Phân Dạng Và Bài Tập Chuyên đề Tích Vô Hướng Của 2 Vectơ Và ứng Dụng – Trần Quốc Nghĩa

(1)

(2)

MS: HH10-C2

TÍCH VÔ HƯỚNG & ỨNG DỤNG

V V V

Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA ấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA ấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA ấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA M M

M MỘT GĨC BẤT K ỘT GĨC BẤT K ỘT GĨC BẤT KÌ T ỘT GĨC BẤT K Ì T Ì T Ì TỪ 0 Ừ 0 Ừ 0 Ừ 0

⁰⁰⁰⁰

Đ Đ Đ ĐẾN 180 ẾN 180 ẾN 180 ẾN 180

⁰⁰⁰⁰

A - TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Địnhnghĩacácgiátrịlượnggiác

Cho (

^{OA OM}^,

)

⁼

α

^với⁰^{° ≤}

α

^≤¹⁸⁰^°

. Gi

^ả

s

^ử ^{M x y}

(

^;

) .

• cos α = x OH =

•

sin

α

= y OK=

•

^tan ^sin

(

⁹⁰

)

cos

α

AT

α α

=

α

= ≠ °

•

^cot ^cos

(

¹⁸⁰

)

sin

α

BS

α α

=

α

= ≠ °

Nhận xét:

∀ a , –1 ≤ cos α ≤ 1 ;

0≤sin

α

≤1

^tan

α xác

^đị

nh khi α

^≠⁹⁰^°

^cot

α xác định khi α

≠180°

Các s

^ố ^sin

α , cos α ,

tan

α ,

cot

α

đượ

c g

ọ

i là các giá tr

ị

l

ượ

ng giác c

ủ

a gĩc α .

2. Dấucủacáctỉsốlượnggiác:

sin

α α α α

cos

α α α α

tan

α α α α

cot

α α α α

0° <

α

<90° + + + +

90° <

α

<180° + – – – 3. Quanhệgiữacácgĩcphụnhau,bùnhau:

Hai gĩc phụ nhau: α và

90° −

α Hai gĩc bù nhau: α và

180° −

α

( )

sin 90° −

α

=cos

α

^{sin 180}

(

^{° −}

α )

⁼^sin

α

( )

cos 90° −

α

=sin

α

^{cos 180}

(

^{° −}

α )

^{= −}^cos

α

( )

tan 90° −

α

=cot

α

^{tan 180}

(

^{° −}

α )

^{= −}^tan

α

( )

cot 90° −

α

=tan

α

^{cot 180}

(

^{° −}

α )

^{= −}^cot

α

4. Cácgiátrịlượnggiáccủamộtsốgĩc(cung)đặcbiệt

Độ 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

sin 0 1

2

2 2

3

2 1 3

2

2 2

1

2 0

cos 1 3

2

2 2

1

2 0 1

−2 2

− 2 3

− 2 –1

tan 0 3

3 1 3 || − 3 –1 3

− 3 0

cot ^|| 3 1 3

3 0 3

− 3 –1 − 3 ||

5. Mộtsốhệthứccơbản

①①①

①

sin

²

x + cos

²

x = 1

②②②② tan .cotx x=1

③③③③ sin tan cos

x x

= x

④④④

④ cos cot sin

x x

= x _⑤_⑤_⑤_⑤ ² 1₂

1 tan x cos

+ = x _⑥_⑥_⑥_⑥ ² 1₂

1 cot x sin + = x

Chủđề 7

sin tang

cotang

cosin α

O H A

K B S M

T

(3)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

TÀI LIỆỆỆỆU HU HU HU HỌỌỌỌC TC TC TC TẬẬẬẬP TOÁN 10 P TOÁN 10 P TOÁN 10 P TOÁN 10 –––– HÌNH HHÌNH HHÌNH HHÌNH HỌỌỌỌCCCC –––– TÍCH VÔ HTÍCH VÔ HTÍCH VÔ HTÍCH VÔ HƯƯƯỚƯỚỚỚNG. HNG. HNG. HỆNG. HỆỆỆ THTHTHTHỨỨỨC LỨC LC LƯC LƯƯƯỢỢỢỢNGNGNG NG 2222

B - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1. Góc và dấu của các giá trị lượng giác

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1.

Xét dấu các giá trị lượng giác

D

ự

a vào b

ả

ng trong ph

ầ

n tóm t

ắ

t lý thuy

ế

t

Lư

u ý: v

ớ

i

∆ABC

:

0 , , 90

2 2 2

A B C

° < < °

và 0 ° < A B C , , < 180 °

2.

Tìm góc α khi bi

ế

t giá tr

ị

l

ượ

ng giác:

S

ử

d

ụ

ng b

ả

ng các giá tr

ịđặ

c bi

ệ

t

để

tìm.

Lưu ý:

− ≤1 cos

α

≤1

,

0≤sin

α

≤1^.

II - BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 1.

Với những giá trị nào của góc α (

0° ≤

α

≤180°

) thì:

a) sinα và cosα cùng dấu ? b) sinα và cosα khác dấu ? c) sinα và tanα cùng dấu ? d) sinα và tanα khác dấu ?

...

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Với những giá trị nào của góc α (

0° ≤

α

≤180°

) thì:

a)

sin .cos

α α có giá trị âm ? b)

^sin cos

α

α có giá trị âm Bài 2. Cho tam giác

ABC

. Xét dấu: a)

cos .cos

2

A B

b)

tan .cot

2 3

B C

Bài 3. Tìm góc α (

0° ≤

α

≤180°

) trong mỗi trường hợp sau:

a) 2

sin α = 2 b)

cos

α

=0

c) tan α = − 3 d) 3

cot α = 3 Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau:

a)

A=2 sin 30° +3cos 45° −sin 60°

b)

B=2 cos 30° +3sin 45° −cos 60°

Bài 5. Tính giá trị các biểu thức sau:

a)

A a= sin 0° +bcos 0° +csin 90°

b)

B a= cos 90° +bsin 90° +csin180°

c) C a =

²

sin 90 ° + b

²

cos 90 ° + c

²

cos180 ° d) D = − 3 sin 90

²

° + 2 cos 60 ° − 3 tan 45

²

° e) E = 4 a

²

sin 45

²

° − 3 ( a tan 45 ° + )

²

( 2 cos 45 a ° )

²

Bài 6. Tính giá trị các biểu thức sau:

a)

sinx+cosx

khi x bằng

0°

,

135°

,

120°

. b)

2sinx+cos 2x

khi x bằng

60°

,

45°

,

30°

.

c) sin

²

x + cos

²

x khi x bằng

30°

,

75°

,

90°

,

145°

,

180°

.

