SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 9

Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Bài 1 trang 102 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

Lời giải:

a)

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới đây:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

2 2 2 2 2

BC =AC +AB =5 +7 =74

BC 74

 = hay x+ =y 74 (1)

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

AB2 =BH.BC 52 x. 74

 =

52 25

x 74 74

 = = (2)

Từ (1) và (2) ta có: 25 49

y 74 x 74

74 74

= − = − =

Vậy 25

x = 74 , 49 y= 74 . b)

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới đây:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

AC2 =CH.BC 142 y.16

 =

142 196

y 12, 25

16 16

 = = =

Mà BC = x + y = 16  x = 16 – y = 16 – 12,25 = 3,75 Vậy x = 3,75 và y = 12,25

Bài 2 trang 102 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

Lời giải:

a)

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới đây:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH BC = 2 + 6 = 8

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

AB2 =BH.BC x2 2.8 16

 = =

x 16 4

 = = AC2 =CH.BC

y2 6.8 48

 = = y 48 4 3

 = =

Vậy x = 4 và y=4 3 b)

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới đây:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:

AH2 =CH.BH x2 2.8 16

 = =

x 16 4

 = = Vậy x = 4

Bài 3 trang 103 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

Lời giải:

a)

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới đây:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có:

2 2 2

BC =AB +AC

2 2 2

y 7 9 130

 = + = y 130

 =

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

AH.BC=AB.AC x.y 7.9

 =

x. 130 63

 =

x 63

 = 130

Vậy y= 130 và 63 x = 130 b)

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới đây:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

AH2 =BH.CH 52 x.x

 =

2 2

x 5

 =

x 52 5

 = =

Có BC = x + x = 5 + 5 = 10

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AC2 =CH.BC y2 x.BC

 =

y2 5.10 50

 = =

y 50 5 2

 = =

Vậy x = 5 và y=5 2

Bài 4 trang 103 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

Lời giải:

a)

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới đây:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

AH2 =BH.CH 32 2.x

 = 32

x 4,5

 = 2 =

Có BC = 2 + x = 2 + 4,5 = 6,5

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AC2 =CH.BC y2 x.BC

 =

y2 4,5.6,5 29,25

 = =

y 29, 25 3 13

 = = 2

Vậy x = 4,5 và 3 13 y= 2 b)

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới đây:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Theo hình ta có: AB 3 AB AC 4 4

AC AB .15 20

AC = 4 3 = 4  = 3 = 3 =

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

2 2 2

BC =AB +AC

2 2 2

y 15 20 625

 = + =

y 625 25

 = =

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

AH.BC=AB.AC x.y 15.20

 =

15.20 15.20

x 12

y 25

 = = =

Vậy x = 12 và y = 25

Bài 5 trang 103 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (h.5).

Giải bài toán trong mỗi tường hợp sau:

a) Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH.

b) Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH.

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

2 2

2 AH 16

AH BH.CH CH 10, 24

BH 25

=  = = =

BC = BH + CH = 25 + 10,24 = 35,24

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB2 =BH.BC=25.35, 24=881 AB 881 29,68

 = 

AC2 =CH.BC 10, 24.35, 24= =360,8576 AC 360,8576 19

 = 

b)

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

2 2

2 AB 12

AB BH.BC BC 24

BH 6

=  = = =

CH = BC – BH = 24 – 6 = 18

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AC2 =CH.BC 18.24= =432

AC 432 12 3

 = =

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông, ta có:

AH2 =BH.CH=6.18 108=

AH 108 6 3

 = =

Bài 6 trang 103 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH AB = 5, AC = 7

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

2 2 2 2 2

BC =AB +AC =5 +7 =74

BC 74

 =

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

AB.AC 5.7 35

AH.BC AB.AC AH

BC 74 74

=  = = =

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

2 2

2 AB 5 25

AB BH.BC BH

BC 74 74

=  = = =

25 49

CH BC BH 74

74 74

= − = − =

Bài 7 trang 103 SBT Toán lớp 9 tập 1: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH BH = 3, CH = 4

BC = BH + CH = 3 + 4 = 7

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB2 =BH.BC=3.7=21

AB 21

 =

AC2 =CH.BC=4.7=28

AC 28 2 7

 = =

Bài 8 trang 103 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A Theo đề bài ta có:

