và x = y = z =1 3 Vậy Qmin = 30⇔ = = =1

x y z 3

0,5

Lưu ý:

- Điểm bài thi là tổng điểm của các câu thành phần. Thang điểm toàn bài là 20 điểm, không được làm tròn (điểm lẻ từng ý trong một câu nhỏ nhất là 0,25).

- Thí sinh làm bài bằng cách khác, lập luận chặt chẽ, logic, ra kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.

---Hết---

Hình ảnh

Đang cập nhật...

Tài liệu tham khảo

Chủ đề liên quan :

Tải tài liệu ngay bằng cách
quét QR code trên app 1PDF

Tải app 1PDF tại