(4)

MS: HH10-C2

Dạng 2. Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại

I - PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Sử dụng các hệ thức cơ bản trong điều kiện xác định của x 2. Chú ý khi biến đổi

Lự

a ch

ọ

n h

ệ

th

ứ

c c

ơ

b

ả

n thích h

ợ

p

để

t

ừ

gi

ả

thi

ế

t cho, suy d

ầ

n ra các giá tr

ị

l

ượ

ng giác còn lại. Chú ý dấu giá trị lượng giác, góc nhọn, góc tù.

Dùng tính chất cùng bậc n (đẳng cấp),

để chia chosinⁿ

α , cos

ⁿ

α

đưa về tan

α ,

cot

α .

Ví dụ 2.

Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:

a)

cos ³

α

=⁻5

b)

sin ¹

α

=4

, α nhọn

c) tan α = 2 2 d)

cos ⁵

α

= −13

,

90° <

α

<180°

e)

sin ⁴

α

=5

,

0° <

α

<180°

f)

cot ¹

α

= −2

,

0° <

α

<90°

...

(5)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

Ví dụ 3.

Chứng minh rằng trong

∆ABC

, ta có:

a)

^sin^A⁼^sin

(

^{B C}⁺

) b)

^cos^A⁼^{– cos}

(

^{B C}⁺

)

...

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 7. Biết 6 2

sin15

4

° = − . Tính

cos15°

,

tan15°

,

cot15°

,

cos105°

Bài 8. Cho

∆OAB

cân tại

O

có

OA a=

và các đường cao

OH

,

AK

. Giả sử

AOH = α . Tính

AK

và

OK

theo a và α .

Bài 9. a) Cho

sin ¹

α

= 4

, với

90° <

α

<180°

. Tính cosα và tanα.

b) Cho 2

cos α = − 4 . Tính sinα và tanα.

c) Cho tan α = 2 2 , với

0° <

α

<90°

. Tính

sin

α và cos α cosα.

d) Cho tan α = 2 . Tính giá trị của biểu thức

^3sin ^cos sin cos

A

α α

= −

+

e) Cho

sin ²

α

= 3

. Tính giá trị của biểu thức

^cot ^tan cot tan

B

α α

= −

+

f) Cho tan α = 2 . Tính giá trị của biểu thức

2

2 2

2 sin 1

3sin 2 cos

B α

α α

= +

+

Bài 10. a) Cho

cos ¹

x=2

. Tính P = 3sin

²

x + 4 cos

²

x

b) Cho 6 2

cos x 4 +

= . Tính Q = 3sin x + 4 cos x Bài 11. Chứng minh rằng:

a)

sin105°=sin 75°

b)

cos170° =– cos10°

c)

cot122° =– cot 58°

d)

tan12° =– tan168°

Bài 12. Tính và so sánh giá trị của từng cặp biểu thức sau đây:

2 2

cos 30 sin 30

A = ° − ° và

B=cos 60° +sin 45°

2

2 tan 30 1 tan 30

C °

= − °

và

D= −tan135 . tan 60° °

Bài 13. Biết

sin ²

α

=5

. Tính giá trị các biểu thức

^cot ^tan cot tan

C

α α

= −

+

Bài 14. Biết

sinx+cosx m=

. Tính: a)

sin .cosx x

b) sin

⁴

x .cos

⁴

x

(6)

MS: HH10-C2

Dạng 3. Chứng minh, rút gọn một biểu thức

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Sử dụng các hệ thức cơ bản trong điều kiện xác định của x:

①

sin

²

x + cos

²

x = 1

②②②② tan .cotx x=1

_③_③_③_③ tan ^sin cos x x

= x

④

④ cos cot sin

x x

= x _⑤_⑤_⑤_⑤ ² 1₂

1 tan x cos

+ = x _⑥_⑥_⑥_⑥ ² 1₂

1 cot x sin + = x 2. Những hằng đẳng thức:

( a b + )

²

= a

²

+ 2 ab b +

²

( a b + )

²

= a

²

+ 2 ab b +

²

a

²

+ b

²

= ( a b + )

²

− 2 ab a

²

+ b

²

= ( a b − )

²

+ 2 ab

( a b + )

³

= a

³

+ 3 a b

²

+ 3 ab

²

+ b

³

= a

³

+ b

³

+ 3 ab a b ( + )

( a b − )

³

= a

³

− 3 a b

²

+ 3 ab

²

− b

³

= a

³

− b

³

+ 3 ab a b ( − )

a

³

+ b

³

= ( a b a + ) (

²

− ab b +

²

) = ( a b + )

²

− 3 ab a b ( + )

a

³

− b

³

= ( a b a − ) (

²

+ ab b +

²

) = ( a b − )

²

+ 3 ab a b ( − )

a

⁴

+ b

⁴

= ( a

²

+ b

²

)

²

− 2 a b

² ²

a

⁶

+ b

⁶

= ( ) ( ) ( a

² ³

+ b

² ³

= a

²

+ b

²

)( a

⁴

− a b

² ²

+ b

⁴

)

II - BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 4.

Chứng minh các đẳng thức sau trên điều kiện xác định của chúng:

a)

1 tan² ¹₂ x cos

+ = x

b)

1 cot² ¹₂

x sin + = x

c) ( sin x + cos x )

²

= + 1 2sin cos x x d) ( sin x − cos x )

²

= − 1 2 sin cos x x

...