BC – AB = 1 (cm) (1) BC = AB + 1 AB + AC – BC = 4 (cm) (2)

Từ (1) và (2) ta có: BC – AB + AB + AC – BC = 1 + 4

AC = 5 (cm)

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

2 2 2

BC =AB +AC

2 2 2

(AB 1) AB AC

 + = +

2 2 2

AB 2AB 1 AB AC

 + + = +

2 2

2AB AC 1 5 1 24

 = − = − = AB 24 12

 = 2 = (cm)

 BC = AB + 1 = 12 + 1 = 13 (cm)

Bài 9 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông

này.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH BC = 5, AH = 2

Giả sử BH < CH  AB < AC Có: BH + CH = 5  BH = 5 – CH

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và các hình chiếu cạnh góc vuông trong tam giác vuông, ta có:

AH2 =BH.CH

AH2 (5 CH).CH

 = −

22 (5 CH).CH

 = − 4 5CH CH2

 = −

CH2 5CH 4 0

 − + =

CH2 CH 4CH 4 0

 − − + =

(CH2 CH) (4CH 4) 0

 − − − =

CH(CH 1) 4(CH 1) 0

 − − − =

(CH 4)(CH 1) 0

 − − =

CH 4 0 CH 4 CH 1 0 CH 1

− = =

 

 − =  =

Do BH < CH nên CH = 4 và BH = 1

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB2 =BH.BC 1.5= =5

AB 5

 =

Do BH < CH  AB < AC nên AB= 5 là cạnh nhỏ nhất của tam giác ABC.

Bài 10 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho một tam giác vuông. Biết tỷ số hai cạnh góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125 cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH BC = 125cm

Theo đề bài ta có:

2 2

AB 3 AB AC AB AC

AC = 4 3 = 4  9 = 16 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

2 2 2 2 2 2

AB AC AB AC AB AC

9 16 9 16 25

+ +

=  =

+ (1)

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

2 2 2 2 2 2

BC =AB +AC AB +AC =125 =15625 (2) Từ (1) và (2) ta có:

2 2 2 2

AB AC AB AC 15625

9 16 25 25 625

= = + = =

2 2

AB 625.9 5625 AB 5625 75(cm) AC 625.16 10000 AC 10000 100(cm)

 = =  = =

 

 

= =

  = =

 

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

2 2

2 AB 75

AB BH.BC BH 45

BC 125

=  = = = (cm)

CH = BC – BH = 125 – 45 = 80 (cm)

Bài 11 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng AB 5

AC =6 , đường cao AH = 30cm. Tính HB, HC.

Lời giải:

Xét tam giác ABH vuông tại H có: BHA=90^o ABH HAB 90o

 + = (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có: BAC=90^o BAH HAC 90o

 + = (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra ABH=HAC (cùng phụ BAH ) Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH ta có:

BHA=AHC=90o

ABH=CAH (chứng minh trên)

Do đó, tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH (theo trường hợp góc-góc)

AH AB

HC CA

 = (3)

Theo đề bài, ta có: AB 5 AC = 6 (4)

Từ (3) và (4) ta có: AH 5 6 6

HC AH .30 36

HC = 6 = 5 =5 = (cm) Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

2 2

2 AH 30

AH BH.CH BH 25

CH 36

=  = = = (cm)

Bài 12 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hai vệ tinh đang bay ở vị trí A và B cùng cách mặt đất 230 km có nhìn thấy nhau hay không nếu khoảng cách giữa chúng theo đường thẳng là 2200km ? Biết rằng bán kính R của Trái Đất gần bằng 6370km và hai vệ tinh nhìn thấy nhau nếu OH > R. (h.6)

Lời giải:

Vì hai vệ tinh ở hai vị trí A và B cùng cách mặt đất 230 km nên tam giác AOB cân tại O với OA = OB

Ta có: OA = OB = R + 230 = 6370 + 230 = 6600 (km)

Xét tam giác AOB cân tại O có:

OH⊥AB tại H nên OH là đường cao và cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh AB

Do đó, H là trung điểm của AB HA HB ^{AB 2200} 1100

2 2

 = = = = (km)

Xét tam giác AHO vuông tại H (do OH⊥AB tại H) Áp dụng định lí Pytago, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

AO =AH +OH OH =AO −AH =6600 −1100 =42350000 OH 42350000 6508

 =  (km)

Vì OH > R nên hai vệ tinh nhìn thấy nhau.

