§ 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Dạng toán 1. Phương trình bậc hai và bậc cao theo một hàm lượng giác
Quan sát và dùng các cơng thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung gĩc giống nhau, chẳng hạn:
Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện
sin2 sin 0
a X b X c t sinX 1 t 1
cos2 cos 0
a X b X c t cosX 1 t 1
tan2 tan 0
a X b X c t tanX
X 2 k
cot2 cot 0
a X b X c t cotX X k
Nếu đặt t sin2X, cos2X hoặc t sinX , cosX thì điều kiện là 0 t 1.
Nhĩm 1. Phương trình bậc hai cơ bản
1. Giải: 2 sin2xsinx 1 0. 2. Giải: 4 sin2x 12 sinx 7 0.
Đặt sin x t thì t [ 1;1].
Phương trình trở thành 2t2 t 1 0 1
t (nhận) hoặc 1
t 2 (nhận).
Với 1 sin 1 2 .
t x x 2 k
Với 1 1
2 sin 2
t x
sin sin x 6
6 2 .
7 2
6
x k
x k
2 ; 2 ;7 2 , .
2 6 6
S k k k k
Nhận xét. Cĩ thể trình bày nhanh như sau:
2
sin 1
2 sin sin 1 0 1...
sin 2
x
x x
x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 5
2 ; 2 , .
6 6
S k k k
3. Giải: 2 cos2x5 cosx 2 0. 4. Giải: cos2x3 cosx 2 0.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: S { /3k2 , k }. ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: S { 2 , k k }. ...
5. Giải: 2 tan2x 2 3 tanx 3 0. 6. Giải: tan2x (1 3)tanx 3 0.
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: ; , .
6 3
S k x k k ...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: ; , .
3 4
S k k k ..
7. Giải: 3 cot2x (1 3)cotx 1 0. 8. Giải: 3 cot2x (1 3)cotx 1 0.
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: ; , .
4 3
S k x k k
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: ; , .
4 3
S k k k
..
Nhóm 2. Sử dụng công thức
2 2
2 2
2 2
sin 1 cos
sin cos 1 .
cos 1 sin
9. Giải: 6 cos2x 5 sinx 2 0. 10. Giải: 2 sin2x 3 cosx 3 0.
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 7
2 ; 2 .
6 6
S k k ...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2 ; 2 , .
S k 3 k k ...
11. Giải: 2 cos2x 5 sinx 4 0. 12. Giải 2 sin2x ( 34) cosx 2 32.
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 5
2 ; 2 , .
6 6
S k k k
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2 , .
S 6 k k
...
13. Giải: 4 sin4x 12 cos2x 7. 14. Giải: 3 sin2x 2 cos4x 2 0.
PT 4(sin )2x 2 12(1sin )2x 7 0 Đặt sin x2 t thì t [0;1] và phương trình trở thành 4t2 12t 5 0
...
...
...
...
Đáp số: , .
4 2
S k k ...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: ; , .
4 2
S k k k ...
Nhóm 3. Sử dụng công thức
2 2
2 cos 1 (1) cos 2
1 2 sin (2) x x
x
khi cung góc gấp đôi nhau.
15. Giải: 2 cos 2x 8 cosx 5 0. 16. Giải: cos 2x 5 sinx 2 0.
PT 2(2 cos2x 1) 8 cosx 5 0
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2 , .
S 3 k k
...
PT 1 2 sin2x 5 sinx 2 0
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2 ; 2 , .
6 6
S k k k
17. Giải: cos2x 9 cosx 5 0. 18. Giải: cos 4x 9 sin 2x 8 0.
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2
2 , .
S 3 k k ...
PT (1 2 sin 2 ) 2 x 9 sin 2x 8 0
...
...
...
...
...
Đáp số: , .
S 4 k k ...
19. Giải: 5 cos 2 sin 7 0.
2
x x 20. Giải: sin2x cos2x cosx 2 0.
Phương trình 5 cos 2 2 sin 7 0
2 2
x x
...
...
...
...
...
Đáp số: S {k4 , k }. ...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: S { 2 , k k }. ...