(7)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

Ví dụ 5.

Chứng minh các đẳng thức sau trên điều kiện xác định của chúng:

a) sin

⁴

x + cos

⁴

x = − 1 2 sin

²

x cos

²

x b) sin

⁶

x + cos

⁶

x = − 1 3sin

²

x cos

²

x

...

Bài 15. Chứng minh các đẳng thức sau trên điều kiện xác định của chúng:

a) sin

⁴

x − cos

⁴

x = sin

²

x − cos

²

x = 2sin

²

x − = − 1 1 2 cos

²

x b)

^{sin .cos}x x

(

^{1 tan}+ x

)(

^{1 cot}+ x

)

= +1 2 sin cosx x

c) ( ) ( )

2 2

sin cos

sin cos cos 1 tan sin 1 cot

x x

x x − x x = −

+ +

d) cos sin 1

tan cot

1 sin 1 cos sin cos

x x

x x x x

  

+ + =

  

+ +

  

Bài 16. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x : a) C = sin

⁶

x + cos

⁶

x + 3sin

²

x cos

²

x

b) D = cos

²

x ( cos

²

x + 2sin

²

x + sin

²

x tan

²

x )

c)

E = sin⁴x+4 cos²x+ cos⁴x+4sin²x

d) F = 3 sin (

⁸

x − cos

⁸

x ) ( + 4 cos

⁶

x − 2sin

⁶

x ) + 6 sin

⁴

x

(8)

MS: HH10-C2

C – BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1 Bài 17. Rút gọn các biểu thức lượng giác sau:

2 cos

2

1 sin cos A x

x x

= −

+

^sin ^tan sin .cos

tan

x x

B x x

x

= + −

tan cos

1 sin C x x

= + x

+ ²

cos .tan

cos .cot sin

x x

D x x

= x −

(

^{1 sin}

)

^tan²

(

^{1 – sin}

)

E= + x x x

2 2

sin cos

1 1 cot 1 tan

x x

F = − x − x

+ +

( cot tan )

²

– tan – cot ( )

²

G = x + x x x

^H ⁼^sin³ ^x

(

^{1 cot}⁺ ^x

)

⁺^cos³^x

(

^{1 tan}⁺ ^x

)

( 1 – sin

²

) cot

²

1 – cot

²

I = x x + x

2 2

4 4 2

cos sin

sin cos sin 1

x x

J x x x

= − −

+ −

Bài 18. Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) tan

²

x – sin

²

x = tan

²

x .sin

²

x b) cot

²

x – cos

²

x = cot

²

x .cos

²

x c) sin

⁴

x – cos

⁴

x = 2sin

²

x – 1 d)

2 2

cot sin

sin .cos

cot tan

x x

− =

−

e)

^{1 sin} ^cos cos 1 sin

x x

− −

+

f)

^tan ^sin cos

sin cot

x x

x − x = x

g)

2 2

tan cot 1

1 tan cot 1

x x

⋅ − =

− h)

^sin ^cos ¹ ^cos

sin cos 1 1 sin

x x x

+ −

− + = +

i)

1 2 sin .cos₂ ₂ tan 1

sin cos tan 1

x x x

+ +

− = −

j)

2

2 2

1 sin

1 2 tan 1 sin

x x

x

+ = +

−

Bài 19. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x, y:

a) ( cot x + tan x )

²

– cot – tan ( x x )

²

b) cos

²

x .cot

²

x + 3cos

²

x – cot

²

x + 2 sin

²

x c) 2 sin (

⁶

x + cos

⁶

x ) ( – 3 sin

⁴

x + cos

⁴

x )

d) sin

²

x .tan

²

x + 2 sin

²

x – tan

²

x + cos

²

x e) 2 cos

⁴

x – sin

⁴

x + sin

²

x .cos

²

x + 3sin

²

x

f)

^{2 sin}

(

⁴ ^x⁺^cos⁴^x⁺^sin² ^x^.cos² ^x

) (

² ^{– sin}⁸^x⁺^cos⁸ ^x

)

g)

^sin² ^x

(

^{1 cot}⁺ ^x

)

⁺^cos²^x

(

^{1 – tan}^x

)

h) sin

⁶

x + cos

⁶

x – 2 sin

⁴

x – cos

⁴

x + sin

²

x

i) sin

⁸

x + cos

⁸

x + 6 sin

⁴

x .cos

⁴

x + 4 sin

²

x .cos

²

x ( sin

⁴

x + cos

⁴

x ) + 1

(9)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

D – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 1 Câu 1.

[0H2-1] Giá trị của

E = sin 36 cos 6 ° ° − sin126 cos84 ° ° là

A.

¹

2

. B.

³

2

. C.

1

. D.

−1

.

Câu 2.

[0H2-1] Cho

α và β là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

A.

sin

α

=sin

β . B.

cos

α

= −cos

β . C.

tan

α

= −tan

β . D.

cot

α

=cot

β . Câu 3.

[0H2-1] Cho

α là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A. sin α < 0 . B. cos α > 0 . C. tan α < 0 . D. cot α > 0 . Câu 4.

[0H2-1] Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A. cos 45 ° = sin 45 ° . B. cos 45 ° = sin135 ° . C. cos 30 ° = sin120 ° . D. sin 60 ° = cos120 ° . Câu 5.

[0H2-1] Tam giác

ABC vuông ở

A

có góc B

= 30 ° . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. 1

cos

= 3

B . B.

sin ³

= 2

C

. C.

cos ¹

=2

C

. D.

sin ¹

= 2 B

. Câu 6.

[0H2-1] Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A. sin α = sin 180 ( ° − α ) . B. cos α = cos 180 ( ° − α ) .

C. tan α = tan 180 ( ° − α ) . D. cot α = cot 180 ( ° − α ) .

Câu 7.

[0H2-1] Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây

A. cos 35 ° > cos10 ° . B. sin 60 ° < sin 80 ° . C. tan 45 ° < tan 60 ° . D. cos 45 ° = sin 45 ° . Câu 8.

[0H2-1] Cho hai góc nhọn

α và β phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?