Bài 13 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b.

Dựng các đoạn thẳng có độ dài tương ứng bằng:

a) a² +b²

b) a² −b² (a > b) Lời giải:

a)

Cách dựng:

- Dựng góc vuông xOy

- Trên tia Ox dựng đoạn OA = a - Trên tia Oy dựng đoạn OB = b

- Nối A và B ta có đoạn AB = a² +b² Chứng minh:

Xét tam giác AOB vuông tại O Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2 2 2

AB =OA +OB =a +b

2 2

AB a b

 = +

b)

- Dựng góc vuông xOy

- Trên tia Oy dựng đoạn OB = b

- Dựng đường tròn tâm B bán kính R = a. Đường tròn cắt tia Ox tại A - Ta có đoạn OA = a² −b² (a > b)

Chứng minh:

Xét tam giác AOB vuông tại O Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

AB =OA +OB OA =AB −OB =a −b

2 2

OA a b

 = −

Bài 14 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b.

Dựng đoạn thẳng ab như thế nào ? Lời giải:

Cách dựng:

- Dựng đường thẳng x

- Trên đường thẳng x dựng liên tiếp hai đoạn thẳng AB = a, BC = b.

- Dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AC.

- Từ B dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt nửa đường tròn tâm O tại D. Ta có đoạn BD= ab cần dựng.

Chứng minh:

Nối DA và DC.

Xét tam giác ACD Có OA OD OC ^AC

= = = 2 (do AC là đường kính của cung tròn và OA, OD, OC là bán kính)

Do đó, tam giác ACD vuông tại D

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

BD2 =AB.BC=a.bBD= ab

Bài 15 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Giữa hai tòa nhà (kho và phân xưởng) của một nhà máy, người ta xây dựng một băng chuyền AB để chuyển vật liệu.

Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8m và 4m so với mặt đất (h.7). Tìm độ dài AB của băng chuyền.

Lời giải:

Kẻ BH⊥AD tại H. BHD=BHA=90^o Xét tứ giác BHDC

Có: BCD=HDC=BHD=90^o Do đó, BHDC là hình chữ nhật

DH BC 4

 = = (m), BH = CD = 10 (m) Có: AH = AD – HD = 8 – 4 = 4 (m) Xét tam giác ABH vuông tại H Áp dụng định lý Pytago, ta có:

2 2 2 2 2

AB =BH +AH =10 +4 =116 AB 116 10,8

 =  (m)

Vậy băng chuyền dài khoảng 10,8m.

Bài 16 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5, 12, 13. Tìm góc đối diện với cạnh có độ dài 13 của tam giác.

Lời giải:

Ta có:

2 2

5 +12 =25 144 169+ = 132 =169

2 2 2

5 12 13

 + =

Vì tam giác có ba cạnh với độ dài các cạnh thỏa mãn định lý Pytago đảo (bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại) nên nó là tam giác vuông.

Vậy góc đối diện với cạnh 13 (cạnh dài nhất) là góc vuông.

Bài 17 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC thành hai đoạn 4²

7 và 5⁵

7m. Tính các kích thước của hình chữ nhật.

Lời giải:

Xét tam giác ABC

Gọi giao điểm đường phân giác của góc ABC với cạnh AC là E.

Theo đề bài ta có:

AE 42

= 7m và EC 5⁵

= 7m nên AC = AE + EC = 10 m Theo tính chất của đường phân giác, ta có:

2 2

2 30

AE AB AB 47 7 3 AB BC AB BC

5 40

EC BC BC 5 4 3 4 9 16

7 7

=  = = =  =  =

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 2 2 2 2 2

AB BC AB BC AB BC

9 16 9 16 25

+ +

= = =

+ (1)

Xét tam giác ABC vuông tại B (do ABCD là hình chữ nhật) Áp dụng định lý Pytago, ta có:

2 2 2

AC =AB +BC (2) Từ (1) và (2) ta có:

2 2 2 2

AB BC AC 10

9 = 16 = 25 = 25 =4

2 2

AB 4.9 36 AB 6(m) AC 8(m) AC 4.16 64

 = =  =

 = =  =

Vậy AB = CD = 6m và BC = AD = 8m.

