Bài 8. Đường tròn ngoại tiếp.
Đường tròn nội tiếp.
Câu hỏi 1 trang 91 SGK Toán lớp 9 tập 2:
a) Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2cm.
b) Vẽ một lục giác đều ABCDEF có tất cả các đỉnh nằm trên đường tròn (O).
c) Vì sao tâm O cách đều các cạnh của lục giác đều ? Gọi khoảng cách này là r.
d) Vẽ đường tròn (O; r).
Lời giải:
a)
b) Cách vẽ lục giác đều có tất cả các đỉnh nằm trên đường tròn (O) Vẽ các dây cung AB = BC = CD = DE = EF = FA = R = 2 cm
c) Vì các dây cung AB = BC = CD = DE = EF = FA bằng nhau nên khoảng cách từ O đến các dây là bằng nhau.
d) Vẽ như hình trên.
Bài tập
Bài 61 trang 91 SGK Toán lớp 9 tập 2:
a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).
c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r).
Lời giải:
a)
Cách vẽ:
- Chọn điểm O làm tâm, mở compa có độ dài 2cm, vẽ đường tròn tâm O bán kính 2cm
b)
Cách vẽ:
- Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau
- Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm)
c)
Kẻ OH vuông góc với AD tại H
Khi đó, OH = r là bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Vì AB = BC = CD = DA (do ABCD là hình vuông)
nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau và cùng bằng OH (định lý liên hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây)
Ta có: Tam giác OAD vuông tại O (do AC vuông góc với BD tại O) Mà: OA = OD (cùng bằng bán kính đường tròn (O; OA))
Do đó, tam giác OAD vuông cân tại O
Có: OH là đường cao (do OH vuông góc với AD tại H) vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
OH AH HD 1AD
2 OH AH r
Xét tam giác OHD vuông tại H (do OH vuông góc với AD tại H) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
2 2 2
OA OH AH
2 2 2
2 r r
2r2 4
r2 2
r 2
(cm)
Vẽ đường tròn (O; 2 cm). Đường tròn này nội tiếp hình vuông ABCD, tiếp xúc cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.
Bài 62 trang 91 SGK Toán lớp 9 tập 2:
a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.
b) Vẽ đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.
c) Vẽ đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.
d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R).
Lời giải:
a)
- Dựng đoạn thẳng AB = 3cm
- Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C.
Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm.
b)
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB
Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác AA’, BB’, CC’ của tam giác đều ABC)
Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA
Hai đường trung trực cắt nhau tại O
Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = OA = OB = OC ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Tính AA’:
Xét tam giác AA’C vuông tại A’ (do AA’ là đường cao) Có: AC = 3cm
A’ là trung điểm của BC A 'C 1BC 3
2 2
(cm)
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
2 2 2
AC AA ' A 'C
2
2 2 2 2 3 27
AA ' AC A 'C 3
2 4
27 3 3
AA ' 4 2
(cm)
Theo cách dựng, ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến)
2 2 3 3
OA AA ' . 3
3 3 2
(cm)
Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: R OA 3 (cm) c)
Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA;
AB đồng thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB.
Đường tròn nội tiếp tam giác (O; r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A’, B’, C’ của các cạnh.
r OA ' OB' OC'
Theo cách dựng, ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến)
1 1 3 3 3
OA ' AA ' .
3 3 2 2
(cm)
r 3
2 cm d)
Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O; R) tại A, B, C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K
Ta có: Tam giác IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O; R).
Bài 63 trang 92 SGK Toán lớp 9 tập 2: Vẽ các hình lục giác đều, hình vuông, hình tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.
Lời giải:
a) Hình a Cách vẽ:
Vẽ đường tròn (O; R)
Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung A A ,A A ,....A A mà dây căng cung 1 2 2 3 6 1 có độ dài bằng R.
Nối A1 với A2, A2 với A3, …. A6 với A1 ta được hình lục giác đều
1 2 3 4 5 6
A A A A A A nội tiếp đường tròn Tính cạnh:
Do A A A A A A1 2 3 4 5 6 là lục giác đều nên ta có:
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1
A OA A OA A OA A OA A OA A OA
Mà: A OA1 2A OA2 3A OA3 4A OA4 5 A OA5 6 A OA6 1 360o
o
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1
A OA A OA A OA A OA A OA A OA 60
Xét tam giác OA A có: 1 2
1 2
OA OA (= R)
o
1 2
A OA 60 (chứng minh trên)
Do đó , tam giác OA A1 2 là tam giác đều
1 2 1 2
A A OA OA R
Do đó, lục giác đều A A A A A A1 2 3 4 5 6 nội tiếp đường tròn (O; R) có cạnh là R.