A.

sin

α

= −cos

β . B.

cos

α

=sin

β . C.

cos

β

=sin

α . D.

cot

α

=tan

β . Câu 9.

[0H2-1] Giá trị cos 45

° + sin 45 ° bằng bao nhiêu?

A.

1

. B. 2 . C. 3 . D. 0 .

Câu 10.

[0H2-1] Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. sin 180 ( ° − α ) = − cos α . B. sin 180 ( ° − α ) = − sin α .

C. sin 180 ( ° − α ) = sin α . D. sin 180 ( ° − α ) = cos α .

Câu 11.

[0H2-1] Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. sin 0 ° + cos 0 ° = 0 . B. sin 90 ° + cos 90 ° = 1 . C. sin180 ° + cos180 ° = − 1 . D.

sin 60 cos 60 ^{3 1}

2

° + ° = +

. Câu 12.

[0H2-1] Tính giá trị biểu thức: sin 30 cos 60

° ° + sin 60 cos 30 ° ° .

A.

1

. B. 0 . C. 3 . D. − 3 .

Câu 13.

[0H2-1] Tính giá trị biểu thức: sin 30 cos15

° ° + sin150 cos165 ° °

A.

1

. B. 0 . C.

¹

2

. D.

³

−4

. Câu 14.

[0H2-1] Tính giá trị biểu thức: cos 30 cos 60

° ° − sin 30 sin 60 ° °

A. 3 . B.

³

2

. C.

1

. D. 0 .

(10)

MS: HH10-C2

Câu 15.

[0H2-1] Cho hai góc

α và β với α

+

β

=90°

. Tìm giá trị của biểu thức:

sin

α

cos

β

+sin

β

cos

α

A. 0 . B.

1

. C.

−1

. D.

2

.

Câu 16.

α và β với α

+

β

=90°

, tìm giá trị của biểu thức:

cos

α

cos

β

−sin

β

sin

α

A. 0 . B.

1

. C.

−1

. D.

2

Câu 17.

α và β với α

+

β

=180°

, tìm giá trị của biểu thức:

cos

α

cos

β

−sin

β

sin

α

A. 0 . B.

1

. C.

−1

. D. 2.

Câu 18.

[0H2-2] Cho sin ¹

α

=3

. Tính giá trị biểu thức P = 3sin

²

α + cos

²

α . A.

²⁵

P= 9

. B.

⁹

P=25

. C.

¹¹

P= 9

. D.

⁹ P=11

. Câu 19.

[0H2-2] Cho

α là góc tù và

sin ⁵

α

=13

. Giá trị của biểu thức 3sin α + 2 cos α là

A. 3 . B.

⁹

−13

. C. − 3 . D.

⁹

13

. Câu 20.

[0H2-2] Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng?

A.

sin150 ³

° = − 2

. B.

cos150 ³

° = 2

. C. 1

tan150

° = − 3 . D. cot150 ° = 3 . Câu 21.

[0H2-2] Cho hai góc nhọn

α và β trong đó α

<

β . Khẳng định nào sau đây là sai?

A.

cos

α

<cos

β . B.

sin

α

<sin

β . C. α β + = 90

^O ⇒

cos α = sin β . D.

tan

α

+tan

β

>0

.

Câu 22.

[0H2-2] Tam giác đều

ABC có đường cao

AH

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

sin ³

= 2

BAH

. B. 1

cos BAH = 3 . C.

sin ³

= 2

ABC

. D.

sin ¹

= 2 AHC

. Câu 23.

[0H2-2] Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. sin 90 ° < sin150 ° . B. sin 90 15' ° < sin 90 30 ' ° . C. cos90 30' ° > cos100 ° . D. cos150 ° > cos120 ° . Câu 24.

[0H2-2] Trong các hệ thức sau, hệ thức nào không đúng?

A. (

^sin

α

⁺^cos

α )

² ^{= +}^{1 2 sin}

α

^cos

α . B. (

^sin

α

⁻^cos

α )

² ^{= −}^{1 2sin}

α

^cos

α .

C.

cos⁴

α

−sin⁴

α

=cos²

α

−sin²

α . D.

cos⁴

α

+sin⁴

α

=1

. Câu 25.

[0H2-2] Cho tam giác

ABC . Hãy tính sin .cos A ( B C + ) + cos .sin A ( B C + )

A. 0 . B.

1

. C.

−1

. D.

2

.

Câu 26.

[0H2-2] Cho tam giác

ABC . Hãy tính cos cos A ( B C + ) − sin sin A ( B C + )

A. 0 . B.

1

. C.

−1

. D.

2

.

Câu 27.

[0H2-2] Nếu tan

α = 3 thì cos α bằng bao nhiêu?

A.

¹⁰

± 10

. B.

¹⁰

10

. C.

¹⁰

− 10

. D.

¹ 3

. Câu 28.

[0H2-2] cos

α bằng bao nhiêu nếu

cot ¹

α

= −2

? A.

⁵

± 5

. B.

⁵

2

. C.

⁵

− 5

. D.

¹

−3

.

(11)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

V V

V Vấn đề ấn đề ấn đề ấn đề 2222. . . . TÍCH VÔ H TÍCH VÔ H TÍCH VÔ H TÍCH VÔ HƯ Ư ƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Ư ỚNG CỦA HAI VÉCTƠ ỚNG CỦA HAI VÉCTƠ ỚNG CỦA HAI VÉCTƠ

A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Gócgiữahaivéctơ:

•

Góc của hai véctơ AB

và CD

là góc tạo bởi hai tia

Ox

, Oy lần lượt cùng hướng với hai tia

AB

và

CD

. Ngh

ĩ

a là:

xOy = (AB CD , ) .

• Cho

a b, ≠0

.

T

ừ

m

ộ

t

đ

i

ể

m

O

b

ấ

t kì v

ẽ

OA a =

, OB b =

. Khi

đ

ó ( a b

,

) =

AOB v

^ớ

i 0 ° ≤

AOB ≤ 180 ° .