Bài 18 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác AHC là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi a, b , c lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH.

Ta có: b = 30cm, c = 40cm.

Xét tam giác ABH vuông tại H có: BHA=90^o ABH HAB 90o

 + = (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có: BAC=90^o BAH HAC 90o

 + = (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra ABH=HAC (cùng phụ BAH ) Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông CHA, ta có:

AHB=CHA=90o (do AH là đường cao của tam giác ABC) ABH=CAH (chứng minh trên)

Do đó, tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH (theo trường hợp góc-góc) (3) HB HA BA HB HA BA b 30 3

HA HC AC HA HC AC c 40 4 + +

 = = = = = =

+ +

2 2 2 2 2 2

BA AC BA AC BA AC BA AC

3 4 9 16 9 16 25

+ +

 =  = = =

+ (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A Áp dụng định lí Pytago , ta có:

2 2 2

BC =AB +AC (2) Từ (1) và (2) ta có:

2 2 2

BA AC BC BA AC BC

9 = 16 = 25  3 = 4 = 5

Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông CAB, ta có:

CAB=CHA=90o

Góc C chung

Do đó tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB (theo trường hợp góc – góc) (4) Từ (3) và (4) ta suy ra các tam giác ABH, CAH, CBA đồng dạng với nhau nên:

b : c : a = BA : AC : BC = 3 : 4 : 5

b c a 30 40 a 30

a .5 50

3 4 5 3 4 5 3

 = =  = =  = = (cm) Vậy chu vi của tam giác ABC là 50cm.

Bài 19 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A

Theo định lý Py – ta – go ta có: BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100 Suy ra BC = 10cm.

Vì BM là đường phân giác trong của góc B nên ta áp dụng tính chất đường phân giác có:

MA AB MA AB

MC = BC MA MC = AB BC

+ + (do tính chất tỉ lệ thức) AB(MA MC) AB.AC 6.8

MA 3

AB BC AB BC 6 10

 = + = = =

+ + + (cm)

Vì BM, BN lần lượt là đường phân giác của góc trong và góc ngoài tại đỉnh B nên ta có:

2NBA+2ABM 180= o

NBA ABM 90o

 + =

BM BN

 ⊥ tại B

Do đó, tam giác BMN vuông tại B.

Xét tam giác BMN vuông tại B có đường cao BA (do tam giác ABC vuông tại A) Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:

2 2

2 AB 6

AB AM.AN AN 12

AM 3

=  = = = (cm)

Bài 20 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB.

Chứng minh rằng: BD² +CE² +AF² =DC²+EA² +FB². Lời giải:

Xét tam giác BDM vuông tại D (do MD vuông góc với BC tại D) Áp dụng định lí Pytago, ta có:

2 2 2 2 2 2

BM =BD +DM BD =BM −DM (1)

Xét tam giác CEM vuông tại E (do ME vuông góc với AC tại E) Áp dụng định lí Pytago, ta có:

2 2 2 2 2 2

CM =CE +EM CE =CM −EM (2)

Xét tam giác AFM vuông tại F (do MF vuông góc với AB tại F) Áp dụng định lí Pytago, ta có:

2 2 2 2 2 2

AM =AF +FM AF =AM −FM (3) Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

BD +CE +AF =BM −DM +CM −EM +AM −FM (4) Xét tam giác BFM vuông tại F (do MF vuông góc với AB tại F) Áp dụng định lí Pytago, ta có:

2 2 2

BM =BF +FM (5)

Xét tam giác CDM vuông tại D (do MD vuông góc với BC tại D) Áp dụng định lí Pytago, ta có:

2 2 2

CM =CD +DM (6)

Xét tam giác AEM vuông tại E (do ME vuông góc với AC tại E)

Áp dụng định lí Pytago, ta có:

2 2 2

AM =AE +EM (7)

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

BD +CE +AF =BF +FM −DM +CD +DM −EM +AE +EM −FM

2 2 2 2 2 2

BD CE AF DC EA FB

 + + = + + (đcpcm)

Bài tập bổ sung

Bài 1.1 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 3 : 4 và đường cao AH bằng 9cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HC bằng:

(A) 6cm (B) 9cm (C) 12cm (D) 15cm

Hãy chọn phương án đúng.

