Những kiến thức hình học xoay quanh tứ giác điều hòa và ứng dụng

(1)

1 Định nghĩa và một số tính chất

1.1 Định nghĩa:

Tứ giác nội tiếpABCD được gọi là tứ giác điều hòa nếu tồn tại điểmM thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác sao cho M(ACBD) =−1, tức là(ACBD) =−1

1.2 Một số tính chất cơ bản của tứ giác điều hòa

Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp(O). Khi đó ta có các tính chất sau:

a, Với mọi điểm M nằm trên (O)thì ta luôn có M(ABCD) =−1.

b, AB

AD = CB

CD ⇔AB.CD=CB.AD

c,Tiếp tuyến tại A và C của (O)và BD đồng quy hoặc đôi một song song.

d,Gọi {I}=AC∩BD. Khi đó ta có: IA IC =

BA

BC 2

=

DA

DC 2

e,Tiếp tuyến tại A, C và BD đồng quy tạiP. Khi đó (P IBD) = −1.

f,Phân giác ABC[ và ADC\cắt nhau trên AC.

g,Gọi M là trung điểm AC thì ta có ADB\=M DC\.

(2)

2 Một số ví dụ về tứ giác điều hòa

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), AB∩CD = {P}; AD∩BC = {Q}; AC ∩BD = {M}.

Chứng minh O là trực tâm 4M P Q

(Định lý Brocard) Ví dụ 1

Qua Q kẻ hai tiếp tuyếnQE, QF với (O).EF cắt AD và BC lần lượt tại I, K.

Khi đó ta có tứ giác AEDF và BECF là tứ giác điều hòa ⇔(QIAD) = (QKBC) = −1

⇒DC, AB, IK và AC, BD, IK đồng quy. Mà OQ⊥EF ⇔P M ⊥OQ.

Chứng minh tương tự ta có:QM ⊥OP. Suy ra M là trực tâm 4P OQ.

Bài tập đề xuất(Sử dụng định lý Brocard): Cho tam giác ABC nội tiếp(O)có phân giác AD.

(ACD)∩AB={A, E};(ABD)∩AC ={A, F}. Chứng minh: DO ⊥EF

(Đề xuất bởi Nguyễn Đăng Khoa)

(3)

Cho tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa. Gọi M là trung điểm BD. Đường thẳng qua C song song với AD cắt AM tại P. Chứng minh 4P CD cân.

Ví dụ 2

Lời giải

Cách 1(Nguyễn Hoàng Phi): Gọi N là giao của tiếp tuyến tại A, C và BD.

Ta có: AC là đường đối trung trong 4BAD ⇒CP A[ =DAM\ =BAC[ =N DC.(1)\

Mặt khác ta có: \ACN =\ADC =\DCP ⇒ 4ACP ∼ 4N CD(g.g)⇒ 4DCP ∼ 4N CA(c.g.c) Suy ra DC =DP nên ta có đpcm.

(4)

Cách 2(Nguyễn Đăng Khoa):

Ta có: CP A[ =M DC(1)\ ⇒M CP D nội tiếp.

Suy ra: \CP D =BM C\ =\ADC =\DCP ⇒DC =DP. Từ đó ta có đpcm.

Cho 4ABC có đường caoAH.E là trung điểmAH. Đường tròn(I) tiếp xúc vớiBC tại D.

DE∩(I) = {D, F}. Chứng minh F D là phân giác \BF C.

(Tài liệu chuyên toán hình 10) Ví dụ 3

Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của (I) trên AB và AC. AD∩(I) = {D, P}. Kẻ đường kính DQ của (I).

Vì DQ k AH; AE = EH ⇒ D(HAEQ) = −1 ⇔D(DP F Q) = −1⇒ tứ giác DF P Q là tứ giác điều hòa (1).

Mặt khác ta có tứ giácDM P N là tứ giác điều hòa (2).

Từ (1) và (2) ta có: QF, M N và tiếp tuyến tại P, D đồng quy tạiL.

Áp dụng Menelaus ta có: LB

LC = M B

N C = BD

DC ⇒(LDBC) = −1.

Ta lại có F D ⊥F L⇒F D là phân giác\BF C.

(5)

Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (w₁); (w₂) cắt nhau tại A và B. Một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tiếp xúc với (w₁) tại P và (w₂) tại Q. Các tiếp tuyến của (AP T) ở P, T cắt nhau tại S. Gọi H là điểm đối xứng của B qua P T. Chứng minh: A, H, S thẳng hàng.

(Vietnam TST 2001) Ví dụ 4

Gọi C =AB∩P T. Ta có:BP T[ =BAP[;BT P[ =BAT[ ⇒P AT[ = 180^◦−P BT[ = 180^◦−\P HT

⇒H ∈(AP T). Mặt khác ta có: 4CBP ∼ 4CP A và 4CBT ∼ 4CT A.