Lưu ý: Các trường hợp đặc biệt:

①

( ) a b

,

= 90 ° ⇔ a

⊥ b

^②^②^②^②

( ) a b

,

= ° ⇔ 0 a b

,

cùng h

^ướ

ng

③③

( ) ( ) a b

,

= b a

,

^④^④^④^④

( ) a b

,

= 180 ° ⇔ a b

,

ng

^ượ

c h

^ướ

ng

⑤

Nếu a = 0

, b = 0

thì góc xen giữa là tùy ý từ

0°

đến

180°

.

2. Tíchvôhướngcủahaivéctơ:

•

Định nghĩa:

a b

.

= a b

.

cos ( ) a b

,

.

Đặ

c bi

ệ

t:

①①①①

a a a . =

²

= a

²

;

②②②②

AB

²

= AB

²

;

③③③③ 0.a a= .0=0,∀a

④

( ) a b

,

= ° ⇔ 0 a b

,

cùng h

^ướ

ng: a b

.

= a b

.

(bằng tích độ dài)

⑤

( ) a b

,

= 180 ° ⇔ a b

,

ngược hướng: a b . = − a b .

(bằng âm tích độ dài)

• Tính chất: Với

a

, b

,

c

bất kì và

∀ ∈k ℝ

, ta có:

①

a b b a . = .

②

②②

②

a b c

. (

±

) = a b a c

.

± .

③③

( ) ka b

.

= k a b ( )

.

= a kb

. ( )

^④^④^④^④â² ^≥^0;â² ^{= ⇔}⁰ â⁼⁰

⑤

(

^{a b}⁺

)

² ⁼^a²⁺²^{ab b}⁺² ^⑥^⑥^⑥^⑥

(

^{a b}⁻

)

² ⁼^a²⁻²^{ab b}⁺²

⑦

a

²

− b

²

= ( a b a b

−

)(

+

)

^⑧^⑧^⑧^⑧

a b

.

> ⇔ 0 ( ) a b

,

là góc nhọn

⑨⑨

a b

.

< ⇔ 0 ( ) a b

,

là góc tù

^⑩^⑩^⑩^⑩

a b

.

= ⇔ 0 ( ) a b

,

là góc vuông

3. Biểuthứctọađộcủatíchvôhướng:

Cho hai véct

ơ a=

(

a a1; 2

)

và b = ( b b

1

;

2

)

. Khi

đ

ó:

①

① a b. =a b1. 1+a b2. 2

②

②②

②

a = a

1²

+ a

2²

③

③③

③

AB = AB = ( x

B

− x

A

)

²

+ ( y

B

− y

A

)

²

④

( )

₂ ^{1 1}₂ ^{2 2}₂ ₂

1 2 1 2

cos ; .

. .

a b a b a b a b

a b a a b b

= = +

+ +

, v

ớ

i a ≠ 0

, b ≠ 0

.

⑤

Đặc biệt

a⊥b⇔a b_{1 1}+a b_{2 2}=0

.

x

A B

C

D O

y 0° ≤xOy≤180°

D C

A B

_{xO y}₌₁₈₀_°

C D

A ^{xO y}^{= °}⁰ B

O A

B b

a

a b

(12)

MS: HH10-C2

B - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1. Tính tích vô hướng của hai véctơ. Góc giữa hai véctơ

3.

3.3. Tíchvôhướng:

Ta có thể lựa chọn một trong các hướng sau:

Hướng 1: Sử dụng định nghĩa bằng cách đưa hai vectơ a

và b

về cùng chung gốc để xác

đị

nh chính xác góc α = ( ) a b

;

sau

^đ

ó dùng công th

ứ

c: a b

.

= a b

.

cos ( ) a b

,

Hướng 2: Sử dụng các tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai

vectơ.

Hướng 3: Nếu đề bài cho dạng tọa độ a=

(

a a1; 2

)

và b = ( b b

1

;

2

)

thì:

1 1 2 2

a b. =a b +a b

Hướng 4: Trong

∆ ABC, n

ế

u bi

ế

t

độ

dài 3 c

ạ

nh:

( )

²

( )

2 2 1 2 2 2

. 2

BC =BC = AC AB− ⇒AC AB= AB +AC −BC

Chú ý: Khi tính tích vô hướ

ng c

ủ

a hai vect

ơ

ta th

ườ

ng:

Bi

ế

n

đổ

i các vect

ơ

v

ề

chung gốc

để

vi

ệ

c tìm góc gi

ữ

a 2 vect

ơ

d

ễ

dàng h

ơ

n.

Ví d

ụ

: AB BC . = − BA BC .

Đư

a v

ề

các vect

ơ

cùng ph

ươ

ng ho

ặ

c vuông góc.

Ví d

ụ

: n

ế

u

ABCD

là hình ch

ữ

nh

ậ

t (hình vuông) thì: AB AC . = AB AB BC . ( +

)

4.

4.4. Tínhgóc:

Góc gi

ữ

a hai vect

ơ

: ( )

₂ ^{1 1}₂ ^{2 2}₂ ₂

1 2 1 2

cos ; .

. .

a b a b a b a b

a b a a b b

= = +

+ +

, v

ớ

i a ≠ 0

, b ≠ 0

. Các góc c

ủ

a ∆ ABC:

• cos A = cos ( AB AC , ) = AB AC AB AC . .

• cos B = cos ( BA BC , ) = BA BC BA BC . .

• cos C = cos ( CA CB , ) = CACB CA CB . .

Ví dụ 6.

Cho tam giác đều

ABC

, đường cao

AH

. Hãy vẽ và tính các góc của các cặp véctơ sau:

a) ( AB AC , ) b) ( AB BC , ) c) ( AH BC , ) d) ( HA AB , )

...

A

B C

(13)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

Ví dụ 7.

Cho tam giác

ABC

đều cạnh a , đường cao

AH

. Tính các tích vô hướng sau:

a) AB AC . b) AH AC . c) AB AB AC . ( +

) d) AC AC AB . ( −

) d) ( AB AC AC AB + )( − )

...