Lời giải:

Xét tam giác ABH vuông tại H có: BHA=90^o ABH HAB 90o

 + = (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có: BAC=90^o BAH HAC 90o

 + = (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra ABH=HAC (cùng phụ BAH )

Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH ta có:

BHA=AHC=90o

ABH=CAH (chứng minh trên)

Do đó, tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH (theo trường hợp góc-góc)

AH AB

HC CA

 =

AH 3 4 4

HC AH .9 12

HC 4 3 3

 =  = = = (cm)

Vậy ta chọn đáp án (C).

Bài 1.2 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 4 : 5 và đường cao AH bằng 12cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HB bằng (A) 6cm

(B) 9,6cm (C) 12cm (D) 15cm

Hãy chọn phương án đúng.

Lời giải:

Xét tam giác ABH và tam giác CBA AHB=CAB=90o

ABH=CBA

Do đó, tam giác ABH và tam giác CBA đồng dạng theo trường hợp góc – góc

HB AB 4 4 4

HB HA .12 9,6

HA AC 5 5 5

 = =  = = = (cm)

Vậy ta chọn đáp án (B)

Bài 1.3 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau đây đối với tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:

AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c’, CH = b’.

a) Tính h, b, c nếu biết b’ = 36, c’ = 64.

b) Tính h, b, b’, c’ nếu biết a = 9, c = 6.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c’, CH = b’.

a)

Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

h2 =b'.c'=36.64=2304

h 2304 48

 = =

b2 =b'.a=b'(b' c')+ =36.(36 64)+ =3600

b 3600 60

 = =

c2 =c'.a=c'(b' c')+ =64.(36 64)+ =6400

c 6400 80

 = =

b)

Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

2 2

2 c 6

c c'.a c' 4

a 9

=  = = = b’ = a – c’ = 9 – 4 = 5

b2 =b'.a=5.9=45 =b 45 =3 5 h2 =b'.c'=5.4=20 =h 20 =2 5

Bài 1.4 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau đây đối với tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:

AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c’, CH = b’.

Hãy biểu thị b’, c’ qua a, b, c.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c’, CH = b’.

Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

2

2 b

b b '.a b '

=  = a

2

2 c

c c '.a c '

=  = a

Bài 1.5 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau đây đối với tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:

AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c’, CH = b’.

Chứng minh rằng:

a) h ^bc

= a b)

2 2

b b ' c = c' Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c’, CH = b’.

a)

Diện tích của tam giác ABC là: S ¹bc ¹ha

2 2

= = bc ha

 = h bc

 = a (đcpcm) b)

Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

b2 =b '.a c2 =c'.a

2 2

b b '.a b ' c c '.a c '

 = =

Bài 1.6 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Đường cao của một tam giác vuông kẻ từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn, trong đó đoạn lớn bằng 9cm.

Hãy tính cạnh huyền của tam giác vuông đó nếu hai cạnh góc vuông có tỉ lệ 6 : 5.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Giả sử AB > AC nên BH > CH AB 6

AC = 5, BH = 9cm CH = BC – BH = BC – 9

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB2 =BH.BC AC2 =CH.BC

2 2 2

AB BH.BC BH BH 6 36

AC CH.BC CH CH 5 25

 = =  =    =

9 36

36BC 324 225 BC 9 25

 =  − =

−

225 324

BC 15, 25

36

 = + = (cm)

Bài 1.7 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong tam giác có các cạnh 5cm, 12cm, 13cm, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất. Hãy tính các đoạn thẳng mà đường cao này chia ra trên cạnh lớn nhất đó.

Lời giải:

Ta có:

2 2

5 +12 =169 132 =169

2 2 2

5 12 13

 + =

Theo định lí Py-ta-go đảo, tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là tam giác vuông có cạnh huyền dài 13cm.

