Ứng dụng vector chứng minh các bài toán có yếu tố vuông góc trong đề thi học sinh giỏi

Trở lại với một bổ đề nhiều ứng dụng

Lê Phúc Lữ (ĐH KHTN TPHCM),

Trương Tuấn Nghĩa (THPT Chuyên KHTN HN), Vương Nhật Tín (THPT Chuyên Hoàng Lê Kha, Tây Ninh)

Trước hết, ta xét bài toán sau đây có xuất hiện trên tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 355, tháng 01/2007 của thầy Hồ Quang Vinh (Hà Nội). Sau đó, vào năm 2015, thầy Trần Quang Hùng (THPT Chuyên KHTN Hà Nội) cũng có một bài viết khai thác các ứng dụng của nó một cách rất sâu sắc.

Bài toán 1. Cho tam giác ABC nhọn không cân có các đường cao AD, BE, CF. Giả sử DE, DF lần lượt cắt CF, BE theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng qua A, vuông góc với M N thì đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp K của tam giác BHC.

Cách giải quen thuộc của bài này là dùng trục đẳng phương. Bên dưới, ta xét một cách tiếp cận khác theo kiểu vector, cũng chính là lời giải mà tác giả bài viết đã nộp cho Tạp chí THTT năm đó.

Lời giải. Để ý rằngAlà trực tâm của tam giácBHC nên ta có ngay2−−→

AK =−→

AB+−→

AC+−−→

AH.

Từ đó ta tính được 2−−→

AK·−−→

M N = (−→

AB+−→

AC+−−→

AH)(−−→

HN −−−→

HM)

=−→

AC·−−→

HN−−→

AB·−−→

HM +−−→

AH·−−→

HN −−−→

AH·−−→

HM

=F C·HN −EB·HM +F H·HN −EH·HM

=HN·(F C +F H)−HM ·(EB+EH).

Ta sẽ chỉ ra rằng HN·(F C +F H) =HM ·(EB+EH). Dựng B⁰, C⁰ lần lượt đối xứng với B, C qua cạnh đối diện. Ta có ngay EB+EH =HB⁰ và F C+F H =HC⁰.

Do đó, ta đưa về chứng minh các điểm M, N, B⁰, C⁰ nội tiếp. Thật vậy, bằng biến đổi góc có

∠CF M =∠HF D =∠HBD=∠CB⁰M

nên C, M, F, B⁰ nội tiếp. Suy raHF·HC =HM·HB⁰.Tương tự thìHE·HB =HN·HC⁰. Mặt khác, ta có HE·HB =HF ·HC nên dễ có điều phải chứng minh.

Ta còn thường gặp Bài toán 1 nói trên ở dạng sau thông qua phép đổi mô hình:

Bài toán 2. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O) có Ia là tâm bàng tiếp góc A. Giả sử BI, CI cắt AC, AB lần lượt tại E, F. Khi đó I_aO vuông góc với EF.

Tiếp theo, ta xét một số ứng dụng của hai mô hình trên.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp trong đường tròn (O) có các phân giác trong AD, BE, CF và T là trung điểm cung BC không chứaA của (O).Gọi I, J lần lượt là tâm nội tiếp, bàng tiếp góc A của tam giác. Lấy K thuộc OD sao cho T K ⊥EF.

1. Chứng minh rằng IK kOA.

2. EF cắt (O) tại các điểmM, N.Chứng minh rằng J M =J N.

3. Các tiaBI, CI cắt lại(O)theo thứ tự tạiB⁰, C⁰. Giả sửBC⁰, CB⁰ cắt nhau ởX. Chứng minh rằng XM =XN.

Ví dụ 2 (Arab Saudi TST, 2021).Cho đường tròn (O, R)và dây cung BC cố định, điểm A thay đổi trên (O)sao cho tam giác ABC không cân. Gọi BD, CE là các phân giác trong và I là tâm nội tiếp của tam giác ABC. Giả sử DE cắt BC tại F. Đường thẳng qua I vuông góc với IF cắt trung trực BC tại K. Chứng minh rằng OK = 3R.

Ví dụ 3 (Trường hè 2019).Cho tam giác ABC nhọn không cân có AD, BE, CF là các đường cao đồng quy tại H và X là tâm của (DEF). Gọi K, L là trung điểm HB, HC. Giả sử F K cắt DE tại M, EL cắt DF tại N. DK, DL cắt EF lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng các đường thẳng P M, QN, AX đồng quy.