Suy ra: P C² =CB.CA=CT² ⇒CP =CT và P B

AP = BC

P C = BC

CT = BT

AT ⇔ AP

P H = AT T H Vậy suy ra tứ giác AP HT là tứ giác điều hòa nên A, H, S thẳng hàng.

(6)

Cho tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp. Gọi P, Q, R lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từDxuốngBC, CA, AB. Chứng minh rằngP Q=QR khi và chỉ khi phân giácABC[ =\ADC cắt nhau trên AC.

(IMO 2003) Ví dụ 5

Ta có: P, Q, R thẳng hàng (đường thẳng Simson).

Ta có hai cặp tam giác: 4DQP ∼ 4DAB và 4DQR∼ 4DCB.

Suy ra: QR=QP ⇔ QR

QD = QP

QD ⇔ BC

CD = AB

AD ⇔ADBC là tứ giác điều hòa.

Điều này tương đương với phân giác ABC[ và \ADC cắt nhau trên AC.

(7)

Cho tam giác ABC nội tiếp (O)có 3 đường cao AD, BE, CF đồng quy tạiH. HI là đường đối trung của 4HBC. KẻAK ⊥ HI. Tia AH cắt (O) tại L, tiaM H cắt (O) tại P. Chứng minh:

a, Tứ giác P BLC là tứ giác điều hòa b, (M IK)tiếp xúc (O).

(Đề thi đội tuyển tỉnh Bắc Ninh) Ví dụ 6

a, Ta dễ có: P, F, H, E, K, A đồng viên và L đối xứng với H qua BC. Từ đó ta có: 4HM B ∼ 4BM P và 4M HC ∼ 4M CP(g.g)

Làm tương tự ví dụ 4 thì ta có tứ giác P BLC là tứ giác điều hòa.

b, Tiếp tuyến tại P, L của (O)và BC đồng quy tại T. Ta có: HP.HM =HA.HD =HI.HK ⇒P ∈(M IK).

Ta lại có: T H² =T L² =T B.T C ⇒\T HB =HCB. Mà\ BHI[ =M HC\ ⇒T HI[ =T M H\

Suy ra T P² =T H² =T I.T M ⇒T P là tiếp tuyến của(M IP K). Suy ra (M IK) và (O) tiếp xúc tại P.

(8)

Cho đường tròn(O)có đường kínhAB.C ∈(O)thỏa mãn90^◦ <AOC <[ 180^◦. LấyK ∈OC. Từ A kẻ hai tiếp tuyếnAD, AE tới (K, KC). Chứng minh rằng: DE, AC, BK đồng quy.

(Đề thi chọn đội tuyển VMO Hà nội 2015-2016) Ví dụ 7

Gọi L, T là giao điểm củaAC với DE và (O). Gọi J =IK∩T C.

Từ đó ta có tứ giác T DCE là tứ giác điều hòa. Suy ra tiếp tuyến tại T, C của (K, KC) và DE đồng quy tạiI.

Ta có: IL⊥AK;AL⊥IK ⇒KL vuông góc với AI tại Q.

Khi đó ta có:IQ.IA =IJ.IK =IC². MàIC cũng là tiếp tuyến của(O)nênQ∈(O)⇒BQ⊥AI.

Suy ra điều phải chứng minh.

Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC 6= 2R. Lấy A thuộc cung lớn BC. D, K, J là trung điểm BC, CA, AB. E, M, N là chân đường cao hạ từ A, B, C xuống BC, DJ, DK. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại M, N của (EM N)cắt nhau tại điểm T cố định.

Ví dụ 8

(9)

Kẻ đường cao BU và lấy H là trực tâm 4ABC.

T D, T E lần lượt cắt (O)tại điểm thứ 2 là X, S

Ta có: H, M, N, D, E đồng viên nên tứ giác M DN X là tứ giác điều hòa.

⇒ H(M N XD) = −1⇒ H(BCXD) = −1⇒ HX k BC (do BD =CD). Suy ra T thuộc trung trực BC.

Mặt khác ta có: D(M EN S) = −1mà DN kAB⇒A, S, D thẳng hàng.

Ta dễ có: S∈(AP HU)⇒DS.DA=DU² =DC² và AH.AE =AS.AD Theo định lý Thales ta có: T D

AE = DS

AS = DS AH.AE

AD

⇒T D = DS.AD

AH = DC²

2OD(không đổi).

Vậy T cố định hay ta có đpcm.

Cho 4ABC cân tại A, một đường tròn (O) tiếp xúc AB, AC và cắt BC tại hai điểm phân biệt là K, L. AK cắt (O) tại M. Gọi P, Q là điểm đối xứng của K qua B, C. Chứng minh rằng M, O và tâm (M P Q) thẳng hàng.

(THTT: T12/437) Ví dụ 9

(10)

Gọi D, E là điểm tiếp xúc của (O) với AB, AC. Kéo dài M D cắt BC tại P⁰

Ta có: D(DEM K) = −1mà DE kBC ⇒BP⁰ =BK ⇒P ≡P⁰. Suy ra M, D, P thẳng hàng.