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH AC = 5cm, AB = 12cm, BC = 13cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

2 2

2 AB 12 144

AB BH.BC BH 11,08

BC 13 13

=  = = =  (cm)

2 2

2 AC 5 25

AC CH.BC CH 1,92

BC 13 13

=  = = =  (cm)

Bài 1.8 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH bằng 12cm. Hãy tính cạnh huyền BC nếu biết HB : HC = 1 : 3.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

2 2 144

HB.HC AH 12 144 HB

= = =  = HC

Theo đề bài, ta lại có: ²

144

HB 1 HC 1 HC 144.3 432 HC = 3 HC = 3 = =

HC 432 12 3

 = = (cm)

HB 144 4 3

 =12 3 = (cm)

BC=HC+HB 12 3= +4 3 16 3=

Bài 1.9 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BM và H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ? Tại sao ?

a) Tam giác HCD đồng dạng với tam giác ABM b) AH = 2HD

Lời giải:

a)

Xét tam giác HCD và tam giác CDM Góc C chung

CHD=CDM=90o (do D là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BM và H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC)

Do đó, tam giác CHD và tam giác CDM đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc. (1)

Xét tam giác CDM và tam giác ABM CMD=AMB (hai góc đối đỉnh)

MDC=BAM=90o (do tam giác ABC vuông cân tại A, D là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BM)

Do đó, tam giác CDM và tam giác BAM đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc. (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra tam giác CHD đồng dạng với tam giác BAM. Vậy khẳng định (a) là đúng.

b)

Tam giác CHD đồng dạng với tam giác BAM HC HD

AB AM

 =

Mà AB = 2AM (Do BM là đường trung tuyến)

HC AB

2 HC 2HD HD AM

 = =  =

Ta có HC < MC (H là chân đường cao hạ từ D của tam giác vuông DCM) Mà HC = 2HD  2HD < MC

Ta có: MC = MA (do BM là đường trung tuyến) và MA < AH (do M nằm giữa A và H)

 2HD < MA < AH  AH  2HD Vậy khẳng định (b) là sai.

Bài 1.10 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm, cạnh bên AD bằng 4cm và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh DC, CB và đường chéo DB.

Lời giải:

AC vuông góc với BD tại H

Xét tam giác ABD vuông tại A (do hình thang ABCD có góc A vuông) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

AD2 =HD.BD AB2 =HB.BD

2 2

2 2

HD HD.BD AD 4 4

HB HB.BD AB 6 9

 = = = =

Xét tam giác HDC và tam giác HBA có:

DHC=AHB=90o (do AC vuông góc với BD tại H)

ACD=CAB (hai góc so le trong do AB // CD do ABCD là hình thang) Do đó, tam giác HDC đồng dạng HBA theo trường hợp góc góc

DC HD 4 4 4 8

DC .AB .6

AB HB 9 9 9 3

 = =  = = = (cm)

Kẻ CK vuông góc với AB

Do đó, DCKA là hình chữ nhật (do có ba góc vuông)

 DC = KA, AD = KC

8 10 KB AB KA AB DC 6

3 3

 = − = − = − =

Xét tam giác vuông KBC vuông tại K Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

2

2 2 2 2 2 10 244

BC KB KC KB AD 16

3 9

 

= + = + =  + =

244 2 61

BC 9 3

 = = (cm)

Xét tam giác vuông ABD vuông tại A Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

2 2 2 2 2

DB =AB +AD =6 +4 =52

DB 52 2 13

 = = (cm)

Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 21 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 40^o rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 40^o.

Lời giải:

Vẽ tam giác ABC vuông tại A, có: B=40^o, AB = c, AC = b, BC = a Ta có các tỉ số lượng giác của góc B=40^o là:

AC o b

sin B sin 40

BC a

=  =

AB o c

cosB cos40

BC a

=  =

AC o b

tan B tan 40

AB c

=  =

AB o c

cot B cot 40

AC b

=  =

Bài 22 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: ^{AC sin B}

AB =sin C. Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A Ta có:

sin B AC AC sin B.BC

= BC  =

sin C AB AB sin C.BC

= BC = AC sin B.BC sin B AB sin C.BC sin C

 = = (điều cần phải chứng minh)