Curve

A

B D C

E F

H X

K L

M

N P

Q

Z

R T

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có dây cung BC cố định và A di động trên (O).

Một đường tròn (O⁰) cố định đi qua B, C và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại F, E. Các đoạn BE, CF cắt nhau tại I và AI cắt BC ở D. Giả sử DE, IC cắt nhau ở N và DF, IB cắt nhau ở M. Chứng minh rằng đường thẳng qua A, vuông góc với M N thì luôn đi qua một điểm cố định.

Ví dụ 5. Cho tam giácABC có điểmDthay đổi trênBC vàI bất kỳ trên đoạnAD. Đường tròn (BDI) cắt lại AB ở F và đường tròn (CDI)cắt lại AC ở E. Chứng minh rằng đường thẳng qua A vuông góc với M N thì đi qua tâm của đường tròn(BIC).

Ví dụ 6 (Trần Quang Hùng). Cho tam giácABC nội tiếp(O). ĐiểmD nằm trong tam giác sao cho AD là phân giác ∠BAC. BD, CD lần lượt cắt CA, AB tại E, F. AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giácBDC lần thứ hai tạiK vàJ là điểm liên hợp đẳng giác củaK trong tam giác ABC. Chứng minh rằng OJ ⊥EF.

Tiếp theo, ta xét hai bài toán trong đề TST có dùng cách trực giao hóa hai tam giác để đưa về bổ đề đã nêu.

Ví dụ 7 (Việt Nam TST 2016). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có B, C cố định, A di động trên cung BC của (O). Các phân giácBE, CF cắt nhau tại I. BE, CF cắt đường tròn (O) tại K, L. AI cắt KL tại P. Gọi Q là một điểm trên EF sao cho QP =QI.

XétJ nằm trên (BIC)sao choIJ vuông gócIQ. Chứng minh rằng trung điểmIJ di chuyển trên một đường tròn cố định.

Ví dụ 8 (VN TST 2019). Cho tam giácABC không cần nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I). Giả sử BI cắt AC ở E và CI cắt AB ở F. Đường tròn qua E tiếp xúc với OB tạiB cắt(O)tại M. Đường tròn quaF tiếp xúc vớiOC tạiC cắt (O)tạiN. Các đường thẳng M E, N F cắt lại (O) lần lượt tại P, Q. Gọi K là giao điểm của EF và BC. Đường thẳng P Qcắt BC, EF lần lượt tại G, H. Chứng minh rằng trung tuyến qua G của tam giác GHK thì vuông góc với đường thẳng OI.

Ví dụ 9. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và (J) là đường tròn bàng tiếp góc A. Kẻ phân giác BE, CF và giả sử EF cắt (O)tại các điểm X, Y. Chứng minh rằng X, Y là tiếp tuyến chung ngoài của (O)và (J).

Ví dụ 10. Cho tam giácABC nội tiếp(O). Đường tròn (I_a) bàng tiếp góc A của tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi A⁰ là giao điểm của OIa với DE. Định nghĩa tương tự cho B⁰, C⁰. Chứng minh rằng AA⁰, BB⁰, CC⁰ đồng quy.

Ví dụ 11 (USA MO, 2016). Cho tam giác ABC có I, I_a, I_b, I_c lần lượt là tâm nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C và E, F lần lượt là hình chiếu của B, C lên AC, AB.

I_bF cắt I_cE tại P. BI, CI cắt AC, AB lần lượt tại X, Y. Chứng minh rằng I_aP ⊥XY.

Ví dụ 12. Cho tam giác nhọn không cân ABC có đường cao đỉnh B, C cắt (O) tại E, F, tâm đường tròn Euler N. Giả sử EF cắt BC ở K. Đường thẳng OK cắt AB, AC ở P, Q.

Chứng minh rằng AN chia đôiP Q.

Ví dụ 13 (Trần Quang Hùng). Cho tam giác ABC không cân có tâm đường tròn Euler N. Gọi X, Y, Z lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácN BC, N CA, N AB. Chứng minh rằng tâm đường tròn Euler tam giác XY Z nằm trên đường thẳng Euler tam giácABC.

Tiếp theo, ta phân tích một số bài phát triển từ bổ đề trên theo hướng nghịch đảo đối xứng.