Nhóm 4. Vừa hạ bậc, vừa nhân đôi khi tồn tại cung góc gấp 4 lần nhau
Hạ bậc:
2
2
1 cos 2
sin 2
1 cos2
cos 2
x x x x
Nhân đôi:
2 2 2
cos 2 2 cos 1 cos 4 2 cos 2 1 ...
cos 6 2 cos 3 1
x x
x x
x x
21. Giải: cos 4x 12 sin2x 1 0 22. Giải: 1cos 4x 2 sin2x 0.
Ta có: cos 4x 12 sin2x 1 0
2 1 cos 2
(2 cos 2 1) 12. 1 0
2
x x
2 cos 22 x 1 6(1 cos 2 ) 1x 0
2 cos 22 x 6 cos2x 8 0
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: S
k, k
. ......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: S
/2k; /6k
. ...23. Giải: cos 4x 2 cos2x 1 0. 24. Giải: 8 cos2xcos 4x 1.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: ; , .
S k 3 k k ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: , .
S 3 k k ...
25. Giải: 6 cos 32 x cos12x 7. 26. Giải: 5(1cos )x 2 sin4x cos .4x Phương trình 6 cos 32 x cos 4.3x 7
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: , .
S 2 k k ...
PT 5(1cos )x 2 (sin )2x 2(cos )2x 2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2
2 , .
S 3 k k
...
27. Giải: cos 2 3 cos 4 cos2 2
x x x 28. Giải: cos 2 2 cos 2 sin2
2
x x x
PT 2 1 cos
(2 cos 1) 3 cos 4.
2
x x x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2
2 , .
S 3 k k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2 .
S 3 k k ...
Nhóm 5. Sử dụng công thức liên quan đến tan, cot đưa về phương trình bậc hai
2 2
2 2
1 1
tan x.cot x 1 tan x & cot x
cot x tan x .
1 1
1 tan x & 1 cot x
cos x sin x
29. Giải: tanx cotx 2. 30. Giải: 2 tanx 3 cotx 3 0.
ĐK: sin 0
sin 2 0
cos 0 2
x k
x x
x
Ta có 1
tan cot 2 tan 2
x x x tan
x
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: , .
S 4 k k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 1
; arctan .
4 2
S k k
...
31. Giải: 5 tanx2 cotx 3 0. 32. Giải: 3 tanx 6 cotx 2 3 3 0.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2
; arctan .
4 5
S k k
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: ; arctan( 2) .
S 3 k k ...
33. Giải phương trình: 32 2 3 2 tan .
cos x
x 34. Giải phương trình: 42
tan 7.
cos x
x
Điều kiện: cos 0 , .
x x 2 k k
Phương trình 3(1tan )2x 3 2 tan2x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: S
k, k
. ......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: S
/4k;arctan 3/4k
. 35. Giải phương trình: 323 cot 3.
sin x
x 36. Giải phương trình: 12
cot 3.
sin x
x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: ; , .
2 6
S k k k ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: ; arccot(2) .
S 4 k k ...
37. Giải: 4 2
9 13 cos 0.
1 tan
x x
38. Giải phương trình 2 3
2 tan 3
x cos
x Điều kiện: cosx 0.Áp dụng công thức:
2 2
2 2
1 1
1 tan cos
cos 1 tan
x x
x x
thì phương trình trở thành:
9 13 cos x 4 cos2x 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: S
k2 , k
. ......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: S
k2 , k
. ...39. Giải: 1 2 2 5
tan 0.
2 x cos 2
x 40. Giải: 1
3 sin cos x x cos
x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2 , .
S 3 k k ...
Hướng dẫn: Chia hai vế cho cosx 0.
Điều kiện: cos 0 , .
x x 2 k k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: ; , .
S k 3 k k ...
Nhóm 6. Phương trình quy về phương trình bậc hai (dạng nâng cao)
41. 4 cos (62 x 2)16 cos (12 3 )x 13. 42. cos(2x150 ) 3 sin(15 x) 1 0.