Ví dụ 8.

Cho tam giác

ABC

vuông tại

C

có

CA b=

. Tính AB CA .

.

...

Ví dụ 9.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm

^A

(

^{1; 2}⁻

) và

^B

(

⁻^3;1

) .

a) Tính OA OB . . b) Tính

AOB .

...

(14)

MS: HH10-C2 Ví dụ 10.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tính góc giữa hai vectơ

a

và b

trong các trường hợp sau:

a)

^a⁼

(

^{2; 3}⁻

) , b

= ( 6; 4 ) . b)

^a⁼

(

^{3; 2}

) , b

= ( 5; 1 − ) . c) a

= − − ( 2; 2 3 ) , b

= ( 3; 3 ) .

...

Bài 20. a) Cho

∆ABC

vuông tại

A

và

BC=a

,

ABC = 60 ° . Tính CB BA . . b) Cho

∆ABC

vuông cân tại

A

và

BC =a

. Tính BC CA . .

Bài 21. Cho hình thang vuông

ABCD

, đường cao

AB=2a

, đáy lớn

BC =3a

, đáy nhỏ

AD=2a

. a) Tích các tích vô hướng: AB CD . , BD BC . , AC BD . .

b) Gọi

I

là trung điểm của

CD

, tính AI BD . . Từ đó suy ra góc của hai vectơ AI

và BD . Bài 22. Cho hình vuông

ABCD

tâm

O

, cạnh a . Tính giá trị các biểu thức sau:

a) AB AC . b) AC AB AD ( +

)

c) AB BD . d) ( AB AD BD BC + )( + )

e) (

AC AB −

)( 2

AD AB −

) f) ( AB AC BC BD BA + )( + + )

g) OA AB . h) ( AB AC AD DA DB DC + + )( + + )

Bài 23. Cho

∆ABC

, trên cạnh

BC

lấy 2 điểm

E

,

F

sao cho

BE=EF=FC

. Đặt AE a =

, EB b =

. a) Biểu thị

AB BC AC, ,

theo các véctơ

a v b à

. b) Tính AB AC . nếu

a =5

, b = 2

, ( ) a b

,

= 120 ° .

Bài 24. a) Tính a b a b + , −

nếu a = 5, b = 8

, ( ) a b

,

= 60 ° .

b) Cho a = 13, b = 19

, a b + = 24

. Tính a b −

. Bài 25. Cho các véctơ

a b c, ,

thỏa

a b c+ + =0

và a = 1, b = 3, c = 4

. Tính

a b b c c a. + . + .

. Bài 26. Cho tam giác đều

ABC

cạnh a .

G

là trọng tâm tam giác,

M

là trung điểm của

BC

. Tính:

a)

AB AC BA CB AB BC BC CA CA AB. , . , . + . + .

b) AB . 2 ( AB − 3 AC ) , MC CA AM GA . , .

Bài 27. Cho

∆ABC

có

AB=3

,

BC=6

và

CA=8

. a) AB AC . và độ dài trung tuyến

AM

. b) Cho điểm

I

thỏa: 3 CI = 5 IA

. Tính AI BI . và độ dài

BI

.

(15)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

Dạng 2. Tính độ dài của một đoạn thẳng

I - PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta thường sử dụng:

• Quy t

ắ

c bi

ế

n

đổ

i:

^BC² ⁼^BC² ⁼

(

^{AC AB}⁻

)

²

t

^ứ

c là bi

^ế

n

^đổ

i phép tính

độ

dài

đ

o

ạ

n thẳng thành phép tính tích vô hướng.

• Công thức tọa độ: AB = AB = ( x

B

− x

A

)

²

+ ( y

B

− y

A

)

²

(nếu đề bài có liên quan đến

t

ọ

a

độ

).

Ví dụ 11.

Cho tam giác

ABC

có

AB=3a

,

AC=a

,

A =60°

. Tính AB AC . . Suy ra độ dài

BC

và độ dài trung tuyến

AM

.

...

Ví dụ 12.

Cho hai điểm

^A

(

^4;3

) và

^B

(

^{2; 1}⁻

) .

a) Tìm điểm

N

thuộc Oy sao cho

N

cách đều hai điểm

A

và

B

. b) Tìm điểm

M

trên trục hoành sao cho MA MB +

đạt giá trị nhỏ nhất.

...

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 28. Cho

∆ABC

có

AB=2

,

AC =3

và

A = 120 ° .

a) Tính độ dài

BC

và trung tuyến

AM

. b) Gọi

I

,

J

là 2 điểm định bởi: 2 IA IB + = 0

, JB − 2 JC = 0

. Tính BI BJ . và độ dài

IJ

.

(16)

MS: HH10-C2

Dạng 3. Chứng minh vuông góc

I - PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta có thể lựa chọn một trong các hướng sau:

Hướng 1: Dùng tính chấ

t tích vô h

ướ

ng:

( )

0

. 0 . cos , 0 0

cos , 0

a

a b a b a b a b b

a b

 =



⊥ ⇔ = ⇔ = ⇔ =



 =

Hướng 2: Dùng tọ

a

độ

:

a⊥b ⇔a b. = ⇔0 a b_{1 1}+a b_{2 2} =0

Ví dụ 13.Chứng minh rằng hai đường chéo của một hình thoi ABCD vuông góc với nhau.

...

Ví dụ 14. Cho ba điểm A, B, M . Gọi O là trung điểm của đoạn AB. C/minh:

4.MO

²

= AB

²

⇔ MA ⊥ MB

. ...

...

Ví dụ 15.Cho ∆ABC với ^A

(

^10;5

)

^,^B

(

^{3; 2}

)

^,^C

(

^{6; 5}⁻

)

. Chứng minh rằng ∆ABC vuông tại B.

...

(17)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

Ví dụ 16.

Trong hệ trục tọa độ ( O i j , , ) , cho

^a⁼

(

^{1; 2}

) và b

= ( x ; 1 − ) .

a) Tìm x để

a

và b

vuông góc với nhau. b) Tìm x để độ dài của

a

và b

bằng nhau.