Ví dụ 14. Cho tam giácABC nội tiếp(O)cóI là tâm nội tiếp,J là tâm bàng tiếp gócA và K là điểm đối xứng vớiAquaBC. Lấy các điểmX, Y trênAB, AC sao choXB =BC =CY. Ký hiệu T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácAXY. Chứng minh rằng

1. OJ ⊥XY.

2. Đường thẳngAT tiếp xúc với (AIK).

3. T J ⊥BC và bán kính đường tròn (AXY) bằng OJ.

Ở trên là một mô hình thú vị với nhiều hướng khai thác. Phiên bản quen thuộc hơn của bài toán này là dựng các điểm X, Y về phía tia BA, CA. Khi đó ta sẽ cóXY ⊥OI và bán kính của đường tròn (AXY) bằng độ dài đoạnOI.

Bài toán này có nhiều cách giải khác, chẳng hạn dùng vector. Liên quan đến mô hình này, trong tạp chí Toán học tuổi trẻ số 383 số 05/2009, cũng có bài toán của thầy Nguyễn Bá

Đang như sau: Chứng minh rằng với cách dựng trên thì M N

BC =p

3−2(cosA+ cosB+ cosC).

Tiếp theo, ta xét một bài khai thác mô hình trên như sau.

Ví dụ 15 (Brazil, 2017).Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn Γ. Giả sử tồn tại các điểm R và S trên các cạnh AB và AC sao cho BR=RS =SC. Tiếp tuyến qua A của Γ cắt RS tại P. Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ARS. Chứng minh rằng P A=P I.

Ví dụ 16 (Kiểm tra đội tuyển IMO, 2013).Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định trên đường tròn này. Giả sử B, C là các điểm thay đổi trên (O) sao cho ∠BAC =α không đổi.

Trên các tia BA, CA lần lượt lấy E, F sao cho BE = BC = CF. Gọi ρ là bán kính của (AEF). Chứng minh rằng

ρ≥R

sin ^π−3α₄ sin ^π+α₄ .

Cuối cùng, để kết thúc bài viết, ta xét hai bài toán rất đẹp và cũng rất khó sau đây.

Ví dụ 17. Cho tam giác ABC nhọn, không cân có tâm ngoại tiếp O và tâm bàng tiếp I_a của góc A. Xét S là điểm nằm trong tam giác sao cho

SA·BC =SB·CA=SC ·AB.

Gọi X, Y, Z lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácSBC, SCA, SAB.

1. Chứng minh rằng đường thẳng nối tâm bàng tiếp đỉnh A của tam giác ABC và đỉnh X của tam giácXY Z thì đi quaO.

2. Gọi F là điểm liên hợp đẳng giác với S và M N P là tam giác Pedal của F trong tam giác giác ABC. Gọi U là tâm bàng tiếp gócA của tam giác M N P. Chứng minh rằng F U kOI_a.

Ví dụ 18 (Định lý Emelyanov).

1. Cho tam giác ABC nội tiếp(O) có đường tròn bàng tiếp đỉnh A là(Ia). Gọi Ma, Mb, M_c lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó (M_aM_bM_c) tiếp xúc với (I_a) tại điểm F_a là điểm anti-steiner của OI_a đối với tam giácM_aM_bM_c.

2. Cho tam giác không cânABC có các phân giác AD, BE, CF. Chứng minh rằng đường tròn (DEF) đi qua điểm Feuerbach của tam giác ABC.

Tài liệu tham khảo

1. Trần Quang Hùng, Báo cáo tại Trường hè Giáo viên, 2015.

2. Trương Tuấn Nghĩa, Nguyễn Duy Khương, Tìm tòi khai thác và mở rộng một số bài toán hay về đường tròn Euler, 2018.

3. Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam, 2016 và 2019.

4. Lê Bá Khánh Trình, Bài giảng trường hè 2019.

5. Vương Nhật Tín, Báo cáo về định lý Emelyanov, Gặp gỡ Toán học 2020.

6. Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 355 và 383.

7. Group Facebook “Hướng tới Olympic Toán VN”.

8. https://artofproblemsolving.com/community/c5h1230491p6213572.

9. https://artofproblemsolving.com/community/c6h2579456p22191322.

10. https://artofproblemsolving.com/community/c6h1386490p7778473.

11. https://artofproblemsolving.com/community/c6h501024.