Toán 11 Bài 3: Phép đối xứng trục | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 11

(1)

Bài 3: Phép đối xứng trục

Hoạt động 1 trang 9 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình thoi ABCD (h.1.12).

Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC.

Lời giải:

Qua phép đối xứng trục AC Ảnh của A là A

Ảnh của B là D Ảnh của C là C Ảnh của D là B

Hoạt động 2 trang 9 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh nhận xét 2.

Lời giải:

M'=Đ (M)d nghĩa là phép biến hình này biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó hoặc biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

d d

M d M'=Đ (M) M M Đ (M')=

M d M'=Đ (M)d thì d là đường trung trực của MM’

Suy ra M 'dvà phép biến hình biến mỗi điểm M’ thành M sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng M’M

Suy ra M=Đ (M')_d .

Hoạt động 3 trang 9 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(0; -5) qua phép đối xứng qua trục Ox.

Lời giải:

Gọi A’(a, b) là ảnh của A(1; 2) qua phép đối xứng trục qua trục Ox

(2)

Suy ra a 1

b 2

 =

 = −



Gọi B’(c, d) là ảnh của B(0; -5) qua phép đối xứng trục qua trục Ox Suy ra c 0

d 5

 =

 =

Vậy ảnh của A và B là: A’(1; -2), B’(0; 5)

Hoạt động 4 trang 10 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm ảnh của các điểm A(1;

2), B(5; 0) qua phép đối xứng trục Oy.

Lời giải:

Gọi A’(a, b) là ảnh của A(1; 2) qua phép đối xứng trục qua trục Oy.

Suy ra a 1 b 2

 = −

 =

Gọi B’(c, d) là ảnh của B(5; 0) qua phép đối xứng trục qua trục Oy.

Suy ra c 5 d 0

 = −

 =

Vậy ảnh của A và B là: A’(-1; 2), B’(-5; 0)

(3)

Hoạt động 5 trang 10 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với trục đối xứng, rồi dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox để chứng minh tính chất 1.

Lời giải:

Gọi A’(xA; yA), B’(xB; yB)

Xét phép đối xứng qua trục Ox thì A, B biến thành A’(xA; -yA), B’(xB; -yB) Khi đó:

(

B A

) (

² B A

)

²

AB= x −x + y −y

(

B A

) (

² B A

)

²

A B' '= x −x + − +y y =

(

xB−xA

) (

² + yB −yA

)

² =AB Suy ra A’B’ = AB (điều phải chứng minh)

Chú ý: Trực quan các em có thể lấy hai điểm A, B cụ thể như sau:

Lấy ảnh A', B' của hai điểm A(1; 2) và B(2; 3) qua phép đối xứng trục Ox

(4)

Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox, ta có:

A'(1; -2), B'(2; -3)

Ta có: ^AB⁼

(

^{2 1}⁻

) (

² ^{+ −}^{3 2}

)

² ⁼ ^{1 1}^{+ =} ²

( )

²

( ( ) )

²

A B  = 2 1− + − − −3 2 = 1 1+ = 2

A'B' = AB

Hoạt động 6 trang 11 SGK Toán lớp 11 Hình học:

a) Trong những chữ cái dưới đây, chữ nào là hình có trục đối xứng?

H A L O N G

b) Tìm một số hình tứ giác có trục đối xứng Lời giải:

a) Các chữ cái có trục đối xứng là: H; A; O.

b) Một số hình tứ giác có trục đối xứng là: Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình thang cân.

(5)

B. Bài tập

Bài tập 1 trang 11 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox.

Lời giải:

Gọi A', B' là ảnh của A, B qua phép đối xứng qua trục Ox.

Ta có:

'

A A

x ' x 1

y y ( 2) 2

= =

 = − = − − =



Suy ra A’(1; 2) Ta có:

'

B' B

B B

x x 3

y y 1

= =

 = − = −



Suy ra B’(3; -1)

Vậy ảnh của A, B là: A’(1; 2), B’(3; -1).

Ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox là đường thẳng A'B'.

Ta có: A B' '=(2; 3)− n_A_'_B_' =(3;2) là vectơ pháp tuyến của A'B'.

A'B' đi qua A'(1; 2) nên có phương trình: 3(x – 1) + 2(y – 2) = 0 hay 3x + 2y – 7 = 0

Vậy ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox có phương trình: 3x + 2y – 7 = 0.

Bài tập 2 trang 11 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x – y + 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.

Lời giải:

Cách 1:

Cho x = 0 suy ra y = 2 Cho x = -1 suy ra y = -1

Do đó ta được hai điểm A(0; 2) và B(-1; -1) thuộc d.

Gọi A’ = ĐOy(A) ^A ^A

A '

x x 0

y y 2

= − =

  = = Suy ra A(0; 2)

(6)

Gọi B’ = ĐOy(B)

'

B B

x ' x 1

y y 1

= − =

  = = − Suy ra B’ (1; -1)

Khi đó ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Oy là đường thẳng A'B'.

Ta có: A B' '= − (1; 3) n_A_'_B_' =(3;1) là vectơ pháp tuyến của A'B'.

Mà A’B’ đi qua A'(0; 2) nên có phương trình: 3(x – 0) + 1.(y – 2) = 0 hay 3x + y – 2 = 0

Vậy phương trình của đường thẳng d’ là 3x + y – 2 = 0 Cách 2:

Gọi M(x; y) bất kì thuộc d, M′(x′, y′) là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng trục Oy nên M’ thuộc d’.

Khi đó x ' x x x '

y' y y y'

= − = −

 

 =  =

 

Ta có M thuộc d nên 3x – y + 2 = 0 suy ra −3x′ − y′ + 2 = 0 Vậy M′ thuộc đường thẳng d′ có phương trình 3x + y – 2 = 0.

Bài tập 3 trang 11 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong các chữ cái sau, chữ nào là hình có trục đối xứng?

Lời giải:

W, V, E, T, A, M: Mỗi chữ cái là một hình có trục đối xứng.

Chữ I có hai trục đối xứng.

Chữ O có vô số trục đối xứng là các đường thẳng đi qua tâm.

Chữ N là hình không có trục đối xứng.

(7)