...

Bài 29. Cho

∆ABC đều

cạnh a . Gọi

M

,

N

,

P

là 3 điểm sao cho:

¹ , ¹ , ⁵

2 3 8

BM = BA BN = BC AP= AC

a) Tính

AM AN,

theo AB

và AC

. b) Chứng minh:

MP⊥AN

.

Bài 30. Cho

∆ABC

đều cạnh

3a

. Trên 3 cạnh

BC

,

CA

,

AB

lấy

M

,

N

,

P

thỏa:

BM =a

,

CN =2a

,

AP x=

(

⁰^{< <}^x ³^a

) .

a) Tính AM

theo AB

và AC . b) Chứng minh: 1

3

PN AC x AB

a

 

=



−



 

. c) Tìm x theo a để

AM ⊥NP

.

Bài 31. Cho điểm

I

nằm trong đường tròn tâm

O

. Kẻ qua

I

hai dây cung

AB

và

CD

vuông góc với nhau. Gọi

M

AD

. Chứng minh rằng:

BC⊥IM

.

Bài 32. Cho tứ giác

ABCD

có hai đường chéo

AC

và

BD

cắt nhau tạo

O

. Gọi

H

,

K

lần lượt là trực tâm của tam giác

_ABO

và

CDO

;

I

,

J

lần lượt là trung điểm của

AD

,

BC

. Chứng minh:

HK ⊥IJ

.

Bài 33. Cho

∆ABC

đều, trên

BC

,

CA

,

AB

lấy các điểm

D

,

E

,

F

thỏa 3DB BC =

, 3 CE = 2 CA

và 15 AF = 4 AB

. Chứng minh:

AD⊥EF

.

Bài 34. Cho hình vuông

OACB

và một điểm

M

thuộc

OC

. Kẻ đường

PP′

qua

M

và vuông góc với

OA

, đường QQ′ qua

M

và vuông góc với

OB

.

a) Chứng minh: AM = PQ . b) Chứng minh: AM ⊥ PQ .

Bài 35. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để

∆ABC

vuông là: BA BC . = AB

²

(18)

MS: HH10-C2

Dạng 4. Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài

• Sử dụng tính chất giao hoán và phân phối về tích vô hướng.

• Với các biểu thức về tích vô hướng, ta sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của tích vô hướng. Cần đặt biệt lưu ý phép phân tích vectơ để biến đổi +, –, quy tắc trung điểm, quy tắc hình bình hành,...

• Với các công thức về độ dài, ta thường sử dụng:

AB² = AB² =AB AB.

. Cần nắm vững

các hình tính của những hình cơ bản.

•

Để

ch

ứ

ng minh v = 0

ta có th

ể

ch

ứ

ng minh tích vô h

ướ

ng c

ủ

a

v

ớ

i hai vect

ơ

không cùng ph

ươ

ng b

ằ

ng 0, t

ứ

c là

v

có 2 giá khác nhau.

Ví dụ 17.Cho tam giác ABC bất kì, gọi I là trung điểm AB. Chứng minh:

2

2 2 2

2 2

CA + CB = CI + AB

. ...

...

Ví dụ 18. Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì.

a) Chứng minh rằng AB CD BC AD CA BD . + . + . = 0

b) Suy ra rằng 3 đường cao của một tam giác bất kì đòng qui tại một điểm gọi là trực tâm.

...

(19)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 36. Cho hình chữ nhật

ABCD

tâm

O

. Gọi

M

là điềm tùy ý. Chứng minh rằng:

a) MA MC + = MB MD .

b) MA

²

+ MC

²

= MB

²

+ MD

²

c) MA MC . = MB MD . d) MA

²

+ MB MD . = 2 MA MO .

Bài 37. Cho hai điểm

A

và

B

. Gọi

O

AB

và

M

là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng: MA MB OM . =

²

− OA

²

.

Bài 38. Cho

∆ABC

, gọi

M

BC

. Chứng minh AB AC . = MA

²

− MB

²

. Bài 39. Cho 4 điểm

A, B, C, D

tùy ý.

a) Chứng minh rằng AB CD AC BD AD BC . + . + . = 0 . Suy ra cách chứng minh định lý “ba đường cao trong tam giác đồng qui”.

b) Chứng minh rằng: AB

²

+ CD

²

− BC

²

− AD

²

= 2 CA BD . suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

Bài 40. Cho

∆ABC

có trọng tâm

G

. Lấy điểm

M

tùy ý.

a) Chứng minh: MA

²

+ MB

²

+ MC

²

= 3 MG

²

+ GA

²

+ GB

²

+ GC

²

.

b) Suy ra rằng:

² ² ² ¹

(

² ² ²

)

GA +GB +GC =3 a +b +c

;

² ² ¹

(

² ² ²

)

OG =R −9 a +b +c

(Với

O

là tâm và

R

là bán kính đường tròn ngoại tiếp

∆ABC

;

BC a=

,

AC b=

,

AB c=

)

Bài 41. Cho

∆ABC

có trọng tâm

H

. Gọi

M

BC

. Chứng minh rằ ng:

a)

. ¹ ²

MH MA= 4BC

b)

² ² ² ¹ ²

MH +MA =AH +2BC

Bài 42. Gọi

I

là trung điểm của đoạn

AB

,

M

là một điểm tùy ý. Gọi

H

là hình chiếu của

M

lên đường thẳng

AB

. Chứng minh rằng:

a)

^. ¹

(

² ²

)

MI MA= 2 MB −MA

b)

. ² ¹ ²

MA MB MI= −4AB

c)

² ² 2 ² ¹ ²

MA +MB = MI +2AB

d) MA

²

− MB

²

= 2 IH AB .