Ta có: 4 cos (62 x 2)16 cos (12 3 )x 13 4 cos 2.(3 x 1)2 16 cos(3 x 1) 13
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
43. Giải: cos2 4 cos 4.
3 x 6 x
44. Giải: 5
5 cos 2 4 sin 9.
3 6
x x
Nhận xét:
6 3 2 6 2 3
PT cos2 4 cos 4
3 x 2 3 x
cos2 4 sin 4 0
3 x 3 x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
45. cos2x 3 sin2x 3 sinx 4 cos .x 46. 3 sin2x 3 sinxcos2xcosx 2.
Có cos2x 3 sin 2x 3 sinx 4 cosx 3 sin 2x cos 2x 3 sinx cosx 4
Đặt 3 sin cos 2 sin
t x x x 6
Vì sin [ 1;1] [ 2;2].
x 6 t
Khi đó t2 ( 3 sinx cos )x 2
2 3 sin2 cos2 3 sin 2
t x x x
2 3 sin 2 (2 sin2 1) 2
t x x
2 2 3 sin 2 cos 2 .
t x x
Phương trình trở thành t2 t 6 0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
47. 2sin2x 3 sin2x 4 4.( 3sinxcos ).x 48. 2sin2x 3 sin2x2 3 sinx2cosx2.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
49. 2 42 2
2 cos 9 cos 1.
cos cos
x x
x x
50. 2 12 1
4 sin 4 sin 7.
sin sin
x x
x x
Điều kiện: cos 0 , .
x x 2 k k
Đặt
2
2 2 2
cos cos
cos x t cos x t
x x
2 2
2
4 4
cos cos
cos cos x x t
x x
2 2
2
cos 4 4.
x cos t
x Khi đó phương
trình trở thành: 2(t2 4)9t 1 0
...
...
...
...
...
...
ĐS: S {k2 ; 2 /3 k2 , k }. .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: S { /6k2 ; 7 /6 k2 , k }.
51. 2 12 2
cos 2 2 cos
cos cos
x x
x x
52. 9 2 cos 2 cos2 42 1.
cos x x cos
x x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: S { 2 , k k }. ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: S { 2 /3 k2 , k }. ...
53. Giải phương trình 4 2
cos cos .
3
x x 54. Giải: 3 1 3
sin sin .
10 2 2 10 2
x x
Phương trình 2 1 1
cos2. cos 2
3 2 2
x x
2 1 1 2
cos 2. cos 3.
3 2 2 3
x x
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 3 ; , .
4 2
S k k k
...
PT 3 1 3
sin sin 3
10 2 2 10 2
x x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 3 2
2 ; 2 , .
5 5
S k k k
...
55. Giải: 2 3 4
2 cos 1 3 cos
5 5
x x
56. Giải phương trình: 8 2 2
cos cos
3 3
x x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
4 4 3 1 21
; , cos .
3 3 2 4
k k
S
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3 3 4 3
; 2 , cos .
4 2 3 4
S k k ...
57. 3 cos 4x 8 cos6x 2 cos2x 3 0. 58. 43 sinx sin3x 3 cos2x cos .6x ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
59. 2 cos2 1 tan tan cos 2 3.
2
x x x x 60. 32
tan 2 3 sin 1 tan tan cos 2
x x x x
x
Ta có:
sin sin2
1 tan tan 1
2 cos
cos2 x
x x
x x x
cos cos2 sin sin2 cos2 1 cos .cos cos cos cos
2 2
x x x
x x
x x x
x x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đề rèn luyện về nhà số 01
Giải các phương trình lượng giác sau:
1) 2 cos2x ( 22)cosx 2 0. ĐS: 3
2 ; 2 , .
S k 4 k k 2) 2 sin3x sin2x 2 sinx 1 0 ĐS: , .
S 2 k k
3) 64 cos2x9 sinx 0. ĐS: 1 1
arcsin 2 ; arcsin 2 .
4 4
S k k
4) 4 sin4x 12 cos2x 7 ĐS: , .
4 2
S k k
5) cos 2x 3 cosx 2 0. ĐS: 2
2 ; 2 , .