Bài 23 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, B=30^o , BC = 8cm. Hãy tính cạnh AB (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba), biết rằng

cos30o 0,866. Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A

B=30o

BC = 8cm Ta có:

AB o

cos B AB cos B.BC cos30 .8 0,866.8 6,928

= BC = =   (cm)

Bài 24 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, B=  (h.9). Biết tan ⁵

 =12, hãy tính a) Cạnh AC

b) Cạnh BC

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC vuông tại A AB = 6cm, B= 

Ta có:

AC 5

tan B AC tan B.AB tan .6 .6 2,5

AB 12

=  = =  = = (cm)

b)

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2 2 2

BC =AB +AC =6 +(2,5) =42,25 BC 42, 25 6,5

 = = (cm)

Bài 25 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Tìm giá trị x (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) trong mỗi tam giác vuông với kích thước được chỉ ra trên hình 10, biết rằng: tan 47^o 1,072; cos38^o 0,788.

Lời giải:

a)

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Xét tam giác ABC vuông tại A Ta có:

o

AC AC 63 63

tan B AB 58,769

AB tan B tan 47 1,072

=  = =  

x 58,769

 

b)

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Xét tam giác ABC vuông tại A Ta có:

o

AC AC AC 16

cos C BC 20,305

BC cos C cos38 0,788

=  = =  

x 20,305

 

Bài 26 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, trong đó AB = 6cm, AC = 8cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A AB = 6cm, AC = 8cm

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2 2 2

BC =AB +AC =6 +8 =100

BC 100 10

 = = (cm)

Ta có các tỉ số lượng giác của góc B.

AC 8 4 sin B

BC 10 5

= = = AB 6 3 cos B

BC 10 5

= = = AC 8 4 tan B

AB 6 3

= = = AB 6 3 cot B

AC 8 4

= = =

Có A=90^o  + =B C 90^o

Do đó, góc B và góc C là hai góc phụ nhau nên ta có:

cos C sin B 4

= = 5 sin C cos B 3

= =5 cot C tan B 4

= = 3 tan C cot B 3

= = 4

Bài 27 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Tính sinB, sinC trong mỗi trường hợp sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằng:

a) AB = 13; BH = 5 b) BH = 3; CH = 4 Lời giải:

a)

Xét tam giác ABH vuông tại H (do AH là đường cao của tam giác ABC) Ta có:

BH 5

cosB 0,3846

AB 13

= = 

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

AB =BH +AH AH =AB −BH =13 −5 =144

AH 144 12

 = =

Ta lại có: sin B ^{AH 12} 0,9231 AB 13

= = 

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

o o

A=90  + =B C 90

Do đó, góc B và góc C phụ nhau sin C=cos B0,3846 b)

Ta có: BC = BH + HC = 3 + 4 = 7

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

AB2 =BH.BC=3.7=21AB= 21

AC2 =CH.BC=4.7=28AC= 28=2 7

Ta lại có:

AC 2 7

sin B 0,7559

BC 7

= = 

AB 21

sin C 0,6547

BC 7

= = 

Bài 28 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45^o: sin 75^o, cos53^o, sin 47 20'^o ,

tan 62o, cot 82 45'^o . Lời giải:

Ta có: 90^o −75^o =15^o, do đó góc 75^o và góc 15^o phụ nhau nên sin 75^o =cos15^o Ta có: 90^o −53^o =37^o, do đó góc 53^o và góc 37^o phụ nhau nên cos53^o =sin 37^o Ta có: 90^o −47 20'^o =42 40'^o , do đó góc 47 20'^o và góc 42 40'^o phụ nhau nên

o o

sin 47 20'=cos42 40'

Ta có: 90^o −62^o =28^o, do đó góc 62^o và góc 28^o phụ nhau nên tan 62^o =cot 28^o Ta có: 90^o −82 45'^o =7 15'^o , do đó góc 82 45'^o và góc 7 15'^o phụ nhau nên

o o

cot 82 45'=tan 7 15'

Bài 29 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Xét quan hệ giữa hai góc trong mỗi biểu thức rồi tính:

a)

o o

sin 32 cos58

b) tan 76^o −cot14^o Lời giải:

a)