b) Hình b Cách vẽ:
- Vẽ đường kính A A1 3 của đường tròn (O; R) - Vẽ đường kính A A2 4 A A1 3
Tứ giác A A A A1 2 3 4 có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình vuông
Nối A với 1 A , 2 A với 2 A3, A3 với A , 4 A với 4 A ta được hình vuông 1
1 2 3 4
A A A A nội tiếp đường tròn (O; R) Tính cạnh:
Xét hình vuông A A A A1 2 3 4 có:
Hai đường chéo A A2 4 A A1 3 tại O nên tam giác OA A1 2 vuông tại O Xét tam giác OA A1 2 vuông tại O
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
2 2 2
1 2 1 2
A A OA OA
2 2 2 2
1 2
A A R R 2R
1 2
A A 2R
Vậy hình vuông A A A A1 2 3 4 nội tiếp đường tròn (O; R) có cạnh là 2R .
c) Hình c Cách vẽ:
Vẽ đường tròn (O; R)
Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung A A ,A A ,....A A mà dây căng cung 1 2 2 3 6 1 có độ dài bằng R.
Nối A1 với A3, A3 với A5, A5 với A1 ta được hình tam giác đều A A A1 3 5 nội tiếp (O; R)
Tính cạnh:
Kẻ đường cao A H của tam giác đều 1 A A A1 3 5 ta có:
A H cũng là đường trung tuyến 1
1 1 1 1
2 3 3
OA A H A H OA R
3 2 2
Mà H là trung điểm của A A (do 2 3 A H cũng là đường trung tuyến) 1
2 2 3
A H 1A A
2
Mà A A2 3 A A1 2
2 1 2
A H 1A A
2
Xét tam giác A HA1 2 vuông tại H (do A H1 là đường cao) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
2 2 2
1 2 1 2
A A A H A H
2
2 2
1 2 1 1 2
A A A H 1A A 2
2 2 2
1 2 1 2 1
A A 1A A A H
4
2 2
1 2
3 3
A A R
4 2
2 2
1 2
3 9
A A R
4 4
2 2
1 2
A A 3R
1 2
A A 3R
Vậy hình tam giác đều A A A1 3 5 nội tiếp (O; R) có cạnh là 3R . Bài 64 trang 92 SGK Toán lớp 9 tập 2:
Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD sao cho sđAB60o, sđBC90ovà sđCD 120 o.
a) Tứ giác ABCD là hình gì?
b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.
c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.
Lời giải:
a)
Xét đường tròn (O) có:
BAD là góc nội tiếp chắn cung BCD nên ta có:
BAD = 1
2(sđ BCD) = 1
2(sđ AC + sđ CD ) = 1
2
90o 120o
= 105o (1)ADC là góc nội tiếp chắn cung ABC nên ta có:
ADC = 1
2(sđ ABC ) = 1
2(sđAB + sđ BC ) = 1
2
60o 90o
= 75o (2)Từ (1) và (2) ta có:
BADADC 180 o
Mà: BAD và ADC là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD và hai đường thẳng AB, CD
Do đó, AB // CD
Do đó, tứ giác ABCD là hình thang
Mà hình thang ABCD nội tiếp đường tròn Do đó, ABCD là hình thang cân.
b)
Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I
Góc CID là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn hai cung AB và CD nên ta có:
CID 1
2(sđAB + sđ CD ) = 1(60o 120 )o 90o
2
AC BD
tại I.
c)
Có: sđ AB60o
Mà góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB AOB60o Do đó tam giác AOB đều nên AB = OB = OA = R
Có: sđ BC90o
Mà góc BOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ BC BOC90o Xét tam giác BOC có:
BOC90o
Do đó, tam giác BOC vuông tại O Xét tam giác BOC vuông tại O Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
2 2 2
BC OB OC
2 2 2 2
BC OB OC R R R 2
Do đó, ABCD là hình thang cân.
AD BC R 2
Kẻ OH vuông góc với CD tại H
Tứ giác ABCD là hình thang cân (chứng minh phần b) BCD ADC 75o
Xét tam giác BOC vuông tại O Có: OB = OC (= R)
Do đó, tam giác BOC vuông cân tại O BCO CBO 45o
o o o
OCD BCD BCO 75 45 30
Xét tam giác OCH vuông tại H (do OH vuông góc với CD tại H)
Có: o 3
HC OC.cos OCH R.cos30 R
2
Mà H là trung điểm của CD (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy).
CD 2CH R. 3
.