S 3 k k k
6) 4 cos 2x 5 sinx 1. ĐS: 2 ;arcsin3 2 ; arcsin3 2 .
2 k 8 k 8 k
7) 5 tanx 2 cotx 3 0. ĐS: 2
; arctan , .
4 5
S k k k
8) 1cos 4x2 sin2x 0. ĐS: ; , .
2 6
S k k k
9) 2 5
sin 8 3 sin 4 cos 4 0.
x x x 2 ĐS: , .
16 4
S k k
Đề rèn luyện về nhà số 02
Giải các phương trình lượng giác sau:
1) 2 sin2x3 sinx 1 0. ĐS: 5
2 ; 2 ; 2 .
2 6 6
S k k k
2) 3 cot2x 2 3 cotx 1 0. ĐS: , ( ).
x 3 k k
3) 4 sinx 3 2(1sin ) tan .x 2x ĐS: 7
2 2 , ( ).
6 6
x k x k k
4) 5
cos 2 4 cos 0.
x x 2 ĐS: 2 , ( ).
x 3 k k
5) 1 2 2 5
tan 0.
2 x cos 2
x ĐS: 2 , ( ).
x 3 k k
6) 1
3 sin cos x x cos
x ĐS: , ( ).
x k x 3 k k
7) cos 2 3 cos 4 cos2 2
x x x ĐS: 2
2 , ( ).
x 3 k k
8) 1 2 12
sin sin
sin sin
x x
x x
ĐS: 2 , ( ).
x 2 k k
Dạng toán 2. Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cos (pt cổ điển)
Dạng tổng quát: asinx bcosx c ( ) , ,
a b \ {0} .
Điều kiện cĩ nghiệm của phương trình: a2 b2 c2, (kiểm tra trước khi giải) Phương pháp giải:
Chia 2 vế a2 b2 0, thì
2 2 2 2 2 2
( ) a sin b cos c
x x
a b a b a b
( )
Giả sử: cos 2a 2 , sin 2b 2 ,
0;2
a b a b
thì:
2 2 2 2
( ) sin cos cos sin c sin( ) c :
x x x
a b a b
dạng cơ bản.
Lưu ý. Hai cơng thức sử dụng nhiều nhất là: sin cos cos sin sin( )
cos cos sin sin cos( )
a b a b a b
a b a b a b
Các dạng cĩ cách giải tương tự:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
.sin .cos cos , ( 0)
Chia : .
sin
.sin .cos .sin .cos , ( )
PP
a b nx
a mx b mx a b
a b
a b nx
a mx b mx c nx d nx a b c d
Nhĩm 1. Dạng cơ bản asinX bcosX c.
61. Giải: sinx 3 cosx 3. 62. Giải: sinx 3 cosx 1.
Điều kiện cĩ nghiệm:
2 2 12 ( 3)2 4 ( 3) :2
a b đúng.
Chia 2 vế cho a2 b2 2 thì
phương trình 1 3 3
sin cos
2 x 2 x 2
sin cos cos sin 3
3 3 2
x x
sin sin
3 3
x
2 2
3 4 3 2 53 2
3 3
x k
x k
x k
x k
Kết luận: 5
2 ; 2 , .
S k 3 k k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: 2 ; 2 ,
6 2
S k k k
63. Giải: 3 sinx cosx 1. 64. Giải: 3 cosx sinx 2.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 2 ; 2 , .
S 3 k k k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 5
2 ; 2 , .
12 12
S k k k
...
65. Giải: 3 sin 2x cos 2x 2. 66. Giải: 3 sin 3x cos 3x 2.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 7
; , .
24 24
S k k k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 5 2 11 2
; , .
36 3 36 3
k k
S k .
67. Giải: 3 sin sin 2.
2 x x
68. Giải: sin 2 3 sin( 2 ) 1.
2 x x
Áp dụng công thức sin cos
2
thì
phương trình đã cho trở thành:
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 2 , .
S 6 k k
...
Áp dụng công thức sin cos 2
và
sin( ) sin thì phương trình trở thành ...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: ; , .