Bài 43. Cho hai điểm

M

,

N

nằm trên đường tròn đường kính

AB=2R

. Gọi

I

là giao điểm của hai đường thẳng

AM

và

BN

.

a) Chứng minh:

AM AI. = AB AI BN BI. ; . =BA BI.

b) Tính AM AI BN BI . + . theo

R

. Bài 44. Từ điểm

P

trong đường tròn kẻ 2 dây vuông góc

APB

và CPQ . Chứng minh rằng đường

chéo PQ của hình chữ nhật APCQ vuông góc với

PD

.

Bài 45. Cho

∆ABC

có

AA′

,

BB′

,

CC′

là các đường trung tuyến,

G

là trọng tâm,

M

là điểm tùy ý.

Chứng minh rằng:

a) AA BC BB CA CC AB ′ . + ′ . + ′ . = 0 . b) MA BC MB CA MC AB ′ . + ′ . + ′ . = 0

c)

^. ^. ^. ² ² ² ¹

(

² ² ²

)

MA MB MB MC MC MA MA+ + = +MB +MC −2 AB +BC +CA

d)

^. ^. ^. ² ² ² ¹

(

² ² ²

)

MA MB MB MC MC MA MA+ + = ′ +MB′ +MC′ −4 AB +BC +CA

e)

² ² ² ² ² ² ¹

(

² ² ²

)

MA +MB +MC =MA′ +MB′ +MC′ +4 AB +BC +CA

(20)

MS: HH10-C2

Dạng 5. Tập hợp điểm – Cực trị

1. Các tập hợp điểm cơ bản: Cho đoạn AB

, tập hợp các điểm

M

thỏa:

• AM AB . = 0 là đường thẳng vuông góc với

AB

tại

A

.

• MA MB . = 0 là

đườ

ng tròn

đườ

ng kính

AB

.

2. Các dạng thường gặp:

•

Dạng 1:

AM

²

= k > 0 :

M

thuộc đường tròn tâm

A

, bán kính R = k .

•

Dạng 2:

MA MB k . = , v

ớ

i

A

,

B

c

ốđị

nh và

k

không

đổ

i.

G

ọ

i

I

là trung

đ

i

ể

m

AB

, ta

đượ

c:

Ta có: k = MA MB . = ( MI IA MI IB + )( + ) ( = MI IA MI IB + )( − )

2

2 2 2

. 4

k = MA MB MI = − IA = MI − AB

2 2

4 MI k AB

⇒

= + .

Đặt

2

4 l k AB

⇒

= + .

Khi

đ

ó:

N

ế

u

l<0

:

M

không t

ồ

n t

ạ

i

N

ế

u

l=0

thì

M ≡I

: là trung

đ

i

ể

m

AB

N

ế

u

l>0

:

M

thu

ộ

c

đườ

ng tròn tâm

I

, bán kính R = l .

L

ư

u ý các phép bi

ế

n

đổ

i vect

ơ

, quy t

ắ

c trung

đ

i

ể

m, tr

ọ

ng tâm,

đặ

c bi

ệ

t là tâm t

ỉ

c

ự I

thì ta phải chọn

đặt và chứng minh I

cố định rồi chèn

I

vào biểu thức vectơ tương ứng. nếu không có tâm tỉ cự của hệ điểm thì chọn tâm tỉ cự của bộ phận điểm.

•

Dạng 3:

α MA

²

+ β MB

²

+ γ MC

²

= k , v

ớ

i α β γ + + ≠ 0 ,

A

,

B

,

C

c

ố đị

nh và

k

không đổi.

Gọi

I

là điểm cố định thỏa α

IA+

β

IB+

γ

IC=0

.

Ta có: α MA

²

+ β MB

²

+ γ MC

²

= k ⇔ ( α β γ + + ) MA

²

= − k ( α IA

²

+ β IB

²

+ γ IC

²

)

(

² ² ²

)

2 k IA IB IC

MI

α β γ

− + +

= + +

. Đặt

^k

(

ÎA² ÎB² ÎC²

)

h

α β γ

− + +

= + +

Nh

ư

v

ậ

y t

ậ

p h

ợ

p các

đ

i

ể

m

M

là:

Đườ

ng tròn tâm

I

, bán kính h n

ế

u

h>0

.

Đ

i

ể

m

I

n

ế

u

h=0

.

∅

n

ế

u

h<0

.

3. Bài toán cực trị hình học

a) Cho I

là

đ

i

ể

m c

ốđị

nh,

M

thay

đổ

i thì MI bé nh

² ấ

t khi

M ≡I

.

b)

Cho

I

là

đ

i

ể

m c

ốđị

nh,

M

thay

đổ

i trên

đườ

ng th

ẳ

ng

d

thì

MI

bé nh

ấ

t khi

M

là hình chi

ế

u c

ủ

a

I

lên

đườ

ng th

ẳ

ng

d

.

c)

M

ộ

t s

ố

b

ấ

t

đẳ

ng th

ứ

c

đượ

c

đ

ánh giá t

ừ

các bình ph

ươ

ng vô h

ướ

ng

đặ

c bi

ệ

t:

(

^{a b}⁺

)

² ^≥⁰

, (

ⁱ^{+ +}^{j k}

)

² ^≥⁰

, …

(21)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

II - BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 19.

Cho tam giác

ABC

. Tìm tập hợp những điểm

M

sao cho:

a) AM AB . = AB AC . b) MA MB MA MC . + . = 0

...

Ví dụ 20.

Cho tam giác

AB

có độ dài bằng

3a

. Tìm tập hợp những điểm

M

thỏa:

a) MA MB . = AB

²

b) MA

²

+ 2 MB

²

= AB

²

...

(22)

MS: HH10-C2 Ví dụ 21.

Cho

∆ABC

cố định,

_G

là trọng tâm.

a) Chứng minh: MA MB MB CA MC AB . + . + . = 0

b) Chứng minh rằng với mọi điểm

M

ta có: MA

²

+ MB

²

+ MC

²

= 3 MG

²

+ GA

²

+ GB

²

+ GC

²

c) Với vị trí nào của điểm

M

thì tổng MA

²

+ MB

²

+ MC

²

có giá trị bé nhất và giá trị đó bằng

bao nhiêu?

...

III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 46. Cho

∆ABC<