Ta có: 32^o +58^o =90^o, do đó góc 32^o và góc 58^o phụ nhau nên sin 32^o =cos58^o

o o

o o

sin 32 sin 32 cos58 sin 32 1

 = =

b)

Ta có: 76^o +14^o =90^o, do đó góc 76^o và góc 14 phụ nhau nên ^o tan 76^o =cot14^o

o o o o

tan 76 cot14 tan 76 tan 76 0

 − = − =

Bài 30 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Đường cao MQ của tam giác vuông MNP chia cạnh huyền NP thành hai đoạn NQ = 3, PQ = 6. Hãy so sánh cotN và cotP. Tỉ số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?

Lời giải:

Xét tam giác MNP vuông tại M có đường cao MQ NP = NQ + QP = 3 + 6 = 9

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

MP2 =QP.NP=6.9=54MP= 54 =3 6 MN2 =NQ.NP=3.9=27MN= 27 =3 3 Ta có:

MN 3 3 1

cot N

MP 3 6 2

= = =

MP 3 6

cot P 2

MN 3 3

= = =

cot P cot N

  và cot P 2

1 2 cot N

2

= =

Vậy cotP = 2cotN.

Bài 31 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cạnh góc vuông kề với góc 60^o của một tam giác vuông bằng 3. Sử dụng bảng lượng giác của các góc đặc biệt, hãy tìm cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A Có B=60^o, AB = 3

Theo bảng lượng giác của các góc đặc biệt có: cos60^{o 1}

= 2 , ^o 3 sin 60

= 2 Ta có:

AB o AB 1 3

cos B cos 60 BC 3.2 6

BC BC 2 BC

=  =  =  = =

AC o AC 3 AC 6 3

sin B sin 60 AC 5,1962

BC BC 2 6 2

=  =  =  = =

Bài 32 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 1: Đường cao BD của tam giác nhọn ABC bằng 6; đoạn thẳng AD bằng 5.

a) Tính diện tích tam giác ABD

b) Tính AC, dùng các thông tin dưới đây nếu cần:

sin C 3

= 5, cos C ⁴

= 5, tan C ³

= 4 Lời giải:

a)

Xét tam giác ABD vuông tại D do BD là đường cao của tam giác ABC Ta có diện tích của tam giác ABD là: S ¹.BD.AD ¹.6.5 15

2 2

= = =

b)

Xét tam giác BCD vuông tại D do BD là đường cao của tam giác ABC Ta có:

BD BD 6

tan C CD 8

CD tan C 3 4

=  = = =

AC = AD + CD = 5 + 8 = 13

Bài 33 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho cos =0,8. Hãy tìm sin, tan, cot (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).

Lời giải:

Theo tính chất của các tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

2 2 2 2 2

sin  +cos  = 1 sin  = −1 cos  = −1 (0,8) = −1 0,64=0,36

Vì là góc nhọn nên sin > 0 sin = 0,36 =0,6

sin 0,6 3

tan 0,75

cos 0,8 4

  =  = = =

 ; cos 0,8 4

cot 1,3333

sin 0,6 3

 =  = = 



Bài 34 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy tìm sin, cos (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư) nếu biết

a) tan ¹

 =3 b) cot ³

 = 4

Lời giải:

a)

Do tan ¹

 =3 nên ta coi góc  là góc nhọn thuộc tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 1 và 3 (như hình vẽ)

Xét tam giác ABC vuông tại A Có: AB = 1, AC = 3, C=  Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2 2 2

BC =AB +AC = +1 3 =10

BC 10

 =

Ta có các tỉ số lượng giác:

AB 1

sin sin C 0,3162

BC 10

 = = = 

AC 3

cos cos C 0,9487

BC 10

 = = = 

b)

Do cot ³

 = 4 nên ta coi góc  là góc nhọn thuộc tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 4 và 3 (như hình vẽ)

Xét tam giác ABC vuông tại A Có: AB = 3, AC = 4, B=  Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2 2 2

BC =AB +AC =4 +3 =25

BC 25 5

 = =

Ta có các tỉ số lượng giác:

AB 3

cos cosB 0,6

BC 5

 = = = = AC 4 sin sin B 0,8

BC 5

 = = = =