S 3 k k k
...
69. Giải: 3 sin sin 2.
4 4
x x
70. Giải: 3 sin sin 2.
3 6
x x
Nhận xét:
4 4 2 4 2 4
PT 3 sin sin 2
4 2 4
x x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 2 ; 2 , .
6 3
S k k k ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 2 , .
S 3 k k ...
71. 3 cos2 sin2 2 sin 2 2 2
x x x6 72. 2 3 sin cos 3 sin 2 3
x 3 x x
Chia 2 vế cho 2 thì phương trình trở thành
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 5
, .
S 24 k k ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 2
2 ; 2 , .
3 3
S k k k ...
73. sin3 cosx x 3 cos2x 3cos3 sinx x 74. cos7 cos5x x 3 sin2x 1 sin7 sin5 .x x (sin3 cosx x cos3 sin )x x 3 cos2x 3
sin 2x 3 cos 2x 3
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: ; , .
3 2
S k k k ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: ; , .
S 3 k k k
...
Nhóm 2. Dạng
(
2 2
2 2
2 2
a sin x b cos x a b sin( x )
, a b 0)
a sin x b cos x a b cos( x )
75. Giải: 3 sin cos 2 sin
x x 12
76. Giải: sin 3 cos 2 sin
x x x 6 Chia 2 vế cho a2 b2 2 phương trình trở
thành 3 1
sin cos sin
2 x 2 x 12
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 3
2 ; 2 , .
12 4
S k k k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: , .
S 4 k k ...
77. Giải: sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2 .x 78. Giải: cosx 3 sinx 2 cos 3 .x ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 4 2
2 ; , .
3 15 5
S k k k ...
Phương trình 2 cos 3x cosx 3 sinx ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: ; , .
6 12 2
S k k k
...
Nhóm 3. Dạng a sin( mx)b cos( mx) c sin(nx)d cos( nx)
2 2 2 2
a b c d 0
79. cos2x 3 sin 2x 3 sinx cos .x 80. 3(cos 2x sin 3 )x sin 2x cos 3 .x
1 3 3 1
cos 2 sin 2 sin cos
2 x 2 x 2 x 2 x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 2 2
2 , .
3 3
x k x k k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 2
6 2 10 5
x k x k
...
81. cos 3x sinx 3(cosx sin 3 ).x 82. sin 8x cos 6x 3(sin 6x cos 8 ).x PT cos 3x 3 sin 3x 3 cosx sinx
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: , ( ).
12 8 2
x k x k k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: , ( ).
4 12 7
x k x k k
Đề rèn luyện về nhà số 03
Câu 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sinx 3 cosx 2. ĐS: 5
2 , .
x 6 k k
b) 2 6
cos 7 3 sin 7 2, ;
5 7
x x x ĐS: 53 5 59
84 12 84
x x x
c) 2 cos 3x 3 sinx cosx 0. ĐS: , .
3 2
x k k
d) 2 sin17x 3 cos 5x sin 5x 0. ĐS:
66 11 9 6
k k
x x
e) ( 31)sinx ( 31)cosx 2 2 sin 2 .x ĐS: 5 2 7 2
12 36 3
x k x k
f) sin 8x cos 6x 3(sin 6x cos 8 ).x ĐS:
4 12 7
x k x k
g) 3 cos 2 sin 2 2 sin 2 2 2.
x x x6 ĐS: 5
, .
x 24 k k
Câu 2. Tìm tham số m để phương trình mcos 2x (m1)sin 2x m2 cĩ nghiệm.
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 cos sin 1
2 sin cos
x x
y x x
Đề rèn luyện về nhà số 04
Câu 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin 2 3 sin( 2 ) 1.
2 x x
ĐS: 7
2 2 .
6 6
x k x k
b) cos 3 sin 2 cos .
x x 3 x ĐS: x k, (k ).
c) sinx cosx 2 2 sin cos .x x ĐS: 2
4 2 4 3
x k x k
d) 1 3 9 1 3 5 2
cos sin
2 2 2
2 2 x 2 2 x ĐS:
2 5 2 .