Tương tự ta có: M, E, Qthẳng hàng.

Xét V_M^K : D→P;E →Q⇒(M DE)→(M P Q).

Từ đó ta có đpcm.

Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với 3 cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Lấy M, N thuộc E, F sao cho BN kAD k CN. DM, DN lần lượt cắt (I) tại điểm thứ 2 là P và Q. Chứng minh rằng: BP, CQ, AD đồng quy.

(Đề thi Olympic KHTN 2017) Ví dụ 10

(11)

Gọi S =EF ∩BC.AD cắt EF, P Q lần lượt tại T, R. AD∩(I) ={D, G}.

Ta dễ có: DGlà tiếp tuyến của (I) doDF GE là tứ giác điều hòa.

Ta có: (SDBC) =−1⇒(ST N M) = −1⇒D(ST N M) =−1⇒D(DGQP) = −1

⇒DQGP là tứ giác điều hòa nên P Qđi qua S.

Suy ra: (SRQP) = (SDBC) = −1⇒QC, BP, RD đồng quy.

Cho (O₁) và (O₂) cắt nhau tại A, B. Tiếp tuyến tại A, B của (O₁) cắt nhau tại K. Lấy M ∈(O₁).M A∩(O₂) ={P, A};M K∩(O₁) = {C, M};CA∩(O₂) ={A, Q}. GọiH là trung điểm P Q. Chứng minh rằng:

a, M, H, C thẳng hàng

b, Giao điểm tiếp tuyến tại P, Qcủa (O₂)thuộc một đường thẳng cố định khi M di động.

(Vietnam TST 2002) Ví dụ 11

(12)

a, Ta có: 4BCQ∼ 4BM P(g.g)⇒ BC

M B = CQ M P. Mặt khác tứ giác ACBM là tứ giác điều hòa nên CQ

M P = AC

AM. Áp dụng định lýMenelaus ta có điều phải chứng minh.

b, Kéo dài AK cắt (O2)tại N.

Ta có: 4BQN ∼ 4BCA và 4BN P ∼ 4BAM →P N QB là tứ giác điều hòa.

Suy ra giao điểm hai tiếp tuyến tại P, Qcủa (O2)thuộc đường thẳng BN cố định.

Cho 4ABC và điểm P nằm trong tam giác. Lấy D, E là điểm đối xứng với P qua AC, AB.

I, K là hình chiếu của P trên AC và AB. (ADE) cắt đường tròn đường kính AP tại X.

Chứng minh tứ giác P IXK là tứ giác điều hòa.

Ví dụ 12

(13)

Cách 1(Nguyễn Đăng Khoa):Kẻ tia Xx là tia đối của tiaXS

Ta có: AP = AS = AT ⇒ AXx[ = AT S[ = AST[ = \AXT. Mà AX ⊥ XP ⇒ XP là phân giác SXT[.

Mặt khác: SXT[ =SAT[ = 2BAC[ ⇒KXI[ =P XT\=BAC[

⇒ 4XKP ∼ 4XIT(g.g)⇒ XK

KP = XI

IT = XI

IP ⇒XIP K là tứ giác điều hòa.

Cách 2(Nguyễn Hoàng Phi):

(14)

KP cắt AC tại Q, IP cắt AB tại R. AP ∩QR=T

Ta có: AQS[ =AT S[ = 90^◦−BAC[ ⇒Q∈(AST). Chứng minh tương tự ta có: R ∈(AST).

Theo định lý trục đẳng phương thì ta có: AX, IK, QR đồng quy tạiL.

Mặt khác ta có: (LT RQ) =−1⇒A(LT RQ) =−1⇒A(XP KI) = −1

⇒XKP I là tứ giác điều hòa.

3 Bài tập rèn luyện

Bài 1 Cho tam giácABC ngoại tiếp(I). Đường tròn(I)tiếp xúc vớiBC tạiD. QuaDkẻ đường vuông góc với AD cắt BI, CI tại E, F. Chứng minh: DE =DF

(Nguyễn Minh Hà)

Bài 2 Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm của BC. Các điểmN, P thuộc đoạn BC sao choN đối xứng vớiP qua M. Các đường thẳng AM, AN, AP theo thứ tự cắt (O)tại X, Y, Z. Chứng minh rằng: BC, Y Z và tiếp tuyến tại X của (O) đồng quy.

Bài 3 Đường tròn nội tiếp(I)của tam giácABC theo thứ tự tiếp xúc với BC, CAtại D, E.AD cắt lại (I)tại P. Giả sử \BP C = 90^◦. Chứng minh rằng: EA+AP =P D.

Bài 4 Cho tam giácABC, Dlà trung điểm của cạnhBC vàE, Z là hình chiếu của Dtrên AB, AC. Gọi T là giao điểm của các tiếp tuyến tại E, Z của đường tròn đường kính AD.

Chứng minh rằng: T B =T C.

Hỗ trợ soạn thảo, chỉnh sửa: Nguyễn Đăng Khoa - Khóa 36 THPT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