3 6
x k x k
e) 1 cos 22
1 cot2
sin 2 x x
x
ĐS: , .
3 2
x k k
f) 32 cos (sin 22x x cos 2 tan )x x 3 cos 2 .x ĐS: , .
x k x 6 k k
g) 4 sin3xcos 3x 4 cos3xsin 3x 3 3 cos 4x 3. ĐS:
24 2 8 2
k k
x x
Câu 2. Tìm tham số m để phương trình sinx 5 cosx 1 m(2sin )x cĩ nghiệm.
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 3 cos 2 sin 1 2 sin
x x
y x
Dạng toán 3. Phương trình lượng giác đẳng cấp
Dạng tổng quát: a.sin2X b.sinX cosX c.cos2X d (1) , , , a b c d . Dấu hiệu nhận dạng: Đồng bậc hoặc lệch nhau hai bậc của hàm sin hoặc cosin (tan và cotan được xem là bậc 0).
Phương pháp giải:
Bước 1. Kiểm tra 2
cos 0
sin 1
2
X k X
X
cĩ phải là nghiệm hay khơng ?
Bước 2. Khi 2
cos 0
, ( )
sin 1
2
X k k X
X
. Chia hai vế (1) cho cos X2 :
2 2
2 2 2 2
sin sin cos cos
(1) cos cos cos cos
X X X X d
a b c
X X X X
atan2X btanX c d(1tan2X)
Bước 3. Đặt t tanX để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn t x.
Lưu ý. Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn.
Nhĩm 1. Đẳng cấp bậc hai
83. Giải 2 cos2x 4 sin cosx x4 sin2x 1. 84. 2 cos2x 3 3 sin 2x 4 sin2x 4.
Với cos2 0
, .
sin 1
2
x k k x
x
Phương trình trở thành 4 1 : sai loại.
Với ,
x 2 k
chia 2 vế cho cos2x 0 Phương trình trở thành:
2 2
2 2 2 2
cos sin cos sin 1
2 4 4
cos cos cos cos
x x x x
x x x x
2 2
2 4 tanx 4 tan x 1 tan x
5 tan2x 4 tanx 1 0
tan 1
4 .
tan 15 arctan 5
x k
x
x x k
; arctan 1 , .
4 5
S k k k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Đáp số: ; , .
2 6
S k k k ...
85. 4 cos2x 3 sin cosx x sin2x 3. 86. 2 sin2x 3 3 sin cosx x cos2x 2.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 1
; arctan .
4 4
S k k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: ; , .
2 6
S k k k ...
87. Giải: sin2x 2 cos2x 3 sin cos .x x 88. Giải: sin2x3 sin cosx x 1.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: ; arctan 2 , .
S 4 k k k
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: 1
; arctan , .
4 2
S k k k
Nhóm 2. Đẳng cấp bậc ba, bậc bốn
89. Giải phương trình: cosx 2 sin .3x 90. Giải phương trình: sinx 2 cos .3x
Với 3
cos 0
sin 1
2
x k x
x
thì phương trình đã cho trở thành 02.1 :3 sai.
Với ,
x 2 k
chia 2 vế của phương trình cho cos3x 0 thì phương trình trở thành:
3
2 3
cos 1 sin
cos cos 2cos
x x
x x x
2 3
1 tan x 2 tan x
...
...
...
...
...
ĐS: , .
x 4 k k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: , .
x 4 k k
...
91. Giải: cos3x sin3x sinx cos .x 92. Giải: 7 cosx 4 cos3x 4 sin 2 .x ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: , .
S 2 k k ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: ; 2 , .
2 3
S k k k ...
93. cos3x 2 sin cosx 2x 3 sin3x 0. 94. 6 sinx2 cos3x 5 sin 2 cos .x x ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: , .
S 4 k k
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: , .
S 4 k k
...
95. cos3x 3 cos sinx 2x sinx 4 sin .3x 96. 4 sin3x 3 cos3x 3 sinx sin2xcos .x ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: ; , .
4 6
S k k k ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ĐS: ; , .
4 6
S k k k ...
